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构造法在高考中的妙用波利亚说过“构造一个辅助问题是一项重要的思维活动.”数学上的构造法就属于这样一种思维活动.构造法是指当某些问题用通常的办法难以解决时,根据题目的条件和结论的特征、性质,从新的角度、用新的观点观察、分析、解释对象,抓住条件与结论之间的内在联系,以已知的数学关系为支架,构造出满足条件或结论的数学对象,使原题中隐含的关系和性质在新构造的数学对象中清晰地表现出来.构造法的巧妙之处在于,它不是直接去解决所给的问题,而是将它转化为一个与原问题有关的辅助的新问题,然后通过对新问题的解决来帮助解决原问题.构造法对培养同学们的发散思维,提高同学们对数学知识的综合运用能力有着重要的作用.现对其在高考中的妙用分析如下
一、构造图形解题构造图形的关键在于发现题目条件或结论的几何意义或与几何图形之间的某种联系,将其在图形中反映出来,并利用图形来处理问题.例12014年北京卷第18题已知函数fx=xcosx-sinx,x£[0,Ji
2.1求证f xWO;2若a解析1f0=0,fJT2=-l,满足f xWO.下证当x£0,n2时,f x如图,P为角x的终边与单位圆的交点,则劣弧AP长为x,AT为正切线,即AT=tanx,由S扇形OAP综上f xW
0.2a对于axy二ax图象的上方,由图可知直线y二ax过点A兀2,1时a取最大值2冗.对于sinx综上a的最大值为2冗,b的最小值为
1.点评本题第12两问的常规解法是使用导数研究函数性质,不仅思维难度大,而且过程也比较繁琐,不易处理.若对题目所给式子进行适当的变形,再构造出恰当的图形,问题的解决就变得相当直观而简易.
二、构造函数解题函数是高中数学的重要知识,与方程、不等式有着密切的联系,构造函数就是通过分析题目的条件和结论的结构特点,建立恰当的函数,将解决原问题转化为研究相应的新函数及其性质.例22014年湖北卷第22题Ji为圆周率,e=
2.71828…为自然对数的底数.1求函数f x=Inxx的单调区间;2比较3冗与兀3的大小.解析1详解略f x的增区间为0,e,减区间为e,+
8.2要比较3D与冗3大小,可以比较ln3Ji与Inn3的大小,就是比较冗ln3与31nn的大小,对两数同除以3冗得ln33与In互冗,由1知函数f x=Inxx在e,+8上递减,又e兀
3.点评用常规方法比较3九与冗3的大小比较困难,利用第1小题的结论,将原式变形为ln33与Inn冗,具有了相同结构就可构造函数f x=Inxx,就可使用函数的单调性比较大小了.例32014年浙江卷第6题已知函数f x=x3+ax2+bx+c,且A.cW3B.3C.69解析根据题意,不妨构造函数g x=x3+ax2+bx+c-m,me0,3],则g x的三个零点分别为T,-2,-3,因此有x+1x+2x+3=x3+ax2+bx+c-m,贝lj c—m=6,因止匕c=m+6£6,9],故选C.点评根据题目条件f-1=f-2=f-3,可将-1,-2,-3看成一个函数的三个零点,这样就可以推知该函数具有y二x+1x+2x+3的结构特征,据此即可利用结构特征构造出函数gx,化难为易了.
三、构造数列解题在解答题中求数列的通项公式,题目给出的数列往往既不是等差数列又不是等比数列,而是给出首项和递推公式,解答这类题目往往就需要采用构造法,即根据递推公式构造出一个新数列,然后先求出新数列的通项公式,再求出原数列的通项公式.例42014年广东卷第19题设数列{an}的前n项和为Sn,且满足Sn=2nan+l-3n2-4n,n£N,且S3=
15.1求al,a2,a3的值;2求数列{an}的通项公式.解析1详解略al=3,a2=5,a3=
7.2当nl时,由已知得Sn=2nan+l-3n2-4nSn-l=2n-1an-3n-12~4n-l,两式相减得2nan+l=2nT an+6n+l,即2nan+l-4n2-6n=2n-l an-4n2+1,即2n[an+l-2n+3]=2n-l[an-2n+l],令bn=an-2n+l,则2nbn+1=2nT bn
①由1知bl=b2=0,则由
①知bn=0,所以an=2n+l,且n=l时也成立,故an=2n+ln^N.点评本题以构造的新数列bn=an-2n+l为桥梁,先证明数列{bn}恒为零,再求出数列{an}的通项公式,在构造中将转化的思想运用得淋漓尽致.
四、构造向量解题在题目的条件中,如果所给的式子具有xlx2+yly2的结构特点,那么我们可以将原式变形,构造出适合xlx2+yly2的向量的数量积,从而化为数量积的运算进行解题.例52014年山东卷第9题已知x,y满足约束条件x-y-1W02x-y-3N0,当目标函数z=ax+by a0,b0在该约束条件下取到最小值25时,a2+b2的最小值为.A.5B.4C.5D.2解析不等式组表示的平面区域如图所示,因为a0,b0,所以目标函数在点A2,1处取得最小值,故2a+b=25,其中2a+b可看成向量m二2,1与向量n二a,b的数量积,由数量积的几何意义可知,向量川的模5与向量n在向量m上的投影之积为25,所以向量n在向量m上的投影为2,由图可知a2+b2的最小值为
4.故选B.点评本题如果运用基本不等式这一常规方法来求解,就非常烦琐,而且同学们很难想到转化的途径,而上述解法则根据2a+b的结构巧妙地构造向量的数量积,利用其几何意义,并结合图形很直观地“看”出a2+b2的最小值.整个过程思维量不大,运算量也很小.有思路才有出路,愿同学们在构造法的运用过程中迸发出更多的思路,探寻出更多的出路.作者张为扣,阜宁县第一高级中学。