05年专升本高数真题答案

河南省2023年普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学解析及解析

一、单项选择题每小题2分，共计60分

1.解析:C【解析】J=1X5=C.[5-x

02.解析:D2工+2T【解析】图形关于y轴对称,就是考察函数是否为偶函数,显然函数y二------------为偶函数,应选D.

23.解析析【解析】1〜xn/2-1〜，，应选B.limn2n+l nn-c2N=lim o22y+1+-lim1=e2,应选B.【解析】lim1+-—nJ〃一

85.解析:C【解析】吧%=吧=lim=lim------=—,应选C.ixl+Jl—xx-01+Jl—x

24.解析:B

6.解析:D=-2蛔止驾=-2八1=；*⑴=T应选D-［解析］:/「21一/⑴

7.解析:A11m【解析】对方程盯=/+、两边微分得xdy+ydx=dx+dy,即y—/，—=*，—xdy,y一孙公=xy-xdy,所以虫=应选A.dy yl-x

8.解析:B【解析】f\x=2/x/x=2[/x]3=f\x=2・3尸初/，=3![/x]4……0/⑺x=〃!©产，应选B.

9.解析:A【解析】由罗尔中值定理条件:连续、可导及端点地函数值相等来确定，只有/%=1-V-i,1]满足,应选卜.

10.解析:B【解析】在L1内，显然有广=一D2x+l0,而/x=4x—l〉0,故函数/⑴在L1内单调减少,2且曲线y=fX为凹地,应选B.【解析】lim y=lny=l;lim y=oo nx=0,应选C.X-±GO

12.解析:Bbcost\dt x——【解析】:电=N=bcost—d2y_ZcosP asmtdx2I asmtdxtdx xtasmtx——1，应选B.asin t

13.解析:BL L11【解析】两边对X求导7x6=x——-=＞/%=——，应选B.

14.解析:A[解析】Jcosj/sinxdx=j/sinxdsinx=Fsinx+C,应选A.

15.解析:CJ.+CO7tpi

25.解析:CJT【解析】积分区域在极坐标下可表示为D={r,0|00—,0r26zcos0},从而f f/•—f2tzcos0jj/x,ydo=J2/rcos0,rsin Qrdr,应选C.D

26.解析:B【解析】L£2xydx+x2dy=j4x3dr=x4=1,应选B.

27.解析:B【解析】£（-i）〃一发散,00181绝对收敛，£（-1）〃『是收敛地，但£—是念n+l211〃=—地级数发散地,从而级数z（-1）〃下条件收敛,应选B.3V〃-n=\

28.解析C【解析】正8项级数〃8与»〃收敛n0Z0与收00敛，n=]n=\n=\n=]00而（〃〃+vj22（u；+V）,所以级数Z（乙+乙）2收敛，应选C.77=

129.解析D【解析】注意对所给地方程两边求导进行验证,可得通解应为/-町+V=2,应选D.

30.解析:A【解析】微分方程地特征方程为片+俨=，有两个复特征根九=±例，所以方程地通解为x=C cospr+C sinpz,应}2选A.

二、填空题每小题2分，共30分L解析fx-2=x2-6x+ll【解析】/x+1=x+1尸—2x+1+3n/%=%2—2x+3n于x-2=--6x+

11.

2.解析a=\【解析】因Umx—2=0nlimx2+“x—6=0n〃=l.x—2x-2TT

3.解析x—2y—1+—=021I兀|【解析】:k=y——，则切线方程为y—=—x—1,I1+X2I2427T7T即x—2y—1+—=0x—2y—1+—=022i ii

4.解析:dy=[匕学+\]dx厂Inx Inxln x、-l-In x「,Iz vr——+x【解析】y=e ndy=e dx=xxe[+Y]dx.%x

5.解析L+8或d,+822=xLnL+0°或[L+°o.222【解析】y=4x-，=x4x—0xx0【解析】V=/X；n y〃=e咛°=0n%=1,得拐点为1,e.2J x4x J x

7.解析」27【解析】等式「fQdt=x两边求导有/13/=1,取％=3有/27=—.Jo

278.解析伊〃2尤办=基w2劝=犷2以出【解析】ff2xd2x

49.解析0【解析】V=xe-X=0=x=0=/0=

0.=|-2-:/2刈=|尸2—1/2+i/0=|..「dx+cosx dx-J1-sinxI【解析】=In|x+cosx|+C.J x+cosxx+cosx

10.解析In|x+cosx\+C-1=7-2j+k^S=\axb\=

46.【解析】axb=

11.解析加

12.解析z+zyx+zx ZX【解析】令尸=——In—=二—Inz+lny，则z y zX1x+zz yyz z2zz2dz F；z dzF〔z2，所以包+包=加上dx dyyx+z；；dx Fx+z dyF yx+z1JI

13.解析上—生7T22\sine、jj—12*dxdy rdr=£sec29-1面j rdrDX cos0【解析】积分区域在极坐标系下表示为={

（八）|oe«—,0工厂（1},则41C-179001CO

814.解析/x=£r〃+；Z»=Z一DL aL ai-n—n—n〃=71=/l=I1+----------【解析】/（x）=------------7=-------------------=----------1-------1+x21x2+x—x1+x2—x1+x2—x2oo1oo oo所以/X=fT〃+注=Z-D〃+n=0n=0〃二02〃=-J4sec29-l6/e=—tai0-02，2x

122415.解析+［解析］2是特征方程X2_4入+4=0地二重根,且（2x+1）是一次多项式,特解应设为2Ax+Be2x.

三、计算题（每小题5分，共40分）工.

1.limiV1+xsinx-Vcosx所以半x2「-2Jl+xsinx+Jcosxax【解析】lim=hmJl+xsin九一Jcosxs°l+xsinx-cosxx-0x2x limVl+xsinx+Jcosxlima01+xsinx-cosx xf00x202x=2lim=2lim1+xsinx-cosx…2sinx+xcosxoo=4」=±33二入f°3cos九一xsin41im尤，求半

2.已知y=x=arctan xdx5x+2x=03x-25x【解析】=〃，则y=/w,+2令dy dydu3x-

2、16=x=fu=arctaxdx dudx5x+2,5x+

223.求不定积分dx.[解析1:f,-dx=[x2=dx—f x2dy/l+x1z i%Vi+%2」7i7J二xMl+d-JJ1+X2d/=—Jl+r-JJl+x2dq i2-+72lnl+x,x

204.设/x=,求j f{x-V dx.-------,X0[l+x=x2y/l+x2—-1+x22+C.【解析】令x—1=%，则—ldx=力J/•O flieO pl=1J⑺力+[f3dt=[—+£lnl+tdtLI=ln2+0°+1-1dt，ol+r=ln2+ln2-11--—dt J1+t=21n2-£+lnl+/|=31n2-

1.5,设z=fex siny,/+/,其中/〃#可微,求j jdx dy【解析】令e siny=〃,/+,2=叭贝1」z=/〃#,复合关系结构如图05-1所示，dz dzdu dzdv—=——X1X—dx dudx dvdx；=sin yf,v+2xf u,v,dz dzdu dzdv_=__x___|xdy dudy dvdy=ex cos时〃,v+.rr x

26.求\\—,dxdy，其中是由孙=1,y=xRx=2所围成地闭区域.yD【解析】积分区域如图05-2所示，曲线w=l,y=x在第一象限内地交点为1,1）,积分区域可表示为y Vx.xJ冷温y寸时冷力刃

（一）dxD yx yy_X--dx=Jx3-xdxx

7.求幕级数，一田地收敛域（考虑区间端点）.念2〃+12n+l=x2lim2z+1=X2,_1〃+〃因为p=lim=lim1%2+32n+3〃一＞8―2〃+3【解析】这是缺项地标准地基级数,当P1,即—1V XV1时,幕级数绝对收敛；当P1,即X1或x—1时,基级数发散；当p=l,即X=±l时，若X=1时,事级数化为£是交错级数,满足来布尼兹定理地条件,是收敛地,若X=-1时,基级数化为+1也是交错级数,也满足来布尼兹定理地条件,是收敛地.念2〃+1故累级数地收敛域为2%COSXv+,这是一阶线性非齐次微分方程，它对应地齐次线性微分方程【解析】微分方程可化为x2+iy x2+1C9Y/+-；-y=0地通解为＞=x+1%2+

18.求微分方程（12+1）了+2盯—cosx=0通解.设非齐次线性微分方程地通解为广黑，则户霁-洋，代入方程得C,OOesx,所以Cx=sinx+C.cin丫「4-故原微分方程地通解为y=（C为任意常数）.

四、应用题（每小题7分，共计14分）

1.一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时,就会多一套公寓租不出去，而租出去地公寓每月需花费200元地维修费,试问租金定为多少可获得最大收入最大收入是多少？【解析】设每套公寓租金为x元时，所获收入为y元，则y=[50_%_200）,（x2000）,1-x2+7200%-1400000,0,所以x=3600是使y达到极大值地点，即为最大值地点.100501—2x+7200均有意义,1003600-2000最大收入为y=[5一］3600-200=34x3400=115600元.100故租金定为每套3600元时，获得地收入最大,最大收入为115600元.

192.平面图形由抛物线V=2%与该曲线在点-J处法线所围成,试求1该平面图形地面积；2该平面图形绕x轴旋转所成地旋转体地体积.【解析】平面图形如图05-3所示，切点A-,1处地切线斜率为k=yf1,x=—2由y2=2x得V=_L,故A点处地切线斜率yk=yf i=y日=1，，x=—2从而A点处地法线斜率为-1,3法线方程为x+y—=

0.丁=2%9得另一交点联立方程组48,-

3.X+y_3=02=021把该平面图形看作Y型区域，其面积为图05-3pi316s=L弓一巧一-32根据抛物线地对称性知，该平面图形绕x轴旋转所成地旋转体地体积等于平面图形QBC绕x轴旋转所成旋转体地体积,有.23|J--x27tx2「81〜459J=—

71.=n[44

五、证明题6分试证:当x0时，有——In^+X—.1+X XX【证明】构造函数/x=lnx,它在0,+oo内连续，当x〉0时，函数在区间M+x]上连续,且fx=-X故/x在［x,l+x］上满足Lagrange中值定理,存在［£x,x+l,使得/1+x—/幻=/化，Qx+

1.而占八二lnl+x-\nx—,x即x〉0时，一^ln上匕，成立.1+x XX116471=arctan lx—；-=4x—=兀.乙什x=令V=0得唯一可能地极值点X=3600,而此时/=-9故V=^2xdx-nx。