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河南省年普通高等学校2023专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学解析及解析
一、选择题每小题2分，共60分
1.解析:D【解析】因1—x0,则定义域为xl;应选D.
2.解析:A【解析】因fx=x-2/,则f-x=-x-2-X3=-X+2d=-/x；即f-x=-fx,所以/为奇函数;应选A.【解析】则内⑹=1-六=1涓=占应选I.
3.解析:D
4.解析:DX X【解析】因=0,lbn=^—=0,lim2r=0,lim2*不存在；应选D..t-0厂+\厂+]X—.TT
5.解析:C121I_7r_r2~2------------------------1【解析】因lim:=lim2一—=-1；应选C.XTOO X-KO|
6.解析:DXr1I【解析】因lim=山一=一=2,则=一应选D.^-0sin ax…at a
27.解析:A【解析】当x-0时，l-cosx，则2-2cosx~即=1；应选A.
28.解析:B【解析】当=2时，Hm/x=lim-------=lim—~~—=limx-l=0,即lim/x¥/⑴，x—1x-l x-］x—1x—|x-l x—1故a=2,/x在x=l处不连续；应选B.
9.解析:C［解析】因fx=X-1以1,且戊丫在X=0处可导,则eX在X=0处必连续,故10/1=liin—lim--------―=limp{x-1=e；应选C.I X-\Xf X-\Xf
10.解析:D【解析】lim/x=/l=l,所以在x=l处连续x-»l但力⑴=lim/-1=lim—=1,所以函数在x=l处不可导；应选D.J x-\r-*,-x-
111.解析:C【解析】当两函数地切线相互垂直时，切点处两切线地斜率乘枳为-1,即rx・gx=-i,所以，—3x~,———1,解得x=—；应选C.九
312.解析:A【解析】根据罗尔中值定理，应有了=-4/=0,在7,1内只有g=0；应选A.
13.解析:A［解析］根据极值地第一充分条件，f\x在x=两侧,左负右正,取得极小值,所以/0是fx地极小值；应先A.
14.解析:B【解析】根据凹凸性地判定定理,f〃x在X=1两侧，左负右正,所以点11是曲线fK地拐点应选B.
15.解析:D［解析】因，=/,则/=4/,/=I2x2,所以在-00,0内y=x4单调递减且为凹，在O,4W内y=x4单调递增且为凹，；应选D.【解析】依题J/*dT=FQ+C,故J/x-lMr=J/x-l”x-l=Fx-l+C应选A.
17.解析:C【解析】因/]=1+产卜’=*+工2；应选c.
18.解析:C【解析】因被积函数/x=xe”为奇函数,积分区间为对称区间，所以J产“公=应选C.
19.解析:C【解析】根据定积分地几何意义知，f/xdx表示题中平面图形面积,Bp£^=^|i=l-e-应选C.
20.解析:B【解析】当Ixv2时，/%；由定积分地保序性知，Mx,应选B.=[，条科所以方向角以瓜丫【解析】因:=7+1={0,1,1},则向量G地单位向量为“°
21.解析:D需满足cosa=0,cos/=’Z,cos7,则、/、7依次为工，工，卫，应选D.
2224422.解析:A【解析】将e-r代入微分方程y〃+3ay+2y=得一3*+=0,解之a=1；应选A.
23.解析B【解析】可分离变量微分方程标准形式是/=/*gy,显然只有B中方程满足；应选B.
24.解析:C【解析】因包=3/+丸所以且马=2户应选C.dx dxdy
25.解析B【解析】设水箱长、宽、高分别为x,y,z,则2A，+yz+=54W=pz,构造函数F=yz+2y+z=0厂工,，,2,/1=.+41+2+-27,令Fy xz+2x+z0，解得/=y=z=3,此F.=Aj+%x+y=OF；=+yz+zv-27=0时水箱容积最大,最大容积为27〃J；应选B.
26.解析:D【解析】04公小,二40公4，=45；而4S〃=成2一.2=34，应选D.D D
27.解析:A【解析】依题画出积分区域,有｛x,“0xWyx｝=｛卜“0W yW1,yW xW1｝,所以,交换积分顺序后有JJ/x,ydj=£t/yf/x,工JJ fx,yda=,应选A.DD
28.解析:B［解析】因为直线L地参数方程为｛签0Wx41，则y2ds=£3x2VT+3tZr=2M；=2,应选B.
29.解析:A【解析】选项是发散;选项B£-I!是条件收敛;选项是收敛;选项〃rt=l〃“=1M=l〃〃=l〃绝对收敛;应选A.
31.解析:C【解析】选项A中lim〃“=,则级数不一定收敛；选项B中没有说明级数为正项级数;n-oo-J〃n=\n=l00C00选项C中收敛，则!吧〃“二0；选项D》“收敛，则£〃|不一定收敛；应选C.〃〃=】=1=1
二、填空题每小题2分，共20分
32.解析Vx,X€R【解析】由原函数y=得x=6；交换x,y得反函数丁=近；应填y=U,xeR”.
33.解析L2【解析】lim=lim—牛=!；应填”■*82〃+]2+—22n
34.解析:可去【解析】因而]/（幻=礴（2-幻=2工〃1）,所以工=1为可去间断点；应填可去XT1X-
135.解析
1.01【解析】因为/（
0.99）=/（1-
0.01卜/⑴+/（l）x（-001）=l+（-ei）zX（-
0.01）=101；应填〃
0.01”.
36.解析-cos（x+1）+C【解析】jsin（x+l依=jsin（x+l）7（x+l）=-cos（x+l）+C；应填一cosQ+1）+C〃.
37.解析In2【解析】f—^=f—4^+0=»n^+lK=ln25应填M
2.J°x+1）x+l
138.解析dx-2dy【解析】a=0-2工班+（工一2），卜丁，所以用（0/）=公—2），；应填公一24”.
39.解析:,[333J【解析】向量｛2,1,2｝地模为序不方=3,所以与向量｛2,1,2｝同向平行地单位向量为〕2I21古〃212k,[333J[333j
40.解析），=—3—（为常数）JC+C【解析】方程），+孙2=o为可化为-2分=其/x,积分得1=/+，y y222所以方程通解为y=r—,（C为常数）；应填〃），=「一（为常数）〃.JT+C X+C
40.解析:31【解析】由幕级数地收敛半径可知R=lim=lim斗=3；应填”3〃.n—11〃一11M+1
三、计算题每小题5分，共50分
41.【解lim（1-x）i=lim（1-=e2】x-
0.v-0，J
42.【解】/=—,（2-cosx）=2V2-cosx2V2-cosxj21nx_lat=J（2lnx-l）/（lnx）=j（21nx-1）r/（2Inx-l）=—（2lnx-1）2+C=ln2x-lnx+C-【解
43.x2】
44.【解】pxsin.uZY=-pxdcosx=7cosR+『cosx为r=O+sinx；=
1.
45.【解】由题知直线/地方向向量为T ij kITT5=123=-7+2J-jt={-1,2-1}357所求直线平行于/,且过点40,1,2,代入直线地点向式方程得所求直线方程为x y-1z-2口〒二^T.
46.【解】利用微分不变性方程两边微分得dxz-dyz-dx+dy=0xdz+zdx-ydz-zdy-dx+dy=0,即有x-ydz=1-zelx+z-ldy,1—77—1所以dz=dx+dy.x-y x-y
47.【解】在极坐标下积分区域表示为{厂⑼“K2〃,0±W2},则y2dxdy=£d-产•rdr=7rl4一产力二D二-］-，44一r=^|^4_/并；=等
48.【解】方程为标准地一阶线性微分方程，且Px=^,Qx=l,x代入通解公式得所求方程通解为
49.【解】令x-l=f级数化为£-1〃/=|■，这是标准不缺项地幕级81数,〃+1当，=1,级数化为Z-D而不，是交错级数,为收敛地:当Z=-1,级数化为£」一，是调和级数,为发散地;从而级数身一1〃—地收敛域为T，1］；=lim生匕收敛半径R=lim L=1,〃-*8n+14川n=l〃+1由一1工一1«1得0x«2,故塞级数£-1尸5辿地收敛区间为0,2］.，日«8丫+
150.【解】级数地收敛域为令其和函数为/戈,“=|〃〃8y+18Sy.W+1即/M=X------------=/一=/—7=r lnl-x,〃〃〃〃〃=]=|n=O+1故fx=-x In1-A,XG[-1,
1.
四、应用题每小题7分，共14分
51.【解】平面图形如下图所示，所求平面图形面积可以看作阴影部分面积，即有5=，-0卜=1一公=间4；=
1.
52.【解】设生产x台计算器时，公司利润为L；依题，L=/x-Cx=80x-
0.03x2-7500+50x-
0.02x2；即S=—
0.0L+3卜一750,令Sx=-
0.02x+30=0得唯一可能极值点x=1500,此时S〃x=-
0.020,所以x=1500是极大值点即最大值点.故，当生产1500台计算器时，公司地利润最大；
五、证明题6分
53.【证明】令/x=4x+3/-x，显然，/x在［-2,0］上连续，在一2,0内可导，且/=/-2=0,由罗尔中值定理可知:存在J£-2,0，使得/C=0,即存在J£一2,0,使得4+9J2-5夕=0成立,故方程4+9/—5x4=0必有一个大于-2地负根.。
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