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第讲比例线段02J【知识梳理】一.比例的性质
(1)比例的基本性质组成比例的四个数,叫做比例的项.两端的两项叫做比例的外项,中间的两项叫做比例的内项.
(2)常用的性质有:
①内项之积等于外项之积.若包=工,则
②合比性质.若包=工b d则且也=山,b d
③分比性质.若包=£b d则三竺=±^
④合分比性质.若包=£,bl d则曳也=5b da-b c-d
⑤等比性质.若包=£=・・♦=+d+…+〃wo,则a+c+・・・・・・b dn.b+d+tn n二.比例线段
(1)对于四条线段〃、b、c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如ab=〃(即以/=A),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
(2)判定四条线段是否成比例,只要把四条线段按大小顺序排列好,判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可,求线段之比时,要先统一线段的长度单位,最后的结果与所选取的单位无关系.三.黄金分割
(1)黄金分割的定义A如图所示,把线段A8分成两条线段AC和3C(AOBC),且使AC是A3和3C的比例中项(BP ABAC=AC BC),叫做把线段45黄金分割,点C叫做线段A3的黄金分割点.其中AC=5-1A人
0.61803,并且线段AB的黄金分割点有两个.2
(2)黄金三角形黄金三角形是一个等腰三角形,其腰与底的长度比为黄金比值.黄金三角形分两种
①等腰三角形,两个底角为72,顶角为
36.这样的三角形的底与一腰之长之比为黄金比虫二1;
②等腰三角形,两个底角为36,顶角为108;这种三角形一腰与底边之长之比为黄金21200000cm故选B.【点评】本题考查比例线段,比例尺的定义,解题的关键是熟练掌握比例尺性质,属于中考常考题型.
21.(2020秋•静安区期末)已知线段-满足空工=三,求三的值.x-y y y【分析】先根据比例的基本性质得到y(2x+y)=x(x-y),可得,-3xy-『=0,再把》当作已知数,解关于x的方程即可求得三的值.y【解答】解•・•丝三=3,x-y y()()2x+y=x x-y,贝U x2-3xy-『=0,1解得xi=f1y,X2=A JI),(负值舍去).22故卫的值为旦兔里.y2【点评】考查了比例线段,关键是熟练掌握比例的基本性质,得到%=生票y是解题的难点.
22.(2023•金山区一模)下列各组中的四条线段成比例的是()A.Icm,2cm,3cm,4cm B.2cm,3cm,4cm,5cmC.2cm,3cm,4cm,6cm D.3cm,4cm6cm,9cm9【分析】根据比例线段的概念,让最小的和最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等即可得出答案.【解答】解A、・・・1X4W2X3,•••四条线段不成比例,不符合题意;
8、・・・2X5W34,•••四条线段不成比例,不符合题意;C、•••2义6=34,・•・四条线段成比例,符合题意;、・・・3X9W4X6,J四条线段成比例,不符合题意;故选C.【点评】此题考查了比例线段,理解成比例线段的概念,注意在线段两两相乘的时候,要让最小的和最大的相乘,另外两条相乘,看它们的积是否相等进行判断.
23.(2021秋•黄浦区期末)4和9的比例中项是()A.6B.±6C.—D.—94【分析】根据比例的基本性质两外项之积等于两内项之积求解.【解答】解根据比例中项的概念结合比例的基本性质得比例中项的平方等于两条线段的乘积.设它们的比例中项是X,则7=4X9,解得x=±
6.故选B.【点评】本题考查了比例中项的概念当比例式中的两个内项相同时,即叫比例中项.求比例中项根据比例的基本性质进行计算.
24.2021秋•奉贤区校级期中已知线段〃、b、c,且包上3451求竺生的值;3c2如线段、b、c满足3-45c=54,求的值.【分析】⑴设且=上=£=匕则=3攵,b=4k,c=5k,代入所求代数式即可;3452把〃=3匕b=4k,c=5Z代入3a-4/+5c=54求出七把攵值代入所求代数式即可.【解答】解设包=上=£=上345则a=3k,b=4k,c=5k,⑴软+2b_3k+8k_llk_H.3c15k15k l5;2・・・3a-40+5c=54,A9k-16女+25左=54,解得k=3,*.a-2b+c=3k-8攵+5k=
0.【点评】本题主要考查了比例线段,设旦=2=£=攵得到=3攵,b=4k,c=5Z是解决问题的关键.
34525.2021秋•宝山区校级月考已知〃、b、c是△ABC的三边长,且包=卫=£#0,求5461空之的值.3c2若△ABC的周长为90,求各边的长.【分析】1设义=上=£=攵,易得a=5k,b=4k,c=6k,然后把它们分别代入空之中,再进行分式5463c的运算即可;2根据三角形周长定义得到5Z+4Z+6左=90,解关于Z的方程求出七然后计算5晨4%和6k即可.【解答】解
(1)设包=上=£=攵,则=54,b=4k,c=6k,546所以2a+b10k+4k=7;3c18k9
(2)5Z+4攵+6攵=90,解得=6,所以Q=30,/=24,c=
36.【点评】本题考查了比例线段对于四条线段、
6、c、力如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如b=c d(即0/=儿),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.三.黄金分割(共小题)
726.(2023•长宁区一模)已知P是线段A5的黄金分割点,且AP〉3尸,那么越巫的值为()BPA3+V^Q D+]B•2•2•2•2【分析】利用黄金分割的定义,进行计算即可解答.【解答】解・・・尸是线段A3的黄金分割点,且尸,•BP.V5-1••------------9AP2•AP=2=返+1••1-――--I I,BP^5-12・AP-BP_AP一下^一而=立+1一I2V54-1-2=2=-1I I,2故选C.【点评】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
27.(2022秋•徐汇区期末)已知点P、点Q是线段A3的两个黄金分割点,且A8=10,那么尸的长为()A.5(3-A/5)B.10(^5一2)C.5(返-1)D.5(返+1)【分析】先由黄金分割的比值求出BP=AQ=5(J0-1),再由进行计算即可.【解答】解如图,点P、Q是线段A8的黄金分割点,AB=10,.BP=AQ^.PQ=AQ+BP-AB=\O(V5-1)-10=10(泥-2),故选B.A pO B【点评】本题考查了黄金分割把线段A3分成两条线段AC和5C(AO5C),且使AC是A3和5C的比例中项(即A AC=AC BC),叫做把线段AB黄金分割,点叫做线段A3的黄金分割点,熟记黄金比是解题的关键.
28.(2021秋•金山区期末)如果点尸是线段的黄金分割点,且BP,那么空的值等于()BPA.铮2C〉+1B.匹-
1.2【分析】由黄金分割的定义得空=里,即可得出答案.BP AB爬-1^-75-
1.AP BP2----BP ABAB,---【解答】解:点尸是线段A8的黄金分割点(APVBP),故选D.【点评】本题考查了黄金分割的定义,熟练掌握黄金分割的定义及黄金比值是解题的关键.
29.(2022秋•嘉定区期中)已知点A、B、在一条直线上,AB=1,M AC2=BCMB,求AC的长.【分析】分三种情况当点C在线段A3上,当点C在线段A3的延长线时,当点C在线段区4的延长线时,然后分别进行计算即可解答.【解答】解分三种情况当点在线段AB上,如图■■■—A CB9AC2=B^AB9・••点是A3的黄金分割点,.MC=5-1A3=5-1义1=5-1;222当点在线段A3的延长线时,如图设AC=x,贝1J3C=AC-1,x2=x-1*1,整理得x2-x+l=0,・・原方程没有实数根;♦当点C在线段E4的延长线时,如图-•••-C AB设AC=x,则BC=AC+AB=x+l,2VAC=BCMB,.•・/=x+l7,整理得x2-x-1=0,解得陨=互应,切=上应不符合题意,舍去,22・・・AC的长为出口区;2综上所述,AC的长为运二1或上正.22【点评】本题考查了黄金分割,分三种情况讨论是解题的关键.
30.2022秋•宝山区校级月考已知点C在线段A3上,且满足AC2=AB・5C1若A3=l,求AC的长;2若AC比大2,求A5的长.【分析】1根据已知可得点C是线段A3的黄金分割点,从而可得然后进行计算即2可解答;2根据已知可设AC=x,贝i18C=x-2,从而可得AB=2x-2,然后根据可得f=2%-2x-2,从而进行计算即可解答.【解答】解1•・•点C在线段AB上,且满足42=4炉8・••点C是线段A5的黄金分割点,.AC=^~^AB=^,22•・・-C的长为:5-1;22-AC比8c大2,・••设AC=x,则8C=x-2,.AB=AC+BC=2X-292VAC=AB*BC,.*.=⑵-2)(x-2),解得xi=3+J^,X2=3-(舍去),AAB=2x-2=2A/5+4,.AB的长为2y+
4.【点评】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.
31.(2020秋•闵行区期末)古希腊艺术家发现当人的头顶至肚脐的长度(上半身的长度)与肚脐至足底的长度(下半身的长度)的比值为“黄金分割数”时,人体的身材是最优美的.一位女士身高为154cm,她上半身的长度为62c加,为了使自己的身材显得更为优美,计划选择一双合适的高跟鞋,使自己的下半身长度增加.你认为选择鞋跟高为多少厘米的高跟鞋最佳?()A.4cm B.6cm C.8cm D.10cm【分析】她下半身的长度为92c〃z,设鞋跟高为x厘米时,她身材显得更为优美,利用黄金分割的定义得到X^^O.618,然后解方程即可.92+x【解答】解•・•一位女士身高为154c加,她上半身的长度为62cm,・•・她下半身的长度为92cm,设鞋跟高为x厘米时,她身材显得更为优美,根据题意得工^^
0.618,92+x解得不〜
8.3(cm).经检验x=
8.3为原方程的解,所以选择鞋跟高为8厘米的高跟鞋最佳.故选C.【点评】本题考查了黄金分割把线段分成两条线段AC和8c(AOBC),且使AC是A3和5c的比例中项(即A AC=AC BC),叫做把线段A5黄金分割,点叫做线段A3的黄金分割点.其中AC-
0.618A8,并且线段A8的黄金分割点有两个.也考查了解分式方程.
32.(2019秋•嘉定区校级月考)已知如图,线段A5=2,于点8,且3=匕3,在D4上截取2DE=DB.在A3上截取AC=AE.求证点是线段48的黄金分割点.A CB【分析】在直角中根据勾股定理计算出4=亏,KiJ AE=AD-DE=45-h再利用画法得到AC=AE=4^-1,即AC=Y$二然后根据黄金分割的定义得到点C就是线段A8的黄金分割点.2【解答】证明・・・A3=2,BD=LAB,2•・・8QJ_A8于点5,立•••AO=JAB2+BD2=.AE=AD-DE=45-1,.AC=AE=45-1,•・・AC=、/5工―2・••点就是线段AB的黄金分割点.【点评】本题考查了黄金分割把线段分成两条线段AC和3C(AOBC),且使AC是A5和BC的比例中项(即A AC=AC BC),叫做把线段A3黄金分割,点叫做线段AB的黄金分割点,其中AC=』5-1A岭618AH并且线段AB的黄金分割点有两个.2
一、单选题【过关检测】L(2022秋・上海崇明•九年级校考期中)已知三个数1,2,0,如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数不可以的是()A.—B.毡C.V3D.27323【答案】C【分析】能否构成一个比例式,根据”两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段〃判断即可.【详解】A.2XYL1XG,能组成一个比例式,不合题意;B.^5x73=1x2,能组成一个比例式,不合题意;3C.1,2,6,G,不能组成一个比例式,符合题意;D.26x1=2x6,能组成一个比例式,不合题意;故选C【点睛】本题考查了成比例的线段,熟知两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段.
2.(2022秋•上海浦东新•九年级校考期中)下列各组线段中,成比例线段的组是()A.
0.2cm,
0.3cm,4cm,6cm B.1cm,3cm,4cm,8cmC.3cm,4cm,5cm,8cm D.
1.5cm,2cm,4cm,6cm【答案】A【分析】根据比例线段的定义可各选项分别进行判断即可.【详解】解A、
0.2x6=03x4,是成比例线段,故本选项符合题意;B、Ix8w3x4,不是成比例线段,故本选项不符合题意;C、3x8w4x5,不是成比例线段,故本选项不符合题意;D、L5x6w2x4,不是成比例线段,故本选项不符合题意.故选A【点睛】本题考查了比例线段对于四条线段、氏、人如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如a:b=c:d(即〃=A),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
3.(2022秋・上海・九年级校考期中)已知线段b是线段、的比例中项,如果Q=4,C=9,那么线段b的长为()9A.—B.6C.±6D.364【答案】B【分析】利用比例中项的平方等于两个外项的积,进行计算即可.【详解】解由题意,得b1=tzc=4x9=36,0ZO,0Z=6;故选B.【点睛】本题考查比例选段.熟练掌握比例中项的平方等于两个外项的积,是解题的关键.
4.(2021秋上海青浦•九年级校考期中)已知线段〃、b、c、d,如果=那么下列式子中一定正确的♦是()a b a ba da cA.=-B.—=-C.—=—D.—=一c dd cc bb d【答案】B【分析】把各个选项的比例式转化为乘积式,可得结论.【详解】解A、由3=9推出〃=历,本选项不符合题意;c aahB、由-;=-推出ac=X本选项符合题意;a cC、由幺=推出加巴本选项不符合题意;c bD、由f=;推出〃=儿,本选项不符合题意.ba故选B.【点睛】本题考查比例线段,比例的性质,解题的关键是掌握比例的性质.
5.(2022秋・上海松江•九年级校考期中)已知点C是线段A3上的一个点,且BC是AC和A3的比例中项,则下列式子成立的是()BC V5-10BC V5-1「AC V5-1AC布+1A nAB2AC2AB2BC2【答案】A【分析】设AB=1,BC=x,则AC=1—x,由比例中项得出代入解一元二次方程即可解答.【详解】解设AB=1,BC=x,则4C=l—x,E18C是AC和A3的比例中项,0BC2=AC-AB,即12=i—%,0JC2+x-l=0,解得(舍去),即=避二1,2,22回AC=1_@Z1=三立,220生=避二1,故A符合题意;AB2生=叵1+土卫|=叵,故B不符合题意;AC生=上避,故C不符合题意;AB24£=更二1,故不符合题意;DBC2故选A.【点睛】本题考查比例中项、线段的比、解一元二次方程,熟知比例中项的定义是解答的关键.
6.(2023・上海宝山•一模)已知线段、b,a+b5A.2a-3h D.B.Q+Z=5C.--------=—a2【答案】C如果〃:=2:3,那么下列各式中一定正确的是()【分析】根据比例的性质进行判断即可.【详解】解A、由〃山=2:3,得3〃=2,故本选项错误,不符合题意;B、当=4,Z=6时,:=2:3,但是a+b=10,故本选项错误,不符合题意;C、由:人=2:3,得T=故本选项正确,符合题意;a2D、当=4,Z=6时,:〃=2:3,但是产|=故本选项错误,不符合题意.0+28故选C.【点睛】本题考查了比例的性质及式子的变形,用到的知识点在比例里,两外项的积等于两内项的积,比较简单.
二、填空题
7.(2022秋•上海普陀•九年级统考期中)若二=£,则2的值为【答案】|x2【分析1由一=1,设x=2匕y=3-Zw0),然后再代入求解即可;y3x2【详解】解0-=T,设元=2「y=3网女=0),y3x+y2攵+3攵50——------------=一,y3k3故答案为【点睛】本题考查比例的性质,设工=2后0=3々0)是解题关键.
8.(2021秋・上海・九年级校考阶段练习)在比例尺为1:60000的地图上A、3两处的距离是4cm,那么A、比逅工2
(3)黄金矩形黄金矩形的宽与长之比确切值为由二
1.2【考点剖析】一.比例的性质(共小题)
151.(2018秋•浦东新区期中)已知3x=5y(yWO),则下列比例式成立的是()A,三=s B.A=y C.A=1D.A=y3y53y535【分析】直接利用比例的性质得出X,y之间关系进而得出答案.【解答】解
4、匹=回,可以化成孙=15,故此选项错误;3yB、匹=工,可以化成3光=5y,故此选项正确;
53、A=l,可以化成5x=3y,故此选项错误;y5D、三=工,可以化成5x=3y,故此选项错误.35故选B.【点评】此题主要考查了比例的性质,正确掌握比例的基本性质是解题关键.
2.(2023•青浦区一模)已知三个数
1、
3、4,如果再添上一个数,使它们能组成一个比例式,那么这个数可以是()A.6B.8C.10D.12【分析】根据比例的性质分别判断即可.【解答】解13=412,故选D.【点评】此题主要考查了比例的性质,正确把握比例的性质是解题关键.
3.(2023•普陀区一模)已知三x+y=10,那么x-y=
2.y2【分析】直接利用已知代入求出y的值,即可得出x的值,进而得出答案.【解答】解•・•三萼,x+y=10,y2E3•y,则■^_y+y=10,乙解得y=4,B两处实际距离是km.【答案】
2.4【分析】设A、8两处的实际距离是xcm,根据比例尺的定义列式计算即可得解,然后再化为千米即可.【详解】解设A、3两处的实际距离是xcm,根据题意得4:x=l:60000解得x=240000,240000cm=
2.4km,故答案为
2.
4.【点睛】本题考查了比例,主要利用了比例尺的定义,计算时要注意单位之间的换算.
9.(2021秋・上海•九年级校考阶段练习)已知(x+y):y=l:2,则1丁的值为.【答案】一;/-
0.5【分析】根据比例的基本性质,求得y=-2x,即可得到答案.【详解】解(a(x+y)y=l2,E]2(x+y)=y,解得V=-21,^\x:y=--,故答案为-不【点睛】此题考查了比例,熟练掌握比例的基本性质是解题的关键.
10.(2023•上海嘉定・校考一模)如果2〃=3匕(、〃都不等于零),那么字二___.b【答案】1/
2.5/21【分析】直接利用已知把,人用同一未知数表示,进而计算得出答案;【详解】解-2a=3h(外人都不等于零),回设a=3x,贝U匕=2x,Fba+b3x+2x5那么;—b2x2故答案为*—.【点睛】此题主要考查了比例的性质,正确表示出人的值是解题关键.
11.(2021秋・上海青浦•九年级校考期中)已知线段=4厘米、c=9厘米,如果线段〃是线段和b的比例中项,那么线段6=厘米.【答案】v【分析】根据比例中项的定义得到/,然后利用比例性质计算即可.【详解】解团线段是线段和b的比例中项,^c:a=a:b,即9:4=4:/,716财=—.9故答案为【点睛•】本题考查了比例线段对于四条线段、b,c、d,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如=(即〃=庆),我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.特别的是若c Q=〃:,则是和〃的比例中项.
12.(2023・上海金山・统考一模)如图,已知上海东方明珠电视塔塔尖A到地面底部3的距离是468米,第二球体点P处恰好是整个塔高的一个黄金分割点(点A、B、尸在一直线),且族AAP,那么底部3到球体P之间的距离是米(结果保留根号)【答案】(234石—234)项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值【分析】根据黄金分割的定义,把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中【详解】解团点尸是线段上的一个黄金分割点,且AB=468米,BPAP.叫做黄金比.回族=X468=(2346-234)米.故答案为(23475-234).【点睛】本题考查了黄金分割的概念,熟记黄金分割的定义是解题的关键.
13.(2023•上海杨浦・统考一模)已知点P是线段MN的黄金分割点(A〃〉NP),如果MN=10,那么线段MP=.【答案】5百-5/-5+5指【分析】根据黄金分割点的概念列式求解即可.【详解】解团点尸是线段的黄金分割点,MPPN,MN=1,0PM=^^MN=^^xlO=5石一5,22故答案为5A/5-
5.【点睛】此题考查了黄金分割点的概念,解题的关键是熟练掌握黄金分割点的概念.把一条线段分成两部分,使其中较长的线段为全线段与较短线段的比例中项,这样的线段分割叫做黄金分割,他们的比值叵【叫做黄金比.
214.(2023・上海崇明・统考一模)点P是线段的黄金分割点,如果MN=10cm,那么较长线段叱的长是cm.【答案】(56-5)【分析】根据黄金分割点的定义,得到处=垦1,求解即可.MN2【详解】解由题意,得必二1,即的=避二1,MN21020MP=(5V5-5)cm;故答案为(55/5-5).【点睛】本题考查黄金分割点.熟练掌握黄金分割点的定义,是解题的关键.
15.(2021秋・上海普陀・九年级校考期中)已知£=不那么(D=.h2一【答案】L3【分析】根据:设〃=3%*=2攵,代入计算即可.b2【详解】解b2团设a=3匕b=2k,0(a-b)a=(3k-2k):3k=1:3故答案为13【点睛】本题主要考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解答本题的关键.
16.2022秋•九年级单元测试已知线段点C是线段A3的黄金分割点,则线段AC等于cm【答案】逐-1或3-6【分析】分AC3C、ACVBC两种情况,根据黄金比值计算即可.【详解】当AO3C时,AC二无匚x2二石-12当ACV3C时,AC=AB-^^~AB=2—=3-52回线段AC的值为75-1cm或3-逐cm.故答案为V5-1cm或3■石cm.【点睛】本题考查的是黄金分割,掌握黄金比值是解题的关键.
17.2022,上海•九年级专题练习我们知道,两条邻边之比等于黄金分割数且二1的矩形叫做黄金矩2形.如图,已知矩形A5CO是黄金矩形,点石在边5c上,将这个矩形沿直线AE折叠,使点3落在边AO上的点尸处,那么£尸与CE的比值等于.【答案】史上12【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质可证四边形ABEb是正方形,可得EF=BE,进一步即可求出石尸与CE的比值.【详解】解根据折叠,可知AB=AF BE=FE,在矩形ABC中,0BAF=0B=9O°,的4匹=45°,团BA=BE,^\AB=BE=EF=FA,又EBB=90°,回四边形ABM是正方形,^\==EF BEAB9回矩形ABC是黄金矩形,75-10—=-----------,BC2^EF_V5-1_V5+1EC-2-75-1—2,故答案为回L2【点睛】本题考查了黄金分割,矩形的性质,正方形的判定和性质,熟练掌握黄金分割是解题的关键.
18.2020秋・上海•九年级上外附中校考阶段练习如图,在A4BC中,的内、外角平分线分别交47AR胡及其延长线于点E^BC=
2.5AC,则F+AD AE【分析】根据CD是E1ACB的平分线,由三角形的面积可得出黑=箓,可得出当=喀丝
①;由CE ACDAAC40召DC1是回的外角平分线,得出标=就,进而得出京=二^
②,两式相加即可得出结论.ACB°ABDCBD,S8BDC BCADS.DC AC门BD BC回——=——AD ACBD+DA BC+AC AB BC^AC
①;0-----------=------------AD~~AC-DA AC0CE是回ACB的外角平分线,BE BC回-----二-------AE ACBE-AE BC-AC ABBC-AC回niI-----------------=-----------------,BJ一二-------------------
②;AE ACAE ACABABBC+AC BC-AC2BC
①+
②,得=2x25=5--------1------AC-+-ACAD AEAC【详解】解12CD是团ACB的平分线,故答案为
5.【点睛】此题主要考查了比例的应用,熟练掌握比的性质是解答此题的关键.
三、解答题
19.(2020秋・九年级校考课时练习)已知线段AB=10cm,点C是AB上的黄金分割点,求AC的长是多少厘米?【答案】(5右一5)cm或(15-56)cm【分析】根据黄金分割点的定义,知AC可能是较长线段,也可能是较短线段;则AC=避匚~xl0=5百-5或AC=10-(575-5)=15-
575.2【详解】解根据黄金分割点的概念,应有两种情况,当AC是较长线段时,AC=或二1x10=5石-5;2当AC是较短线段时,则AC=10-(5百一5)=15-
575.故答案为(56一5)cm或(15-5石)cm.【点睛】本题考查了黄金分割点的概念.注意这里的AC可能是较长线段,也可能是较短线段;熟记黄金比的值是解题的关键.
20.(2021秋・上海徐汇・九年级上海市徐汇中学校考阶段练习)已知3T=,求的值.2344x-y-z【答案】11【分析】通过设女法,设;W=则x=23y=3k,z=4Z,再利用消元的思想代入分式求值.【详解】解:设沁=*,则x=21,y=3,z=4k,5x-y+z5x2%—3Z+4Z..4x-y-z~4x2k-3k-4k~*【点睛】本题主要考查求分式的值,熟练掌握消元的思想是解决本题的关键.2L(2022秋・上海・九年级校联考阶段练习)已知以b、c分别是△ABC的三条边的边长,且
⑦b c=578,3a-2b+c=9,求△ABC的周长.【答案】20【分析】设=5攵,则7攵,c=8攵,代入3a-2b+c=9,即可求出攵的值,从而可求出、b、c的值,最后由三角形周长的计算公式求解即可.【详解】根据题意可设=5怎则用7怎c=8羊,彳弋入3Q-2/+C=9,得3x5左一2x7左+8左=9,解得k=l,团=5,b=7,c=8,0AABC的周长=Q+加C=5+7+8=
20.【点睛】本题主要考查比例的性质.解决此类题目时一般利用〃设女法〃更简便.
22.(2022秋・上海嘉定•九年级统考期中)已知;=!=:,且2x-3y+z=-2,求%+y-z的值.【答案】4【分析】设=(=3则x=3匕y=4Z,2=5Z,再根据2x—3y+z=—2求出攵的值,然后得出x,y,z的值,从而得出x+y—z的值.【详解】解设;则x=3£y=4Nz=5Z,代入2x-3y+z=-2,得
2.3人一3・4左+5%=—2,解得k=2,「.x=6,y=8,z=10,・・.x+y-z=6+8-10=
4.【点睛】本题考查了比例的性质,解题的关键是设;===攵,得出攵的值.
23.(2021・上海•九年级专题练习)梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC和BD相交于点0,Gi和G2分别为三角形AOB和三角形COD的重心.
(1)求证GIG2//AD;AH
(2)延长AGi交BC于点P,当P为BC的黄金分割点时,求的值.DABC0CAO_逐+1【答案】
(1)证明见解析;
(2)~BC一_~【分析】
(1)连接BQ、CG2并延长交AO、0D于点E、F,连接EF.易得EF为△A的中位线,故EG.FG,1EF//AD,根据重心的性质可得寮二K『二J,即所〃GQ2,即可得证;
(2)根据点P为黄金分割点,可得生=更二1,再根据中位线的性质即可求解.BC2【详解】
(1)连接BG、CG2并延长交AO、0D于点E、F,连接EF.因为G
1、6为三角形AOB和三角形COD的重心,所以点E、F为AO、DO的中点,所以EF为△40的中位线,所以EF//AD,EG,FG,1r又因为丽―_E可=5所以石/〃G02,所以G©2〃AO.2因为点P为黄金分割点,A D所以生=如二1,BC又因为RQ是中位线,所以RQ〃BC,RQ=;BC,因为AD〃PQ,AQ_6+1所以~BC~2所以或=些=敷△型,AD OAOD2DOP H【点睛】本题考查重心的定义和性质、三角形中位线的性质、黄金分割,掌握重心的性质是解题的关键.
24.(2022秋・上海嘉定・九年级校考期中)已知线段x,y.,x+3y3,x,x+3y x,、x,,一t⑴当--------二彳时,求一的值;⑵当----------二一时,求一的值.x-y2y x-y y yX X【答案】
(1)一=9;
(2)二二
3.yy【分析】
(1)由比例的性质对比例式进行变形,然后去括号、移项、合并同类项可得到x=9y,即可解答;
(2)由比例的性质对比例式进行变形从而得到3y2+2xy-x2=0,然后分解得(3y-x)(y+x)=0,即可解答.【详解】解⑴由史3得2(x+3y)=3(x—y),x-y2即2x+6y=3x—3y,x解得9y=尤,0-=
9.yx+3y x⑵由--------二一,得y(x+3y)=x(九一y),x-yy即3y2+2xy-x2=0,用单得x=3y或%=
一、(不合题意,舍去),x勺0—=
3.y【点睛】本题重点考查比例线段,解答本题的关键在于了解比例的性质并且对比例式进行变形.
(1)若鼠女=2,S△BC=E
7.5△BDE;
25.(2020秋・上海宝山・九年级统考阶段练习)如图,点、E分别在AA5c的边A
3、AC±,DE//BC.⑵右SABDE=m,S8BCE=几,求S.(用加,〃表示)MBC九2【答案】1SABDE=3;2S=——n-mAABC【分析】
(1)首先设S△加E=X,然后根据三角形的性质同高的三角形面积比等于底的比,和三角形平行线An AF定理得出==,列出分式方程,解得即可;DB EC
(1)中的面积比等式列出等式,求出SMOE,然后即可求出根据题意可得—二方,、q ADSMBE_ABDEV FC°ABCEDE//BC,乙J.AD AE~DB~~ECS必DE=2,SMCE~7・5,22+九•—x
7.5解得%=一5舍,x=3,2••S耶=3;DEq q2由1知沁=一建BDE、ABCE设=y,SMDE0S^BDE~m,S^BCE~N,m2n-m22m n「•e•SAABC=%+〃-n-m n-m故x=6,刃口么x-y=6-4=
2.故答案为
2.【点评】此题主要考查了比例的性质,正确将已知代入是解题关键.
4.(2022秋•奉贤区期中)已知I告=工=32x-3y+4z=33,求代数式3x-2y+z的值.234【分析】设比值为Z,用攵表示出x、y、z,然后代入等式求出生从而得到x、y、z,再代入代数式进行计算即可得解.【解答】解设三=工=三=匕234则x=2攵,y=3k,z=4Z,•••2x-3y+4z=33,・・・4攵-9攵+16攵=33,解得攵=3,・・x=6,y=9,z=12,.\3x-2y+z=3X6-2X9+12=18-18+12=
12.【点评】本题考查了比例的性质,利用“设攵法”表示出小y、z求解更简便.
5.(2022秋•金山区校级期末)根据4〃=54可以组成的比例有()A.2工B.包上C.包总D.2上b545b45b【分析】根据比例的性质,进行计算即可解答.【解答】解A、•••旦=4,b5,5Q=4/,故A不符合题意;.\5a=4b,故3不符合题意;厂••软5b4/.4i=55,故符合题意;【点睛】此题主要考查三角形平行线的性质,解题关键是根据比例关系列出等式.
26.2022秋・上海宝山・九年级校考阶段练习已知点C在线段A3上,且满足4^二人8・
3.⑴若求AC的长;⑵若AC比大2,求A6的长.【答案】⑴必二1;222遥+4【分析】1根据已知可得点是线段A3的黄金分割点,从而可得AC二好二1AS然后进行计算即可解2答;2根据已知可设AC%则从而可得A8=2x-2,然后根据AC二AHBC,可得d=2x—2x—2,从而进行计算即可解答.回点C在线段A3上,且满足AC2=AB・3C,回点C是线段A3的黄金分割点,^C=2/5JJAB=V5-1,22EL4C的长为叵°;20AC比BC大2,团设AC=x,则BC=X-29^AB=AC+BC=2X-29^AC2AB-BC,团《=2x-2x-2,解得3=3+石,%2=3-6舍去,0AB=2X-2=2A/5+4,MB的长为26+
4.【点睛】本题考查了黄金分割,熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键.故不符合题意.故选C.【点评】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.
6.(2022秋•浦东新区期中)已知包=2,那么上二的值为()b3bA.2B.2C.—D.--2322【分析】利用比例的性质,进行计算即可解答.【解答】解••,包=2,b3•b-a■•1b_1,3故选B.【点评】本题考查了比例的性质,熟练掌握比例的性质是解题的关键.
7.(2022秋•嘉定区校级期末)如果2〃=3匕(〃、匕都不等于零),那么生也=立.b一【分析】直接利用已知把
①h用同一未知数表示,进而计算得出答案.【解答】解・・・2a=3(〃、都不等于零),・••设a=3x,则b=2x,那么空地=3X+2X=Mb2x2故答案为立.2【点评】本题考查了比例的性质,掌握正确表示出,b的值是关键.
8.(2022秋•奉贤区期中)已知包二£,且24-3计c=28,求代数式Q+A”的值.257【分析】利用设攵法,进行计算即可解答.【解答】解设包=电=£=上257则a=2k,b=5k,c=7k,,4t75-7=28,解得k=-7,.\a=-14,b=-35,c=-49,.a+b-c=-14+(-35)-(-49)=-49+49=0,.二代数式a+b-c的值为
0.【点评】本题考查了比例的性质,熟练掌握设攵法是解题的关键.
9.(2022秋•上海月考)已知〃、b、c分别是△ABC的三条边的边长,且a b c=578,3〃-2b+c=9,求△ABC的周长.【分析】设Q=5Z,b=7k,c=8比再代入等式3a-2/+c=9,求出攵的值,从而得到、b、的值,然后根据三角形周长公式进行计算,即可得解.【解答】解:设=5攵,b=7k,c=8k,代入3a-2b+c=9得,15攵-14攵+8攵=9,解得k=l,则〃=5,b=7,c=8,所以△ABC的周长是5+7+8=
20.【点评】本题考查了比例的性质以及代数式求值,解决此类题目时利用“设女法”求解更简便.
10.(2022秋•虹口区期中)已知—^0,且a+0+c=36,求八b、c的值.234【分析】可设且=且=£=攵(kWO),可得=3攵,b=4k,c=5k,再根据a+0+c=36可得关于攵的方程,234解方程求出匕进一步求得、b、c的值.【解答】解设>=2=£=420,贝!Ja=3左,b=4k,c=5k9234Q+8+C=36,,3攵+4攵+5Z=36,解得%=3,则=3%=9,/=4攵=12,c=5k=\
5.【点评】此题考查了比例的性质,设女法得到关于人的方程是解题的关键.
11.(2021秋•徐汇区校级月考)已知三求5xf+z的值.2344x-y-z【分析1先设三=工=三=匕可得x=2Z,y=3k,z=4k,再把x、y、2的值都代入所求式子计算即可.234【解答】解:设二=工===晨则x=2Z,y=3k,z=4k,2345x-y+z5X2k-3k+4k4x-y-z4X2k-3k-4k【点评】本题考查了比例的性质.解题的关键是先假设设三=工=三=鼠可得x=2Z,y=3k,z=4k,降234低计算难度.
12.(2021秋•奉贤区校级期中)已知a bc=
345.
(1)求代数式.—b+c的值;2a+3b-c
(2)如果3a-b+c=10,求〃、b、c的值.【分析】设=3攵,b=4k,c=5k,
(1)把=3匕b=4k,c=5Z代入代数式中进行分式的混合运算即可;
(2)把=3匕b=4k,c=5攵代入3a-/+c=10得到关于左的方程,求出攵,从而得到、b、c的值.【解答】解•••〃bc=345,•••设Q=3Z,b=4k,c=5k,⑴3a-b+c9k-4k+5k—
10.2a+3b-c6k+12k-5k13,()2V3a-Z+c=10,・・・9攵-4攵+5攵=10,解得k=l,,a=3,b—4,c—
5.【点评】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键.
13.(2022秋•奉贤区期中)已知实数、b、0满足包工厂,且〃-32c=-
8.求且乜幺的值.3542c-3b【分析】设=3攵,b=5k,c=4k,根据〃-3/+2c=-8,得攵=2,a=6,b=\0,c=8,即可求出答案.【解答】解•・•包354・••设=3匕b=5k,c=4攵,•a-3b+2c=-8,.3k-15k+Sk=-8,:・k=2,・・4=6,Z=10,c=8,•a-2b6-202c~3b16~30【点评】本题考查了比例的基本性质,根据已知条件列方程是关键.
14.(2021秋•奉贤区校级期中)已知实数无、)、z满足三=工=三,且x-2y+3z=-
2.求上L的值.3522y-3z【分析】设三=工=工=攵(AW0),得出x=3亿y=5k,z=2k,再根据x-2y+3z=-2,求出攵的值,从352而得出x、y、z的值,然后代入要求的式子进行计算即可得出答案.设三=工=三=攵(攵WO),352・・x^3Z,y~~5ky z=:2Z,Vx-2y+3z=-2,・・・3攵-10攵+6仁-2,:・k=2,;・x=6,j=10,z=4,・x-Hy6+10_2y-3z20-122【点评】本题考查了比例的性质熟练掌握比例的基本性质(内项之积等于外项之积、合比性质、分比性质、合分比性质、等比性质等)是解决问题的关键.
15.(2022秋•嘉定区期中)已知三=工=乏/0,且5x+y-2z=10,求x、y、z值234【分析】首先设x=2m y=3〃,z=4o,然后再代入5x+y-2z=10,可得的值,进而可得答案.【解答】解:设x=2m y—3a,z—4a,・.・5x+y-2z=10,A\0a+3a-8=10,5=10,4=2,・・x=4,y=6,z=
8.【点评】此题主要考查了比例的性质,关键是掌握用同一未知数表示各未知数.二.比例线段(共小题)
1016.(2021秋•徐汇区校级期中)下列各组的四条线段〃,b,c,d是成比例线段的是()A.4=4,b=6,c=5,d=10B.a=\,b=2,c=3,d=4C.=近,b=3,c=2,d=V^D.a=2,b=V5,c=2%,d=VT5【分析】根据比例线段的定义即如果其中两条线段的乘积等于另外两条线段的乘积,则四条线段叫成比例线段,对选项一一分析,即可得出答案.【解答】解A.4X10W6X5,故不符合题意,B1X4W2X3,故不符合题意,故不符合题意,C.A/2X45W2X3,D.2乂不日忐乂2M,故符合题意,故选D.【点评】此题考查了比例线段,根据成比例线段的概念,注意在相乘的时候,最小的和最大的相乘,另外两个相乘,看它们的积是否相等.同时注意单位要统一.
17.(2023•长宁区一模)已知线段〃、b、c、d是成比例线段,如果〃=1,b=2,c=3,那么d的值是()A.8B.6C.4D.1【分析】根据成比例线段的概念可得c=c b,可求d的值.【解答】解•・•线段a、b、c、d是成比例线段,=1,6=2,c=3,••67Z=c d,即12=3d,解得d=
6.故选B.【点评】此题考查了比例线段,掌握比例线段的定义是解题的关键.
18.(2023•宝山区一模)已知线段〃、b,如果4b=2;3,那么下列各式中一定正确的是()A.2a=3b B.a+b=5C.史立犬D.且±3=1a2b+2【分析】根据比例的性质进行判断即可.【解答】解A、由b=23,得3〃=2,故本选项错误,不符合题意;B、当a=4,b=6时,a b=23,但是〃+/=10,故本选项错误,不符合题意;、由a b=23,得主也=且,故本选项正确,符合题意;a2D、当=4,匕=6时,a b=23,但是且至=工,故本选项错误,不符合题意.b+28故选C.【点评】本题考查了比例的性质及式子的变形,用到的知识点在比例里,两外项的积等于两内项的积,比较简单.19,(2022秋•嘉定区期中)如果〃那么下列比例式正确的是()A.蚂』B.里』C.旦上D.R*n qp qq mn m【分析】从选项判断,把每一个比例式化成等积式即可解答.【解答】解:
4、•••典上,n q・mq=pn,故不符合题意;o••m nD\•―,P q/.qm=pn,故不符合题意;C、•金上,q m.\mn=pq,故符合题意;D、・・・艮3n m.pm=qn,故不符合题意,故选C.【点评】本题考查了比例的性质,把比例式化成等积式是解题的关键.
20.(2021秋•金山区期末)在比例尺是1200000的地图上,两地的距离是6c/n,那么这两地的实际距离为A.12km C.120km D.1200km()【分析】设这两地的实际距离为xoa根据比例尺的定义列出方程,然后求解即可得出答案.6_1由题意得:x200000【解答】解设这两地的实际距离为我利.解得%=1200000,经检验,%=1200000是分式方程的解,。