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高等数学本科少学时类型定理四在自变量的某个变化过程中,若了九为无穷大,则广1%为无穷小;反之,若/%为无穷小,且/xwO,第一章函数与极限第一节函数则尸x为无穷大函数基础高中函数部分相关知识★★★【题型示例】计算或x foo邻域去心邻域★4,方=卜|k-4耳
1.v|/x|^M•••函数|/%|在%=%的任一去心邻域日x0»内是有界的;U〃》={x|O x-aV|fx|W A/・•・函数/x|在x£上有界;第二节数列的极限
2.lim g%=0即函数gx是xf%时的无穷小;O数列极限的证明★lim gx=O即函数gx是x foo时的无穷小;x—CO【题型示例】已知数列卜〃},证明lim{x〃}=aX-00I
3.由定理可知lim[/x・gx]=O【证明示例】£—N语言Xf%L即[〃]・g%]=
01.由氏一4V2化简得〃〉gc,,N=[g£]第五节极限运算法则O极限的四则运算法则★★
2.即对De0,mN=[g⑶],当心Nl^,始终有不等式x-a成立,n定理一加减法则:・lim{x}=an定理二乘除法则Xf8,第三节函数的极限关于多项式px、9x商式的极限运算Ox f与时函数极限的证明★、I px=a xm+Lxm~y+...+aQ m【题型示例】已知函数/x,证明lim/x=A设\0[qx=b xn++...+/〃[【证明示例】£—5语言
001.由〃元一T£化简得0上一/g£,则有lim明且一夕⑴bo,5=ge
02.即对X/£0,mS=ge,当Ovx-Xob时,始终有不等式/♦」小而lim[=oo fog0『%—A|e成立,0/.lim/x=A特别地,当lim44=9不定型时,通nmOx f8时函数极限的证明★常分fogx0【题型示例】已知函数/x,证明lim/x=A子分母约去公因式即约去可n-mX-8去间断点便可求解出极限值,【证明示例】£—X语言n m也可以用罗比达法则求解
1.由/%_闻£化简得国g£,X=g£【题型示例】求值lim之3132-9gGo%
2.v+l-x2x+lo..…=^{x+l~1~2X+li1m-XL2A+Ilim1+r-30解lim o=lim2x+lfx-3厂—9〃x-3a32x622x+X-9lim2]2A+1-«12x+连续函数穿越定理(复合函数的极限求解)(★★)(定第七节无穷小量的阶(无穷小的比较)理五)若函数/(X)是定义域上的连续函数,那么,!吧/19O等价无穷小(★★)()U〜sinU-tan7〜arcsin U〜arctan U〜ln l+U(%)]=了[%夕(同]L(八1)〜x-3【题型示例】求值limx-3X2-
92.与2〜1—cosT/662x-3=2【求解示例】lim,4—3lim(乘除可替,加减不行)X2-9t-3%--9~~T【题型示例】求值lim1n(l+x)+xln(l+x)10x2+3x【求解示例】第六节极限存在准则及两个重要极限」+“+解因为X T0,即X工0,所以原式=lim MWn(l+O夹迫准则(P53)(★★★)武「sinx ar+3%t第一个重要极限:lim-------=1「(l+x)・ln(l+x)「(14-x)-X「x+11x-0%=lim-----7---——-=hm~=hm----------------=—..「sinx1a+3)1x(x+3)z尤+33•Vx e0,-,sinxx tanx..lim-------------=lI2j x-O x第八节函数的连续性i liml函数连续的定义(★)r limf x=lim/%=/x0齐lim------=lim———=---——=11sin x1sin xsinxO间断点的分类P67★------hm----------x iIx J’跳越间断点(不等)第一类间断点(左右榔艮存在乂可去间断点(相等)特别地,Hm迦3=i1/x-x0单调有界收敛准则(P57)(★★★)第二类间断总无穷间断点(极限为Q)(1V[a+x%0第二个重要极限lim1+-=e x)择数”,使得,f(x)成为在R上的连续函数?(一般地,/m),其中lim/(x)0)【求解示例】(特别地,可去间断点能在分式中约去相应公因式)/
(0)==e]=e【题型示例】设函数=应该怎样选L;]/(0+)=〃+0+=〃/
(0)=px+3Y+1【题型示例】求值:lim、2x+1,x—00【求解示例】
2.由连续函数定义lim/x=limfx=/0=ex-_JV-O+第九节闭区间上连续函数的性质【求解示例】由题可得/(X)为直接函数,其在定于域零点定理(★)【题型示例】证明方程〃x)=g(x)+C至少有一个根介于••[广⑼・上单调、可导,且:(x)wo;=7b与人之间【证明示例】O复合函数的求导法则(★★★)【题型示例】设二足,皿汨二+
1.(建立辅助函数)函数0(x)=〃x)-g(x)-C在闭区间而工),求y,【求解示例】区,可上连续;【求解示例】y=—=1+%-1,1X
2.丁0(a)・0(Z)vO(端点异号)/=[1+X-1]=-l-l+x-2,第五节隐函数及参数方程型函数的导数3・・••由零点定理,在开区间(/)内至少有一点使得港)=0,O隐函数的求导(等式两边对x求导)(★★★)即/⑷_g®_C=0(0^1)【题型示例】试求方程=x+/所给定的曲线Cy=y(x)在
4.这等式说明方程〃x)=g(x)+C在开区间
(8)内至点(1-d1)的切线方程与法线方程少有一个根J【求解示例】由y=x+/两边对X求导第二章导数与微分t即y=£+()化简得y=1+/・v第一节导数概念O高等数学中导数的定义及几何意义(P83)(★★).,11・・y=---------=--------【题型示例】已知函数/(%)=+1,在x=01—e1—e[ax+b x0・••切线方程y-\=-^—{x-\+e)1-e处可导,求Q,b【求解示例】法线方程y—1=—(1——1+e).」/,⑼=*=1,(0-)=*+1=/+1=2参数方程型函数的求导Im心)”〃0)=e°+l=2【题型示例】设参数方程求[y=y\t)dx-
5.由函数可导定义!,(°)=九(°)==11/(0-)=/(+)=/()=八2(dy\a=l,b=2■分一口..dy/(-d2y ydx【求解不例】
1.-^=2-
442.—4=【题型示例】求y=/(x)在x=a处的切线与法线方程dx cp\t)dx(p(Z)(或过y=.f(x)图像上点[〃,/(〃)]处的切线与法线方第六节变化率问题举例及相关变化率(不作要求)第七节函数的微分程)基本初等函数微分公式与微分运算法则(★★★)【求解示例】dy=7(x)・dx第三章中值定理与导数的应用
6.切线方程y_/(〃)=/,(〃)(%_〃)第一节中值定理法线方程y-f(\-----()引理(费马引理)(★)Cl X-4ZO罗尔定理(★★★)第二节函数的和(差)、积与商的求导法则【题型示例】现假设函数在[0,上连续,在(0,»)上可导,试证明O函数和(差)、积与商的求导法则(★★★)()
1.线性组合(定理一)(au±/3vS=au+/3v特别地,当3^e O7r,9a=/=l时,有(〃土u)=〃土M使得/(J)cos J+/(J)sinJ=0成立
2.函数积的求导法则(定理二)(〃v)=/y+〃M【证明示例】,
1.(建立辅助函数)令o(x)=〃x)sinx
3.函数商的求导法则(定理三)|-I=D显然函数°(x)在闭区间[0,句上连续,在开区间(0,万)第三节反函数和复合函数的求导法则上可导;反函数的求导法则(★)【题型示例】求函数广)的导数
2.又•・・^0)=〃0屈110=01L a・Xa~xf0xf0x-0z1\r x-0姒》)==0即0
(0)=0(»)=0=--hmxa=
03.,由罗尔定理知a1至£(0㈤,使得〃(f)8S1+/())sinJ=0成立一般地,limx^lnx/=0,其中//ERO拉格朗日中值定理(★)Xf0\/【题型示例】证明不等式当xl时,【证明示例】⑵00-8型(通分构造分式,观察分母)【求解示例】
1.(建立辅助函数)令函数/
(3)=,则对Vxl,显然函数/(x)在闭区间[1,同上连续,在开区间(1,%)上可导,并且/(%)/•、x=x,=;x-sinx
2.由拉格朗日中值定理可得,可使得等式=(工-1)/成立,x-sinx,9,又:/$,/.ex一J(九一1)/=e-x-e,化简得即证得当x-sinx1-cosx o1-cosx「sinx八x〉l时,e〉e・x【题型示例】证明不等式当x0时,ln(l+x)-=lim=lim----------------—二lim二0⑶0°型(对数求极限法)x【证明示例】【题型示例】求值limxv
1.(建立辅助函数)令函数〃x)=ln(l+x),则对1()【求解示例】Vx0,函数在闭区间[0,可上连续,在开区间(0区)上可导,解设丁=x,两边取对数得lny=lnx=xlnx=1土0Lo「ln=limU并且广(x)=—匚;〃Xf01I Xoc=0n对对数取xf OH寸的极限limln y=1U
2.由拉格朗日中值定理可得,至£[0,可使得等式ln(l+.r)-ln xf07x_0x-0z\rx—(l+0)=^(x-0)成立,化简得得(1+力=七一又•.苫«0,1=lim[=-limx=0,从而有limy=lime=/曾”==Ie可,1x-0D X-0XfO•••//=★1,.,•lnl+xl.x2⑷r0型对数求极限法即证得当时,/e・x[题型示例】求值limcos x+sin xV第二节罗比达法则【求解示例】O运用罗比达法则进行极限运算的基本步骤(★★)
①侬+”解令y=cos x+sin,两边取对数得In丁=X
1.☆等价无穷小的替换(以简化运算).q ri上乙皿In cos x+sin x]
2.判断极限不定型的所属类型及是否满足运用罗比达法则的ID对In y求x—0时的极限,lim In y=lim三个前提条件A.属于两大基本不定型(9,艺)且满足条件,Q_/000【题型示例】求值:lim、sinx x.则进行运算lim44=lim/J42o()()…g x…g%x—0x—0(再进行
1、2步骤,反复直到结果得出)x-sinx、cos x+sin解lim=lim=limB.☆不属于两大基本不定型(转化为基本不定型)⑴8sinx xx\~\x-0x-»0x-»0型(转乘为除,构造分式)0LL=Um---=—=1,从而可得0【题型示例】求值limx-lnx=limx-0Z/.rf0x2【求解示例】%cosx4-sin x1+0,1上解lim xa-\nx=lim=lim0n.)-limxy.lim Inlimy=lime=ex-^=e=ex-0x-0y J1J1,3r50[0°4,⑴函数y=1+3/—/单调递增区间为QD,a,)单调递增区间为00-00
(1)°
(2)
0.oo
(3)r(—oo,0),(2,+8);00
(2)函数y=1+3/—/的极小值在时取到,—00°X=Q00I⑴通分获得分式(通常伴有等价无穷小的替换)为了⑼=1,⑵取倒数获得分式(将乘积形式转化为分式形式)极大值在x=2时取到,为/
(2)=5;⑶取对数获得乘积式(通过对数运算将指数提前)⑶函数y=1+3-d在区间(_/,0),©1)上凹,在区第三节泰勒中值定理(不作要求)第四节函数的单调性和曲线的凹凸性间(1,2),(2,+8)上凸;连续函数单调性(单调区间)(★★★)⑷函数y=1+3/—/的拐点坐标为0,3)【题型示例】试确定函数9/+12X—3的第五节函数的极值和最大、最小值单调区间O函数的极值与最值的关系(★★★)【求解示例】⑴设函数/(X)的定义域为,如果*M的某个邻
1.•・•函数/(X)在其定义域R上连续,且可导•,・〃x=6九2—母+12yr=-3x+6x=-3xx-
22.令rx=6x—lx—2=0,解得:%=1,%=2yr,二-6x+6=-6x-l
3.三行表=-3xx-2=0[r=0,x=29Xfl11,22(2收)y=-6x-l=01x=l+00+—
3.四行表小)*极大值极小值X—oo,00OJ1a222,+sy—0+/+0—
4.・,・函数/(X)的单调递增区间为(—0』,[2,+00〉单调递减区间为(1,2)⑸80型(对数求极限法)【题型示例】证明当x0时,exx+]z]x tanx【题型示例】求值lim-【证明示例】,2⑴【求解示例】
1.(构建辅助函数)设=,(x0)/1\anx/]
2.=(x0)解令》=—,两边取对数得In y=tan In-「(1,o(x)0(O)=O对Iny求x f0时的极限Jimln y=lim tanx-In—xf0Yx-
03.既证当x0时,ex x+1【题型示例】证明当x〉0时,ln(l+x)x【证明示例】
1.(构建辅助函数)设0(x)=ln(l+x)-x,(x0)
2.(pr(x\=—!----10,(x0)、)l+x/.—夕⑼=0sin2sirTx2sin x-cos A:.=lim--------=hm--------—=lim---------------=0,
3.既证当x0时,ln(l+x)vxLXTO xx-£x-|、、,八,,___i limIny连续函数凹凸性(★★★)从而可得lim y=lim ehy-ex~^=e°=1O运用罗比达法则进行极限运算的基本思路(★★)【题型示例】试讨论函数y=l+3x2-x3的单调性、极值、凹凸性及拐点ft y++——//【证明示例】如果函数/(x)在定义区间/上连续,则在/上必存在可域U(j)u,使得对VXEUQM),都适合不等式〃%)导函数b(x)使得/(x)=/(x),也就是说连续函数一</(人),定存在原函数(可导必连续)⑶不定积分的概念(★★)我们则称函数/(X)在点[_xf(/)]处有极大M在定义区间/上,函数/(力的带有任意常数项C的原函值〃”);数称为/(x)在定义区间/上的不定积分,即表示为\f(x)dx=F(x)+C则函数〃x)在闭区间[回上的最大值M满足(J称为积分号,〃%)称为被积函数,〃%)公称为积分表达式,X则称为积分变量)⑵设函数/(可的定义域为D,如果三七〃的某个邻域基本积分表(★★★)U(X,)u D,使得对\/工£(七〃),都适合不等式/不定积分的线性性质(分项积分公式)(★★★)+g(%)]公=J/(xg+%2Jg(%)必第()>()%%,二节换元积分法我们则称函数/(X)在点处有极小值/
(4);O第一类换元法(凑微分)(★★★)(dy=/(x)・dx的逆向应用)令6{七川,%2,与3玉加}则函数/(可在闭区间可上的最小值机满足m=min{a),J/[(切・9,(%)公=J/[0(切,]](切Nm,/2,/3,・・・,x〃w,/(〃)};【题型示例】求函数〃x)=3x—/在[—1,3]上的最值【求解示例】1・•••函数/%在其定义域[—1,3]上连续,且可导・•・fx=-3x2+
32.令/x=_3x_lx+l=0,解得%=-1,%=
13.(三行表)—1-U1L3];⑺0+0—/W极小值极大值
4.又・•・/—1=-2,/1=2,/3=_18・.・4⑴=2GL=/⑶=-18第六节函数图形的描绘(不作要求)第七节曲率(不作要求)第八节方程的近似解(不作要求)第四章不定积分第一节不定积分的概念与性质原函数与不定积分的概念(★★)⑴原函数的概念为叫假设在定义区间/上,可导函数尸(X)的导函数X),即当自变量时,有(无)=〃力或dr(x)=/(x)•公成立,则称F(x)为/(%)的一个原函数⑵原函数存在定理(★★)第三节分部积分法J dx21【题型示例】求2分部积分法(★★)a+x⑴设函数〃=〃x),v=g(x)具有连续导数,则其【求解示例】lx=-f—解:=-arctan-+C分部积分公式可表示为:=u-Ja1+G adv1+⑵分部积分法函数排序次序“反、对、幕、
三、指”vdu运用分部积分法计算不定积分的基本步骤【题型示例】求[J dxY⑴遵照分部积分法函数排序次序对被积函数排序;J V2x+1【求解示例】J⑵就近凑微分Cvf^dx=dv)J-J⑶使用分部积分公式:⑷解f.dx=f,d2x+1=f号J=J adv=vdu v-、TT^x+iJ V27+T2J V27+T J展开尾项vdu ufdx,判断+1+C若心是容易求解的不定积分,则直接计算出答案(容a.O第二类换元法(去根式)(★★)易表示使用基本积分表、换元法与有理函数积分可以(力=/(x)・dx的正向应用)轻易求解出结果);若,依旧是相当复杂,无法通过⑴对于一次根式(abeR)a中方法求解的不定积分,则重复⑵、
(3),直至出b.现容易求解的不定积分;若重复过程中出现循环,则y/ax+b令%=Yax+b,于是x=-------------,a联立方程求解,但是最后要注意添上常数C则原式可化为I⑵对于根号下平方和的形式【题型示例】求公
7171、yla2+X2令x=〃tan,—,一,【求解示例】22解:J ex-x2dx=j x2eAdx=j x2deA=x2eA-J eZ任于是/=arctan一,则原式可化为asecl;a⑶对于根号下平方差的形式(a〉0)=x2eA-2fx-exdx=x2ex-2^x-d/—xcx—2xe+2J edx-xcA—2xe+2e+C717C7A.za.-JC令x=asm/——/一,【题型示例】求J/・sinHZx【求解示例】于是,=arcsin一,则原式可化为acos/;a解:Jex-sin xdx=-f exdcosx=-ex cosx+jcos=-exb.yjx2-a2令x=asec,0f—,2cos x+J ex cos xdx=-ex cos x+J exdsin x于是l=arccosg,则原式可化为atan/;x=-ex cos x+ex sin x一」—=-ex cosx+e sin x-J exsin xdx【题型示例】求f dx(一次根式)J V2x+1即J ex-sin xdx--excosx+e sin x-J sinxd e【求解示例】()e*•sin=—e”sin%-cosx+C㈣司等.f,tdt-f dt=t+C=12x+1+C第四节有理函数的不定积分clx=tdO有理函数(★)l【题型示例】求12八(三角换元)、几P(x)P(x)=+ci xni~}+...+ax m【求解示例】又Q(x)q(x)=bR+b\X〃-+...+b〃x=as\nt——t—f/7cos2^z=—jl+cos2tMi P(与对于有理函数/j,当尸(%)的次数小于Q(%)的解[J矿-x2dx---------~a2J/=arcsin—=—t H—sin2,1+C=dv=«cos/z+sinzcosz4-C P(x]次数时,有理函数才j是真分式;当产(%)的次数p(x)第五章定积分极其应用大于(x)的次数时,有理函数6j是假分式第一节定积分的概念与性质O定积分的定义(★)1/(工世=盛£〃依=/z=iO有理函数(真分式)不定积分的求解思路(★)p(x\(/(%)称为被积函数,/(X)公称为被积表达式,X则称⑴将有理函数的分母Q(x)分拆成两个没有公因式的多项为积分变量,称为积分下限,人称为积分上限,[凡可称为式的乘积其中一个多项式可以表示为一次因式(X-而积分区间)定积分的性质(★★★)另一个多项式可以表示为二次质因式+px+q),(p1
(1)j f[uyiu-4^o);即(司=0・2(外⑵j fxdx=O一般地nvc+n=m XH——,则参数〃=m7j4A=/xdx4线性性质b c\ax2+hx+c=a J[左]f⑴+左2g x]dx=a Jf^x^lx+k^g^x^dxX HXH、a a⑸积分区间的可加性h rf协+£fxdx则参数〃=—,q=—a a⑹若函数/(x)在积分区间[〃,可上满足/(%)0,p x⑵则设有理函数―一的分拆和式为则J/(今拄0;Q%(推论一)马♦%_:%1x若函数“X)、函数g(x)在积分区间上满足则fg(%g;Qx Y+px+J(推论二)£/(xzx£|/(x)^其中积分中值定理(不作要求)-a_a4|,.1ax-ak x—a x-6/2x-aj第二节微积分基本公式O牛顿-莱布尼兹公式(★★★)、£x_M x+N[M2X+N2(定理三)若果函数/(%)是连续函数八同在区间句上的x2+px+q^厂+px+q+〃氏+力一个原函数,则M M,、2由待定系dx———x+lnx+1+C x+12数法(比较法)求出⑶得到分拆式后分项积分即可求解第五节积分表的使用(不作要求)r x2「b【题型示例】求1—dx(构造法)\f{x}dx=F(b)-F[a}aJ x+1O变限积分的导数公式(★★★)(上上导一下下导)【求解示例】10(办=扛(切‘(%)-电(切/(%)f1e-,2dt【题型示例】求lim%\一10X产+几£公112+=/一]+【求解示例】「-r10e dt0解hlim如=jxdx-^dx+x+1J x+1JV x+lj口——=lim4一°XI x-=]im上士上吧L HmU士2x102xD⑴若/(一力=/(%),则J/(%世=21/o o=lim…2%
(2)若〃-%)=-〃力则匚“%世=022「cosx-e-cos v+sinx•^-cos A-2sinxcosx第四节定积分在几何上的应用(暂时不作要求)第五节定=hm积分在物理上的应用(暂时不作要求)zo2第六节反常积分(不作要求)偶倍奇零(★★)设/(司£[一々,々],则有以下结论成立:2=-Yim\e一c℃sinx+cosx・2sin xcosx2A—.1-i1-—•e二一22e第三节定积分的换元法及分部积分法定积分的换元法(★★★)⑴(第一换元法)如不定积分公式——/=arctan%+C的证明很多同学上课时J d无法证明,那么在学期结束时,我给出这样一种证明方法以说明£/[(]•(%)孤=[(切•](切问题021【题型示例】求1-----------dx[7171—^—rdxJ2x+l x=tanr1+x2•tan-dt—t—1+tan21【求解示例】【=^^(2x+l)=-rin|2x+in|2=1・力22=JCOS2,.1•力=J dt22=1[ln5-lnl]=^ycos21sec tcos t⑵(第二换元法)=t+C=arctan x+C||X设函数/(尤)t,函数x=满足:J如此,不定积分公式、---dx=—arctan—+C也就很CT+厂a.3a,/3,使得0(a)=a,0(Q)=b;容易证明了,希望大家仔细揣摩,认真理解b.在区间[a,例或[分,句上,-⑺连续则[(%世=]/]⑺心’⑺力最后,限于编者水平的限制,资料中错误和疏漏在所难免,希望「4X+2同学们积极指出,以便互相学习改进【题型示例】求[--------------dx/Jo J2x+1【求解示例】t23—I—匚dxtx=O,r=lx=4,/522n-y—=—33⑶分部积分法j4xMxHx=xux-JPxW=[wW y%』一%。