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文本内容:
锥曲线的方程与性质
1.椭圆
(1)椭圆概念平面内与两个定点”、尸2的距离的和等于常数2(大于|耳工|)的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离2c叫椭圆的焦距若阳为椭圆上任意一点,则有151+1|=22222椭圆的标准方程为§+方=1(〃人0)(焦点在X轴上)或3+今=1(ab0)(焦点在y轴上)22y2x2=1两个方程中都有方0的条件,要分清焦点的位置,只要看/和2的分
②在-2+~2~=1和2a注
①以上方程中的大小aZ0,其中〃=4—,;X V母的大小例如椭圆F—=1(m0,〃0,m^n)当机〉〃时表示焦点在x轴上的椭圆;当机〃时m n表示焦点在y轴上的椭圆
(2)椭圆的性质22
①范围由标准方程A+斗=1知|工区\y\b,说明椭圆位于直线x=±a,y=±力所围成的矩形里;a h
②对称性在曲线方程里,若以—y代替y方程不变,所以若点(x,y)在曲线上时,点(羽-y)也在曲线上,所以曲线关于x轴对称,同理,以-%代替x方程不变,则曲线关于y轴对称若同时以代替x,—y代替y方程也不变,则曲线关于原点对称所以,椭圆关于x轴、y轴和原点对称这时,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是对称中心,椭圆的对称中心叫椭圆的中心;
③顶点确定曲线在坐标系中的位置,常需要求出曲线与x轴、y轴的交点坐标在椭圆的标准方程中,令x=0,得=±/7,则4(0,一切,4(0力)是椭圆与y轴的两个交点同理令丁=0得、=±,即A(—d),0)是椭圆与x轴的两个交点所以,椭圆与坐标轴的交点有四个,这四个交点叫做椭圆的顶点同时,线段
44、4坊分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别为2a和2b,和Z分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长由椭圆的对称性知椭圆的短轴端点到焦点的距离为;在放AO员工中员|=』,|0工|=c,|B2F2\=a,且|0g|2=|坊与匕即8|2—|0/=—/;
④离心率椭圆的焦距与长轴的比e=£叫椭圆的离心率・・・0evl,且e越接近1,c就a越接近从而Z就越小,对应的椭圆越扁;反之,e越接近于0,c就越接近于0,从而Z越接近于Q,这时椭圆越接近于圆当且仅当=〃时,=0,两焦点重合,图形变为圆,方程为/+
2.双曲线
(1)双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线(II PF\-\PF||=2Q)o{2注意
①式中是差的绝对值,在百鸟|条件下;|耳|—|P8|=2〃时为双曲线的一支;|P8|—|「大|=2时为双曲线的另一支(含片的一支);
②当2a=|百8|时,||用—|P6||二2a表示两条射线;
③当2〉|月工|时,||巴—|P8||=2a不表示任何图形;
④两定点片,工叫做双曲线的焦点,|片区|叫做焦距椭圆和双曲线比较:双曲线椭圆定义\PF\+\PF1=2a{2a\F F||P/y=2〃2a|可4|{2X27277方程工上二
1、2T LAa〉]工+工=1隹占
八、
八、、、4b2)F±c,0F0,±c F±c,0方(,土C注意如何用方程确定焦点的位置!
(2)双曲线的性质
①范围从标准方程二-\=1,看出曲线在坐标系中的范围双曲线在两条直线x=±〃的外侧即a~b~2x双曲线2二y
②对称性:这时,坐标轴是双曲线的对称轴,原点=i关于每个坐标轴和原点都是对称的,aF22xa,N2a即双曲线在两条直线x=±的外侧是双曲线二—4=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心12a b22
③顶点双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点在双曲线二-、=1的方程里,对称轴是轴,所a~b~22以令y=0得九=±〃,因此双曲线和X轴有两个交点A(—Q,0)42(,0),他们是双曲线一—二=1的顶点cr Zr令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点1)注意双曲线的顶点只有两个,这是与椭圆不同的(椭圆有四个顶点),双曲线的顶点分别是实轴的两个工山上而点2)实轴线段A4叫做双曲线的实轴,它的长等于2a,叫做双曲线的实半轴长虚轴线段8叫做双曲线的虚轴,它的长等于2b力叫做双曲线的虚半轴长
④渐近线注意到开课之初所画的矩形,矩形确定了两条对角线,这两条直线即称为双曲线的渐近线从22图上看,双曲线二-二=1的各支向外延伸时,与这两条直线逐渐接近a b
⑤等轴双曲线1)定义实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线定义式a=b;2)等轴双曲线的性质
(1)渐近线方程为y=±x;
(2)渐近线互相垂直注意以上几个性质与定义式彼此等价亦即若题目中出现上述其一,即可推知双曲线为等轴双曲线,同时其他几个亦成立3)注意到等轴双曲线的特征=b,则等轴双曲线可以设为x2-=2
(20),当40时交点在x轴,当2v0时焦点在y轴上2222
⑥注意--±二1与匕-=1的区别三个量中力不同(互换)C相同,还有焦点所在的坐标169916轴也变了
3.抛物线
(1)抛物线的概念平面内与一定点和一条定直线I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线I上)定点F叫做抛物线F的焦点,定直线/叫做抛物线的准线方程V=2x(p0)叫做抛物线的标准方程注意它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F(4,0),它的准线方程是x=-K;22
(2)抛物线的性质一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式>2=—2〃工,x2工2二一,这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下表:y2=-2px标准方程J=2px P01x=2py p0犬=-2py〃0o图形jx Jr,177-------PM*l r——7FV()-Ao焦点坐标go(,争乙准线方程x=-P X-P.22一2y=—2范围x0x0y0yQ对称性x轴x轴y轴y轴顶点0,00,00,00,0离心率e—\e—\e—\e—\说明
(1)通径过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径;
(2)抛物线的几何性质的特点有一个顶点,一个焦点,一条准线,一条对称轴,无对称中心,没有渐近线;
(3)注意强调p的几何意义是焦点到准线的距离。