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文本内容:
对数的概念单元教学设计单元主题人教社版必修课高一数学必修第一册第四章指数函数与对数函数.单元内容1指数函数和对数函数是两类重要的基本初等函数在第三章“函数的概念和性质”中研究函数的一般方法的指引下,本章让学生借助研究幕函数的经验,学习这两类新的重要的基本初等可数--指数函数和对数函数,认识它们的变化规律,进一步理解函数的概念,并利用这两类函数建立数学模型解决实际问题数及其运算的产生和发展是推动数学发展的重要源泉和动力数、式、方程、函数等内容的基础是数及其运算,函数是数及其运算的延伸和发展对于指数函数,本章首先引导学生经历从整数指数幕到有理数指数哥再到实数指数事的拓展过程,建立实数指数嘉的概念,并研究其运算,为指数函数y=Q〃(a0,且aWl)的学习奠定基础;然后,教科书通过典型丰富的实际问题,抽象概括出指数函数概念;最后,重点研究指数函数的图象、性质和应用同样,在建立对数的概念、研究其运算,以及研究指数函数的基础上,研究对数函数的概念、图象、性质及其应用.单元学情2在初中阶段学生已经掌握了正整数指数累的定义及其运算性质,随着新知识学习的新要求,正整数指数幕已经不能满足学习的需要了本章将正整数指数募的概念与运算推广到了实数范围,在对幕概念进一步理解的基础上引人幕函数、指数函数、对数手数,学习其相关性质与应用通过探究、发现、感悟等形式,让学生体会指数函数与对数示数广泛的实际应用掌握本章内容,对学生今后的学习、实践将会产生重要的景响3・单元目标
1.了解指数函数模型的实际背景,理解有理数指数塞的意义,通过具体实例了解实数指数幕的意义;
2.理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号及意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图像,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点),通过应用实例的教学,体会指数函数是一种重要的函数模型;
3.理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,了解对数的简化运算的作用;
4.通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax的符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型;
5.能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图像,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点);.单元实施:4单元主要内容课时对数函数的概念1教材分析本节课选自年人教必修第一册第四章第节《对数的概念》在此前学生已经学习了指数及指数函数,明白了指数运算是已知底数和指数求嘉值,而对数是已知底数和2019A431累求指数,二者是互逆的关系,对数概念的学习既加深了学生对指数的理解又为后续对数运45=
64.⑶R=27;F例2求下列各式中的x的值2llog6U=—Q;2logA8=6;3lg100=x;4—In e2=x33[解]lx=64,=43=421112%6=8,所以X=X6^=8^=236=2,=也,310=100=IO,于是x=
2.4由一lne2=x,得一x=lne2,即e~x=e2,所以x=-
2.规律方法要求对数的值,设对数为某一未知数,将对数式化为指数式,再利用指数累的运算性质求解[探究问题110g〃N
1.你能推出对数恒等式M,且存1,N0吗?通过问题探究进一步理解对数的概念,并提示因为优=N,所以%=log〃M推出对数的相关性质,lOgaN发展学生数学运算和代入ax=N可得a=N.逻辑推理核心素养;
2.如何解方程log4log3X=0提示借助对数的性质求解,由10g410g3X=10g L得kg3X=l,A%=
3.4例3设51og2x-1=25,贝lj x的值等于5A.10B.13C.100D.±1002若log3lg x=0,则x的值等于思路探究:⑴利用对数恒等式6/log N a=N求解;2利用log a=l,log1=0求解.a alog52x—11B210[⑴由5=25得2x—1=25,所以x=13,故选B.2由log3lg尤=0得1g x=b;・x=
10.]归纳总结:
1.利用对数性质求解的2类问题的解法1求多重对数式的值解题方法是由内到外,如求log/ogbc的值,先求logbC的值,再求log Jog〃的值.2已知多重对数式的值,求变量值,应从外到内求,逐步脱去“log”后再求解.logaN
2.性质a=1^与]ogcib=b的作用alOgJVltz=N的作用在于能把任意一个正实数转化为以〃,为底的指数形式.2logM=b的作用在于能把以a为底的指数转化为一个实数3教学环节课堂练习
三、当堂达标
1.在〃=10g3〃2—1中,实数机的取值通过练习巩固本节所学范围是知识,巩固对数的概念A.R B.0,+oo及其性质,增强学生的C.—oo,1D.1,+oo数学抽象、【答案】D[由根一10得加1,故选]D.
2.下列指数式与对数式互化不正确的一数学运算、逻辑推理的组是核心素养A.10°=1与1g1=0B.27—3与1唯73—-31C-log39=2与92=3D.log55=1与51=5【答案】[C不正确,由log9=2可得C332=
913.若log2log9=1,则x=________.A【答案】[由10g10g,r9=l可知32log19=2,即f=9,・・.x=3x=—3舍去.]logs
24.log33+3=_________.Iogs2【答案】[log3+333=1+2=
3.]
5.求下列各式中的x值32llog27=2;2log x=11;v23x=log271;4x=logj_
16.2332【答案】⑴由1陶27=5,可得x=27,22Ax=27=33=32=
9.22—32由log2X——可得x=2,・・x2=屋需聿3由x—log279,可得27八一9,••33A,29=32,X4由x=log,16,可得Q=16,22-x=24,Ax=—
4.教学环节小结思考布置作业
四、小结学生根据课堂学习,自主总结知识要点,及运
1、对数的概念,指数式与对数式的用的思想方法注意总转化;结自己在学习中的易错
2、对数的性质及运用;点
五、作业
1.课时练
2.预习下节课内容教学环节板书设计对数
1、指对互化
4、典例分析
5、总结例
1、例
2、
2、两个对数例
3、
6、作业
3、对数的基本性质每母母扫一扫二维码不定期关注学科网服务号日领取教领一键获取所有服务,满足需求券更快一步辅图书分推专享送享及学科名甄超校选网独家低名教价师学试卷专私资享源属客服课清回复教学模板程快一步领取套教学模板35ppt及获取服课务算和对数函数学习做充分准备,起到承上启下作用使“概念■运算■函数”研究路径的再一次强化同时,通过对数概念的学习,对培养学生相互联系、相互转化的思想及逻辑思维能力都具有重要的意义学情分析、认知基础1学生已学习了指数、幕的运算性质、指数函数的图象及性质,这为学生发现对数的存在,理解对数的概念奠定了理论基础,同时学生了解了研究函数的一般方法,逐步积累了从具体到抽象、从特殊到一般的研究经验,并且具有一定的探究能力、逻辑思维能力、学生情况2学习的自主性较差,缺乏主动性,有依赖性且缺乏信心、认知障碍3对数的概念作为全新的知识对学生来说理解上有一定的困难不能将对数与普通的数平等对待,不理解对数的概念,只能够进行表面上的形式转换教学目标、知识目标1理解对数的概念,了解对数与指数的关系;掌握对数式与指数式的互化;理解对数的性质,掌握以上知识并形成技能、核心素养目标2借助指数式与对数式的互化及应用对数的性质解题,培养逻辑推理、数学运算素养.在实际问题中建立对数概念,培养学生数学建模核心素养、情感态度目标3经历对数的发现过程,理解引入对数的必要性,激发学生的求知欲和学习的兴趣,使学生了解数学知识的功能与价值,形成主动学习态度教学重难点、重点对数的概念、指数式与对数式的相互联系与转化
1、难点对数概念的合理生成与深刻理解2教学方法整个教学过程以学生为中心,以问题为载体,采用引导发现、合作探究,讲练相结合的变式教学方法课堂中应注重创设师生互动、生生互动的和谐氛围,加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程,以问题引导学生的思维活动,同时时课堂上注重渗透数学思想方法,给与学生充分的思考时间,开放学生的思维教学过程
(一)创设情境,导入新课2X=83=9引例
(1)请各位同学口算5”=6252X一万
(2)在421的问题1中,通过指数累运算,我们能从y=中求出经过4年后B地景区的游客人次为2001年的倍数y.反之,如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍,3倍,4倍,…,那么该如何解决?师生活动学生通过题意转化问题,列出方程实际就是求方程中的X问题1这里x的值存在且唯一吗?可以用实数表示吗?师生活动学生通过复习指数函数知识画出图像,根据单调性,并发现x的取值是存在且唯一,但发现无法表示X设计意图让学生根据题意引例一可以用实数来表示,但引例二通过指数函数知识发现x的值存在且唯一,但无法表示,使学生产生认知冲突,激发学生的求知欲,培养学生的探究意识也通过实际问题说明对数存在的必要性,体会数学的应用价值
(二)启发探究,引出概念引例追问1:此类方程的共性是什么?师生活动学生回答是已知底数和寻求指数,教师将问题进一步一般化转化为一般地,在优=%(0且1)中已知Q,N则X二?师生活动学生探究思考,教师引导学生回顾数的运算发展
(1)已知4+X=N,求X引入减法尤=TV—6ZV,”为偶数3已知x〃=N,求x引入开方上=,a为奇数
(2)已知ax=TVw0),求x引入除法%=那已矢口v(且)求%,引入什么符号呢?对数a=Na0a w1,设计意图引导学生将问题归为已知底数和嘉的值求指数,这是一个从具体到抽象的过程,对培养学生抽象素养起着重要的作用同时回顾数的运算让学生对后续对对数符号的理解更深刻,使对数概念的引入更加自然易于学生接受对数定义一般的,如果a=NaOKa1,那么数x叫做以a为底N的对数记作x=loga N其中,叫做对数的底数,N叫做真数.读作以〃为底,N的对数师生活动1教师强调对数是一种运算符号,注意书写方式log7是确定的数不可分开书写学生仔细研读概念,确定概念中每个字母读法和含义2:将引例中x用对数表示一下三问题探究,深化概念问题2根据对数定义,思考指数式与对数式之间的关系师生活动通过观察对比后请同学说说自己的发现,教师进行总结:x eR]总,N0数]ax=N—*log aN=X思考1为什么定义中要求a0且owl2是否所有的实数都有对数呢?师生活动学生通过回顾指数对底数规定的原因,及指数函数的定义域与值域,回答问题,教师给予纠正和评价,并突出突出重点0和负数没有对数设计意图进一步让学生了解对数与指数的关系,明确对数式与指数式的区别,突出本节课的学习重点a,x,N,位置的不同,它们的含义、互化,体现了等价转化数学思想正确理解对数定义中底数和真数的限制,为以后对数函数的定义域的确定做准备两类特殊的对数1通常我们把以10为底的对数叫做常用对数,简记为log1°N=lgN2在物理、化学、建筑学等自然学科中还经常用到以无理数e=
2.
71828...为底的对数,叫做自然对数,简记为log7V=lnZr四合作探究,得出结论小组合作探究求下列各对数的值llog1,1g1,In132log3,lglOJn^3思考通过上面的运算,你发现了什么规律吗?师生活动分小组合作讨论,由小组派选代表展示结论教师进行总结共同获得知识:对数的性质()的对数是零11()底数的对数是〃21log a=1设计意图通过练习与小组讨论的方式,让学生参与知识形成的过程,通过类比总结出对数的性质,从而能更好的理解和掌握对数的性质为后续对数运算打下基础同时培养了学生合作探究精神及类比,归纳的能力
(五)例题演练巩固提升例题演练415=625,2-=
5.73,3log J16=—42,()14lg
0.01=—25ln10=
2.303,62-6例L将下列指(对)数式化为对(指)数式:64师生活动学生独立完成例1,教师巡视给予指导教师投影展示答案例2求下列各式中的x的值llog%=—1,2log8=664x3lgl00=x,4-In=x师生活动例2请学生板演,学生批改,教师点评指正,并用PPT展示标准答案设计意图通过对数式与指数相互转化的训练加深对对数概念的理解,训练学生的逆向思维,同时也揭示了数学中“概念”的重要性和应用性.提升学生的数学素养
(六)归纳小结
1、对数的概念,指数式与对数式的转化;
2、对数的性质及运用;
3、思想方法转化、类比、由特殊到一般
(七)布置作业
1、必做完成课本123页练习部分
2、证明X寸数,直等式a z=Z板书设计对数的概念
1、对数的定义
2、对数式与指数式互化
3、对数的基本性质巩固训练创设问题情境,导入新课引导学生将问题归为引例追问教师在总结追问1的基础上提出问已知底数和嘉的值,题
2.求指数,这是一个从追问1:此类问题的特点是什么?追问2学生思考问题
2.具体到抽象的过程,怎样求指数呢?一般地,在优=N6Z对培养学生抽象素养目.以中已知aN则x=起着重要的作用同时回顾数的运算让学回顾数的运算发展,思考问题1已矢生对后续对对数符号口々+X=N,求工引入减法x=N-a学生回忆并思考,激起强烈获取新的理解更深刻,使概2己知=NawO,求x知欲望,教师顺势引入对数的概念念的引入更加自然引入除法工=~a概念一般的,如果3已知x=N,求xax=Na0,a w1那么x叫川X h士[土〃方,々为偶数引入开万一[〃而a为奇数4己知a=Na0且a w1,求x,引入什以々为底N的对数,记作x=kga A么符号呢?教师提示学生注意两个方面教学环节创设情境,导入新课教学内容师生活动设计意图引例在421的问题[中,通过指数嘉运教师提出问题,通过分析上述问题通过指数函数知识让学算,我们能从y=l.llx中求出经过4年后生发现X的值存在且唯X X其实际上就是从2=
1.11,3=
1.11,B地景区的游客人次为2001年的倍数y.一,复习了旧知,让学反之,如果要求经过多少年游客人次是生思考如何表示X,激X4=
1.11,...2001年的2倍,3倍,4倍,…,那么该发学生的求知欲,培养中分别求出X,即已知底数和塞的值,求如何解决?学生的探究意识也通指数过实际问题说明对数存问题1x的值存在且唯一吗?可以用实在的必要性,体会数学教师引导学生利用指数函数的单调性数表示吗?的应用价值发现X的取值是存在且唯一教学环节新知探究教学内容师生活动设计意图1写作1强产2对数运算是指数运算的逆运算其中log为一种计算符号,是一个确定的数,不可分开写二问题探究,深化概念问题2根据对数定义,思考指数式与对数式之间的关系?思考1为什么定义中要求40,4W12是否所有的实数都有对数教学环节例题解析教学内容师生活动设计意图帮助学生理解概念,以及正确规范书写对数式在处理两个小问题过程中,检测学生对概念和性质的理解程度三典例解析例1,例2学生抢答例1将下列指数形式化为对数形式,对例3学生独立思考并板书,教师修正并完善,归纳总结数形式化为指数形式154-625;22,―]上;⑶1m=
5.734logl32=-5;5lg1000=3;6ln2通过典例问题的分析,10=
2.303让学生进一步熟悉指数[解]⑴由54=625,可得log625=
4.式与对数式的转化深5化对对数概念的理解2由2—128可得I°g2128——
7.3由力=
5.73,可得log;
5.73=m,-54由log;32=—5,可得
⑤=
32.5由lg1000=3,可得103=
1000.6由In10=
2.303,可得e2303=
10.[规律方法]指数式与对数式互化的方法将指数式化为对数式,只需要将幕作为真数,指数当成对数值,底数不变,写出对数式;将对数式化为指数式,只需将真数作为累,对数作为指数,底数不变,写出指数式;
1.将下列指数式化为对数式,对数式化为指数式~2132—;;2Q-16;3logl27=-3;4log64=-
6.4[解]llog1=-2;2logl16=-32;。