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第讲整数和整除的意义01回’【知识梳理】
一、整数的意义和分类
（1）自然数零和正整数统称为自然数；
（2）整数正整数、零、负整数，统称为整数.负整数
二、整除的意义除数、被除数都是整数;整除的条件:，三整一零.商是整数且余数为零.整除整数a除以整数b,若除得的商是整数且余数为零.即称a能被b整除；或b能整除a.整除被除数、除数、商都是整数，旦余数为零；LQ1整除与除尽的关系除尽被除数、除数、商不一定是整数，没有余数.联系整除是除尽的特殊形式.【考点剖析】
一、整数的意义和分类例
1.判断题（若是正确的，请说明理由；若是错误的，请把它改正确）.
（1）最小的自然数是1；
（2）最小的整数是0
（3）非负整数是自然数
（4）有最大的正整数，但没有最小的负整数；
（5）有最小的正整数，但没有最大的负整数.【答案】
（1）X；
（2）X；
（3）V；
（4）x；
（5）X.【解析】
（1）错误，最小的自然数是0;
（2）错误，不存在最小的整数；
（3）正确
（4）错误，既没有最大的正整数，也没有最小的负整数;
（5）错误，最小的正整数是1,最大的负整数是一
1.【答案】9,26；-53,-1；9,0,26；【解析】解在9,0,
0.23,-53,—,26,-1中，其中正整数有9,26；负整数有-53,-1自然9数有9,0,
26.
2.先把下列各数放入正确的圈内，然后把这些数按照从小到大的顺序排列，并说明其中最小的正整数，最小的自然数，最大的负整数分别是哪个？正整数负整数【答案】整数一1，2,15,0,1,-8,10；自然数2,15,0,1,10；正整数2,15,1,10；负整数一1,-8；从小到大排序为一8,-1,-
0.7,-
0.3,0,
0.3,1,2,
3.83,
4.
732732......,10,15；其中最小的正整数是1,最小的自然数是0,最大的负整数是一
1.
21.是否存在最小的的正整数，负整数，自然数；是否存在最大的止整数，负整数，自然数？如果有，请写出是哪个数.【答案】最小的正整数是1，最小的负整数不存在，最小的自然数是0,不存在最大的正整数，最大的负整数是一1,不存在最大的自然数.1304-10；274-25；335・
0.1418・3；
50.4+2；
63.9+
0.3；727・9；816+
4.
22.把表示下列算式的序号填入适当的空格内.除数能整除被除数的:能够除尽的_________________________________________________________【答案】除数能整除被除数的:1478；能够除尽的12345678【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.
23.有15位同学参加学校组织的夏令营活动，老师准备把她们平均分成若干小组，有几种分法？有可能把他们平均分成4个小组吗？为什么？【答案】一组、三组、五组、十五组均可.不能平均分成4个小组，因为4不能整除
15.【解析】因为15=1x15=3x5,所以可分为一组、三组、五组或者十五组.【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用.
24.一班同学分成四个小组糊纸盒，每组糊的个数同样多，小马虎统计时说全班共糊纸盒342个.小马虎的统计对吗？为什么？【答案】不对，因为4不能整除
342.【解析】342+4=
85......2,余数不为
0.【总结】本题主要考查数的整除在实际问题中的应用.
25.在1〜600这600个数中，不能被2整除的数有多少个？不能被3整除的数有多少个？既不能被2整除，又不能被3整除的数有多少个？【答案】300,400,200【解析】在广600这600个数中，能被2整数的数有2,4,6,8600,共有300个，则不能被2整除的数有600-300=300个；能被3整除的数有3,6,9,12,600,共有200个，则不能被3整除的数有600-200=400个既能被2整除,又能被3整除的数有6,12,18600,共有100个.能被2或3整除的数有300+200-100=400个，所以既不能被2整除，又不能被3整除的数有600-400=200个.【总结】本题主要考查整除在数字问题中的应用，注意思考方式的改变.【总结】本题主要考查与整数有关的概念.例
2.把卜.列各数放入相应的圈内整数自然数【答案】整数15,—1,0,-63,13；自然数15,0,13正整数15,13；负整数一1,-
63.【解析】整数包括正整数、零、负整数自然数包括正整数和零.【总结】本题主要考查整数的分类.例
3.
（1）试说说正整数、负整数、零、自然数、整数之间的关系
（2）试比较正整数、负整数、零的大小
（3）试比较负整数、自然数的大小.【答案】
（1）整数包括正整数、零、负整数；自然数包括正整数和零；
（2）正整数大于0,负整数小于0,正整数大于负整数；
（3）自然数大于负整数；例
4.五个连续的自然数，已知中间数是a,那么其余四个数分别是这五个连续自然数的和是20,试求这五个数.【答案】一
2、一
1、+
1、6/4-
2.这五个数是
2、
3、
4、
5、
6.【解析】列方程（々-2）+（4-1）+〃+（+1）+（〃+2）=20解得4=4，这五个数是
2、
3、
4、
5、
6.【总结】本题主要考杳如何利用已知的字母去表示与其连续的整数.例
5.有三个自然数，其和是13,将它们分别填入下式的三个括号中，满足等式要求-1=+5=+2,试求这三个自然数.【答案】3,10,
0.【解析】设这三个数分别为左+1,5k,k-2；则Z+1+5Z+攵-2=13解得k=2这三个数是3,10,
0.【总结】本题主要是对题目中条件的理解•，同•个数可以用不同的形式去表示.
二、整除的意义例
6.下列各组数中，第一个数能被第二个数整除的是A.5和2；B.7和2；C.34和17；I.
1.2和
3.【答案】C；【解析】解A、20能被5整除，故A不符合题意；B、没有整除关系，故B不符合题意；C、34能被17整除，故C符合题意；D、
1.2不是整数，故D不符合题意；因此答案选C.3例
7.在数18,-24,0,
2.5,2005,
3.14,TO中，整数有4A.2个；B.3个；C.4个；D.5个.【答案】D；【解析】解在上述数中，其中整数有18,-24,0,2005,-10共5个，故答案选D.例
8.老师问“当=
4.5时，〃=
0.9时，能被〃整除吗？‘一个同学回答“因为商是5,是整数，所以a能被〃整除你认为对吗？【答案】不对【解析】整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；本题只满足了商是整数，余数是0,忽略了对被除数、除数的要求；【总结】本题主要考查整除所满足的条件.例
9.下列各组数中，如果第一个数能被第二个数整除，请在下面的内打7，不能整除的打“x”.18和915和
300.4和414和617和359和
0.5【答案】横向VXXXXX【解析】整除的意义整数除以整数，如果除得的商是整数而余数为零，我们就说能被人整除:者说能整除只有18和9满足；【总结】本题主要考查整除所满足的条件.
二、整除与除尽例
10.已知下列除法算式574-7=8……1214-7=3；224-
0.2=110224-5=
4.4；0+3=0；24-4=
0.
5.1表示能除尽的算式有哪几个？2哪些算式中可以说被除数能被除数整除？【答案】121+7=3；22+
0.2=110；22+5=
4.4；0+3=0；2+4=052214-7=3；0+3=
0.【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.例II.把表示下列算式的序号填入适当的空格内.130+10；274-25；335+
0.1418-5-3；
50.4+2；
63.9+
0.3727・9；816・
4.除数能整除被除数的:能够除尽的_________________________________________________________【答案】除数能整除被除数的:1478;能够除尽的12345678【解析】除尽只要求余数为零即可，整除要求被除数、除数、商是整数，且余数是零；【总结】本题主要考查整除和除尽的区别.
四、整除的实际应用例
12.若两个整数〃、都能被整数c整除，它们的和、差、积也能被c整除吗？为什么？【答案】能，原因略;【解析】设=7C,b=nc（m、〃是整数,且〃7W〃）则a+b=（m+n）ca-b={tn-n）c；ab=nvic；J它们的和、差、积也能被c整除.【总结】本题主要是对整除的概念的考查及运用.例
13.15支铅笔分给几个学生，每人发的一样多且不止1支，并且正好分完，可以分给几个人？每人几支？有几种分法？【答案】两种分法
（1）3个人，每人5支；
（2）5个人，每人3支.【解析】将15分解可得15=1x15=3x5=5x3=15x1题目要求每人不止1支，排除掉1和15,故有两种分法
（1）3个人，每人5支；
（2）5个人，每人3支.【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.例
14.2015年的教师节是星期四，老师们可以好好庆祝一下自己的节日了，同学们，明年呢？我们能否不查日历，就能知道2016年的教师节是星期几呢？【答案】星期六【解析】2016是闰年，故2016年的二月有29天，2015年的教师节与2016年的教师节间隔366天,则:366+7=52…2,•••2016年的教师节是星期四后面两天，是星期六.【总结】本题主要考查如何利用整除解决实际问题.【过关检测】
一、单选题
1.（2021秋•上海奉贤•六年级校联考期末）下列各式中，是整除的算式是（）A.114-5=21B.27+3=9C.18+4=
4.5D.
2.44-
0.6=4【答案】B【分析】根据整除的定义逐项判断即可.【详解】解A选项，11+5=21中有余数，不是整除的算式，不合题意；B选项，27+3=9是整除的算式，符合题意；C选项，18+4=
4.5中商不是整数，不合题意；D选项，24+
0.6=4中被除数与除数不是整数，不合题意；故选B.【点睛】本题考查整除算式的识别，解题的关键是掌握整除的定义，若整数」除以非零整数界商为整数，且余数为零，我们就说4能被人整除（或说》能整除4）.
2.（2022秋•上海•六年级专题练习）下面各组数中，第一个数能被第二个数整除的是（）A.14和7B.
2.5和5C.9和18D.
0.4和8【答案】A【分析】由整除的定义，可得14・7=
2.【详解】解因为14+7=2,故选A.【点睛】本题考查有理数的除法熟练掌握有理数的整除的意义是解题的关键.
3.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）第一个数能整除第二个数的是（）A.2和9；B.12和3；C.5和10；D.6和
2.4【答案】B【分析】根据整除的定义逐项验证即可得到答案.【详解】解由题意可知，12+3=4,故选B.【点睛】本题考查整除定义，熟记整除定义是解决问题的的关键.
4.（2022秋・上海徐汇•六年级校考阶段练习）用0,1,4,7组成的所有四位数都能被（）A.3整除B.2整除C.5整除D.7整除【答案】A【分析】利用所有位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除【详解】团组成的四位数如果是1047,团就不能被2或
5、7整除，团组成的四位数各个位上的数的和都为12,团组成的所有四位数能被3整除，故选A【点睛】本题考查了有理数的除法，掌握数的整除是解决问题的关键
5.（2023秋•上海徐汇•六年级上海市徐汇中学校考期末）M能整除19,那么A7是（）A.19B.38C.19的倍数D.19的因数【答案】D【分析】根据整除的概念，即可求解.【详解】解M能整除19,那么M是19的因数，故选D【点睛】此题考查了整除的概念，掌握整除的概念是解题的关键，整除是指整数〃除以自然数加除得的商正好是整数而余数是零，就说能被b整除（或说b能整除a）.
6.（2022秋•上海徐汇•六年级校考阶段练习）下列说法中正确的是（）
①能够除尽的算式，被除数一定能被除数整除
②最小的素数是2
③合数•定是偶数
④没有最大的素数A.
①、
②B.
②、
③C.
②、@D.
③、
④【答案】C【分析】利用整除的定义、素数定义及合数定义判断即可【详解】解能够除尽的算式，商为整数，叫做被除数能被除数整除，故
①错误；最小的素数是2,故
②正确；合数不一定是偶数，例如15是合数但是15不是偶数，故
③错误；没有最大的素数，故
④正确，故选C【点睛】本题考查了有理数的除法，整除，素数，合数，解题的关键是掌握有理数的除法和整除，理解素数和合数的定义
二、填空题
7.（2022秋•上海•六年级专题练习）
4.8+3=
1.6,填能或不能〃）说3能整除
4.8【答案】不能【分析】整除是指整数除以自然数b除得的商正好是整数而余数是零，就说能被匕整除（或说〃能整除）.【详解】解因为
4.8,
1.6都是小数，不是整数，故不能说3能整除
4.
8.故答案为不能.【点睛】本题考查的是数的整除性问题，理解整除的概念是解题的关键.
8.（2022秋•上海•六年级校考阶段练习）如果15+3=5,那么能整除.【答案】315【分析】整数〃除以整数〃（人工0），除得的商正好是整数而没有余数，我们就说〃能被〃整除（也可以说力能整除），根据整除的意义解答.【详解】解用如果15+3=5,那么3能整除15,故答案为国
3、
15.【点睛】此题主要考查整除的意义，掌握整除的意义是解决有关的问题的关键.
9.（2022秋•上海宝山•六年级统考期中）如果〃表示一个正整数，那么4〃+3被4除的余数是.【答案】3【分析】根据4+3表示〃的4倍加3,可知4〃+3被4除的余数.【详解】因为〃表示一个正整数，所以（4〃+3）+4=〃3,即4〃+3被4除的余数是3,故答案为
3.【点睛】本题考查了整除问题，掌握4〃+3的含义是解题的关键.
10.最小的自然数是.【答案】0；【解析】解最小的自然数为
0.
11.最小的正整数是.【答案】
112.数23具有下列性质被2除余1,被3除余2,被4除余3,求具有这个性质的最小三位数是.【答案】107；
13.如果8能被a整除，那么a的值是【答案】1,2,4,8；
71514.在+5,-9「G，-
6.5，W中，是非负正整数的是__________________.o5【答案】+5,梳；【解析】解因为£=3,所以在上述数中，非负正整数的是+5,y.
15.在
12、
5.
352、
0、
0.
2、
30、
12.
4、
9.
5、1这些数中，整数是，自然数是.【答案】12,0,30,1；12,0,30,
1.【解析】自然数零和正整数统称为自然数；正整数、零、负整数，统称为整数.【总结】本题主要考杳自然数和整数的概念.
16.下列各组数中，第一个数能整除第二个数的是.
①3和
0.3；
②12和4；
③5和15；
④
0.2和
0.4；
⑤
1.4和14；
⑥5和
0.
1.【答案】
③【解析】整数除以整数匕，如果除得的商是整数且余数为零，我们就说能被匕整除；或者说匕能整除.【总结】本题依旧考查整除的概念.
17.下面的几对数中，第一个数能除尽第二个数的是.
①7和11；
②9和2538；
③2和5；
④15和5；
⑤13和91；
⑥2和
0.4；
⑦
0.3和6；®
1.5和
2.
5.【答案】
②③⑤⑥⑦【解析】能除尽6是指8小所得的商是整数或有限小数，要与数的整除的概念M分开.【总结】本题主要考查除尽的概念，注意与数的整除的区分.
18.五个连续的自然数，已知中间数是那么其余四个数分别是、、、.若这五个连续自然数的和是20,试求这五个数.【答案】一
2、-
1、4+
1、+
2.这五个数是
2、
3、
4、
5、
6.【解析】列方程:a-2+a-l+a+a+l+a+2=20解得a=4/.这五个数是
2、
3、
4、
5、
6.【总结】本题主要考查如何利用已知的字母去表示与其连续的整数.
三、解答题
19.把下列各数填在适当的内559,0,
0.23,-53,—,26,-19正整数负整数自然数。
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