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3.4生活中的优化问题举例【选题明细表】学问点、方法题号几何中的最值问题1,4,10用料最省、费用最省问题6,8,11利润最大问题5,7,9其他问题2,3【基础巩固】
1.一个箱子的容积与底面边长x的关系为Vx=x2竽0〈x60,则当箱子的容积最大时,X的值为B A30B40C50D60解析:Vx=-^3+302,Vz x=-12+60,X X X X令V x=0,得x=40x=0舍去,且当0x40时,V,x0,当4Xx60时V x0,故Vx在x=40时取得最大值.故选B.
2.炼油厂某分厂将原油精炼为汽油,需对原油进行冷却和加热,假如第x小时,原油温度单位:C为f xWx3_x2+80WxW5,那么,原油温度的瞬时变更率的最小值是C A8Bf C-l D-8解析:原油温度的瞬时变更率为f x=x2-2x=x-12-10WXW5,所以当x=l时,原油温度的瞬时变更率取得最小值T.故选C.
3.将8分为两个非负数之和,使其立方和最小,则这两个数为BA2和6B4和4C3和5D以上都不对解析:设一个数为X,则另一个数为8-X,其立方和y=x+8-x3=83-192x+24x2且OWx8,yz=48x-
192.令y=0,即48x-192=0,解得x=
4.当0Wx4时,y0;当4x8时,yz0,所以当x=4时,y取得微小值,也是最小值.故选B.
4.假如圆柱轴截面的周长1为定值,则体积的最大值为A A^3Ji B53n CG3n D31r解析:设圆柱的底面半径为r,高为h,体积为V,则4r+2h=l,所以V=Ji r2h=^Ji n r30r^.贝lj V,=1n r-6nr2,r2-2令V=0,得r=0或总,而r0,所以r]是其唯一的极值点.所以当r]时,V取得最大值,最大值为GF n.故选A.
5.2023•石家庄高二质检某银行准备设一种新的定期存款业务,经预料,存款额与存款利率的平方成正比,比例系数为k k0,贷款的利率为
4.8%,假设银行吸取的存款能全部放贷出去.若存款利率为xx£0,
4.8%,则使银行获得最大收益的存款利率为A A
3.2%B
2.4%C4%D
3.6%解析:依题意知,存款额是kx;银行应支付的存款利息是kx\银行应获得的贷款利息是
0.048kx2,所以银行的收益是y=
0.048kx2-kx30x0,048,故=
0.096kx-3kx
2.y令y令,解得x=
0.032或x=0舍去.当0x
0.032时,y〉0;当
0.032x
0.048时,y
0.因此,当x=
0.032时,y取得极大值,也是最大值,即当存款利率定为
3.2%时,银行可获得最大收益.故选A.
6.如图所示,某厂须要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边须要砌新的墙壁,当砌壁所用的材料最省时,堆料场的长和宽分别为.解析:要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短,设场地宽为X米,则长为十米,因此新墙壁总长度L=2x+v(x0),则L=2一三.M,512令L=0,得x=±
16.因为x0,所以x=
16.当x=16时,人=64,此时堆料场的长为禁32(米).答案:32,
167.(2023长春高二月考)某厂生产某种产品x件的总成本c(x)=l200+款(万元),・已知产品单价的平方与产品件数X成反比,生产100件这样的产品单价为50万元,则产品件数定为件时,总利润最大.解析:设产品的单价为P万元,依据已知,可设pJ其中k为比例系数.因为当x=100时,p=50,所以k=250000,匚口、[所以P二^^,P=;F,x
0.2250000500设总利润为y万元,贝lj y二百•X-1200一元xJ500行五xL
1200.rI5002Q2Q求导数得,y一》急)令y=0得x=
25.故当x25时,y0;当x25时,y
0.因此当x=25时,函数y取得极大值,也是最大值.答案
258.(2023•南宁高二检测)现有一批货物由海上从A地运往B地,已知轮船的最大航行速度为35海里/时,A地至B地之间的航行距离约为500海里,每小时的运输成本由燃料费和其余费用组成,轮船每小时的燃料费与轮船速度的平方成正比(比例系数为
0.6),其余费用为每小时960元.⑴把全程运输成本y(元)表示为速度x(海里/时)的函数;⑵为了使全程运输成本最小,轮船应以多大速度行驶解⑴依题意得y二号(960+
0.6x9=警+300x,且由题意知,函数的定义域为(0,35],⑵由⑴知,二+300,令y=0,y X2480000即y=^+300x0x
35.解得x=40或x=-40(舍去).因为函数的定义域为(0,35],所以函数在定义域内没有极值点.又当0xW35时,yz0,所以尸+300x在(0,35]上单调递减,故当x=35时,函数y=+300x取得最小值.故为了使全程运输成本最低,轮船应以35海里/时的速度行驶.【实力提升】
9.(2023•西安高二质检)某商场依据以往规律预料某种商品2023年第x月的销售量f(x)=-32+40(£N*,1W W12),该商品的进价q(x)与月份x的关系是q(x)=L50+2xX X X X(x£N*JWxW12),该商品每件的售价为185元,若不考虑其他因素,则此商场今年销售该商品的月利润预料最大是(B)A3120元B3125元C2417元D2416元解析:该商场预料销售该商品的月利润为gx=-3x2+40x185-150-2x=63-1852+1400xxeN\lx12,XX=182-370+
1400.g‘XXX令g x=0,解得x=5,x=等舍去.当1WxW5时,g,x0;当5x12时,gz x0,所以当x=5时,gxmax=g5=3125元.综上,5月份的月利润最大,是3125元.故选B.
10.2023•杭州高二检测在半径为r的半圆内有一内接梯形,其下底为直径,其他三边为圆的弦,则梯形面积最大时,该梯形的上底长为D A”⑻女C枭Dr解析设梯形的上底长为2x0xr,高为h,面积为S.所以S=2r;2*Jr
2.%2=r+x•y/r2-X
2.ll i\Ic tr~5所以S=-二二一22p^5+x r-rx-2x令S=0,得x=x=-r舍去,r-2xr+x则h—r.当x£0,0时,S,0;当白x〈r时,S,
0.所以当xW时,S取极大值,也就是最大值.所以当梯形的上底长为r时,它的面积最大.【探究创新】
11.(2023•宁波高二检测)某公司租地建仓库,每月土地占用费十(万元)与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2(万元)与到车站的距离成正比,假如在距离车站10千米处建仓库,w和丫2分别为2万元和8万元.那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站千米处.解析:设仓库与车站相距x千米,依题意可设每月土地占用费用,每月库存货物的运费y=k x,其中x是仓库到车站的距离,L,kz是比例系数,22于是由2二卷得ki=20;由8:10k2得k=|.2所以两项费用之和为Y=4
(0),T Xy/=-7+|,令y,=0,得x=5或x=-5(舍去).当0x5时,y0;当x5时,
0.所以当x=5时,y取得微小值,也是最小值.所以当仓库建在离车站5y千米处时,两项费用之和最小.答案5。