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第04讲常用逻辑用语(4种题型)3【知识梳理】一.命题的有关概念在初中时已经知道,用自然语言、符号或式子表达,且可以判断其真假的语句叫做命题(p rpsi tion).命题通常用陈述句表述.其含义判断为真的命题叫做真命题,判断为假的命题叫做假命题.例如,〃4能被2整除〃是真命题,〃3能被2整除〃是假命题.■、定义如果命题“若•则丁是真命题•那么我们就称a推出凡记作(或fur).✓因为子集关系满足传递性•所以推出关系也满足传递性若a=8且住7,则any.它是证明和逻辑推理的基础.二.充分条件与必要条件
1、判断当命题“若〃则”为真时,可表示为〃=/称〃为9的充分条件,q是P的必要条件.事实上,与“〃今/等价的逆否命题是它的意义是若4不成立,则P一定不成立.这就是说,4对于〃是必不可少的,所以说q是p的必要条件.例如px2;q x
0.显然xCp,则龙口.等价于则x住p一定成立.
2、充要条件如果既有又有q=p”,则称条件〃是q成立的充要条件,或称条件乡是〃成立的充要条件,记作〃与q互为充要条件.【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据;解题中必须涉及两个方面,充分条件与必要条件,缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性,实际上,充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件,学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判断充要条件的方法是
①若p=q为真命题且q=p为假命题,则命题p是命题q的充分不必要条件;
②若pnq为假命题且qnp为真命题,则命题p是命题q的必要不充分条件;
③若p=q为真命题且q=p为真命题,则命题p是命题q的充要条件;
④若p=q为假命题且q=p为假命题,则命题p是命题q的既不充分也不必要条件.条件?请证明你的结论.【分析】先举实例判断充分性不成立,再利用一元二次方程的判别式证明必要性成立.【解答】解关于x的方程/+云+=0(4W0)有实数根是〃cVO必要不充分条件.证明
①证充分性不成立,当4=1,匕=-4,c=3时,此时方程以2+区+=0=,-4工+3=0,方程的实数根为1或3,但此时ac=30,・••充分性不成立,
②证必要性成立,当ac0时则A=b2-4«c0恒成立,・•・方程f+Ax+c=O(aWO)有实数根,,必要性成立.综上,关于x的方程Q/+/ZX+C=O(QWO)有实数根是acVO必要不充分条件.【点评】本题考查了一元二次方程有实数根的判断,充要条件的证明,属于中档题.题型四.充要条件例
4.(2021秋•金山区校级月考)设〃6Z,求证“〃是偶数”是“(〃+1)2是奇数”的充要条件.【分析】根据充分必要条件的定义判断即可.【解答】证明若〃6Z,〃是偶数,则〃+1是奇数,(/1)2是奇数,是充分条件,若坯Z,(〃+1)2是奇数,则〃+1是奇数,则〃是偶数,是必要条件,故“〃是偶数”是“(〃+1)2是奇数”的充要条件.【点评】本题考查了充分必要条件,考查转化思想,是基础题.【变式1](2021秋•浦东新区校级月考)已知命题a1WXW2,命题依iWxWa.
(1)若a是0必要非充分条件,求实数的取值范围;
(2)求证是a=p成立的充要条件.【分析】
(1)设A={x|l Wx2},8={X|1WX〈Q},由a是0必要非充分条件,得到8是A的真子集,分类讨论,求出实数的取值范围;
(2)分别证明充分性和必要性即可.【解答】解
(1)设A={x|l〈xW2},B={x|lWxWa},若a是B必要非充分条件,则8是A的真子集,当3=0时,a\,此时满足B是人的真子集,符合题意,当3W0时,若3是A的真子集,则(软]1,解得1—V2,I a2综上所述实数a的取值范围为证明2充分性若心2,则a.若a22,贝WxW2}G{x|lWxWa},所以命题a可得出命题氏IWXWQ,故充分性成立,必要性若a=p,则
22.若命题a可得出命题依则{mWxW2}U{x|l〈xWa},所以22,故必要性成立,综上所述是成立的充要条件.【点评】本题考查了充分必要条件,考查了参数的取值范围,考查了运算求解能力,属于中档题.【变式2]2021秋•徐汇区校级月考已知集合4={41=根2-〃2,,〃£Z}.m1由于8=32-12,所以属于集合人判断以io是否属于集合人2已知集合3={小=22+1,依Z},证明“一
②的充分条件是“xEB”;但不是“一
②的必要条件;3写出所有满足集合4的偶数.【分析】1直接利用关系式的变换判断元素和集合的关系;2利用关系式的恒等变换,进一步求出充分性和必要性;3利用关系式的变换求出满足条件的集合.【解答】解1由于9=52-42,所以9B4,假设10=加之-〃2,,〃ez,m则{|词+|川}\m\-\n\=10,且|词+|川>|刑-|川>0,|=10m=5,由于10=1义10X2X5,所以下|+或回+显然均无整数解,I lm|+||=l IIml+|n1=2n所以lOgA;证明2集合3={x|x=2l,依Z},则恒有2Hl=Z+l2-比所以2攵+1C4,即一切奇数都属于A;又8C4,所以X6A的充分非必要条件是解3集合A={x|x=/%2-川},〃eZ,m2-n2=m+n m-n成立,m
①当相和〃同为奇数和偶数时,〃z-〃,m+均为偶数,所以m+n m-n为4的倍数,
②当m和n一奇一偶时,m+n和m-n均为奇数,所以m+n m-n为奇数,综上所述所有满足集合A的偶数为必蛇Z.【点评】本题考查的知识要点元素和集合的关系的判断,充分条件和必要条件,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.题型
五、反证法例
5.(2022秋•徐汇区校级期中)用反证法证明命题“如果/反N,必可被5整除,那么小人中至少有一个能被5整除”时,假设的内容应为()A.a,b都能被5整除B.a,匕都不能被5整除C.a,b不都能被5整除D.不能被5整除【分析】反设是一种对立性假设,即想证明一个命题成立时,可以证明其否定不成立,由此得出此命题是成立的.【解答】解由于反证法是命题的否定的一个运用,故用反证法证明命题时,可以设其否定成立进行推证.命题bEN,如果必可被5整除,那么匕至少有1个能被5整除”的否定是“如果m旄N,ab可被5整除,那么
①b都不能被5整除”.故选B.【点评】本题主要考查反证法的应用,结合反证法的定义和步骤是解决本题的关键,属于基础题.【变式1](2022秋•黄浦区校级期中)用反证法证明命题“任意三角形最多有一个钝角”的第一步应假设()A.任意三角形都没有钝角B.存在一个三角形恰有一个钝角C.任意三角形都有两个钝角D.存在一个三角形至少有两个钝角【分析】根假设法的步骤可知,第一步应该假设结论不成立.【解答】解第一步应假设结论不成立,则应该假设存在一个三角形至少有两个钝角.故选D.【点评】本题主要考查反证法的应用,属于基础题.【变式2](2022秋•徐汇区校级月考)用反证法证明命题“若x+yW5,则S2或产3”为真命题时,第一个步骤是假设x=2且y=
3.【分析】根据反证法的概念即可求解.【解答】解根据反证法可知证明命题“若x+yW5,则xW2或yW3”为真命题时,第一个步骤是假设原命题结论不成立,写出结论的否定,即假设x=2且y=
3.故答案为假设x=2且y=
3.【点评】不通过考查反证法的概念,属基础题.【变式3】(2022秋•青浦区校级期末)已知小旅R,用反证法证明命题“若2+必=0,则、全为零”时的假设是a,小不全为
0.【分析】把要证结论否定即可.【解答】解用反证法证明命题若小旅R,且2+必=0,则办全为0时,要做的假设是证明结论的反面,即办不全为
①故答案为a,b不全为
0.【点评】本题考查反证法的定义,属于基础题.【变式4](2021秋•青浦区期末)用反证法证明命题“已知x,)£R+,且x+y2,求证上曳与工工中至y x少有一个小于2”时,应首先假设“上区与工工都大于2y x【分析】用反证法证明命题时,应首先假设结论不成立,由此得出答案.【解答】解用反证法证明命题“已知光,)eR+,且x+y2,求证上曳与2空中至少有一个小于2y x时,应首先假设结论不成立,即“上曳与工工都大于2”.y x故答案为上工与工工都大于
2.y x【点评】本题考查了用反证法证明命题时的基本步骤,是基础题.【变式5](2022秋•浦东新区校级期中)用反证法证明命题“设a,bCR,则方程〔x2+b逐+c[=0与布x2+b/+c广0至少有一个实根”时要做的假设是假设a,%R,方程门2+0与
2、2+匕2+12=0都没有实根—•【分析】根据反证法假设方程都没有根即可.【解答】解用反证法证明命题”设m b£R,则方程1X2+11%+5=0与9^2+69^+09=0至少有一个实根”时要做的假设是,假设小CR,方程逆2+11%+5二0与22+62+2=0都没有实根.故答案为假设m bER,方程x+b1x+j=0与apxZ+bpx+Cs^O者B没有实根.11L乙乙乙【点评】本题主要考查反证法的应用,属于基础题.【变式6】2022秋•普陀区校级期末设〃CZ.用反证法证明若/是奇数,则〃是奇数.【分析】假设〃不是奇数,然后推导出〃3为偶数,与已知矛盾,即得证.【解答】证明假设〃不是奇数,则〃是偶数,设『2k,比Z,则/=8好,因为攵GZ,则正GZ,所以8户是偶数,即/为偶数,这与已知/为奇数矛盾,所以假设不成立,即〃是奇数.【点评】本题考查反证法的运用,属于基础题.【变式7]2022秋•黄浦区校级期中1已知m b,ceR,证明若4+0+cVl,则o,b,中至少有一个小于2;32已知〃,b,cGR,判断“〃+什cl”是%,A c中至少有一个小于』”的什么条件?并说明理由.3【分析】1利用反证法即可证明;2利用充分条件、必要条件的定义即可得出结果.【解答】解1证明假设2冶,b|,c!则a+b+c^1,这与o+b+cV1矛盾,所以历b,中至少有一个小于」;32由1可得a+b+cVl=4,b,c中至少有一个小于13反之不一定成立,例如4=0,b」,c=2,则a+O+cl,2所以“a+0+cVl”是“ci,b,c中至少有一个小于的充分非必要条件.3【点评】本题考查了反证法证明不等式、充分条件、必要条件的定义,属于基础题.【变式8]2022秋•奉贤区校级月考1已知机是实数,集合A={1,2,m+7},3={0,6}.求证um=-1”是“AA3={6}”的充要条件;2设〃CZ.用反证法证明若后是奇数,则〃也是奇数.【分析】1先证充分性,再证必要性即可.
(2)利用反证法的定义证明即可.【解答】证明
(1)先证充分性(即证加=-i=An3={6}),当2=-1时,A={1,2,6),又因为8={0,6},所以An3={6},再证必要性(即证AGB={6}n〃z=-1),当AG3={6}时,由6GA,得小+7=6,因此加=-1,综上所述,根=-1是AAB={6}的充要条件.
(2)假设结论〃是奇数不成立,即假设〃是偶数,由〃是偶数,可设〃=2左,依Z,因为〃2=(2攵)2=
2.(2斤),这说明2是偶数,与已知条件〃2是奇数矛盾,所以,假设不成立,即〃是奇数.【点评】本题考查了充要条件的证明,反证法的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题台【过关检测】
一、单选题
1.(2020•上海)用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个不大于60度时:反设正确的是().A.假设三内角都不大于60度;B.假设三内角至多有两个大于60度;C.假设三内角至多有一个大于60度;D.假设三内角都大于60度.【答案】D【分析】本题的解题关键就是找出“至少有一个不大于”的对立面,就是“全部都大于”.【详解】根据反证法的步骤可知,假设是对原命题结论的否定,“至少有一个”的否定为“一个也没有”即“三角形三个内角都大于60度”,故选D.
2.(2020・上海高一专题练习)原命题“设外b、c£R,若ab,则/加”,以及它的逆命题、否命题、逆否命题中,真命题共有()A.0个B.1个C.2个D.4个【答案】C【分析】分别判断原命题和逆命题的真假,再根据命题的等价性判断否命题和逆否命题的真假.【详解】由条件可知,当c=O时,必=bc,故原命题不正确,根据命题的等价性可知I,逆否命题也不正确,逆命题是“设a、b、eRR,若〃/〉历2,则Q”,,,由m2〉a2,可知天〉0,根据不等式的性质可知故逆命题正确,那么否命题也正确.故选C
3.(2020•上海市奉贤区奉城高级中学)条件甲/=1;条件乙工二1,则甲是乙的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可.【详解】当d=i时,有工=±1,不一定有尤=
1.但元=1时,一定有x2=B所以〃是4的必要不充分条件.故选B.
4.(2020•上海)ax=r是“/一4x+3=0”的A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】将x=l代入f—4x+3=0可判断充分性,求解方程V—4%+3=0可判断必要性,即可得到结果.【详解】将x=l代入f—4x+3=0中可得1—3+2=0,即“x=l”是—4x+3=0”的充分条件;由V—4x+3=0可得(x—l)(x—3)=0,即x=l或x=3,所以“x=l”不是“V一41+3=0”的必要条件,故选:A.【点睛】本题考查充分条件和必要条件的判定,属于基础题.
5.(2020・上海高一专题练习)可以作为“若〃,b£R,则a+b0的一个充分而不必要条件的是()A.ab0B.0或Z0C.0且Z0D.ab\【答案】c【分析】利用充分不必要条件的定义,根据推出关系,依次判断选项.【详解】A.〃Z70,只能推出4,匕同号,不能推出一定是正数,故不是充分条件,故A不正确;B.a=-4,Z;=3,满足〃0或Z0,但此时〃+Z0,故B不正确;C.〃0且Z0,能推出a+hQ,反过来,=4,/=一3,满足〃+〃0,但不能推出〃0且Z0,所以〃0且〃0是〃+〃0的一个充分而不必要条件,故C正确;D.Q=-3/=-4,满足4b1,但不能推出a+b0,所以不是充分条件,故D不正确.故选C
6.(2020・上海高一专题练习)已知,的为实数,且.贝1J“人”是“a—cb—d”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】利用必要不充分条件的定义判断即可.【详解】推不出+d;但a-cb-d=ab+c-db,故选B
7.(2020•上海高一专题练习)设必8两个实数,能推出6中至少有一个大于1”的条件是()A.a+6l B.a+b=2C.abl D.a+Z2【答案】D【分析】分别举反例排除选项A,B,C选项,可得答案.【详解】对于A,若=l,b=-则4+因此A推不出;239对于B,若〃=则〃+人=2,故B推不出;对于C,若=-2,b=-3,则1,故C推不出;对于D,a+b2,满足;力中至少有一个大于1”的条件,利用反证法;若女,1,贝1J〃+右,2与已知〃+〃〉2矛盾,因此假设不正确.故原结论正确.故选D
8.(2020•上海高一专题练习)有下列四个命题
①“若x+y=O,则互为相反数”的逆命题;
②“全等三角形的面积相等”的否命题;
③“若”1,则f+2x+q=0有实根”的逆否命题;
④“等边三角形的三个内角相等逆命题;其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4【答案】C【分析】利用逆命题的定义判断
①和
④,利用否命题的定义判断
②,由原命题和逆否命题的关系判断
③.【详解】
①的逆命题为“若工,互为相反数,则x+y=,为真命题;
②的否命题为“不全等的三角形,面积一定不等,为假命题;
③为真命题,时,一元二次方程的判别式△=4—4420,故有实根,原命题为真,从而它的逆否命题为真命题;
④为真命题,“逆命题为三个内角都相等的三角形是等边三角形”故选C\x3x+y
69.(2020•上海高一专题练习)\个是《八成立的()〔3[x-y9A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】充分性显然成立,通过反例可得必要性不成立.【详解】充分性显然成立,必要性可以举反例x=10,y=显然必要性不成立.故选A
10.(2020•上海市控江中学高一期中)是“|〃+4=同+|”的()条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分又非必要【答案】c【分析】本题可依次对“abNO”是否是“|〃+方|=|〃|+|”的充分条件以及“N0”是否是u\a^-b=”的必要条件进行判断,即可得出结果.4-【详解】ab>0,即“ab*是“|+4=14+IM”的充分条件,Q+目=同+同,即a+闿2=(问+Z)2,a1+b2+2ab=a2+b2+26z||Z|,ab-a|Z|,ah0,ah>0^是“|+〃|=||+例的必要条件,故ab*是\a+b\=\a\+\b\的充要条件,故选C.
11.(2020•上海师范大学附属中学闵行分校高一期中)设%加生,仇均为非零常数,不等式a.hax+b<0,2工+4<的解集分别为例,N,则“d二寸”是“M=N”的()条件x xA.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既非充分也非必要22【答案】B【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断.a.b、,【详解】充分性y则4=他出=屹,则qx+4<等价于左(421+力2)<0,当左<0时,等价于21+打>°,则AT N,故充分性不成立;b00h必要性若…则-即「力故必要性成立,故“『『是“―的必要非充分条件.故选B.
二、填空题
12.(2020・上海高一专题练习)命题“面积不相等的两个三角形不全等”的逆否命题是【答案】两个全等的三角形的面积相等
⑤判断命题P与命题q所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题P与命题q的关系.【命题方向】充要条件是学生学习知识开始,或者没有上学就能应用的,只不过没有明确定义,因而几乎年年必考内容,多以小题为主,有时也会以大题形式出现,中学阶段的知识点都相关,所以命题的范围特别广.三.反证法反证法假设结论的反面成立,在已知条件和“否定结论”这个新条件下,通过逻辑推理,得出与公理、定理、题设、临时假设相矛盾的结论或自相矛盾,从而断定结论的反面不能成立,即证明了命题的结论一定正确,这种证明方法就叫反证法.【解题思路点拨】用反证法证题时,首先要搞清反证法证题的方法,其次注意反证法是在条件较少,不易入手时常用的方法,尤其有否定词或含“至多”“至少”等词的问题中常用.使用反证法进行证明的关键是在正确的推理下得出矛盾,这个矛盾可以是与已知矛盾,或与假设矛盾,或与定义、公理、定理、事实矛盾等.
1.证明思路肯定条件,否定结论一推出矛盾一推翻假设,肯定结论
2.反证法的一般步骤1分清命题的条件和结论;2作出与命题结论相矛盾的假设;3由假设出发,应用正确的推理方法,推出矛盾的结果;4断定产生矛盾的原因,在于开始所作的假设不真,于是原结论成立,从而间接地证明命题为真.四.反证法与放缩法证明不等式放缩法在证明不等式时,有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的.这种方法称为放缩法.反证法的步骤
1.作出否定结论的假设;
2.进行推理,导出矛盾;
3.否定假设,肯定结论.【关键要点点拨】放缩法证明不等式的主要理论依据【分析】由逆否命题定义可直接得到结果.【详解】由逆否命题的定义可知原命题的逆否命题为两个全等的三角形的面积相等.故答案为两个全等的三角形的面积相等.
13.(2020•上海市洋泾中学)若“x=2”是“f—2工+0=0”的充分条件,则=.【答案】0【分析】将九=2代入犬―2x+c=0即可得解.【详解】因为“%=2”是“d—2%+c=0”的充分条件,所以%=2是f-2冗+=0的根,所以4—4+c=0,即=
0.故答案为0【点睛】关键点点睛理解充分条件的概念是解题关键.
14.(2020•上海市松江二中高一期中)若则是“V〉2”的条件.(从“充要、充分不必要、必要不充分、既不充分也不必要”四种关系中选择)【答案】既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义及判定方法,进行判定,即可求解.【详解】当x=l,y=-2时,满足xy,但丁,2不成立,即充分性不成立;当x=-2,y=l时,满足Vy2,但工丁不成立,即必要性不成立,所以“工丁”是“Y〉,2”的既不充分也不必要条件.故答案为既不充分也不必要
15.(2020•华东师范大学第一附属中学)设集合A=[l,2],B={x\m+lx2m+4},且是的充分不必要条件,则实数优的取值范围是.【答案】[-1,0]【分析】根据题中条件,得到A是B的真子集,由此列出不等式求解,即可得出结果.【详解】因为“XEA”是“xeB”的充分不必要条件,所以A=[l,2]是3={%|〃+14%《2+4}的真子集,m+11则(2根+422,解得TKmWO.m+12m+4故答案为[—1,0].【点睛】结论点睛由充分条件与必要条件求参数时,一般可根据如下规则求解
(1)若〃是q的必要不充分条件,则q对应集合是〃对应集合的真子集;
(2)〃是q的充分不必要条件,则〃对应集合是4对应集合的真子集;
(3)〃是夕的充分必要条件,则〃对应集合与q对应集合相等;
(4)〃是q的既不充分又不必要条件,夕对的集合与P对应集合互不包含.
16.(2020•上海高一单元测试)命题“若力都是奇数,则Q+分是偶数”的否命题是【答案】若力不都是奇数,则G+力不是偶数【分析】根据否命题的定义求解可得答案.【详解】命题“若力都是奇数,则4+方是偶数”的否命题是若力不都是奇数,则Q+力不是偶数.故答案为若不都是奇数,则Q+方不是偶数【点睛】关键点点睛掌握否命题的定义是解题关键.
17.(2020•上海高一单元测试)写出“〃+匕=3”的一个充分非必要条件【答案】a=l,b=
2.【分析】根据条件直接写出结果.【详解】“〃+人=3”的一个充分非必要条件是=11=
2.故答案为a=1/=
2.
18.(2020•上海市金山中学)“=0”是“关于工的方程分=人无解”的条件.【答案】必要不充分【分析】根据充分条件与必要条件的概念,直接判定,即可得出结果.【详解】若a=O,人=0时,关于工的方程公=人有无数个解;因此由“=0”不能推出“关于工的方程依=人无解”;若关于工的方程办=〃无解,则a=O;因此“a=O”是“关于x的方程=人无解”的必要不充分条件.故答案为必要不充分.【点睛】结论点睛充分与必要条件的判断,一般可根据如下规则判断1若〃是q的必要不充分条件,则q对应集合是〃对应集合的真子集;2〃是夕的充分不必要条件,则〃对应集合是4对应集合的真子集;3〃是夕的充分必要条件,则〃对应集合与q对应集合相等;4〃是9的既不充分又不必要条件,q对的集合与P对应集合互不包含.
19.2020•上海高一单元测试给出下列四个命题1若ab,cd,则a——c;2若a2xa2y9则xy;3若a b,则------------—;4——0,则ab/.其中正确命题是a-b a a b.填所有正确命题的序号【答案】⑴24【分析】根据不等式的性质,以及特殊值验证,逐项判断,即可得出结果.【详解】1若c〉d,则a+c〃+d,因此a-db-c,即1正确;2若/x〉/〉,根据不等式性质,可得xy;即2正确;3若a=l,b=-l,满足但不满足一3错误;a-b a4若工工0,则人0,因止匕一〃2=〃々一〃vO,abb2;故4正确;a b故答案为124【点睛】本题主要考查判定命题的真假,考查由不等式性质判定所给结论是否正确,属于基础题型.
20.2020•上海格致中学高一月考写出2的一个必要非充分条件.【答案】a\【分析】根据必要非充分条件的定义,知而〃1不一定有a〉2,即1是a2的一个必要非充分条件.【详解】6Z26Z1,而2今1,,a1是a2的一个必要非充分条件.故答案为a\【点睛】本题考查了必要非充分条件,根据定义法写出一个必要非充分条件,属于简单题.
21.2020・上海高一专题练习若x«2,5]和XE{X|X1或x4}都是假命题,则工的范围是【答案】[1,2【分析】先由x«2,5]和%E{X[X1或%4}都是假命题,求出x的范围,取交集即可.【详解】若尤«2,5]为假命题,则有或%5}若XE{X[X1或x4}是假命题,则XE{X|14x44}所以工的范围是l〈xv2即x的范围是[1,2胡答案为[L
222.2020•上海市控江中学高一期中设2Vx4,Pxm,是p的充分条件,则实数加的取值范围是.【答案】F,2]【分析】根据充分条件的定义求解.【详解】a是△的充分条件,则满足2Vx4的x值一定满足工相,因此有加
42.故答案为[一8,2].
23.2020•上海市嘉定区第一中学高一月考设有两个命题;
①方程/+公+9=0没有实数根;
②实数为非负数;如果这两个命题中有且只有一个是真命题,那么实数的取值范围是.【答案】-6,0[6,”【分析】分别根据两个命题为真命题时求出,的范围,再分两种情况讨论求解可得结果.【详解】方程/+改+9=0没有实数根等价于八二片一360,即-6〃6,实数a为非负数,即[-6a6若
①为真命题,则
②为假命题,所以《八,得-60;__\a-6或a6若
①为假命题,则
②为真命题,所以《八,得〃
26.[a0所以实数的取值范围是一6,0U[6,+
8.故答案为-6,0D[6,+8【点睛】关键点点睛分别根据两个命题为真命题时求出々的范围是解题关键.
24.(2020•上海格致中学高一期中)命题若a+b4,则2或bW2”是命题.(填“真”或“假”)【答案】真【分析】先写出逆否命题,然后根据逆否命题的真假判断原命题的真假.【详解】因为逆否命题为“36尺,若〃22且b〉2,则〃+显然且Z2时,a+/24满足,所以逆否命题为真命题,所以原命题为真命题,故答案为真.
三、解答题
25.(2020•上海)试说出下列命题的反面
(1)a是实数;
(2)a大于2;
(3)a小于2;
(4)至少有2个;
(5)最多有一个;
(6)两条直线平行.【分析】根据命题的否定直接求解即可【详解】
(1)a不是实数.
(2)a小于等于
2.
(4)a大于等于
2.
(4)至多有1个
(5)最少有两个
(6)两条直线不平行.
26.(2020•上海奉贤区致远高级中学高一月考)设3(x5,若是A的充分条件,则实数的取值范围【答案】[5,+8)【分析】由题意有尸,即可求实数的取值范围.【详解】a是4的充分条件,即an,:.ajB,而a=[3,5),^=(-oo,m),.m5,故实数的取值范围[5,+cc).【点睛】本题考查了由充分条件求参数范围,应用了集合的包含关系,属于简单题.
27.(2020•上海高一单元测试)写出命题“若%1,则九〉0”的逆命题、否命题、逆否命题,并指出各个命题的真假.【答案】逆命题若x〉O,则xl;假命题.否命题若则x0;假命题.逆否命题若x0,则xl;真命题【分析】由逆命题、否命题、逆否命题的定义直接写出结果并判断.【详解】逆命题若x0,则xl;当工=工时,满足条件,但结果不成立,所以它是假命题.2否命题若xWl,则xWO;当工=工时,满足条件,但结果不成立,所以它是假命题.2逆否命题若xWO,则真命题【点睛】本题考查了四种命题形式及其真假判断,属于基础题.
28.(2020・上海高一专题练习)(充分必要条件的判断)指出下列各组命题中,夕是°的什么条件?
(1)在△/%中,pAB,qBOAC;
(2)已知才、yGR,0(『1尸+(尸2尸=0,q(『1)(尸2)=0【答案】
(1)夕是q的充要条件;
(2)夕是q的充分不必要条件.【分析】
(1)利用充要条件的定义求解即可;
(2)分别解方程,利用充分不必要条件的定义求解即可.【详解】
(1).ABC中,可得即夕是°的充要条件;
(2)(『1尸+(厂2)2=0解得x=l且=2;(『1)(广2)=0解得x=l或y=2;即0是的充分不必要条件.
29.(2020・上海高一专题练习)求证关于1的方程d+2改+5=0有实数根,且两根均小于2的一个充分条件是〃22且陶
4.【分析】由AZO确定方程有实数根,结合二次函数性质分析,知要证两根都小于2,只需/
(2)0,通过证明/
(2)0在a N2且网4时成立,使得充分条件得证.【详解】当[22且同4时,由题设有A=4(/—b”4(4-〃)N0,・,・原方程有实数根.函数〃x=*+2“r+/的图象为开口向上的抛物线,对称轴为.一QW—22,因此要证两根都小于2,只需20即可.又〃2=4+4a+bN4+4x2+Z=12+Z,同4,.・.TZ44,.・・/2=12+〃N12—4=80,・••方程的两根都小于2,,关于x的方程2+2ax+b=Q有实数根,且两根均小于2的一个充分条件是2且同
4.x
30.2020・上海高一专题练习设口,是方程/—依+〃=的两个实根,试分析21是两根,4均大于1的什么条件?【答案】必要不充分条件【分析】根据充分条件与必要条件的概念判断即可.【详解】解根据题意,只需研究21是的什么条件即可.⑴研究9np的真假性若根据韦达定理得a=a+/32,b=aB\,:.q np.⑵研究,=4的真假性根据题意,取=4,尸=工,它满足〃=+/2,,但£1不成立.2所以若P,则9是假命题.综上可知21是1/1的必要不充分条件.【点睛】本题考查充分条件与必要条件的概念,解题的关键在于取特殊值,举反例,达到论证效果.考查逻辑推理能力,是基础题.
31.2020•上海市奉贤区奉城高级中学高一期末已知命题〃关于x方程d+4x+m-1=0有两个不相等的负根,命题关于x的方程4Y+4x+|m—2|=无实数根.1若命题〃是真命题,求加的取值范围;2若命题〃,4中有且仅有一个是真命题,求加的取值范围.【答案】⑴1,5;2S,1U1,3]U[5收.【分析】1根据命题为真,得到方程有两不等负根,由此列出不等式求解,即可得出结果;2先求出q为真命题时,加的范围,再由题中条件,得到〃,4一真一假,由此可求出结果.【详解】1若命题〃是真命题,则关于1方程/+4%+机—1=0有两个不相等的负根,A=16-4m-l0所以只需1-40,解得15,m-10即m的取值范围为1,5;2若4为真命题,即关于X的方程4d+4x+m—2=0无实数根,则△=16—16加一2V0,ip m-21,解得根3或m1;若夕为假命题,则小3;由1知,〃是真命题时,1根5;所以,为假命题时,相£1或根25;因为命题〃,令中有且仅有一个是真命题,1m5当〃为真命题,4为假命题时,由可得1相43;lm3当q为真命题,〃为假命题时,只需求y,lu3,y与TXU]U[5,4W的交集,即-oo,1U[5,-FW;综上,优的取值范围为―8,1J1,3]J[5,
48.
32.2020•上海市青浦高级中学高一月考已知命题P方程4/—4根-2x+l=0有两个不相等的负根;命题,方程f+33+4=0无实根若命题〃与4一真一假,求实数机的取值范围.[4【答案】一巴一可44【分析】先由已知条件求出〃为真时,有机1,4为真时,有一—加一,再由命题〃与q一真一假,33分情况求解即可・、工〜.AH-++*、r+r-t iA=16/7—2—160【详解】解右〃为真,则〈I,解得m1,m-2044若q为真,则八二少先—i6o,解得—彳用7,33而命题,与q—真一假,共有两种情况,m\m14m
①〃真4假,则v4或—m——33m14
②〃假q真,则144,所以14根7;——m—333(4综上,实数加的取值范围是-8,一1【点睛】此题考查由命题的真假求参数范围,考查一元二次不等式的解法,考查计算能力,属于基础题
33.(2020•上海)设,仇均为正实数,反证法证明〃+,力+工,+,至少有一个不小于
2.b c a【分析】假设结论反面成立,即〃+,力+工,+,全部小于
2.然后推理出矛盾结论.b ca【详解】证明假设Q++全部小于
2.即Q+!2/+L2,C+」2,b ca b ca则Q+』+b++c+L6,
①b ca乂a T}rh-\Fed—=QH—+/H—+cd—
2.x—+
2.//x—+
2./c x—=6,当且仅当b ca ab c\a\b\ca=b=c=l时等号成立,与
①矛盾,所以假设错误.原命题为真.所以〃c+工至少有一个不小于
2.bca【点睛】本题考查反证法.掌握反证法这个方法是解题基础.反证法是假设结论的反面成立,然后作为条件进行推理,得出矛盾的结论,可与已知条件矛盾,可能推理过程得出矛盾的结论,可与已知的定义、定理、公理等矛盾.从而说明假设错误,原命题正确.
(1)不等式的传递性;
(2)等量加不等量为不等量;
(3)同分子(分母)异分母(分子)的两个分式大小的比较.[注意]放缩要适度,“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析,多次尝试得出.一【考点剖析】题型一.命题的有关概念例
1.(2022秋•奉贤区校级期中)“所有偶数都不是素数”是假命题.(填“真”或“假”)【分析】由2既是偶数又是素数,即可求解.【解答】解—所有偶数都不是素数,是错的,例如2既是偶数又是素数.故答案为假.【点评】本题主要考查全称量词和全称命题,属于基础题.【变式】(2021秋•普陀区校级期中)已知是常数,命题p存在实数x,使得同-〈0,若命题p是假命题,则实数〃的取值范围为(-8,0].【分析】写出命题p的否定命题「p,根据「p是真命题求出的取值范围.【解答】解命题p存在实数先使得因-0,它的否定命题是「P对任意实数x,kl-且是真命题,所以aW|x|对任意实数x都成立,所以实数的取值范围是(-8,0].故答案为(-8,0].【点评】本题考查了四种命题的应用问题,是基础题.题型二.充分条件例
2.(2022秋•青浦区校级月考)已知ax3m7或不-m,0xW2或无3,若a是0的充分条件,求实数机的取值范围.【分析】根据充分与必要条件的概念,建立不等式即可求解.【解答】解Vax3〃z-1或%》-pxW2或x3,又a是0的充分条件,/.{x\x3m-1或X,-/%}U{x|xW2或x3},.[3m-l
2.一「[-m3・••实数〃2的取值范围为(-8,-3).【点评】本题考查充分与必要条件的概念,不等式思想,属基础题.【变式1】.(2022秋•普陀区校级期末)设px5,g x6,那么p是^成立的()条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要.【分析】根据已知条件,结合充分条件、必要条件的定义,即可求解.【解答】解xV5能推出xV6,充分性成立,x6不能推出x5,必要性不成立,故〃是夕成立的充分不必要条件.故选A.【点评】本题主要考查充分条件、必要条件的定义,属于基础题.【变式2】(2022秋•闵行区期末)已知集合4={幻,8={/},则“x=l”是=的()A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件【分析】利用集合的相等求出工再利用充要条件的定义判定即可.【解答]解若A=则x=/,.・.x=0或%=1,Ax=l是A=8的充分不必要条件,故选A.【点评】本题考查了集合的相等,充要条件的判定,属于基础题.【变式3](2022秋•金山区期末)设则“|x-1|V2”是“-的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【分析】解不等式以-1|2得-1VXV3,然后判断充分性和必要性即可.【解答】解解不等式|九-1|2得-lx3,当-lx3时,-1VXV5一定成立,但是当-l〈xV5时,-1〈犬3不一定成立,所以“以-1|2”是“-145”的充分不必要条件.故选A.【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.【变式4](2022秋•长宁区期末)如图,点D、E分别为△ABC的边AB.AC上的一点,若a:果嗡,6s DEBC,则0是a的()B.必要非充分条件D.既非充分又非必要条件C.充要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义即可得出结论.【解答】解・.・改=些,且无法推出AB BC・••无法推出DE//BC,不是0的充分条件,■:DE//BC,.ZADE=A ABC./AED=/ACB,AB BC是0的必要条件,・・・B是a的充分不必要条件.故选:故【点评】本题考查充分条件、必要条件、充要条件、三角形相似等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.【变式5】(2022秋•普陀区校级期末)已知集合二{%|上乙1},集合3={川仅-〃其2}.x*2A
(1)当〃=-1时,求AU
(2)若“XC8”是“xWA”的充分条件,求实数的取值范围.【分析】
(1)解出集合4B,进而求AU
(2)先求出CuA,利用集合的包含关系列不等式,即可求解.【解答】解
(1)A=[x1]={x|-2x2]5={x||x-a|W2}=3〃-2WxW〃+2}.x+乙当a=-1时,B={x\-}.因为A={x|-2x2},所以AU8={x|-3WxV2}.
(2)因为A={x|-2VxV2},所以出CuA={x|xW-2或x22}.因为“xEB”是的充分条件,所以尤CuA,所以Q+2W-2或Q-2N2,解得aW-4或所以实数a的取值范围为{祢/W-4或心4}.【点评】本题考查集合的运算,属于基础题.【变式6】(2022秋•浦东新区校级月考)已知集合A={x|3-〃WxW3+〃},”{小W0或%24}.
(1)当4=1时,求
(2)若0,且“尤A”是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【分析】
(1)先化简,再运算即可得解;
(2)根据题意可得A是CR8,从而可得到不等式组,解得即可.【解答】解
(1)・.・〃=1时,4=[2,4],又或x24},.A(1B={4};
(2)・・・3={x|xW0或x24},A CRB=(0,4),又“x€A”是“X€CRB”的充分不必要条件,・・・A星CRB,又〃0,,AW0,3-a03+a4,.0al9软0♦故实数的取值范围为(0,1).【点评】本题考查集合的基本运算,充分条件和必要条件的应用,属于基础题.【变式7](2022秋•浦东新区校级月考)命题p集合M={x\x-2或x3},命题q集合」x-640,,rN={x|{x a0(a6))-+
(1)若=-3时,判断集合M与N的关系;
(2)若40且MCN={R3VxW6},求实数a的取值范围;
(3)若三是的充分不必要条件,求实数的取值范围.【分析】
(1)若=-3,则N={x[3x6},即可判断M与N的关系;
(2)先化简集合M再通过集合交运算的性质,即可得到答案;
(3)p是M的补集,再通过{x|-2Wx3}是{x|-axW6,i6}的真子集,即可得出答案.【解答】解1若=-3,贝UN={x[3xW6},又Af={x[x-2或x3},.NJM,,2由题意得N={X|-QVXW6,0VQW6},又因为MGN={X|3X6},所以-三-2,得2;
(3)因为p是g的充分不必要条件,即{x|-2WxW3}是{x|-aVxW6,〃W6}的真子集,所以(-呼=解得:2后
6.U6【点评】从集合角度考虑是解决本题的关键,属于基础题.【变式8](2022春•普陀区校级月考)已知集合尸={x||x-1|V3},={邛」-2«加+2,mER].若产的充分非必要条件为Q,求实数m的取值范围.【分析】根据充分必要条件的定义得到关于加的不等式组,解出即可.【解答】解P={x\\x-1|3}={x\-2x4},若P的充分非必要条件为Q,即是P,
①Q=0时,3m-25加+2,解得m-2,3m-245m+2
②#0时,《3m-2〉-2,解得0相2,5m+24综上,他的取值范围是{词口-2或0根2}.5【点评】本题考查了充分必要条件,考查不等式问题,是基础题.【变式9】(2021秋•黄浦区校级月考)已知pxE4,且A={x|a-IVxVa+l};qxEB,且B={x|x〈l或x23}.
(1)若ACB=0,4U8=R,求实数a的值;
(2)若〃是q的充分条件,求实数,的取值范围.【分析】
(1)由AGB=0,AUB=R,借助于数轴列方程组可解,的值;
(2)把〃是q的充分条件转化为集合A和集合8之间的关系,运用两集合端点值之间的关系列不等式组求解〃的取值范围.【解答】解:
(1)A=(x\a-lxa+l},或x》3},由AC3=0,AUB=R,得!a-l-l,得a=2,U+l=3••・满足AG3=0,AU8=R的实数的值为2;2Tp是q的充分条件,・・・AU3,且AW0,贝lj Q+1W1或1N3,解得QWO,或Q24,,p是4的充分条件的实数的取值范围是-8,0]U[4,+
8.【点评】本题考查了充分条件,考查了集合关系的参数取值问题,集合关系的参数取值问题要转化为两集合端点值的大小比较,是易错题.题型三.必要条件例
3.2022秋•崇明区期末已知全集=凡集合A=[-2,10],B={x\\x-m\^2}.1若加=10,求AUB;2若AG8=0,求实数机的取值范围;3若“XC4”是“一3”的必要非充分条件,求实数用的取值范围.【分析】1把力=10代入,求出集合8,再利用并集、补集的定义求解;2化简集合8,利用交集的结果列出不等式,能求出实数机的取值范围.3利用必要不充分条件的意义,结合集合的包含关系求解,能求出实数〃2的取值范围.【解答】解1当〃2=10时,B={x||x-m|^2}=[8,12],.AUB=[-2,12],***AUB=-8,-2u12,+
8.2B={x||x-m\^2}=[m-2,m+2],V/inB=0,则根-210或机+2V-2,解得机12或机V-4,・••实数〃2的取值范围是-8,-2U12,+8;3•/“XS4”是“xCB”的必要非充分条件,Z.BuA,f m+
210.f m+210由⑵知,
4、或
4、,[-2tm-2解得0mW8或0Wm8,・・・OW〃2W8,综上,实数机的取值范围是[0,8].【点评】本题考查并集、补集、交集、子集的定义、不等式的性质、必要不充分条件的意义等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.【变式1】2020秋•浦东新区校级月考已知全集为R,集合A={x[〃x2+〃},8={x|xl或x〉4}.1当AABW时,求实数a的取值范围;
(2)若在,是在3的必要非充分条件,求实数a的取值范围.【分析】
(1)根据AA3=0,得出关于的不等式,求出解集即可;
(2)根据在A是在8的必要非充分条件,得出关于〃的不等式,求出解集即可.【解答】解
(1)集合A={X|Q〈XV2+Q},8={XK1或X4},当AA5W0,则“VI或〃+24,解得QVI或〃2,故实数a的取值范围为或a2};
(2)9A={x\ax2+a},,A=CRA=或x,a+2},V%6A是xEB的必要非充分条件,・••腾CRA,.(软)1,la+24,解得1WQW2,・・・的取值范围是{|1W〃W2}.【点评】本题考查充分必要条件的判定及应用,是基础题.【变式2】(2022秋•松江区校级期末)已知MW0,则“包1”是“巨1”成立的()b aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【分析】利用举实例判断充分性,利用不等式的性质判断必要性.【解答】解
①当=-2,=1时,满足包1,但上1不成立,.••充分性不成立,b a
一、b、0_p.a04
②・・・义1=4(4-)V0Q4/或《、040或VaVO,aa-b0a-b0,包1成立,,必要性成立,b则包1是2i成立的必要不充分条件,b a故选B.【点评】本题考查了不等式的性质,充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.【变式3】(2022秋•黄浦区校级月考)“关于x的方程〃/+笈+c=(*0)有实数根”是“ocVO”的什么。