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第02讲集合之间的关系(3种题型)O【知识梳理】一.集合的包含关系判断及应用如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A叫做集合B的子集;力G如果集合A是集合8的子集,并且8中至少有一个元素不属于4那么集合力叫做集合B的真子集,即力u【解题方法点拨】
1.按照子集包含元素个数从少到多排列.
2.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.
3.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.
4.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.【命题方向】通常命题的方式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集的个数,简易逻辑等知识相结合命题.二.子集与真子集
1、子集定义一般地,对于两个集合力,4,如果集合/中任意一个元素都是集合4中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合力为集合8的子集(subsei).记作AQB(或82力).
2、真子集是对于子集来说的.真子集定义如果集合力G8,但存在元素XW8,且元素x不属于集合4我们称集合力是集合8的真子集.也就是说如果集合力的所有元素同时都是集合B的元素,则称彳是8的子集,若B中有一个元素,而力中没有,且4是8的子集,则称力是B的真子集,注
①空集是所有集合的子集;
②所有集合都是其本身的子集;
③空集是任何非空集合的真子集例如所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.{1,3}u{l,2,3,4){1,2,3,4}C{1,2,3,4}
3、真子集和子集的区别A.9B.8C.7D.6【分析】根据条件,让x从0开始取值,求出对应的y值x=0,y=6x=l,y=5;x=2,y=2;x=3,y=-3,显然x往后取值对应的y值都小于0,所以集合{),€N=・小+6,正阴=(2,5,6},这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数.【解答】解x=0时,尸6;x=1时,y=5;x=2时,y=2;x=3时,y=-3;・・•函数y=-f+6,xWN,在[0,+8)上是减函数;.323时,yVO;.\!GN[y=-+6,xGN}={2,5,6};・•・该集合的所有真子集为:0,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6};・••该集合的真子集个数为
7.故选C.【点评】考查描述法表示集合,自然数集N,以及真子集的概念.
21.(2022秋•金山区期末)己知集合A={x\(a-1)/+3》・2=0}有且仅有两个子集,则实数a=1或1・•8-【分析】结合已知条件,求出(〃-1)/+3工-2=0的解的个数,然后对参数分类讨论,并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【解答】解若力恰有两个子集,所以关于x的方程恰有一个实数解,
①当=1时,x』,满足题意;3
②当aWO时,A=8a+l=0,所以行二,8综上所述,=1或=’.8故答案为1或」.8【点评】本题主要考查集合子集的应用,属于基础题.
22.(2022秋•黄浦区校级期中)设集合力=|办+1=0,xWR}只有一个子集,则满足要求的实数=
0.【分析】根据已知条件,推得力为0,即可求解.【解答】解集合4=5|⑪+1=0,xWR}只有一个子集,则彳={》皎+1=0,xGR)=0,所以方程ar+l=O无解,即=
0.故答案为
0.【点评】本题主要考查子集的定义,属于基础题.
23.(2022秋•浦东新区校级期中)满足{1,2}£4乂1,2,3,4,55的集合4共有7个.【分析】根据已知条件,结合并集的定义,以及集合之间的包含关系,即可求解.【解答】解:{1,2}口口{1,2,3,4,5},则满足条件的集合力有{1,2},{1,2,3},{1,2,4),{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5),{1,2,4,5)共7个.故答案为
7.【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用,属于基础题.
24.(2022秋•嘉定区校级期中)集合/U{1}={1,2,3},则满足条件的集合4共有2个.【分析】求出所有满足条件的集合力即可得出.【解答】解若4U{1}={1,2,3},则/={2,3}或4={1,2,3},共有2个.故答案为
2.【点评】本题考查集合之间的关系,属于基础题.
25.(2022秋•浦东新区校级期中)满足{〃,b}QAQ{a,b,c,d,e}的集合力的个数为
8.【分析】根据已知条件,结合集合的包含关系,即可求解.【解答】解{a,b}QAQ{a^b,c,d,e},则集合4为{〃,b},{a,b,c}{a,b,d},{a,b,e}{a,b,c,d},{a,b,c,e}»{a,b,d,e},t(«♦b,c,d,e}故集合力的个数为8个.故答案为
8.【点评】本题主要考杳集合的包含关系,属于基础题.
26.(2022•浦东新区校级开学)下列命题中正确的是()A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集D.设集合8G4,那么,若曲1,则在8【分析】利用子集、其子集、空集的定义直接求解.【解答】解对于4空集的子集是空集,故力错误;对于8,空集是任何一个非空集合的真子集,故8错误;对于C,空集只有一个子集,故C错误;对于,设集合8G力,那么,若让儿则xWA,故正确.故选D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查子集、真子集、空集的定义等基础知识,是基础题.
27.(2022秋•浦东新区校级期中)已知集合4=3(AM)1=0}有且仅有两个子集,则实数左=_二1或・
2.【分析】根据集合力={x|(什1)/+2x-1=0}有且仅有两个子集,转化为方程(什1)』+21-1=0有一个解或两个相同的实数根即可.【解答】解:集合4=国(4+1)»+2x-1=0}有且仅有两个子集,工方程(左+1)/+1-1=0有一个解或两个相同的实数根即可,当左=7时,A={x|2x-l=0}={y}>符合题意;当ZW・1时,△=4+4(左+1)=0=k=-2;所以实数左=-1或%=-
2.故答案为・1或・
2.【点评】本题主要考查了集合子集的定义,属于基础题.
28.(2022秋•徐汇区校级月考)已知{1,2}cMc{l,2,3,4,5},则满足要求的集合M共有8个.【分析】由题意可知,满足要求的集合股的个数即为集合{3,4,5}的子集的个数,再结合集合的子集个数公式求解即可.【解答】解;{1,2}UMG{1,2,3,4,5),・••满足要求的集合M的个数即为集合{3,
4.5}的子集的个数,・••满足要求的集合M的个数为23=
8.故答案为
8.【点评】本题主要考查了集合的包含关系,考查了集合的子集个数公式,属于基础题.
29.2022秋•杨浦区校级期中考虑集合5={1,2,3,8}的非空子集,若其子集中的奇数个数不少于偶数个数,则称这个子集叫做“奇子集”,则S的“奇子集”的个数为
162.【分析】集合S中共有8个数字,一半偶数,一半奇数,S的子集中的奇数最多只能取4个,则偶数个数一定比奇数个数少,依次分类即可.【解答】解设一个“奇子集”中有i i=l,2,3,4个奇数,则偶数的数目可以有/=0,1,・个,因此,“奇子集”的数目为C1+C2C°+CJ+C2+3CO+CUC^C3+C4C°+C44444444444444l+C^-C^C4=
162.4444故答案为
162.【点评】本题为新定义,考查子集,组合数的计算,属中档题.
30.2022秋•长宁区校级期中集合P满足尸u{x,yM+j,2=4,-,£Z},则这样的集合有15个.【分析】用列举法表示集合{G,/*+城=4,x,好Z},求其真子集的个数得答案.【解答】解:{x,y|+/=4,x,WZ}={-2,0,2,0,0,-2,0,2,■;Pu{x,y仔与展=4,x,y€Z},・••集合户有24・1=15个.故答案为
15.【点评】本题考杳子集与真子集,考查集合的包含关系及应用,是基础题.
31.2022秋•普陀区校级月考若集合“|依•2+3x+2=0,xER}至多有两个子集,则实数A,的取值范围为例叫旦+OO.8-----------【分析】由题意可知,方程入2+3,什2=至多有1个实根,再分斤=0和%#0两种情况讨论,分别求出“的取值范围,最后取并集即可.【解答】解•••集合“依2+3工+2=0,xWR}至多有两个子集,・•・方程云至多有1个实根,
①当左=0时,方程化为3x+2=0,根为x=-2,符合题意,3
②当左W0时,A=9-8%W0,解得人8,U8综上所述,实数〃的取值范围为+
8.O故答案为{0}“U,+8).o【点评】本题主要考查了一元二次方程根的个数问题,属于基础题.三.集合关系中的参数取值问题(共2小题)
32.(2020秋•徐汇区校级月考)已知集合力={小2-5工+4W()},集合4=但f-2at+a+2W0},若B7A,则实数a的取值范围为・lVaW手.【分析】分别解出集合/、对于集合我们需要讨论它是不是空集,再根据子集的定义进行求解;【解答】解集合力={M»-5x+4W0},集合8={x|-2ax+a+2W0},BWA,解得4={x|lWxW4},若B丰,A=(-2a)2-4(+2)=4a2-4a-820,可得Q22或QW-1;B=3-“-a-2WxWq+3__2卜J a+V a2-a_24©1a-Va2-a-2〉1
②解不等式
①得,《竽解不等式
②得,1W〃W3,取交集得,iWaW卫,7又,.,△20,可得或QW・1可得卫7当=竿符合题意;当=2符合题意;・・.2,W理7若4=0,可得A=(-2)2-4(4+2)=4a2-4a-80,-1«2;综上可取并集得-laW07故答案为-I7【点评】本题考点集合关系中的参数取值问题,考查了一元二次不等式的解法,集合包含关系的判断,解题的本题,关键是理解由此得出应分两类求参数,忘记分类是本题容易出错的一个原因,在做包含关系的题时,•定要注意空集的情况,莫忘记讨论空集导致错误.
33.(2022秋•松江区校级期中)集合={x|a1+4x+4=(),x£R}中只含有1个元素,则实数的取值是_Q或
1.【分析】集合力表示的是方程的解;讨论当二次项系数为0时是一次方程满足题意;再讨论二次项系数非0时,令判别式等于0即可.【解答】解当4=0时,/4={x|4x+4=0}={-1}满足题意当#0时,要集合力仅含一个元素需满足A=16・16a=0解得4=1故的值为0:1故答案为0或1【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为0的情况、考虑判别式的情况.—【过关检测】
一、单选题
1.(2022•上海•高一专题练习)下列命题中正确的是()A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集D.设集合那么,若x任A,则【答案】D【解析】根据集合的相关概念,逐项判断,即可得出结果【详解】A选项,空集是其本身的子集,A错;B选项,空集是任一非空集合的真子集,B错;C选项,空集只有一个子集,即是空集本身;C错;D选项,若BgA,则3中元素都在A中,A中没有的元素,则4中也没有;故D正确.故选D.
2.(2019秋•上海嘉定•高一校考期中)下面写法正确的是()A.0G{1,0}B.|1,0}C.1,0G{1,0}D.1,0C{1,0}【答案】C【分析】根据元素与集合、集合与集合之间的关系判断可得答案.【详解】{1,0}的由一个点1,0构成的点集合,所以0壬{1,}故A错误;{1,0}故B错误;1,0w{1,0}故C正确,D错误.故选C.
3.2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习A={x\x\}那么下列结论错误的是tA.0eA B.{0}c4C.OwA D.0QA【答案】A【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系即可判断,切记空集是任何集合的子集.【详解】对于A,是任何集合A的子集,也即0=4,故选项A错误对于B,因为01,所以{0}=A成立,故选项B正确;对于C,因为01,所以Oe A成立,故选项C正确;对于D,因为是任何集合A的子集,所以0UA成立,故选项D正确,所以结论错误的是A,故选A.
二、填空题
4.2022秋•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考期中已知集合A={-2,3,6加-6},若{3,6}±A,则ffi=.【答案】2【分析】根据子集概念可知6e4,由此可构造方程求得优.【详解】{3,6}=A,「.6WA,,6L6=6,解得m=
2.故答案为
2.
5.2023春・上海宝山•高一上海交大附中校考期中已知集合4={1}1=„+24+〃=0,.丘耳,且4=8,则实数的值是.【答案】-3【分析】根据Aub得出x=l是方程/+2,1+〃=0的解,将x=I代入方程V+2x+a=0中进行计算,即可得出结果.【详解】因为A={1},4=卜,2+2工+〃=0},A±B,所以x=l是方程x+2x+〃=0的解,即12+2x1+4=0,解得+=-
3.经检验,=-3符合题意,所以a=-
3.故答案为-
3.
6.(2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习)如果集合A={x|xwZ且xZO},8={),|y=x2,xeZ},则集合AI的关系是.【答案】B A或A B.【分析】由子集的定义结合已知可判断8=A,再利用元素2即可判断.【详解】因为X6Z,所以deZ,且x220,因为A={x|x£Z且xNO},所以/wA,所以3uA,因为2eA,228,故答案为B A或A B.
7.(2022秋•上海长宁•高一统考期末)用符号u〃=〃或n〃填空⑷{,,b,c}.【答案】u【分析】由集合间的关系即可求.【详解】a为集合{为c)的其中一个元素,故{a}u{a,b,c}.故答案为u.
8.(2022秋•上海黄浦•高一上海市光明中学校考阶段练习)已知集合4={1,2},则A的所有真子集为【分析】根据真子集的定义进行求解即可.【详解】因为A={1,2},所以4的所有真子集为{1},{2},0,故答案为{1},{2},
09.(2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习)写出集合工2}的所有子集.【答案】0,{1},{2},{1,2}【分析】根据子集的概念进行求解即可【详解】集合{1,2}的所有子集有0,{1},{2},{1,2}.故答案为0,{1},{2},{1,2}
10.(2022•上海•高一专题练习)下列说法中,正确的有
(1)空集是任何集合的真子集
(2)若A=B,则AqC
(3)任何一个集合必有两个或两个以上的真子集
(4)若不属于8的元素一定不属于A,则【答案】
(2)
(4)【分析】根据集合子集、真子集、包含关系可判断
(1)
(2)
(3),画韦恩图可判断
(4),进而可得正确答案.【详解】对于
(1)空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,故
(1)错误;对于
(2)子集具有传递性,若AuB,BGC,则A=C,故
(2)正确;对于
(3)若一个集合是空集,则它没有真子集,故
(3)错误;对于
(4)任何不属于8的元素一定不属于A,则由韦恩图可知
(4)正确;故答案为:
(2)
(4).
11.(2022•上海•高一专题练习)设集合4={.丫|14把2},B={x\x^a},若AgB,则的范围是【答案】(,川【分析】直接由包含关系即可求解.【详解】解IL4={x|lr2},8={x\xa},又A=B,0al.故答案为(t30」].
12.(2021秋•上海嘉定•高一上海市嘉定区第一中学校考期中)已知集合4={-1,3,2〃-1},5={3,叫,若则实数〃=.【答案】1【分析】由题得〃/=2〃一1,解出〃值检验即可.【详解】由题知4={-1,3,2〃1},8={3,〃72},若8=4,则=_]或=2〃1,当1=7时,方程无解;当m2=2/w—1时,m2—2m+1=0,解得:/〃=I,此时,A={-1,3,1},5={3,1},符合题意,所以m=
1.故答案为
1.
13.(2022•上海•高一专题练习)集合/=U,|y=/+3x+l},B=[y\y=^-3x+l},则集合4与集合B之间的关系是(用
1、u、=来表示)【答案】=【分析】根据配方法求出一元二次函数的值域,进而判定两集合的关系.【详解】因为尸产+3工+1=*+:)2一;之一9244Ry=x2-3x+\=(x--)2-244所以A=8=[4-00),4即集合A与集合B之间的关系是=.故答案为=.
14.(2021秋•上海徐汇・高一南洋中学校考阶段练习)下面六个关系式
①0={};
②③{}《{};
④{a}e{,}
⑤⑥0e{a,b},其中正确的是【答案】
①③⑤子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等;真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等;注意集合的元素是要用大括号括起来的“{},如{1,2},{a,b,g};另外,{1,2}的子集有空集,{1},{2},{1,2}.真子集有空集,{1},{2}.一般来说,真子集是在所有子集中去掉它本身,所以对于含有〃个〃不等于0元素的集合而言,它的子集就有2〃个;真子集就有2〃-
1.但空集属特殊情况,它只有一个子集,没有真子集.【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别,不可混为一谈,AQB,并且6c4时,有力=3,但是力U8,并且〃U4是不能同时成立的;子集个数的求法,空集与自身是不可忽视的.【命题方向】本考点要求理解,高考会考中多以选择题、填空题为主,曾经考查了集个数问题,常常与集合的运算,概率,函数的基本性质结合命题.三.空集的定义、性质及运算
1、空集的定义不含任何元素的集合称为空集.记作
0.空集的性质空集是一切集合的子集.
2、注意:空集不是没有;它是内部没有元素的集合,而集合是存在的.这通常是初学者的一个难理解点.将集合想象成一个装有其元素的袋子的想法或许会有帮助袋子可能是空的,但袋子本身确实是存在的.例如国+1=,x£R}=
0.虽然有x的表达式,但方程中根本就没有这样的实数》使得方程成立,所以方程的解集是空集.
3、空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.【解题方法点拨】解答与空集有关的问题,例如集合力实际上包含3种情况
①8=0
②8u4且於0;
③8=4往往遗漏4是0的情形,所以老师们在讲解这一部分内容或题目时,总是说“空集优先的原则”,就是首先考虑空集.【命题方向】一般情况下,多与集合的基本运算联合命题,是学生容易疏忽、出错的地方,考查分析问题解决问题的【分析】根据集合与集合,元素与集合的关系判断即可.【详解】空集是任何集合的子集,故
①正确;由元素与集合的关系可知,仇c},故
②错误,
⑤正确;由集合与集合的关系可知,{a}q{a},{a}q{a,)},0q{”,〃},故
③正确,
④⑥错误;故答案为
①③⑤
15.(2022秋•上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考期末)用集合符号填空,卜=x+^),,x,ywQ)Q.【答案】【分析】当),=时,该集合为有理数集,当了、工0时,该集合包含无理数,即可判断答案.【详解】当y=0时,a=x+叵y,x,y eQ={«|(z=x,x eQ)=Q,当),h时,卜卜=x+夜),,乂GQ}包含无理数,故+a=x+垃y,x,yGQ]Q,故答案为.
16.(2022秋•上海青浦•高一上海市青浦高级中学校考期中)已知非空集合”满足对任意xeM,总有Y任”且五任M,若q{0,1,2,3,45},则满足条件的必的个数是.【答案】11【分析】根据集合”的元素特征以及有限集的子集个数即可解出.【详解】因为非空集合M至少含有一个元素,而且根据题意可知,集合〃中不能含有」,且2,4不能同时存在于集合,所以由集合{2,3,4,5}的非空子集个数为2-1=15,再排除不符合题意的{2,4},{2,3,4},{2,4,5},{2,3,4,5},故满足题意的M的个数是15-4=
11.故答案为
11.
17.(2022秋•上海徐汇•高一上海市第二中学校考阶段练习)满足{2,4}q Au{1,248,16}的集合A的个数为【答案】7【分析】根据{2,4}©Au{l,2,4,8,16}得到集合A中一定有元素2,4,再与其他几个数进行组合,得到满足要求的集合人,得到答案.【详解】因为{2,4}qAup24,8,16}所以集合A中一定有元素2,4,所以满足要求的集合有{2,4},{1,2,4},{2,4,8},{2,4,16},{1,2,4,8},{1,2,4,16},{2,4,8,16},共7个,故答案为
718.(2022秋•上海浦东新•高一华师大二附中校考期中)已知集合A={x\ax2+3x-2=o}有且仅有两个子集,则满足条件的实数组成的集合是9【答案】-三,【O【分析】根据集合A的子集的个数得到集合A中只有一个元素,然后分=0和两种情况求解即可.【详解】因为集合A有且仅有两个子集,所以集合A中只有一个元素,即方程0+3》-2=0只有一个解,当〃=0时,3x-2=0,只有一个解,满足要求;99当时,△=9+8=0,解得二一7,所以〃=一~■或
0.8o故答案为卜川・
19.(2022秋•上海浦东新♦高一上海南汇中学校考期中)设集合/二{1,3,5,7},若非空集合A同时满足
①@Hmin(A),(其中网表示A中元素的个数,min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为/的一个好子集,则/的所有好子集的个数为.【答案】8【分析】根据好子集的定义,分类讨论即可求出.【详解】
①当1*=1,即集合A中元素的个数为1时,A的可能情况为{1},{3},{5},{7},
②当|A|=2,即集合A中元素的个数为2时,A的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7}
③当|A|=3,即集合A中元素的个数为3时,A的可能情况为{3,5,7},.•./的所有好子集的个数为
8.故答案为
8.
20.(2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习)若xeA,则二就称A是伙伴关系集合,集合x加={-1,03,;,;」,2,3,4卜勺所有非空子集中,具有伙伴关系的集合个数是【答案】31【分析】首先列出满足“伙伴关系集合”的元素有1,-1,“2和;〃,“3和1”,〃4和〃五种可能,它们自由234【详解】因为leA,;=lwA组合形成的非空集合即为所求结果.即满足“伙伴关系集合〃的元素有1,-1,“2和;〃,“3和!〃,“4和五种可能;234这样所求集合即为这“五种元素〃组成集合的非空子集;所以,满足条件的集合个数为2-1=31个.故答案为31
三、解答题
21.(2022秋•上海崇明•高一上海市崇明中学校考期末)设集合人=卜产+3工+2=0},B=
1.r|x2+(ni+\)x+m=o}.⑴用列举法表示集合A;
(2)若8qA,求实数”的值.【答案】⑴A={T,—2}2Ae-2Ae13-3eAe1
(2)rn=I或〃?=
2.【分析】
(1)集合A为方程/+3大+2=0的实数解组成的集合,解方程即可用列举法表示集合A;
(2)使用子集的概念进行求解即可.【详解】
(1)0A={X|X2+3X+2=O},团集合A为方程V+3x+2=0的实数解组成的集合,由d+3x+2=0,解得$=T,々=-2,团A=[x\x2+3x+2=O}={-1,-2},团用列举法表示集合A为A={-1,-
2.2回8=卜x+〃7+lx+/〃=o},团集合A为方程/+m+1卜+,〃=的实数解组成的集合,由x2+〃7+lx+,〃=0,△=G〃+1『-=一0,回方程f+〃+1汇+〃?=0有解,8H0,
①当m=1时,方程x2+/n+lx+/n=0n/+
2.r+1=0方程有两个相等的实数根X|=x=-1,此时8={-1},满足B=A;2
②当〃1工1时,方程X2+〃+lx+7=0=X+1工+〃7=0,解得$=-1,占=一/〃,若要使3=4,则需使一加=-2,即6=2,综上所述,若则m=1或〃i=
2.
22.2022•上海•高一专题练习已知施R,婚R,集合4={2,4,x2-
5.r+9},4={3,x2^ax^a},={/+a+1x-3,1}.⑴当2班,8G4时,求a、x的值;x=3【答案】⑴7a=——43=7或a=x=3a2/-o=-2⑵当8=时,求
4、x的值.【分析】由题意,根据集合之间的关系,建立方程组,可得答案.【详解】1团2鲂,BUA,以2+〃丫+4=2且/-我+9=3,273当x=2时,a=;当x=3时、a=—.342回B=C,即{3,x2+ax+a}={x2++1x-3,1},x+ax+a=1一,a-*2/I、c/两式相减得x=5+mx+(a+l)x-3=3将x=5+a代入x2+ax+a=1,可得a2+8a+12=0,解得Q=-2或Q=-
6.当a=-2时,x=3;当a=-6时,x=-1,x=-l-fx=3叫/或〈a=-D[a=-
223.(2022秋•上海浦东新•高一校考阶段练习)集合A={x|(a-I)F-2X+3=0}.⑴若A是,求实数的取值范围⑵是否存在这样的实数,使得集合A有且仅有两个子集,若存在,求出实数〃及对应的子集,若不存在,说明理由.【答案】(l)(g,+8)⑵当〃时,对应的两个子集为0和1|卜当=g时,对应的两个子集为和{3}.【分析】
(1)若A=0,对应的方程没有实数根,可求实数的取值范围;
(2)要使集合4有且仅有两个子集,集合力有且只有一个元素,即对应的方程有且只有一个实根,可求实数〃的值.【详解】
(1)若A=0,方程(a-l)--2x+3=0没有实数根,当=1时,方程有实数根不合题意;则awl,二次方程没有实数根,△=4—12(a—1)<0,解得所以实数〃的取值范围为(g,+8)
(2)要使集合力有且仅有两个子集,则集合力有且只有一个元素,即对应的方程有且只有一个实根,33131当=1时,方程化为一2+3=(),解得x=此时A=对应的两个子集为0和;产212J I,,/4当制,二次方程-2犬+3=0只有一个实根,△=4-12(々-1)=0,解得=耳,此时A=1x||x2-2A-+3=oj={^A-2-6x+9=o}={3},对应的两个子集为和{3}.
24.(2021秋•上海徐汇•高一上海市第二中学校考阶段练习)已知集合4=卜*-2x+〃=},求⑴若集合A至多有1个元素,求实数”的取值范围;
(2)若Au(e,O),求实数右的取值范围.【答案】(l)mNJ2m1【分析】
(1)由集合元素的个数转化为方程根的个数列不等式即可求得实数”的取值范围;
(2)根据集合关系,讨论A=0或f-2x+〃=o只有负根,列不等式即可求得实数川的取值范围.【详解】
(1)若集合川二1|/-2工+机=0}至多有1个元素,则V—2x+/〃=0至多一个实根所以△=4-4K(),故加之/;
(2)由题意得4=0或2x+m=0只有负根,当A=0时,△=4-40,故m1,A=4-4m0当x2-2x+=0只有负根时,百+/=2,无解,x1x2=in0综上,实数〃,的取值范围为加
1.细心程度,难度不大,可以在选择题、填空题、简答题中出现.【考点剖析】一.集合的包含关系判断及应用(共小题)
191.(2022•杨浦区校级开学)已知集合4={xWN|-1VXV5},B={0,1,2,3,4,5},则44间的关系为()A.A=B B.BQA C.AEB D.AQB【分析】根据已知求出集合4然后根据集合的包含关系即可判断求解.【解答】解因为集合力={炕N|-所以集合力={(),1,2,3,4},又3={(),1,2,3,4,5},所以4口,故选D.【点评】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的求解能力,属于基础题.
2.(2022•徐汇区校级开学)下列关系中错误的是()A.0口{0}B.{1,2}DZ C.{(a,b)}Q{a,b]D.{0,1}C{1,0}【分析】根据子集以及真子集的定义对各个选项逐个判断即可求解.【解答】解4根据空集的性质可得匚{0},故/正确,B根据集合Z的定义可知{1,2}l Z,故4正确,C因为集合{(4,b)}是点集,集合{4,为为数集,故C错误,D因为{0,1}={1,0},所以子集的定义可得{0,1}G{1,0},故正确,故选C.【点评】本题考查了集合的包含关系的应用,考查了学生的理解能力,属于基础题.
3.(2022秋・奉贤区校级期中)已知力=|・
1.丫3},8=卜〃},若4仁8,则实数a的取值范围是3+8).【分析】根据已知条件,结合集合的包含关系,即可求解.【解答]解A={x\-lx3},〃={x|xVa},AQB,则心3,故实数的取值范围是[3,+8).故答案为[3,+°°).【点评】本题主要考查集合的包含关系,属于基础题.2,集合为■,I,
4.(2022秋•普陀区校级月考)已知集合P=|2+X-3=0},Q={x\fnx=\},若QGP,则实数〃,的取值【分析1先求出集合尸,再分是否为空集讨论,即可求解.【解答]解P={x|2,+x-3=0}={旦,1},乙当〃7=0时,Q=0,满足题意,当〃W0时,Q={—},m一工二工或』=],解得m二一■或〃=1,2mm3故实数加的取值集合为{0,I,-2}.3故答案为{0,1,-1|.【点评】本题主要考查集合的包含关系,属于基础题.
5.(2022秋•浦东新区校级月考)如果集合4={x|x£Z且x20},B={y\y=x2,.tGZ},则集合A8的关系是BJA【分析】由子集的定义可判断8口,再利用元素2即可判断.【解答】解・.“wz,r.ez且又・・・2E4,2CB,故答案为BUA.【点评】本题考查了集合间关系的判断,属于•基础题.
6.(2022秋•浦东新区校级月考)已知集合={|=+4-,m£Z},S=[|s€Z},P=x xm x623{X|XJPV,pEZ},则集合,S,P的关系为()A.M=SQP B.MQS=P C.MES之P D.SQPQM【分析】根据集合间的包含关系可解.W3X2m+1【解答】解对集合M、S、P进行变换,则M=[|x=m+工,m€Z}=/托Z},S=66x{x|x^-s-4-,s€Z}={x|§(S J)+1,SEZ},P={X IX^PW,PC Z}={#=3P},〃wZ},/3b/bb因为〃、s、p£Z,所以MGS=尸,故选B.【点评】本题考查集合间的包含关系,属于基础题.
7.(2022秋•徐汇区校级月考)集合S={x|x=〃+°,〃WZ},P={x|x=J工隹Z},={中=上,1231234A.SuPuQ B.SuP=Q C.S=PuQ D.PuQuSkWZ},贝US、P、之间的关系是()【分析】先化简三个集合,再根据集合的关系即可求解.12m+l【解答】解•••S={x|x=,〃+-^,w€Z}={4r=,〃怎z},JL乙1乙P={x[.r=-^+—nEZ]={x|x=T;L〃EZ},J a11乙={小=卷一,而Z}={小=当3,MZ}=|x=笔「呀:,SuP=Q,故选B.【点评】本题考查集合的关系,属基础题.
8.(2021秋•徐汇区校级期末)用集合符号填空{a|a=x+y,x,y€Q}Q.【分析】当y=0时,该集合为有理数集,当),工0时,该集合包含无理数,即可判断答案.【解答】解当尸0时,{a|a=x+d^y,x,y€Q}={a|a=x,x€Q)=Q,当产()时,{a|a=x+V2y»x,y£Q}包含无理数,故{a|a=x+y,x,yE Q}az.故答案为.【点评】本题主要考查集合的包含关系,考查转化能力,属「基础题.
9.(2022秋•徐汇区校级月考)已知集合4={x|ax-6=0},4=32-3x=0},且4G8,则=0或4【分析】先求出集合4,再分4=0和/1W0两种情况求解.【解答]解B={X|2X2-3X=0]={0,得},乙当力=0时,AGB成立,此时a=0,当力W0时,A={x|ax-6=o}=g},因为418,所以反用,得=4,a2综上67=0或4=4,故答案为0或
4.【点评】本题主要考查了集合的包含关系,属于基础题.
10.2022秋•闵行区校级月考设集合4={加-2|3},B={x\xt},若4u8,贝U实数f的取值范围是[5,+
8.【分析】解含绝对值的不等式化简集合人再借助集合的包含关系求解作答.【解答】解不等式|x-2|V3化为:x-229,即x+1x-50,解得即4=何-lx5},因8={小4,AuB,则有疹5,所以实数,的取值范围是
125.故答案为[5,+
8.【点评】本题考查含绝对值的不等式解法以及集合的包含关系,属于基础题.
11.2022秋•徐汇区校级期中已知集合彳={-2,3,6m-6},若{3,6}口,则/〃=
2.【分析】根据子集的定义可解.【解答】解因为集合4={-2,3,6〃L6},且{3,6}cj,则6机・6=6,得〃=2,故答案为
2.【点评】本题考查子集的定义,属于基础题.
12.2022秋♦奉贤区校级月考设,是实数,集合M={x|/-x-6=0},N=W|伊-2=0},若NUM,则符合条件的实数/组成的集合是10,・1,刍.【分析】由NGM,对N分类讨论,即可得出结论.【解答】解1=0时,N=0,满足时,.”={3,-2},•・・N£M,N={y\ty-2=0},・・・N={3},或汽={-2}.N={3}时,3/-2=0,解得/=
2.3N={-2}时,-2/-2=(),解得/=-
1.综上可得符合条件的实数/组成的集合是[0,-1,弓},故答案为{0,-1,蔡}.【点评】本题考查了集合间的关系、分类讨论方法,考查/推理能力与计算能力,属于基础题.
13.(2022秋•浦东新区校级期中)已知a为常数,集合力={小2以_6=0},集合{x\ax-2=0},且B7A,则a的所有取值构成的集合为10,二,1%.3【分析】求出集合力,然后由已知可得8=0,{-3},{2},{-3,2},然后分别求解即可.【解答】解由已知可得集合力={-3,2},因为则8=0,{-3},{2},{-3,2},当8=0时,4=0,当4={-3}时,〃=-2,当〃={2}时,a=l,3当8={-3,2}时,不成立,故”的取值集合为{0,-■!,,O故答案为{0,
11.O【点评】本题考查了子集的应用,考查了学生的理解运算能力,属于基础题.
14.(2022秋•浦东新区校级月考)已知力={x*-3x+2=0},8={xg-2=0},且胆儿则实数的值为0或1或
2.【分析】先求出集合4再分=0和QW0两种情况讨论,根据8G4分别求出的值.【解答]解A={x\^-3x+2=0}={\2},BQA,f
①当a=0时,,8=0,符合题意,
②当“W0时,6={工|於-2=0}={2},a.•.2=1或2=2,a a解得a=2或=1,综上所述,实数的值为0或1或
2.故答案为或1或
2.【点评】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题.
15.(2022秋•青浦区校级月考)下列表达式中正确的序号是
②④.©H6Q
②0u(-oo,10);
③{2}6{1,2,3,4};
④NGZ【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系可解.【解答】解根据题意,
①TTCQ,故
①错,
②空集是任何集合的子集,故0u(-8,io),故
②对,
③{2}G{1,2,3,4},故
③错,
④由N表示自然数集,Z表示整数集可得,NGZ,故
④正确,故答案为
②④.【点评】本题考查元索与集合、集合与集合的关系,属于基础题.
16.(2022秋•徐汇区校级月考)已知集合力={出=爪历•代彳},集合〃={MrHWxW2p-1},若83,则实数p的取值范围是(-8,3].【分析】先化简力集合,再对4分4=0与4W0两类讨论即可求解.【解答】解♦・F=[-2,5],又8={x,+lWxW2P-1},且胆儿・•・
①8=0时,p+l2p-1,,pV2;(P2
②8W0时,|p+l-2,(2p-l5综合可得实数的取值范围是(-8,3].故答案为(-8,3].【点评】本题考查集合的关系,分类讨论思想,属基础题.
17.(2022秋•金山区期末)已知集合/=*|a-2VxVa+2},B;{x|正]0}.x~2
(1)求集合以
(2)若求实数a的取值范围.【分析】
(1)解分式不等式,即可求出集合取
(2)显然力#0,根据力G8列出不等式,求出的取值范围即可.【解答】解
(1)由工工0,解得xV-l或x2,x-2即B={x|x-1或x2};
(2)显然力W0,若4GB,则a+2W・1或a・222,解得aW・3或a24,即实数的取值范围为(-8,-3]U[4,+00).【点评】本题主要考杳了分式不等式的解法,考查了集合间的包含关系,属于基础题.
18.(2021秋•杨浦区校级期末)设a,是实数,集合4=3|%・〃|1,止1},8={琲「3,xWR},且AQB,则〃的取值范围为()A.[0,2]B.[0,4]C.[2,+8)D.[4,+~)【分析】先利用绝对值不等式的解法化简集合力、B,再结合力GB,观察集合区间的端点之间的关系得到不等式,由不等式即可得到结论.【解答】解A={x\a-\xa+\],8={小6-3或QH3},因为/G8,所以a+1W6-3或a-126+3,即4-b-4或4-力24,即-〃|
24.故选D.【点评】本题考查两数差的绝对值的求法,考查集合运算、子集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
19.(2022秋•浦东新区校级月考)若/={x|履=1},B={X\X2+X=2},且月口,则实数4的值为0,-
1.【分析】化简集合8={不+=2}={-2,1},根据4u8可知力=0,A={-2},4={1},从而求解.【解答]解B={X\X2+X=2]={-2,1},•・Zu・・・4=0,A={-2},A={\},当4=0时,左=0;当彳={-2}时,当/={1}时,k=T;故实数人的值为0,・2,
1.2故答案为0,-X
1.2【点评】本题考查了集合的化简与运算及分类讨论的思想方法的应用,属于中档题.二.子集与真子集(共12小题)
20.(2022秋•浦东新区校级月考)集合{®\卜=-7+6,让N}的真子集的个数是()。