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文本内容:
工程问题且|]腥教学目标娴熟驾驭工程问题的基本数量关系及一般解法;
1.工程问题中常出现单独做,几人合作或轮番做,分析时肯定要学会分段
2.处理;依据题目中的实际状况能够正确进行单位的统一和转换;
3.“1”工程问题中的常见解题方法以及工程问题算术方法在其他类型题目中的应用.
4.助睡学问精讲工程问题是小学数学应用题教学中的重点,是分数应用题的引申及补充,是培育学生抽象逻辑思维实力的重要工具工程问题是把工作总量看成单位的应用题,它具有抽象性,学生“1”认知起来比较困难在教学中,让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键一.工程问题的基本概念定义工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题工作总量一般抽象成单位“1”工作效率单位时间内完成的工作量三个基本公式工作总量二工作效率工作时间,X工作效率=工作总量子工作时间,工作时间二工作总量+工作效率;法二假设乙没有请假,则两人合作天,应完成全部工程的超过了16(_L+J_)X16=3,单位的百-」,则乙请假(天).“1”1L2=102030333330【巩固】(难度等级※※※)有一条马路,甲队独修需10天,乙队独修需12天,丙队独修需15天.现在让3个队合修,但中途甲队撤出去到另外工地,结果用了6天才把这条马路修完.当甲队撤出后,乙、丙两队又共同合修了多少天才完成?【解析】甲、乙、丙三个队合修的工作效率为天完成的工程量为_L+_L+_L=_L61012154,而实际天完成了的工程量为即甲队少做了工,甲队完成-x6=li61,422,超过单位甲没有干的天数,天),即当甲队“1222210撤出后,乙、丙两队又合修了二天.6-15【例12】(难度等级派※※)年十一学校考题)有一项工程,甲单独做须要天完成,(202336乙单独做须要天完成,丙单独做须要天完成.现在由甲、乙、丙三人同时做,在3048工作期间,丙休息了整数天,而甲和乙始终工作至完成,最终完成这项工程也用了整数天.那么丙休息了天.【解析】设甲、乙工作了天,丙工作了天,则有+=化简得X y、)363048由于和都是的倍数,所以%也是的倍数,而44x+15y=
720.15y7201515%720+4417,所以%=,所以丙休息了天.15,y=415-4=11【例13】(难度等级※※※)一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,最终做完了这件工作.问总共用了多少天?【解析】解法一甲做天,乙就做天,丙就做义二(天),甲做天,完成工作量133261的,,乙就完成工作量的,义丙就完成工作量的共完成3,,x6121824工天说明甲做了天,乙做了天,丙做了,+,x3+x6=jJ_=2261212182422天,三人共做了天,完成这项工作用了天.2020解法二本题整数化会带来计算上的便利.这三数有一个易求12,18,24出的最小公倍数.可设全部工作量为.甲每天完成乙每天完成72726,4,丙每天完成总共用了一叶心一天
3.72x=206xl+4x3+3x6【例14】年人大附中考题一些工人做一项工程,假如能调来人,那么202316天可以完成;假如只调来人,就要天才能完成,那么调走人104202后,完成这项工程须要天.【解析】设个人做天的量为设原来有人在做这项工程,得111,X解得假如调走人,须要x+16xl0=%+4x20,x=
8.2天.8+16x104-8-2=40模块
二、工程问题一一变速问题【例15】难度等级派※※甲、乙两个工程队修路,最终按工作量安排8400元工资.按两队原安排的工作效率,乙队应获元.事实上从第50405天起先,甲队的工作效率提高了倍,这样甲队最终可比原安排多获得1元.那么两队原安排完成修路任务要多少天?960【解析】起先时甲队拿到元,甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比,8400-5040=3360即为甲提高工效后,甲、乙总的工资及工效比为3360:5040=2:3;3360+960:5040-960=设甲起先时的工效为,那么乙的工效为设甲在提高工效后还需天才能完18:
17.“2”“3”,x成任务.有化简为解得%=竺.工程总量2x4+4x:3x4+3x=18:17,216+54%=136+68%,7为竺,所以原安排天完成.5x4+7x=6060+2+3=127【例16】难度等级派※※※人大附中考题甲、乙合作一件工程,由于协作得好,甲的工作效率比单独做时提高乙的工作效率比单独做时提10高甲、乙两人合作小时,完成全部工作的其次天乙又单独做了
1.62,小时,还留下这件工作%尚未完成,假如这件工作始终由甲一人单独来做,须要多少小时【解析】乙的工作效率是二_=,,甲的工作效率是
(112)+653036(2+6-,X三1)+(1+2)=’,所以,单独由甲做须要1」_=33(小时).5365103333【例17】(难度等级派※※※)(2023年四中小升初入学测试题、2023年第七届“希望杯”六年级第2试)甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪,两人同时从同一地点背向而行各自进行工作,最初,甲清理的速一倍,结果从起先算起,经过1小时,就完成了清理积雪的工作,并且两人清理的跑道一样长,问乙换了工具后又工作了多少分钟度比乙明,中途乙曾用1分钟去换工具,而后工作效率比原来提高了【解析】法一干脆求首先求出甲的工作效率,甲个小时完成了米的工作量,因此每分钟1200完成(米),起先的时候甲的速度比乙快也就是说乙起先每200+60=©L33分钟完成为((米),换工具之后,工作效率提高一倍,因此每3+1+3=
2.533分钟完成(米),问题就变成了,乙分钟扫完了米的雪,前25x2=550200若干分钟每分钟完成米,换工具之后的时间每分钟完成了米,求换工具之后的时
2.55间这是一个鸡兔同笼类型的问题,我们假设乙始终都是每分钟扫米,那么分钟
2.550应当能扫(米),比实际少了
2.5x50=125200-125=75(米),这是因为换工具后每分钟多扫了(米),因此换工具后5-
2.5=
2.5的工作时间为(分钟).75+
2.5=30法二其实这个问题当中的米是一个多余条件,我们只须要依据甲乙400两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案我们不妨设乙起先每分钟清理的量为甲比他快,甲每分钟可以3,3清理分钟之后,甲一共清理了份的工作量,乙和他的工作总量相同,4,64x60=240也是份,但是乙之前的工作效率为换工具后的工作效率为和(法一)相同的,2403,6,利用鸡兔同笼的思想,可以得到乙换工具后工作了()()分钟240-3x50+6—3=30【例18】(难度等级派※※※)年十三分小升初入学测试题)甲、乙两人同时加工同(2023样多的零件,甲每小时加工个,当甲完成任务的,时,乙402完成了任务的,还差个.这时乙起先提高工作效率,又用了小时40752完成了全部加工任务.这时甲还剩下个零件没完成.求乙提高工效后每小时加工零件20多少个?【解析】当甲完成任务的,时,乙完成了任务的!还差个,这时乙比甲少完成4022个;40当乙完成全部任务时,甲还剩下个零件没完成,这时乙比甲多完成个;2020所以在后来的小时内,乙比甲多完成了个,那么乙比甲每小时多完成
7.540+20=6060+个.所以提高工效后乙每小时完成个.
7.5=840+8=48【例19】(难度等级派※※※)甲、乙两项工程分别由
一、二队来完成.在晴天,一队完成甲工作要天,二队完成乙工程要天;在雨天,一队的工作效率要下降二队的工121540%,作效率要下降结果两队同时完成工作,问工作时间内下了多少天雨?10%.【解析】在晴天,一队、二队的工作效率分别为,和,,一队比二队的工作效率1215高在雨天,一队、二队的工作效率分别为,*(一%)=,和_L__L=_L;1412156012v720-Lx(i-io%)=A,二队的工作效率比一队高由_L_L=53知,315750502010060100个晴天个雨天,两个队的工作进程相同,此时完成了工程的所以在施工期51X3+±X5=1,间,共有个晴天个雨天.61012202方法二本题可以用方程的方法,在方程解应用题中会接着出现【例20】(难度等级派※※※)一项工程,甲独做需10天,乙独做需15天.假如两人合做,甲的工作效率就要降低,只能完成原来的土,乙只能完成原来的现在要8天完成这项工程,
2.两人合做天数尽可能少,那么两10人要合做多少天?【解析】因为甲比乙的工作效率高,又要求合做的天数尽可能的少,所以除了两人合作之外,其余工程应由甲单独完成.现设两人合作天,则甲单独做天,于是得X8-%到方程(,乂,乂)()解出80%+90%Xx+—X8-x=l,101510%二.所以,在满意条件下,两人至少要合作天.55【例21】(难度等级派※※※)一项挖土万工程,假如甲队单独做,16天可以完成,乙队单独做要20天能完成.现在两队同时施工,工作效率提高20%.当工程完成‘时,突然遇到了地下水,影响了施工进度,使得每4天少挖了
47.25方土,结果共用了10天完成工程.问整工程要挖多少方土?【解析】甲、乙合作时工作效率为义(1+20%)二三.则工的工程量需162020044—(天),则遇到地下水后,甲、乙两队又工作了史二理(天).则10-200272727此时甲、乙合作的工作效率为型二九遇到地下水前后工作效率的3+L.427880差为九二幽,则总工作量为+型■二方土.21-
147.25110020088044004400【例22】(难度等级派※※※)(2023年第七届“希望杯”六年级第1试)甲、乙两个工程队分别负责两项工程.晴天,甲完成工程须要10天,乙完成工程须要16天;雨天,甲和乙的工作效率分别是晴天时的和30%实际状况是两队同时开工、同时完工.那么在施工期间,下雨的80%.天数是天.【解析】在晴天,甲、乙两队的工作效率分别为,和,,甲队比乙队的工作效率1016吉113----二—;PRI101680在雨天,甲队、乙队的工作效率分别为工义和%=,乙队30%=31x8101001620的工作效率比甲队高,-二=,.由于两队同时开工、同时完工,完成工2010050程所用的时间相同,所以整个施工期间,晴天及雨天的天数比为*备=
815.假如有个晴天,则甲共完成工程的出+备―而实际的工程量为所以在施工期间,共有81,个晴天个雨天.8+
1.25=
6.4,15+
1.25=12模块
三、工程问题方法及技巧
(一)整体分析法【例23】(难度等级派※※)甲、乙两队合作挖一条水渠要天完成,若甲队先挖天后,304再由乙队单独挖天,共挖了这条水渠的M假如这条水渠由甲、乙两队单独挖,各须16要多少天?【解析】法一甲、乙合作完成工程的须要(天).甲队先做天,比230x2=12455合作少了(天);乙队后做天,比合作多了(天),所以甲队做12-4=81616-12=48天相当于乙队做天,甲、乙两队工作效率的比是甲队单独工作须要44:8=1:
2.30+30x2(天);乙队单独工作须要(天)=9030+30+2=45法二我们知道,甲乙合作,每天可以完成工程的,,而题目中给定的30“甲队先挖天,再由乙队单独挖天”,相当于甲乙两队先合作天,然后再由乙4164队单独挖天,于是两队合作天,可以完成工程的124_LX4=2,3015也就是说乙队天挖了=百,于是乙队的工作效率为巴+那么12“212=’,515151545甲队的工作效率就是即甲队单独做须要天,乙队单独做须9304590要天工程问题里面也常常用到比例,是因为工程问题的基本数量关系是乘法关系.45其实这一点是及工程习惯无关的.【例24】(难度等级派※※)(2023年第六届小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级其次试,第8题)甲、乙、丙三人生产一批玩具,甲生产的个数是乙、丙二人生产个数之和的L乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之2和的1,丙生产了50个这批玩具共有_________________________个.3【解析】假如干脆探讨甲、乙、丙三者之间的关系,可能会略显困难,我们须要引入一个中间量甲乙丙三人生产玩具数量的总和甲是乙丙和的!,则2总和为甲占了份,甲占了总数的乙是甲丙和的同理可知乙占3,1L1,33了总数的工,那么可知丙生产的玩具占总数的二工,所以总数是1-2-43412(个)•50--=12012【例25】(难度等级派※※)(2023年试验中学考题)几个同学去割两块草地的草,甲地面积是乙地面积的4倍,起先他们一起在甲地割了半天,后来下12人割甲地的草,其余人去割乙地的草,这样又割了半天,甲、乙两地的草同时割完了,问共有多少名学生【解析】有人全天都在甲地割草,设有人上午在甲地,下午在乙地割草.由于12这人在下午能割完乙地的草(甲地草的!),所以这些人在上午也能割甲地4工的草,所以人一天割了甲地的草,每人每天割草为工,全部1233+12=44416的草为甲地草的H工=,所以共有名学生.82204416【巩固】(难度等级※※※,一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作,甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍,上午去甲工地的人数是去乙工地人J2数的倍,下午这批工人中有二的人去甲工地,其他工人到乙工地.到312傍晚时,甲工地的工作已做完,乙工地的工作还需名工人再做天,那么这批工人有41多少人?【解析】依据题意,这批工人的人数是的倍数,设这批工人有⑵人.12那么上午有人在甲工地,有力人在乙工地;下午有人在甲工地,有人在乙工地.9x7x5x所以甲工地相当于(9x+7x)+2=8x人做了一成天;乙工地相当于(3x+5尤)+2=4x人做了一成天.由于甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍,假设甲工地的工作量是332份,那么乙工地的工作量是份.人做一成天完成份,那么人做28%34%一成天完成份,所以乙工地还剩下」份.这!份须要名工人做一2—342222成天,所以甲工地的份须要」]=人做一成天,即可得34x(
3248.24,.3,那么这批工人有(人).12x3=36【例26】(难度等级派※※)(2023年第七届“希望杯”六年级第2试)有两个同样的仓库,搬运完其中一个仓库的货物,甲须要6小时,乙须要7小时,丙须要14小时.甲、乙同时起先各搬运一个仓库的货物,起先时,丙先帮甲搬运,后来又去帮乙搬运,最终两个仓库的货物同时搬完.则丙帮甲小时,帮乙小时.【解析】整个搬运的过程,就是甲、乙、丙三人同时起先同时结束,共搬运了两个仓库的货物,所以它们完成工作的总时间为+上)=日小时.在这段时间内,甲、乙各自由某一个仓库内2+e+3搬运,丙则在两个仓库都搬运过.甲完成的工作量是」,所以丙帮甲搬了的货物,丙La1-2=,帮甲做的时64888间为小时,那么丙帮乙做的时间为且小时.L_L=B_m=328144442【巩固】(难度等级派※※)搬运一个仓库的货物,甲需小时,乙需小时,1012丙需15小时.有同样的仓库A和3,甲在A仓库,乙在6仓库同时起先搬运货物,丙起先帮甲搬运,中途又转向帮乙搬运,最终同时搬完两个仓库的货物.丙帮助甲、乙各搬运了几小时?【解析】甲、乙、丙搬完两个仓库共用了2+(,+,+,)=8小时,丙帮助甲搬运了101215乂〕.,=小时,丙帮助乙搬运了小时.11-,838-3=5()1015【例27】(难度等级派※※※)甲、乙、丙三队要完成A,B两项工程,8工程的工作量是A工程工作量再增加L假如让甲、乙、丙三队单独做,完成A工程所须要的时间分别是20天,24天,30天.现在让甲队做A工程,乙队做3工程,为了同时完成这两项工程,丙队先及乙队合做3工程若干天,然后再及甲队合做A工程若干天.问丙队及乙队合做了多少天?【解析】这个问题当中有两个不同的工程,三个不同的人,因此显得很难解决,数学中化归的思想很重要,即以一个为基准,把其他的量转化为这个量,然后进行计算,我们不妨设A工程的工作总量为单位“1”,那么3工程的工作量就是“之”,那么这个问题就和例5联系到了一起了4三队合作完成两项工程所用的天数为[+小化+,+口=天天里,(118184J U02430J乙队始终在完成工作,因此乙的工作量为,剩下的工作量应3xl8=J3244当是由丙完成,因此丙在工程上用了信+=天也就是说两队合作3144J30了天15解题关键是把“一项工程”看成一个单位,运用公式工作效率工作时间=工作总量,x表示出各个工程队(人员)或其组合在统一标准和单位下的工作效率.【例28】(难度等级派※※※)甲、乙、丙三人同时分别在3个条件和工作量相同的仓库工作,搬完货物甲用10小时,乙用12小时,丙用15小时.其次天三人又到两个大仓库工作,这两个仓库的工作量相同.甲在A仓库,乙在B仓库,丙先帮甲后帮乙,用了16个小时将两个仓库同时搬完.丙在A仓库搬了多长时间?【解析】因为、两个仓库的工作量相同,所以甲、乙、丙假如都在其中一个大仓库工作,那A3么小时可以搬完.因为甲、乙、丙三人每小时的工作量的比是,所以甲每小时可以完成大仓库8工作量的101215丙每小时可以完成大仓库工作量的那么甲86+5+42086+5+43016小时完成了仓库的,丙在仓库搬了(条,=小时.A L16,A1-6205530【例29】(难度等级派※※※)一项工程,乙单独做要17天完成.假如第一天甲做,其次天乙做,这样交替轮番做,那么恰好用成天数完成;假如第天乙做,其次天甲做,这样交替轮番做,那么比上次轮番的做法多用半天完工.问甲单独做须要几天【解析】甲、乙轮番做,假如是偶数天完成,那么乙、甲轮番做必定也是偶数天完成,且等于甲、乙轮番做的天数,及题意不符;所以甲、乙轮番做是奇数天完成,最终一天是甲做的.那么乙、甲轮番做比甲、乙轮番做多用半天,这半天是甲做的.假如设甲、乙工作效率分别为和匕,那么匕=%+匕,所以匕匕,乙单独做要用天,甲X1=217的工作效率是乙的倍,所以甲单独做须要天.217+2=
8.5【例30】(难度等级派※※※)一项工程,甲单独做要12小时完成,乙单独做要18小时完成.若甲先做1小时,然后乙接替甲做1小时,再由甲接替乙做1小时,……,两人如此交替工作,请问完成任务时,共用了多少小时?【解析】
①若甲、乙两人合作共需多少小时?(小时).l-rf—+—1=14-—=7-(1218J365
②甲、乙两人各单独做小时后,还剩多少?7
③余下的,由甲独做须要多少小时?36(小时).36123
④共用了多少小时?(小时).7x2+-=14-33在工程问题中,转换条件是常用手法.本题中,甲做小时,乙做小时,相当于他们合11作小时,也就是每小时,相当于两人合做小时.这样先算一下一共进行了多少个这121样的小时,余下部分问题就好解决了.2
二、为了学好分数、百分数应用题,必需做到以下几方面:
①具备整数应用题的解题实力,解决整数应用题的基本学问,如概念、性质、法则、公式等广泛应用于分数、百分数应用题;在理解、驾驭分数的意义和性质的前提下敏捷运用;2学会画线段示意图.线段示意图能直观地揭示“量”及“百分率”之间的对应关系,发3觉量及百分率之间的隐藏条件,可以帮助我们在困难的条件及问题中理清思路,正确地进行分析、综合、推断和推理;
④学会多角度、多侧面思索问题的方法.分数、百分数应用题的条件及问题之间的关系改变多端,单靠统一的思路模式有时很难找到正确解题方法.因此,在解题过程中,要擅长驾驭对应、假设、转化等多种解题方法,不断地开拓解题思路.
三、利用常见的数学思想方法如代换法、比例法、列表法、方程法等抛开“工作总量”和“时间”,抓住题目给出的工作效率之间的数量关系,转化出及所求相关的工作效率,最终再利用从前的假设“把整个工程看成一个单位”,求得问题答案.一般状况下,工程问题求的是时间.目M4例题精讲模块
一、工程问题基本题型【例1】(难度等级派)一项工程,甲单独做须要天时间,乙单独做须要天时间,假如甲、2821乙合作须要多少时间?【解析】将整个工程的工作量看作个单位,那么甲每天完成总量的,,乙每“1”28天完成总量的,,两人合作每天能完成总量的,+,=,,所以两人合作21282112的话,须要工=天能够完成.1+1212【巩固】(难度等级派※※※)一件工程,甲单独做要小时,乙单独做要小610时,假如接甲、乙、甲、乙...依次交替工作,每次小时,那么须要多长时间完成?1【解析】甲小时完成整个工程的乙小时完成整个工程的,,交替干活时两个1L1610小时完成整个工程的甲、乙各干小时后完成整个工程的361015还剩下甲再干小时完成整个工程的还剩下,,乙花,小3x3=3,L1L15556303时即分钟即可完成.所以须要小时分钟来完成整个工程.2072【巩固】(难度等级派※※※)规定两人轮番做一个工程,要求第一个人先做1个小时,其次个人接着做一个小时,然后再由第一个人做1个小时,然后又由其次个人做1个小时,如此反复,做完为止.假如甲、乙轮番做一个工程须要小时,而乙、甲
9.8轮番做同样的工程只须要小时,那乙单独做这个工程须要多少小时?
9.6【解析】依据题意,有甲乙甲乙甲小时+乙用小时,可知,甲做>=小时及乙做乙10,64甲乙甲乙小时+甲小时
10.6=小时的工作量相等,故甲工作小时,相当于乙小时的工作量.1-
0.8221所以,乙单独工作须要小时,
9.8-5+5+2=73【巩固】(难度等级派※※※)蓄水池有一条进水管和一条排水管.要灌满一池水,单开进水管需小时;排光一池水,单开排水管需小时.现在池内有半池水,假如53按进水,排水,进水,排水……的依次轮番各开小时.问:多长时间后水池的水刚好排完?1(精确到分钟)【解析】法一小时排水比小时进水多说明排水开了小时11L2=31,3351521510后(实际加上进水小时,已经过去小时了),水池还剩一池子水的361—,10再过小时,水池里的水为一池子水的110510把这些水排完须要小时,不到小时,110310所以共须要小时小时分.6+1+2=72=7541010法二小时排水比小时进水多,」=」,112x4351515230说明小时以后,水池的水全部排完,并且多排了一池子水的,,830排一池子须要小时,排一池子水的,须要,小时,33x,=303010所以实际须要小时小时分.8-=7541010【巩固】(难度等级派※※※)一项工程,甲、乙合作之小时可以完成,若第121小时甲做,第小时乙做,这样交替轮番做,恰好整数小时做完;若第小时乙做,第2I2小时甲做,这样交替轮番做,比上次轮番做要多冲时,那么这项工作由甲单独做,要用多少小时才能完成【解析】若第一种做法的最终一小时是乙做的,那么甲、乙共做了偶数个小时,那么其次种做法中甲、乙用的时间应及第一种做法相同,不会多!小时,3及题意不符.所以第一种做法的最终一小时是甲做的,其次种做法中最终工小时是甲做的,而这小时之前的一小时是乙做的,所以乙「甲=甲,1333得乙二甲.甲、乙工作效率之和为=甲的工作效率为1+123,3563乙+二」,2)6336321所以甲单独做的时间为1+,=21(小时).21【例31】(难度等级派※※※)甲、乙、丙3队要完成A,B两项工程.B工程的工作量比A工程的工作量多L甲、乙、丙3队单独完成A工程所需4时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程,先派甲队做A工程,乙、丙两队共同做B工程;经过几天后,又调丙队及甲队共同完成A工程.那么,丙队及乙队合作了多少天?【解析】设项工程的工程总量为那么工程的工程总量为』,、两项A“1”,B A B工程的工程总量为而甲、乙、丙合作时的工作效率为1+-=-.44甲、乙、丙始终在同时工作,所以两项工程同时完成时2024308所需的时间为天).在这天,乙完成的工程量,21818X_L=348244则工程中剩下的二』的工程量是由丙帮助完成,即小B14422(天).即丙队及乙队合作了天.,=151530【例32】(难度等级派※※※※)蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管,要灌满一池水,单开甲管需小时,单开丙管须要小时,要排光35一池水,单开乙管须要小时,单开丁管须要小时,现在池内有,的水,466若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的依次轮番打开小时,问多少时间后水起1先溢出水池【解析】甲乙丙丁依次循环各开小时可进水循环次后水池还15+=345660空,的工作量由甲管注水须要(小时),所以经LL366044434过+=()小时后水起先溢出水池.4x52344【例33】(难度等级派※※※※)一件工程甲单独做小时完成,乙单独做小5030时完成.现在甲先做小时,然后乙做小时,再由甲做小时,接着乙做小时……1234两人如此交替工作,完成任务共需多少小时?【解析】甲、乙交替各做四次,完成的工作量分别为二型,3+5+72+4+6+850503030此时剩下的工作量为”+当=’.还需甲做(小时),’.=250307575503所以共需()()(小时).1+3+5+7+2+4+6+8+2=362【例34】(难度等级派※※※※)甲、乙、丙三人做一件工作,原安排按甲、乙、丙的依次每人一天轮番去做,恰好整数天做完,若按乙、丙、甲的依次轮番去做,则比安排多用半天;若按丙、甲、乙的依次轮番去做,则也比原安排多用半天.已知甲单独做完这件工作要天,且三个人的工作效率各不相同,那么这项工作由甲、乙、丙三人一起做,1要用多少天才能完成?【解析】首先应确定按每一种依次去做的时候最终一天由谁来完成.假如按甲、乙、丙的依次去做,最终一天由丙完成,那么按乙、丙、甲的依次和丙、甲、乙的依次去做时用的天数将都及按甲、乙、丙的依次做用的天数相同,这及题意不符;假如按甲、乙、丙的依次去做,最终一天由乙完成,那么按乙、丙、甲的依次去做,最终由甲做了半天来完成,这样有甲+乙=乙+丙,甲,可得丙」甲;而按丙、甲、乙的依次去做,最终由乙做22了半天来完成,这样有甲+乙=丙+甲」乙,可得丙」乙.那么甲=乙,即甲、22乙的工作效率相同,也及题意不合.所以按甲、乙、丙的依次去做,最终一天是由甲完成的.那么有甲=乙/丙=丙」甲,可得乙甲,丙」甲.这=32242项工作由甲、乙、丙三人一起做,要用=天._10I42〃9【例35】(难度等级派※※※※)甲、乙、丙三人完成一件工作,原安排按甲、乙、丙依次每人轮番工作一天,正好整数天完成,若按乙、丙、甲的依次每人轮番工作一天,则比原安排多用工天;若按丙、甲、乙的依次每2人轮番工作一天,则比原安排多用,天.已知甲单独完成这件工作需1753天.问甲、乙、丙一起做这件工作,完成工作要用多少天?【解析】以甲、乙、丙各工作一天为一个周期,即天一个周期.简单知道,第一种状况下肯定3不是完整周期内完成,但是在本题中,有两种可能,第一种可能是完整周期天,其次+1种可能是完整周期天.假如是第一种可能,有甲=乙「丙=丙,甲,得乙=丙=甲.然而此+22时甲、乙、丙的效率和233为」(空,经过个周期后完成至,还剩下坦=卫,_x l+2+2]=4X4=1-
10.75133J129129129129129而甲每天完成」一==二,所以剩下的也不行能由甲天完成,即所
110.7543129129得到的结果及假设不符,所以假设不成立.再看其次种可能:完整周期不完整周期完成总工程量第一种状况〃个周期甲天,乙天“],,11其次种状况〃个周期“]”乙天,丙天,甲,天112第三种状况〃个周期“],,丙天,甲天,乙,天113可得甲+乙=乙+丙+,甲=丙+甲乙,所以丙=,甲,乙甲.因为甲单独做需+1=32324天,所以工作效率为巴,于是乙的工作效率为=』,丙的工作效
10.753x34343443率为巴x,=^.43243于是,一个周期内他们完成的工程量为±+』+则需]个完2=
2.2=443434343L43J整周期,剩下工的工程量;正好甲、乙各一天完成.所以其次种1—2x4=4343可能是符合题意的.于是,依据其次种可能得出的工作效率,甲、乙、丙合作一天完成的工程量是所以三人合作完成工作须要=竺=犯2,1+2434399天.
(二)等量代换法【例36】(难度等级派※※)一项工程,甲、乙、丙三人合作须要13天完成.假如丙休息2天,乙就要多做4天,或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做须要多少天?【解析】丙天的工作量,相当乙天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的二(倍),244・22甲、乙合作天,及乙做天一样.也就是甲做天,相当于乙做天,甲的工作效率是乙的工1413作效率的倍.乙做天,甲只要天,丙做天,乙要天,而甲只要竺天他们共同做313U132613天的工33作量,由甲单独完成,甲须要+上+生天13=2633【例37】(难度等级※※※)抄一份书稿,甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和;丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的L假如3人合抄只需8天就完成了,那么乙一人单独抄须要多少天才能完成?【解析】已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的!,又已知甲每天抄写量等于乙、丙8两人每天抄写量之和,因此甲两天抄写书稿的即甲每天抄写书稿的工;L816由于丙抄写天相当于甲乙合抄一天,从而丙天抄写书稿的即丙每561,8天抄写书稿的,;于是可知乙每天抄写书稿的所以乙一488164824人单独抄写须要天才能完成.1+,=2424【例38】(难度等级派※※)一项工程,甲独做天完成,甲天的工作量,乙要天完成.634两队合做天后由乙队独做,还要几天才能完成?2【解析】法一我们把工程看作两个人分别完成的,那么明显,甲在其中只工作了天,剩下2的都是乙完成的甲完成整个工作须要天,除去自己完成的天以外,剩下工作量甲须要624天完成,乙的工作效率是甲的士因4此甲天完成的量,乙须要天完成,除去及甲合作的天以外,44x3=3233乙还要做天3-2=333法二甲的工作效率为所以乙的工作效率为、两队合作L3+4=
1.2668天后乙队独做还要(1-底2」义2)」=3天才能完成.(68J83【例39】(难度等级※※※)打印一份书稿,甲按规定时间可提前天完成,乙则要超过规定2时间天才能完成.假如甲、乙合做天,剩下的由乙独做,那么刚好在规定时间内完32成.甲、乙两人合做须要几天完成?【解析】依据“甲按规定时间可提前天完成,乙则要超过规定时间天才能完成.假如甲、乙23合做天,剩下的由乙独做,那么刚好在规定时间内完成”,可知甲做天的工作量等22于乙做天的工作量,所以完成这项工作甲、乙所用的时间比是另外,由于甲、乙32:
3.单独做,乙用的时间比甲多3+2=5天,所以乙独做须要的天数是(3+2)x二—=15(天),甲独做须要3-2天),甲、乙合做须要天).15-5=1(1/_L+J_]=6(()10\5【例40】(难度等级派※※)一项工程,假如甲先做5天,那么乙接着做20天可以完成;假如甲先做20天,那么乙接着做8天可以完成.假如甲、乙合作,那么多少天可以完成?【解析】本题没有干脆给出工作效率,为了求出甲、乙的工作效率,我们先画出不意图从图中可以直观地看出甲天的工作量和乙天的工作量相等,即甲天的工作量等15125于乙天的工作量.于是可用“乙工作天”等量替换题中“甲工作天”这一条件,通445过此替换可知乙单独做这一工程须要+天)完成,即乙的工作效率是,.24=24(24又因为乙工作天的工作量和甲工作天的工作量相等,所以甲的工作效率是乙的,为,45=,,那么甲、乙合作完成这一工程须要的时间为x3524530()(天)•1-—+—=13i24303【巩固】(难度等级※※※,一件工作甲先做小时,乙接着做小时可以完成;甲先做小时,6128乙接着做小时也可以完成.假如甲做小时后由乙接着做,还须要多少小时完成?63【解析】依据题意可知,甲做小时的工作量等于乙做小时的工作量,可见甲做8-6=212-6=61小时的工作量等于乙做小时的工作量.3那么可以用乙做小时来代换甲做小时,可知乙完成全部工作须要31小时,6x3+12=30甲先做的小时相当于乙做了小时,所以乙还须要小时.3930-9=21【巩固】(难度等级派※※)一份文件,假如甲抄10小时,乙抄10小时可以抄完;假如甲抄8小时,乙抄13小时也可以抄完.现在甲先抄2小时,剩下的甲、乙合作,还须要几小时才能完成?【解析】由题意可知,甲、乙合作的效率为,;将甲抄小时,乙抄小时,转81310化为甲乙和抄小时,乙单独抄小时,则乙单独工作的效率为85(111—8x—・(13—8)=—9{10;25所以甲单独工作的效率甲、乙两人的工作效率之比为102550310—:—=3:
2.5025甲先抄小时,这小时的工作量假如两人合作,须要()小时,所以剩下223x2+3+2=J的工作量由甲、乙合作,还须要小时.10-1L8d55【例4(难度等级派※※※※)(2023年北大附中“资优博雅杯”数学竞赛)一项工程,甲先做若干天后由乙接着做,丙在工程完成工时前来帮忙,2待工程完成时离去,结果恰按安排完成任务,其中乙做了工程总量的26一半.假如没有丙的参及,仅由乙接替甲后始终做下去,将比安排推迟天完成;假如3g全由甲单独做,则可比安排提前天完成,还知道乙的工作效率是丙的倍,问安排63规定的工期是多少天?【解析】丙在工程完成一半时前来帮忙,待工程完成时离去,所以乙、丙合做了36全部工程的」;假如丙不来帮忙,这的工程由乙独做,那么乙完成这的11333工程时间将比乙、丙合做多用3天.由于乙的工效是丙的工效的倍,33乙、丙合做的工效之和为乙独做的倍,那么乙独做所用的时间为乙、丙33合做所用时间的士倍,所以乙、丙合做这工的工程所用的时间为331+(±1)=10天.那么乙的工效为L10+(l+3=上.由于在丙来帮忙的状况33334(^下乙共做了工程总量的一半,所以乙工作的天数为天,其中有LL=2O240天是乙、丙在合做,另外天(被分成了前后两段)乙一个人独做.那1010么乙、丙共完成了全部工程的依据题意,这工的工程假LLx\io=2,24031212如由甲独做,只须要-天,那么甲的工效为工+甲完成全部26=1414=.1224工程须要天.由于全部由甲独做可比安排提前天完成,所以原安排工期是24624+6=30天.
(三)比例法【例42】(难度等级派※※)一批零件平均分给甲、乙两人同时加工,两人工作小时,共5完成这批零件的已知甲及乙的工作效率之比是那25:3,3么乙还要几小时才能完成安排的任务?【解析】乙小时完成总工作量的工色―」;乙每小时完成总工作量的二=,;5535+34420乙须要完成的总工作量为乙要完成这个任务还须要的时间L LJL—5=52220(小时)【例43】(难度等级派※※)一项工程,甲15天做了,后,乙加入进来,甲、4乙一起又做了这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完.已知乙、丙的4工作效率的比为整个过程中,乙、丙工作的天数之比为问题中情形下做完整35,21,个工程需多少天?【解析】方法一先把整个工程分为三个阶段、、且易知甲的工作效I nin;率为人.又乙、丙工作的天数之比为所以有阶段和(n+m)m=21,n60阶段所需的时间相等.即甲、乙合作完成的的工程及甲、乙、丙合作in L4完成的工程所需的时间相等.所以对于工作效率有(甲+乙)i__L—_L=L442(甲+乙+丙),甲+乙二丙,那么有丙-乙二人.又有乙、丙的工作效率的X2=60比为易知乙的工作效率为二,丙的工作效率为二.那么这种情形
35.120120下完成整个工程所需的时间为11Q11Q旦=天.15+—+—+j-+—+—+15+6+6=27460120260120方法二明显甲的工作效率为工,设乙的工作效率为那么丙的工作效3%,60率为尤.所以有乙工作的天数为」++」+丙工作的天数为53+3%3+8460260一・F8x.且有—r-F3x+—4-F8X=2X—+------------F8x.即260460260260解得%=」-.所以乙的工作效率为二,丙的工作效LJ_+3%=LJ_+8X,460260120120率为高二.那么这种情形下完成整个工程所需的时间为12011Q11Q天.15+—+—+——+—+—+——=15+6+6=27460120260120【例44】难度等级派※※※甲、乙、丙三村打算合作修筑一条马路,他们原安排按派9:8:3工,后因丙村不出工,将他担当的任务由甲、乙两村分担,由丙村出工资360元,结果甲村共派出45人,乙村共派出35人,完成了修路任务,问甲、乙两村各应分得丙村所付工资的多少元?【解析】丙村出的元钱是不是应当依据甲乙两村派出的人数比即来进行安排呢?36045:35=9:7我们细致思索一下,发觉丙村所出的钱应当是其他两个村帮他完成的工作量,换句话说,我们应当考虑的是甲乙两村各帮丙村出了多少人,然后再计算如何安排甲、乙两村共派出了人,而这人,依据原安排应是甲村派出」一45+35=808080x=36人,乙村派出人,丙村派出人,所以,事实上甲村帮32129+8+3丙村派出了人,乙村帮丙村派出了人,所以丙村拿出的元钱,也45-36=935-32=3360应当按来安排给甲、乙两村,所以,甲村应分得元,乙村9:3=3:1360+3+1x3=270应分得360-270=907U.【例45】难度等级派※※※2023年二中考题某工地用种型号的卡车运输土方.已知甲、3乙、丙三种卡车载重量之比为速度比为运输土方的路程之比为三种10:7:6,6:8:9,15:14:14,车的辆数之比为工程起先时,乙、丙两种车全部投入运输,但甲种车只有一半投
1057.入,直到天后,另一半甲种车才投入工作,一共干了天完成任务.那么,甲种车完1025成|==|【解析】由于甲、乙、丙三种卡车运输土方的路程之比为速度之比为所以它们运15:14:14,6:8:9,输次所需的时间之比为居::若,相同时间内它们运I9【例2】(难度等级)一项工程,甲单独做须要天时间,甲、乙合作须要X3012天时间,假如乙单独做须要多少时间?【解析】将整个工程的工作量看作个单位,那么甲每天完成总量的,,甲、“1”30乙合作每天完成总量的,,乙单独做每天能完成总量的所以12123020乙单独做天能完成.1+,=2020【巩固】(难度等级派)一项工程,甲单独做须要天时间,甲、乙合作须要2112天时间,假如乙单独做须要多少时间?【解析】将整个工程的工作量看作个单位,那么甲每天完成总量的,,甲、“1”21乙合作每天完成总量的,,乙单独做每天能完成总量的所以12122128乙单独做天能完成.28【例3】(难度等级※※)甲、乙两人共同加工一批零件,8小时可以完成任务.假如甲单独加工,便须要12小时完成.现在甲、乙两人共同生产了q小时后,甲被调出做其他工作,由乙接着生产了420个零件才完成任务.问乙一共加工零件多少个?【解析】乙单独加工,每小时加工甲调出后,剩下工作乙需做81224(工次时所以乙每小时加工零件留(个),则小时1-23+=420+=25225824555加工(个),所以乙一共加工零件(个).25x22=60420+60=480【巩固】(难度等级派※)一件工作,甲、乙两人合作30天可以完成,共同做了6天后,甲离开了,由乙接着做了40天才完成.假如这件工作由甲或乙单独完成各须要多少天?【解析】共做了天后,原来,甲做天,乙做天,现在,甲做天,乙62424做40=(24+16)天.这说明原来甲24天做的工作,可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的假如甲独做,所需时间是16/24=2/330+30x3=75天假如乙独做,所需时间是天;甲或乙独30+30x2=5023输的次数比为|:然.在珈天,甲车只有一半投入运用,因此甲、乙、丙的数量之比为由于三种卡车载重量之比为所以三种卡车的总载重量之比为那么三
557.10:7:6,50:35:
42.种卡车在前天内的工作量之比为10图叵飘哈卜孙孙在后天,由于甲车全部投入运用,所
34227.15以在后天里的工作量之比为所以在这天内,甲的工作量及1540:20:
27.2520x10+40x15____________________32总工作量之比为:20+20+27x10+40+20+27x15-79【例46】(难度等级派※※※)(2023年清华附中考题)甲、乙、丙三人承包一项工程,发给他们工资共1800元,三人完成这项工程的详细状况是甲、乙两人合作6天完成了工程的二因为甲有事,由乙、丙合作2天3完成余下工程的L以后三人合作5天完成了这项工程,按完成量的多4少来付劳动酬劳,甲、乙、丙各得多少元?【解析】依据题意可知,甲、乙两人的工作效率之和为二二工;6318乙、丙两人的工作效率之和为+2=甲、乙、丙三人的工作效率之和为义((1_91_45=,分别可求得甲的工作效率为工-工=工,乙的工作效率为,=二,丙的1012601860180工作效率为工一工=则甲完成的工程量为乙完成的工2,,x(6+5)=I,10184560760程量为_Lx(6+2+5)=更,丙完成的工程量为Zx(2+5)=上,三人所完180v718045\,45成的工作量之比为型:UW=33:91:
56.6018045所以,甲应得元,乙应得里=元,丙应得1800x—————=330330x91033+91+5633二56又一兀330=560・33【例47】(难度等级派※※※)一个水箱,用甲、乙、丙三个水管往里注水.若只开甲、丙两管,甲管注入18吨水时,水箱已满;若只开乙、丙两管,乙管注入27吨水时,水箱才满.又知,乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的2倍.则该水箱最多可容纳多少吨水?【解析】由于乙管每分钟注水量是甲管每分钟注水量的倍.那么甲管注入吨218水的时间是乙管注入吨水的时间,则甲管注入吨水的时间及18x2=3618乙管注入吨水的时间比是那么在这两种状况下丙管注水的2736:27=4:
3.时间比为而且前一种状况比后一种状况多注入吨水,则甲4:3,27-18=9管注入吨水时,丙管注入水()吨.189+4-3x4=36所以该水箱最多可容纳水吨.18+36=54【例48】(难度等级派※※※)一个水箱有甲、乙、丙三根进水管,假如只打开甲、丙两管,甲管注入吨水时,水箱已满;假如只打开乙、丙两管,乙管注入3040吨水时,水箱才满.已知乙管每分钟注水量是甲管的倍,
1.5则该水箱注满时可容纳吨水.【解析】方法一乙注入吨水的时间相当于甲注入竺吨水的时间,甲注入
40301.5吨水,丙可注水量为%,那么,乙注吨水丙可注水量为所以40Kx-Lx,
1.530解得%=(吨)为水箱容量30+x=40+—X—%,90,90+30=
1201.530方法二假如只打开甲、丙两管,注满水时甲管注入了吨水;假如只30打开乙、丙两管,注满水时乙管注入了吨水.由于乙管每分钟注水量是甲管的倍,
401.5所以在甲管注入吨水的时间内,乙管可以注入吨水,而在只打开乙、丙两3030x
1.5=45管的状况下乙管共注入了吨水,可见打开甲、丙两管注满水所用的时间是打开乙、40丙两管所用时间的竺倍.可=2408以假设打开乙、丙两管的状况下丙管注了吨水,则打开甲、丙两管的状况下丙管注了吨水,所以有匕+=+得到所以水箱注满时2a340,a=80,88可容纳吨水.在得到第一种状况所用时间是其次种状况所用时间的?倍之后,80+40=120可以假设其次种状况此时乙、丙两管接着注水,总时间为8注满水所需时间的?倍,也就是及第一种状况所用时间相同.此时,注入8的水量也是水箱容积的?倍,即比第一种状况多了,倍.然而此时注水时88间相同,所以丙管注入的水量相同,乙管则注入吨水,比甲管30x
1.5=45多注了吨,所以这吨就是水箱容积的那么水箱容积为45-30=1515L8」=吨.151208【例49】(难度等级派※※※※)有甲、乙两个相同的空立方体水箱,高均为60厘米,在侧面上分别有排水孔A和
3.A孔和3孔距底面50厘米和30厘米,且两孔排水速度相同.现在以相同速度一起给两水箱注水,并通过管道使A孔排出的水干脆流入乙箱.70分钟后两水箱同时注满.假如关闭两孔,干脆将空水箱注满须要分钟.【解析】由于两个立方体水箱上的孔的高度不同,所以在不同的阶段,两个水箱内注水、排水的状况不同,对此可以分阶段进行分析.如图所示,当注水没有超过厘米高度时,水没有达到、两孔的高度,此时两30A3个孔都不排水,所以这个阶段两个水箱都是只注水,所用时间也相同;当水达到厘米高度而又没有达到厘米高度时,甲箱还是只注水,乙箱则既注3050水又排水;当甲箱内的水达到厘米高度时,甲箱起先既注水又排水,而此时乙箱在注50水的同时也在排水,同时孔排出的水也流入乙箱,由于、两孔排水速度相同,所A A3以孔排出、流入乙箱的水及孔排出的水相同,所以这一阶段乙箱相当于只注水.A3由于两水箱同时注满,注满水所用的时间相同,那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同,注入的水量也相同,都是厘米高度的水,那么甲箱的其次个只10注水阶段(即注满厘米高度水的阶段)所用的时间就及乙箱既注水又排水阶段(注满20厘米高度水的阶段)所用的时间相同,那么这时候甲、乙两水箱每分钟注入的水量之10比为可见注水速度是排水孔排水速度的倍.20:10=2:1,2假设只注水注满厘米高度水所用的时间为份,那么对于甲箱来说,它只注水101的时间为份,既注水又排水的时间为)份,所以注满甲箱的总时间为51x2X2-1=25+2=份,为分钟,那么份为分钟.则关770110闭排水孔只注水的状况下,将空水箱注满须要分钟.10x6=6【例50】(难度等级派※※※※)如图,有一个正方体水箱,在某一个侧面相同高度的地方有三个大小相同的出水孔.用一个进水管给空水箱灌水,若三个出水孔全关闭,则须要用1个小时将水箱灌满;若打开一个出水孔,则须要用小时分钟将水5箱灌满;若打开两个出水孔,则须要用分钟将水箱灌满.那么,若三个出水孔全打开,72则须要用多少分钟才能将水箱灌满【解析】设进水管每小时进水单位那么水箱灌满后水的总量为进水管每分1,1,钟进水量为,.由于打开一个出水孔,则须要用分钟将水箱灌满,说6560明一个出水孔在这分钟内的出水量等于进水管分钟的进水量,那么打655开一个出水孔时一个孔出水量为同理可知打开两个出水孔时两A l,6012=个孔出水量为”,,由于打开两个出水孔时比打开一个出水孔时多出605了72—65=7分钟水,所以一个孔每分钟出水量为d-,x2)+7+2=-!-,那512420么开一个孔的实际出水时间为工+,=分钟).这说明在前面的35(12420分钟内进水管进水量恰好达到三个出水孔的高度,在此之前由65-35=3于水箱内的水未达到出水孔的高度,即使出水孔开着也不出水,而水箱内水量达到出水孔的高度后,在进水管进水的同时出水孔起先出水.即在进水管进了」的水后出水孔才起先出水,此时还需进±x30=l,6022」--的水.所以,开三个出水孔所需的时间为(分钟).130+L LX3)=
82.52260420【巩固】(难度等级派※※※※)一个长方体水槽,侧面相同高度的地方开有若干大小相同的出水孔.现用一个进水管给空水槽灌水,若出水孔全关闭,灌满水槽须要用1个小时;若打开一个出水孔,灌满水槽则须要用64分钟;若打开两个出水孔,灌满水槽须要用70分钟.要想能够把水槽灌满,最多可以打开个出水管,经过分钟才能将水箱灌满.【解析】进水管每分钟灌进水槽容积的,.而在开一个出水孔和开两个出水孔的60状况下,出水孔出的水分别是水槽容积的和-LX64-1=A=(-L)606015两次出的水之比是,」=说明水得放到孔所在的高_LX707=W=L2:5,60606156度才能起先出水.设进水分钟后起先出水,则有()(创=解得X64-x:[2x70-2:5,x=
40.那么一个出水孔的出水速度为,-(1-,x40)+(64-40)=」--6060360要想能够把水槽灌满,由于所以最多可以打开个出水孔.,=-LX6,560360打开5个出水孔时,灌满水槽所需的时间为一工x5]=160(分钟).3
(60360)【例5(难度等级派※※※※)(2023年人大附中考题)有一个敞口的立方体水箱,在其侧面一条高线的三等分处开两个排水孔A和已知两孔的排水速度相同且保持不变,现在从水箱上面匀速注水,假如打开A孔,关闭3孔,那么经过20分钟可将水箱注满,假如关闭A孔,打开B孔,则须要22分钟才能将水箱注满,那么两孔都打开,经过分钟才能将水箱注满.【解析】本题须要留意侧高线的不同位置上的两个排水孔起作用的阶段不同,只有当水上升到其高度后排水孔才起先排水,在此之前则是不排水的.(法)方程法.设进水速度为出水速度为立方体水箱的容积为则解此类方程,可1x,y,
1.采纳换元法.设工二一=人原式可以变形为;,解得=a,x x-y L+~U=20-a+-b=2213所以=」J___1__J_x18-24-72Q=182=243所以,打开两个排水孔注满水箱的时间为:噎(分钟).38+*4+-2-26(法)设单开进水管注满水箱的工所需进水时间为分钟,同时开一个进2x3水管及一个出水孔注满水箱的工所需的进水时间为分钟.则y32x+y=20y=
8.x-b2y=22以水箱的看作则进水速度为出水速度为1“1”,L ILL,366824所以灌满水箱最上层的!须要分钟.l,x2]=12)31624那么总共须要(分钟).6+8+12=26(法图示法.3)如图所示,阴影部分表示单开进水管,空白部分表示同开进水管及一个出水管,比较两图,可以看出两图中上、下两格的时间完全相同.则说明单开进水管注满一格的时间比同开两管注满一格的时间少了分钟.22—20=2所以,假设左图三格全黑一一即单开进水管注满水箱,时间为分20-2=18钟,即进水管的进水速度为工;18再假设右图三格全白一一即同开进水管及一个出水管注满水箱,时间为分钟,则其进水速度为,,则一个出水管的出水速度为22+2=2424J____1__J_18-24-72*所以,同时打开两排水管的进水时间为」-)(分L18+1x24+L2xL=263331872钟).【巩固】(难度等级派※※※)一个没有盖的水箱,在其侧面,高和2高的位置33各有一个排水孔,它们排水时的速度相同且保持不变.现在以肯定的速度从上面给水箱注水.假如打开关闭那么分钟可将水箱注满;A3,35假如关闭打开那么分钟可将水箱注满.假如两个孔都打开,那么须要多少分钟才A3,40能将水箱注满?【解析】依据题意可知,要注工水箱的水,开一个出水孔比不开出水孔要多用3分钟,那么不开出水孔时注满水箱需分钟,假如始终开40-35=535-5=30一个出水孔须要分钟.说明每分钟注水量为,,一个孔每分钟排40+5=4530水量为
304590、假如两个孔都打开,须要-乙分钟.30X45X\L22]=55)333^3090
(四)列表法【例52】(难度等级派※※)放满一个水池,假如同时打开1,2,3号阀门,则20分钟可以完成;假如同时打开2,3,4阀门,则21分钟可以完成;假如同时打开L3,4号阀门,则28分钟可以完成;假如同时打开1,2,4号阀门,则30分钟可以完成.问假如同时打开1,2,3,4号阀门,那么多少分钟可以完成?【解析】依据条件,列表如下(画表示阀门打开,画表示阀门关闭)X工作效1号2号3号4号1O O O X201X O O O211O X O O281O OXO30从表中可以看出,每个阀门都打开了三次,所以这个阀门的工作效率之和为4小景看白那么同时打开这个阀门,须要(分钟).34,4【例53】(难度等级※※※)某工程假如由第
一、
二、三小队合干须要12天才能完成;假如由第
一、
三、五小队合干须要7天才能完成;假如由其次、
四、五小队合干须要8天才能完成;假如由第
一、
三、四小队合干须要42天才能完成.那么这五个小队一起合干须要多少天才能完成这项工程?【解析】首先将各个小队之间的组合列成表一队二队三队四队五队工作效率1O O OX X12OOO]_X X7OOO£X X81OOOX X42从表中可以看出,一队、三队在表中各出现次,二队、四队、五队各出现次,那么,32假如将其次、
四、五小队的组合计算两次,那么各种组队的工作效率和中个小队都被5计算了次.所以五个小队的工作效率之和为五个小队一起合干须要3f_L ll-LL=l,++x2+3」=天.16
(127842)66【巩固】(难度等级派※※)A、、C、、E五个人干一项工作,若A、、C、四人一起干B DB须要6天完成;若、C DE四人一起干须要8天完工;B若A、七两人一起干须要12天完工.那么,若E一人单独干须要几天完工?【解析】从题中可以看出,、、、四人每天完成总量的、、£四A BL BC6人每天完成总量的、两人每天完成总量的,,可见,£一人每天L AE812完成总量的值+」[+,,所以一人单独干须要天.2=E1+,=48
(8126)4848【例54】(难度等级派※※※)(2023年十三分入学测试题)某市有一项工程实行公开招标,有甲、乙、丙三家公司参与竞标.三家公司的竞标条件如下:单独完成工程所需公司名称每天工资/万元天数甲
105.6乙
153.8丙
301.7()假如想尽快完工,应当选择哪两家公司合作?须要多少天完成1⑵假如想尽量降低工资成本,应当选择哪两家公司合作?完工时要付工资多少元【解析】⑴假如要想尽快完工,应当选择效率较高的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独做时,每天完成的工作量分别为,、101530所以应当选择甲、乙这两家公司合作.甲、乙两公司合作,完成工程须要的时间为1+(,+_1)=6天;1015⑵假如想尽量降低工资成本,应当选择完成全部工程所需总工资较少的两家公司.由于甲、乙、丙三家公司单独完成全部工程所须要的工资成本分别为万元、万元、万元,所以应当选择甲、丙这两
5.6x10=
563.8x15=
571.7x30=51家公司合作.甲、丙两公司合作须要(工+工)=天才能完成工程,完工时要付的工资1+
7.51030为()兀.
5.6+
1.7xl0000x
7.5=547500【巩固】(难度等级派※※※)一项工程,若请甲工程队单独做需个月完成,4每月要耗资万元;若请乙工程队单独做此项工程需个月完成,每月耗96资万元.5⑴请问甲、乙两工程队合作需几个月完成?耗资多少万元?⑵现要求最迟个月完成此项工程即可,请你设计一种方案,既保证按时5完成任务,又最大限度节约资金.【解析】⑴甲、乙两工程队每月完成的工程量分别占全部工程的工、那么甲、1,46乙合作所需时间为个月;甲、乙合作个月所耗资金为l+d+3=
2.
42.446万元.9+5x24=
33.6⑵甲工程队完成全部工作要耗资万元,乙工程队完成全部工作要9x4=36耗资义万元,乙工程队耗资较少,为了节约资金,应尽量请乙工程56=30队来做,但是乙工程队无法单独在五个月内完成工程,所以还须要请甲工程队来帮助完成一部分工程.所以,在五个月内完成的最好方案为乙工程队做个月,甲工程队做」二个月,即甲、乙两工程队合51_9643作个月后,乙工程队再单独做;个月.233【例55】难度等级派※※※一项工程,假如由甲、乙、丙共同工作,天45可以完成,需付工程款元;假如由甲、乙、丁共同工作,天可以270040完成,需付工程款元;假如由乙、丙、丁共同工作,天可以完成,需付工程款2800362880元;假如由甲、丙、丁共同工作,天可以完成,需付工程款元.现确定将工程承32700包给某一工程队,确保工程要在天以内完成,且支付的工程款尽量的少,那么应当100将工程交给哪一个工程队,支付的工程款是多少元?【解析】⑴甲、乙、丙、丁的工效和是_L+_L+_L+_L+3=^;45403630360甲的工效是上」=上;乙的工效是旦」=’;3603612036030360丙的工效是卫-工=’;丁的工效是旦一=’.36040903604572可见甲、乙、丙、丁完成工程须要的时间分别为天、天、12036090做所需时间分别是天和天.7550【巩固】(难度等级派※)某工程先由甲独做63天,再由乙单独做28天即可完成;假如由甲、乙两人合作,需48天完成.现在甲先单独做42天,然后再由乙来单独完成,那么乙还须要做多少天?【解析】先对比如下甲做天,乙做天;甲做天,乙做天.就知道甲63284848少做二(天),乙要多做二(天),由此得出乙的工作效率是甲的之,63-481548-2820甲先单独做天,比天少做了二(天),相当于乙426363-42214要做天因此,乙还要做二(天),乙还须要做天.21x3=2828+2856563【例4】(难度等级派※)一项工程,甲、乙合作须要天完成,乙、丙合作20须要天完成,由乙单独做须要天完成,那么假如甲、乙、丙合作,153完成这项工程须要多少天?【解析】假如将整个工程的工作量看做单位从条件中我们很简单看出甲+乙=,,乙+丙=“1”,工,乙因此不难得到丙的工作效率为=J_=_L,201530153030因此三个人的工作效率之和为,+,=,,也就是说,三个人合作须要12203012天可以完成本题也可以分别求出甲和丙的工作效率,再将三人的工作效率相加,得到三人合作的总工效.但是这样做比较麻烦,事实上只要将甲乙工效和加上丙的工效就可以了.【巩固】(难度等级派※)一项工程,甲、乙合作须要9天完成,乙、丙合作须要天,由丙单独做须要天完成,那么假如甲、丙合作,完成这项工1236程须要多少天?【解析】法一和上题类似,我们可以有甲+乙乙+丙=,,丙=,不难4,91236求得,乙的工作效率为因此甲的工作效率为从而甲f=_L,12361891818丙合作的工作效率为361812天和天.要确保工程在天以内完成,只能选择丙队或丁队.然后比较选择丙队或72100丁队应支付的工程款.⑵甲、乙、丙每天须要的工程款元;2700+45=60甲、乙、丁每天须要的工程款元;2800+40=70乙、丙、丁每天须要的工程款元;2880+36=80甲、丙、丁每天须要的工程款元.2700+30=90甲、乙、丙、丁每天须要的工程款的总和为(60+70+80+90)+3=100元.甲、乙、丙、丁每天须要的工程款分别是元,元,100-80=20100-90=10元,元.假如由丙队独自完成整项工程,那么须100-70=30100-60=40要支付元;假如由丁队来完成,须要支付元.将两者进行比30x90=270040x72=2880较,丙队的总工程款更少,所以工程应当交给丙【巩固】(难度等级派※※※)一项工程,甲、乙两队合干需W天,需支付工程款元;乙、丙两队合干需之天,需支付工程款元;甲、丙两2208324004队合干需居天,需支付工程款元.假如要求总工程款尽量少,应选择哪个工程队?2400【解析】甲、乙一天完成工程的=』;乙、丙一天完成工程的=色;甲、1+221・33512415丙一天完成工程的》=工.所以,甲的工效为(+工—巴)乙的工299+2=L7201220154效为丙的工效为二二」.甲、乙一天需工程款124620410(元);乙、丙一天需工程款=(元)2208-2-=9202400+3640;54甲、丙一天需工程款(元).所以,甲一天的工程款为2400+29=8407(920+840-640)+2=560(元);乙一天的工程款为920-560=360(元)・丙一天的工程款为(元).单独完成整个工程,甲队需工程款840-560=280(元);乙队需工程款(元);丙队需工程款560x4=2240360x6=2160(元).所以应当选择乙队.280x10=2800WHjH课后练习即甲丙合作天能完成12法二仍旧视察上面那三个等式,我们能否不求出每个人的工作效率,而同过整体的运算干脆得到“甲+丙”的值呢?不难发觉,我们只要把乙消掉就可以了;因此我们有(甲+乙+丙x2)-(乙+丙)=甲+丙,也就是说甲+丙=,+《*卷=卷,所以甲丙合作天能完成2-12(难度等级派※)一件工作,甲、乙两人合作36天完成,乙、丙两人合作45天完成,甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做须要多少天完成?【巩固】设这件工作的工作量是甲乙两人合作每天完成,,甲丙两人合作每lo36天完成,,乙丙两人合作每天完成,,甲、乙、丙三人合作每天完成6045(,+,+),减去乙、丙两人每天完成的工作量,甲每天完成-1+2=0=36456018030甲独做须要工=天答甲一人独做须要天完成.1+909030459090【解析】(难度等级派※)一件工程,甲、乙两人合作8天可以完成,乙、丙两人合作6天可以完成,丙、丁两人合作12天可以完成.那么甲、丁两人合作多少天可以完成?甲、乙,乙、丙,丙、丁合作的工作效率依次是、,.对于工作效18612率有(甲,乙)+(丙,丁)一(乙,丙)二(甲,丁).即—工二甲、-L,812624【巩固】丁合作的工作效率为所以,甲、丁两人合作天可以完成这件工程.2424(难度等级派※)一项工作,甲、乙两人合做8天完成,乙、丙两人合做9天完成,丙、甲两人合做18天完成.那么丙一个人来做,完成这项工作须要多少天?方法一对于工作效率有(甲,乙)+(乙,丙)一(丙,甲)二乙,即2W8【解析】9一工二上为两倍乙的工作效率,所以乙的工作效率为旦.而对于工作效1872144率有,(乙,丙)一乙二丙,那么丙的工作效率为_一旦那么丙一个J=J_914448人来做,完成这项工作需二天14848【巩固】方法二2(甲,乙,丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)=+_L+_L=4,891872所以(甲,乙,丙)二百幺,即甲、乙、丙人合作的工作效率为幺.那+2=372144144么丙单独工作的工作效率为那么丙一个人来做,完成这项2—144848工作需天.48【解析】【例5】(难度等级※※※)一池水,甲、乙两管同时开,5小时灌满;乙、丙两管同时开,4小时灌满.现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满.乙单独开几小时可以灌满?【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了,依据“现在先开乙管6小时,还需甲、丙两管同时开小时灌满”,我们可以把乙管的小时分成个2632小时,第一个小时和甲同时开,其次个小时和丙同时开,第三个小时乙管单独222开.这样就变成了甲、乙同时开小时,乙、丙同时开小时,乙单独开小时,正222好灌满一池水.可以计算出乙单独灌水的工作量为」」=,,所以乙的工作效率为()I x2x21,6-2-2=±,54101020所以整池水由乙管单独灌水,须要(小时).1+,=2020【例6】(难度等级派※※)年四中考题)某水池可以用甲、乙两个水管(2023注水,单开甲管需小时注满,单开乙管需小时注满,若要求小时注满水池,122410且甲、乙两管同时打开的时间尽量少,那么甲、乙最少要同时开放小时.【解析】要想同时开的时间最小,则依据工效,让甲“满负荷”地做,才可能使得同时开放的时间最小.所以,乙开放的时间为(1」、1()]」=4(小时),)[1224即甲、乙最少要同时开放小时.4【例7】(难度等级派※※)一个蓄水池,每分钟流入4立方米水.假如打开5个水龙头,2小时半就把水池水放空,假如打开8个水龙头,1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头,问要多少时间才能把水放空?【解析】先计算个水龙头每分钟放出水量.小时半比小时半多分钟,多流入水121604X(立方米).时间都用分钟作单位,个水龙头每分钟放水量是(60=2401240+5X150-)(立方米),个水龙头个半小时放出的水量是其中分钟内8X90=8818X8X90,90流入水量是因此原来水池中存有水(立方米).打开4X90,8X8X90-4X90=540013个水龙头每分钟可以放出水除去每分钟流入其余将放出原存的水,放空原存8X13,4,的须要()(分钟).所以打开个龙头,放空水池要分5400,54004-8X13-4=541354钟.水池中的水,有两部分,原存有水及新流入的水,就须要分开考虑,解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.【例8】(难度等级派※※※)有10根大小相同的进水管给
4、8两个水池注水,原安排用4根进水管给A水池注水,其余6根给8水池注水,那么5小时可同时注满.因为发觉A水池以肯定的速度漏水,所以改为各用5根进水管给水池注水,结果也是同时注满.(I)假如用10根进水管给漏水的A水池注水,须要多少分钟注满?
(2)假如增加4根同样的进水管,A水池仍旧漏水,并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变,那么要把两个水池注满最少须要多少分钟?(结果四舍五入到个位)【解析】设每只进水管的工效为那么池容量为池容量为“1”,A4X5=20,B6X当用根进水管给池灌水时需小时,而在小时内5=
30.5B30^5=665只其水管给池也是灌有的水,所以漏了因此漏水的工效为()A3030—20=10,10+6=*.1用根进水管给漏水的池灌水,那么需10A3小时=分钟.⑵设池需%根,那么池需根,20+10-$=
2.4144AB14r有%-所以有化简解得%=所以池用根或根进水:14-%=2:3,28-2x=3%-5,66A76管,此时对应所需时间,分别为
①当池用根进水管时根水管,需时间小时=分钟;根水A7A720+7-3=33225B7管,需时间型小时=分钟.此时要把两个水池30+7=2577注满最少须要分钟;257
②当池用根进水管时根水管,需时间的小时A6A620X6-3=2771分钟;根水管,需时间二身小时分钟.此时要把两个水池B830・8=2254注满最少须要分钟.所以,要把两个水管都注满,最少需分钟,根水管注2772577A池,根水管注池.7B【例9】难度等级派※※甲、乙两辆清洁车执行东、西城间的马路清扫任务.甲车单独清扫需小时,乙车单独清扫需小时,两车同时从东、西城相向开出,相遇时甲1015车比乙车多清扫千米.问东、西两城相距多少千米?12[解析]法一先求出甲、乙相遇的时间》_小时;L+_L=61015甲清扫全长的,=,乙清扫了全部的,所以东、西两城相距x6X6=2;105155平二]千米.12=605J法二因为时间相等,路程比等于速度比,这样相遇时甲、乙清扫的路程比是—:―=3:2,1015甲行了全程的,乙行了全程的全程就是+已—]千米.3,122=603+23+255【例10】难度等级派※※一项工程,甲单独完成须要天,乙单独完成须要天.若甲129先做若干天后乙接着做,共用天完成,问甲做了几天?10【解析】依据题意可知,甲的工作效率为乙的工作效率为采纳鸡兔同笼问,,L129题的假设法,可知甲做了()」)=天.L10—149912【巩固】(难度等级派※※)一项工程,甲队单独做天可以完成,甲队做了208天后,由于另有任务,剩下的工作由乙队单独做天完成.问乙队单15独完成这项工作需多少天?【解析】方法一甲的工作效率为,,甲队天的工作量为所以乙队8_LX8=2,1520205天的工作量为「乙的工作效率为所以乙队单独完成这项2=3,3・15=,,55525工作须要天25方法二此题可以用代换法解,甲天工作量等于乙天工作量,乙1215的工作效率为甲的百,乙独做的时间为(天)20+±=2555【例1(难度等级派※※)年十三分小升初入学测试题)一项工程,甲(2023单独做天完成,乙单独做天完成.现在两人合作,中间甲因病休4060息了若干天,所以经过了天才完成.问甲休息了几天?27【解析】法一在整个过程中,乙没有休息,所以乙一共干了天,完成了全部60工程的还有是甲做的,所以甲干了口+工=(天),,X27=2,=U22602020202040休息了(天).27-22=5法二假设中间甲没有休息,则两人合作天,应完成全部工程的27超过了单位的」,则甲休息了(天).(,+L)X27=2,“1”2-1L_L=54060888840【巩固】(难度等级派※※)一项工程,甲单独做天完成,乙单独做天完203成.甲、乙合作了几天后,乙因事请假,甲接着做,从开工到完成任务共用了天.乙请假多少天?16【解析】法一甲一共干了天,完成了全部工程的还有是乙做16,xl6=J20555的,所以乙干了天),休息了(天),请假天数为L=6(16-6=1530。