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构造斜率求恒成立问题中参数的取值范日在各省市的高考题中,常将导数作为压轴题的考查对象,而导数中多涉及不等式的恒成立的证明或求解问题,本文以解决不等式恒成立问题的两种方法比较为突破点,发现一类恒成立问题,采用构造动函数分类讨论往往很困难,但若巧妙地构造斜率可以有效地降低题目的思维量和运算量,达到事半功倍的效果
一、一道高考题的两种解法【2012全国大纲卷理科第20题】设函数f x=ax+cosx,x£[0,n_1讨论f x的单调性;2设f xWl+sinx,求a的取值范围解1略解法1ax+cosxWl+sinx,[0,五]等价转换为ax+cosx-1-sinx^O,令g x=ax+cosx-l-sinx,要使g xW0成立,只需使gmax xWOgz x=a-cosx-sinx=a-sin x+,x£[0,n],sin x+£[T,_
①当时,gz xNO,g x在x£[0,兀]上单调递增,gmax x=g几二a一2W0即aW,所以a£准
②当a-l时,gzxWO,g x在x£[0,冗]上单调递减,gmax x=g0=0W0即a,£R,所以aWT
③当Tg x单调递减,x£xO,n,g x0,g x单调递增所以gmax x为g0和g r的最大值g00g冗W0得aW,所以T
④当TWaO,g x单调递增,因为g0=0,埸x3£[0,xl使g x32g0=0所以IWaO时,令g x=,问题等价变换为a,=k,其中k为函数图象上点x,g x与点0,g0连线的斜率下面考查g x=的函数性质g x=,gx=W0在0,]±g x为上凸的单调递增函数,在[,n]±g x为上凸的单调递减函数故k为单调递减的函数所以k xh1=2〉0所以h x在0,1上是上凸的单调递增函数,故k为单调递减的函数切线的斜率k x=hr0=2k x2,-k综上所述a的取值范围是a£[-1,
03.代换转化型例
3.【2011年高考全国新课标卷理科211已知函数f x=+,曲线y=f x在点1,f1处的切线方程为x+2y-3=0o1求a、b的值;2如果当x0,且xWl时,f x+,求k的取值范围解⑴a=b=l2当x0,且xWl时,f x+等价变换为k,设p t=Int,贝!]l-k=其中m为函数图象上点t,p t与点1,p1连线的斜率以下考查P t=Int的函数性质p t=lnt+2,pt=-Intpt,p,t,p,t在区间0,+8上的情况如下所以p t在0,上为下凸的递减函数,在,1上为下凸的递增函数,在0,+8上为上凸的递增函数,即m值先增大再减小,在t=l时取最大值切线的斜率m t=p1=lm〉l,1-kl所以k的取值范围为kWO综上所述a的取值范围是kWO
三、教学反思在高中数学中,有关函数和不等式的问题,学生大多数想到就是构造函数,通过求导证明单调性来研究问题经过多年的训练,学生已经形成了思维定势,很难有新的突破其实跳出固有思维,利用函数图象直观地理解问题,抓住问题的本质,往往可达到柳暗花明的效果导数的本质是斜率的极限,从这个意义上来说,斜率更是至关重要参考文献熊欣,徐章韬.拉格朗日中值定理的初等化应用W.数学通讯,
201207.。