还剩5页未读,继续阅读
文本内容:
排列、组合及二项式定理
一、计数分类加法计数原理和分步乘法计数原理f.分类加法计数原理定义1完成一件事,可以有〃类办法,在第一类办法中有如种方法,在第二类办法中有如种方法,,在第〃类办法中有恤种不同的方法,那么,完成这件事情共有N=g+m2+…种不同的方法.分步乘法计数原理定义
2.完成一件事情需要经过几个步骤,缺一不可,做第一步有如种方法,做第二步有他种方法,……,做第〃步有加〃种方法,那么完成这件事共有N=mi根
2..〃〃种不同的方法.分类加法计数原理与分步乘法计数原理区别与联系
3.联系;都涉及完成一件事情的不同方法的种数.区别分类加法计数原理与分类有关,各种方法相互独立,用其中的任一种方法都可以完成这件事;分步乘法计数原理与分步有关,各个步骤相互依存,只有各个步骤都完成了,这件事才算完成.分类分步标准
4.分类就是一步到位,
(1)类与类之间要互斥;
(2)总数完整分步是局部到位,
(1)按事件发生的连贯过程进行分步;
(2)步与步之间相互独立,互不干扰;
(3)保证连续性一排列与组合排列
1.(D排列定义从〃个不同元素中,任取加(m个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从〃个不同元素中取出m个元素的一个排列.()排列数公式Ah=2)…(〃一加+1)或写2成几!A*=(〃一〃)!.特殊:A n=n!=n(n-1)!n()特征有序且不重复
3.组合2()组合定义从〃个不同元素中,任取加个元素组成一组,1叫做从〃个不同元素中取出根个元素的一个组合./、/r人皿八4〃(几—1)(〃-2)…(〃—根+1)-「人
(2)组合数公式——-——―-------------------------------或写成A m!mcm=n m!m)!(几一⑶组合数的性质
①c*=cm
②C猿产C*+C「
1.()特征有序且不重复
4.排列与组合的区别与联系3区别排列有序,组合无序联系排列可视为先组合后全排.基本原则
(1)先特殊后一般;
(2)先选后排;
(3)先分类后分4步一排列组合的应用(常用方法直接法,间接法).抽取问题1()关键特殊优先;1()题型
①把n个相同的小球,一次性的放入到m个不同的盒2子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?Cmn
②把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?Amn
③把n个相同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子放球数目不限,有多少种不同的方法?mn
④把n个不同的小球,放入到m个不同的盒子中(nWm),每个盒子至少1个,有多少种不同的方法?Amn
⑤把n个相同的小球,依次性的放入到m个不同的盒子中(nNm),每个盒子至多1个,有多少种不同的方法?CJT隔板法.排序问题特殊优先2()排队问题1对n个元素做不重复排序A「;1对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定)排列4;4;2如果对n个元素进行(其中有m个元素的位置固定,k个元素的位置固定)排列4A相邻问题一捆绑法(注意松绑);3
④不相邻问题(a)一方不相邻一先排没要求的元素,再把不相邻的元素插入空位;(b)互不相邻先排少的在插入多的;⑵数字问题;
①各位相加为奇数的——奇数的个数是奇数;
②各位相加为偶数的——奇数的个数是偶数;
③组成n为偶数(奇数)的数一一特殊优先法;
④能被n整除的数——特殊优先法;
⑤比某数大的数,比某数小的数或某数的位置一一从大于(小于)开始排,再排等于;⑶着色问题
①区域优先——颜色就是分类点;
②颜色优先——区域就是分类点.
(4)几何问题:
①点、线、面的关系一般均为组合问题;
②图中有多少个矩形C62c42;从A到BA的最短距离C;⑸分组、分配问题
①非均分不编号;n个不同元素分成m组,每组元素数目均不相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽Cm\「啊.n V-z n-m-ml2
②非均分编号;n个不同元素分成m组,每组组元素数目均不•A相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽CfC〃-〃L”
③均分不编号;n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等,且不考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽J GiCf飞……/
④均分编号;n个不同元素分成m组,其中有k组元素数目均相等,且考虑各组间的顺序,不考虑是否分尽(C CL.CL,-,/……/履)4;
二、二项式定理.定理3+A〃=〃“—%+优厂2829/一必TF1C/°+CH曲%,C r=0,l,2,…i..二项展开式的通项2,n,其中叫做二项式系数.Tr+i=CCF,r=0,l,2,…C.二项式系数的性质3
①对称性与首末两端“等距离”两项的二项式系数相等,即』=「\….C2=C3C CJfi,…,C£=C
②最大值当〃为偶数时,中间的一项的二项式系数取得最太值;当卸为奇数时,中间的两项的三项式系数相等,且同时取得最大值.
③各二项式系数的和a.;;〃;C!!+C[+CZ+…+CS+…+C=2b.C+CH•…+C+—=C;+C+…+C”]+…=1-277=277-1一二项式定理的应用
1.求通项;T=Can-rbrr+l n
2.含「的项
①项的系数;
②二项式系数x
3.常数项含xr的项中r=0整数项含xr的项中r£N有理项含父的项中r£Z无理项含必的项中rgZ
4.项的系数和1已知多项式f x=a+bxna,bO=ao+aix+a x2+,,,+anXn:2
①a=f0@a+ai+a+---+a=f⑴=a+bn;02n
③la|+国|+区!+,••+1a|=f1=a+b11;n⑴/+/-
1.®a+a+a+---=2,024
⑤为++%+…二.TF;2®a+a+a+---2-ai+a+a+---2=f1f T024352已知多项式f x=a-bxna,bO=a+aix+a x24*+a xn:2n
①a=f0@a+a+a+*--+a=f1=a-bn;012n
③||+||+1a|+,,•+1a|二f-1=a+b11;n⑴/+/-
1.@a+a+a+---=2024
⑤为+……二/⑴…;2®a+a+a+---2-a,+a+a+---2=f1f T024353已知多项式f x=ax-bna,bO=a+aix+a x2+**,+a xn:2n令gx=-1nb-axn
①a二f0@a+ai+a+---+a=f⑴=a-bn;02n@|a|+|ai|+|a|+---+|a|=|-1|g-102n⑴/+/-
1.®a+a+a+--*=2,024@ai+a+a5+,,,=j^—°;23@a+a+a+---2-ai+a+a+**-2=f lf-
⑥024354已知多项式f x=-ax-bna,b〉O=a+aix+a2X+…令gx=-1nax+bn
①a二f0@a+ai+a+---+a=f1=a-bn;02n
③|a|+1i|+!+•••+1a|=|-ln|gln/⑴+/-
1.@a+a+a+---=2,024
⑤a+a/⑴22@a+a+a+---2-ai+a+a+---2=f1f T
024355.最值问题
①二项式系数最大a当n为偶数时,二项式系数中,最V-/n大;b当n为奇数时,二项式系数中,o区和C亍最大
②项的是系数最大耳表示第r+1项的系数1r=la个项都为正数时nCr最大;工之“…b一项为正一项为负时[川””二5最大I\c TC T川1r+\1r-\。