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二、数据包络分析()方法DEA数据包络分析(dataenveIopment analysis,DEA)是由著名运筹学家Charnes,Cooper和Rhodes于1978年提出的,它以相对效率概念为基础,以凸分析和线性规划为工具,计算比较具有相同类型的决策单元()之Decision makingunit,DMU间的相对效率,依此对评价对象做出评价方法一出现,就以其独特的优势而受到众多学者的青睐,现已被应用于各
1.DEA个领域的绩效评价中⑵」】.在介绍方法的原理之前,先介绍几个基本概念DEA3决策单元1o一个经济系统或一个生产过程都可以看成是一个单位(或一个部门)在一定可能范围内,通过投入一定数量的生产要素并产出一定数量的“产品”的活动虽然这种活动的具体内容各不相同,但其目的都是尽可能地使这一活动取得最大的“效益”由于从“投入”至“产出”需要经过一系列决策才能实现,或者说,由于“产出”是决策的结果,所以这样I的单位(或部门)被称为决策单元().因此,可以认为,每个(第,个常记作)都表现出一定DMU DMU DMU DMU,的经济意义,它的基本特点是具有一定的投入和产出,并且将投入转化成产出的过程中,努力实现自身的决策目标在许多情况下,我们对多个同类型的更感兴趣所谓同类型的是指具有以下三个特征的集合具有DMU DMU,DMU相同的目标和任务;具有相同的外部环境;具有相同的投入和产出指标生产可能集
2.设某个DMU在一项经济(生产)活动中有m项投入,写成向量形式为工=(4,/),;产出有s项,写成向量形式为》=(乂,,乂尸于是我们可以用(x,y)来表示这个DMU的整个生产活动定义称集合{刈产出能用投入性产出来}为所有可能的生产活动构成的生产可能集.
1.7=«y在使用方法时,一般假设生产可能集满足下面四条公理DEA T公理(平凡公理)区,匕)1w7\/=1,2,,n o公理(凸性公理)集合为凸集如果(弓,匕”了,/=,〃,且存在>满足则2T1,2,0(E/=i乙4X)e7Xj,Zj=i公理3(无效性公理)若(x,y)£7\±2x,$«y,则()£7・,公理(锥性公理)集合为锥如果(羽),)£了那么对任意的左>4T0若生产可能集是所有满足公理和的最小者,则有如下的唯一表示形式T1,2,34TT={(羽》)|2当4Wx,ZZ/42y,%20,/=1,2,技术有效与规模收益3o基于产出导向的模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法3,BCC同理可得,基于产出导向的可变规模收益的形式下的混合整数线性规划模型如下:BCC匕£勺一£为一加Minimize22X)i=l I j=l yr=\3=1s mSubject to匕/V/八l,・・・,〃,+〃-Z J=r=l/=1为,孔,y^”,+〃o2°,j=i,…r=l为J=l,15I j£{0,1},j=1,...,〃,1,r―1,•.•,s,m+5max{^}v,i=I,...,m,i/n+5max{x}/;;/u°i sfree in s i gn,其中约束条件\与为+/2(j=是为了保证全体产出是非负的,因为负的产出没有意义.r=l
(七)举例说明下面用个例子来说明方法的应用3DEA例假设现有七个被评价的决策单元,投入、产出项各有一项,投入项为产出项为输入如下表所示此时七个决策单元1:X,Y,的相对位置如图所示,在模型下,连接原点与点的射线构成前沿面,如图中所示,其余的点均位于该前沿面的下5—2CCR B方表七个决策单元的投入、产出数据5-2DMU XY E千千i ci encyA210o5000B331o0000C860o7500D
620.3333E540o8000F1060o6000G74o50o6429图七个决策单元的分布及其在生产前沿面上的投影5—2从图中可以看出,只有决策单元位于生产前沿面上,而其他所有决策单元均位于该生产前沿面的下方,即2B A,C,D,E,F,均为非有效,从表最后一列的效率值大小也很容易得到确认为了使非有效决策单元为有效,可依图G DEA5-2DEA DEA中箭头所示的方向将非有效的决策单元往前沿面上投影均为减小投入而保持产出不变;而给出了三种DEA A,C,D,F,G E投影方式(减小投入产出不变;保持投入不变增大产出;或者同时减小投入和增大产出)例2五个先进制造技术的甄别,数据来源于Wang和Ch in
(2009)1231o表五个先进制造技术的数据及其乐观、悲观以及几何平均值5—3投入产出Y决策单元乐观效率值悲观效率值几何平均值Xi X2A4072101o00001o60001o2469B32121050o
56391.
00000.7509C
52203041.
00001.
73711.3180D35132000o
98381.74151o3089E
3281500.85801o42861o1071对于每一个决策单元而言,可通过求解模型
(2)和
(12)获得全体DMUs的乐观和悲观效率,结果如上表所示下面简单介绍一下求解过程和技术实现.以第一个决策单元的CCR效率(即乐观效率)为例,将数据代入模型
(2)即得模型
(16),显然这是个较为复杂的线性规划模型,需要借助软件计算才会更为简便.因此本书分别给出了以及下的Lingo Mat lab CCR模型的编程.的编程一次也只能计算一个(见下面程序后的计算说明),而程序相对而言更为简便,其可以很Lingo Maltab快地计算出所有决策单元的效率此例中通过软件计算所得,在乐观效率下,所得效率为表的第五列所示,全体单元的优序关系为〉〉,决策单元与5-3C=A DEB A均为有效,而为非有效在悲观模型下,所得的效率值为表的第六列所示,决策单元为C DEAB,D,E DEA5—3B DEA无效,而其他单元均为非无效,其优序顺序为〉由此可见,在乐观前沿面和在悲观前沿面下的排序DEA DC AEB存在着一定的差异.表的最后一列的值为乐观和悲观效率的几何平均值,显然等人提出的该几何平均值较5—3Wang2007好的综合了乐观和悲观前面的两部分信息,从而五个单元合理的排序为CDAE B.Maximize=210//j助40+7g=l,,2104]-40q+720〃一
①一助
①105|321+12g0,,304452+20240,16subject to一助〃一助叱,200435+13g40,150]32+840・420,q20,g2°下面给出与的程序:LINGO Mat lab例2的LINGO程序实现:以计算第一个决策单元的乐观效率为例MODEL:sets:DMU/1o.5/:S,T,P;!Decision makingunits;I1/1o o2/:w;!input index;IVI I,DMU:X;0V!input variabIe;0I,DMU:Y;endsets!output variabIe;data:P=10000;X=403252712203532Y=210105304138;200150;enddata01/1/:u;!output index;max=@sum DMU:P*T;@for DMUj:S j=@suml I i:wi*Xi,j;T j=@sum0Ii:u i*Y i,j;〉Sj=Tj;@sumDMU:P*S=1;END在上述程序中,P的值10000分别替换为01000,00100,00010,0000可得个决策单元的最优效率值依次为1,51o0000,0o5639,
1.0000,
0.9838,08580oo例2的Matlab程序实现:cI earall;X=
[403252353271220138];Y=
[210105304200150];n=s ize X,1;m=s izeX,1;s=s ize Y,1;A=[一X,Y];二b zerosn,1;LB=zeros m+s,1;UB=[];for i=1:n;F=[zeros1,m-丫,i];Aeq=[X:,i‘zeros1,s];beq=1;w:,i=l inprogF,A,b,Aeq,beq,LB,UB;E i,i=Y:,i*wm+1:m+s,i;end wE二omega w1:m,:mu=w m+1:m+s,:EE=diagE运行上述程序,即可得全体的效率值MatlabDMUs CCR例现有家国际航空公司,数据来源于田,已知投入有三项,产出有两项,分别为:314Tofallis1997飞机容量吨公里X:乙营业费用泡其他资产预定系统,便利性以及流动资产每公里乘客数y:为非客运收益表家航空公司的数据5-414投入产出DMU xx X丁23215723323920032667769725895422545573081539324099956062671240551266413565749932136473415635518318807832360451361908080323272950115727460334572360221129698120976779647452363200196587334135812650412971056541878191619277972111255980983310419253398125728248122542775498213471517922485313325431422793987441451225281404表一效率及其非有效决策单元的改进55CCR效率DMUj CCR投入产出yuXij X2j Xj y2j
310.8684-753-916—
2640020.3379-3903—2940—
40323569030.9475-1265—502—3290731一
40.9581569—1235-13500500000160o9766-447—402-770810710000080o8588—1709-957-20080090o9477—344—175-1392001010000011100000120000011310000014000001利用模型以及将非有效改进为有效的投影公式,可得表的结果从表中可知,决策单CCR DMUDMU5—5元为有效,而其它单元为非有效对于非有效决策单元,例如对第一家航空公司而言,它5,7,10,11,12,13,14DEA DEA的第一项投入应减少第二项投入应减少第三项投入应减少同时保持产出不变,这时该航空公司可达有效753,916,264,DEA和与类似也均需减少该三项投入而对而言,其前三项投入应分别减少和DMU,DM DMU9DMJ DM53903,29404032,4第一项产出需增加第二项产出保持不变可达有效而和在减少三项投入的同时,还需要增加第二项产出才3569,DM DMlh会有效利用攻击型交叉效率模型,我们可得如下表(表)所示的家航空公司的交叉效率表以及其排序从表中可以5—614看出第家航空公司的相对效率为为所有航空公司中最优,其次是第家航空公司,其交叉效率值为507983,1107742o而第家航空公司的交叉效率值为为家航空公司中最差201652,14利用仁慈型交叉效率模型,我们可得如下表(表)所示的家航空公司的交叉效率表以及其排序.从表中可以看5—714出第家航空公司的相对效率为为所有航空公司中最优,其次是第家航空公司,其交叉效率值为而第
110.9193,
130.9190家航空公司的交叉效率值为为家航空公司中最差此结果与攻击型交叉效率模型所得的结果又较大的差异,201894,14然而至今仍无一个准则可以清晰的告诉决策者何时该选择攻击型模型或者是仁慈型模型.因此均对不同的决策问题,选择的模型的不同,所得结果可能出入较大为此,学者们提出了一些改进模型,例如和()的中性交叉效率模Wang Chin2010a型,以及Liang等人(2008a)的博弈交叉效率模型都可以较好的避免这个问题攻击型交叉效率值表DM目标DMU平均排交叉序U1234567891011121314效率110o
86840.
45010.
62250.
86840.
4418047260.
76790.
7881070310.
4158033900.
704304711047260.5990o o o o2120o
17190.33790o
04720171900224002470.
2770027240.
2808024650.
11520.
27890.
0417002470.1652o o o o o o
4130.
88260.
19420.
9475088260.
65660689806468068330.
622502559019680.
62610.
74220.689806226o o o o o o o
140.95810o
42590.
7034095810.
6683069730.
76290.
78500699104027047390.
701604937069730.67347o o o o o o
50.
96530.
3658100000.
9653100001.
0000070110.
7359077780.
52720.
638207819071811.
00000.79831o o o o o o60o
88180.11080o
956308818096320976605745060840509901376017030.51410676609766063859o o o o o o o o o o70o
92110.
77810.
47730.
92110.
31080.
33821.
00001.
00000.
83950.
541604000083830.
36580.
33820.64788o180o
78130.
61140.
51620.
78130.
26830.
29240.
8415085880.
8208057030.
3011081940.
44180.
29240.5855o o o
3190.
78550.
72780.
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7855024550.
26770.
88810.
9072094770750103528094520.45370267706309o o o o o o
0100.78210o63540o
65200782103337035640.
7650079441.
0000100000.
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35640.68136o o o o o o1110000100000o
4287100000.
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99980.
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00000.6398043950o o o73145131o OOOOOo
42561.
000010000041830.
45550.
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22771.
0000100000.
98061.
00000691907275064780274703299065210.709710000073164o o o o o o o o o表仁慈型交叉效率值表5—7平均排目标DM DMU_______________________________________________________________________________________________交叉序效率
34567891011121314110.
86840.
45010622508684084920.
47260.
81080.
78810.
70310.
751208684077130.
86840.868407543o o o o o
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17190.
33790.
0472017190173500247024790.
27240280802058017190.
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1719017190.1894o o ooooo430o
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68980.
72320683306225078460.
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807208826088260.76789ooooo
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834109581095810.82226oooo
50.96530o
36581.
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88180878009766066150608405099071760.
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72750.
647808569100000.88381000010000086595oooooOo应用数据包络分析需注意的事项作为一种非参数方法,将数学、经济和管理的概念与方法相结合,是处理多目标决策问题,解决在经济和管理中评
1.DEA价具有多个投入、多个产出问题的有力工具主要适合于同种类型部门或单位间的相对有效性排序和评价,可以通过在生产前沿面上的投影分析,发现非有效的产生原因以及改进方向,调整资源投入量和效益产出量使决策单元达DEA到有效DEA应用模型进行评价,不必事先确定指标权重,只需假定由决策单元的投入产出指标组成的状态可能集满足凸性、
2.DEA无效性、锥性以及最小性等条件即可方法本身包含指标的权重分配过程,在计算不同决策单元的最大有效性时,DEA指标的权重是动态可变的,最后排序的结果是每个决策单元在最有利于自身的权重下的结果应用方法进行评价分析时,一般要求决策单元数目应大于投入产出变量数目之和根据经验法则,最好是决策单
3.DEA元数目应大于投入产出变量数目之和的两倍,这样计算所得的结果才能具有较好的区分性,否则容易出现多个决策单元有效而无法进一步区分的情形.此时,可以采用超效率模型或者是交叉效率模型进行相对效率分析也可以将这些有效决策单元再采用其他综合评价方法进行分析投入产出指标的确定,一般是根据资源投入量与效益产出量确定模型求解时,一般要求投入产出指标具有非负性
4.DEA如果遇到负的投入指标,一些学者认为可以考虑将取绝对值后纳入产出指标进行考虑,不过这种方法的合理性以及此方面的研究还尚未取得一致的认识在实践中,通常有两种导向的模型可以供决策者选择,一类是投入导向模型(即在相同产出水平下,比较投入资源的使
5.用情况),一类是产出导向模型,人们通常只从投入导向或者产出导向的角度去分析决策单元的相对有效性,不过这两种角度在很多时候计算所得的结果是不一致的,只有模型计算所得的投入导向与产出导向的效率是一致的.对CCR于采用其他模型时所得结果存在的不一致性,在实际中也可以将两个角度通过加权综合的方式一起考虑,相关研DEA究可以参考最新的国内外文献方法不仅能对管理效率进行横向对比,也可以进行纵向、动态的分析,即评价样本的数据可以选择截面数据、时
6.DEA间序列数据或者是面板数据面板数据常用的方法为视窗分析法与生产力指数法DEA DEA-Malmquist当前已有较多的现成的软件可以用于求解模型,例如以及等不过这些软件只
7.DEA DEA DEAP,DEA solver MyDEA能求解常见的模型,对于改进型的模型,通常需要编程,此时可借助于的线性规划求解器,DEA DEAEXCEL Lingo软件以及软件等编程软件Mat Iab习题现有家医院,每家医院有个投入(医生人数以及护士人数)和个产出(门诊病人人数以及住院病
1.1022人人数),投入产出表如下所示,试用方法分析这家医院的相对有效性DEA10表十家医院投入产出数据表5—8DMU12345678910投入医生人20192527225533313050护士人151131160168158255235206244268产出门诊病人人10015016018094230220152190250住院病人人9050557266908880100100第节案例分析7本节以一个实例来说明数据包络分析方法的使用,评估对象为中国台湾的森林经营宝岛台湾面积为平方公里,36000台湾森林覆盖面积占全省土地总面积的一半以上,在年以前有个林区,主要以保护林地和木材为主要任务森林198913的经营具有非盈利性质,了解各个林区的经营效率,检讨投入资源的使用是否有效,是一个值得探讨的问题以下将以台湾省各林区的效率评估,探讨使用的各个步骤,来说明方法在实际中的应用,案例分析中主要集中探讨三个部分DEA DEA内容确认投入产出项,选择恰当的模型,结果的分析与解释12DEA3使用方法首先需要选择适当的投入产出项目根据森林经营的多目标性及其非营利性等特点,其目标包括实质DEA产出如木材、野生动物以及森林效用如净化空气,调节气温,美化环境,洁净水源,保持水土,旅游等,为了筛选投入产出项以衡量森林经营目标,参考和阳的研究与高强等人〕编写的书籍筛选的步骤如Ka Yang19922003[26下:访问林业局的管理层,确立其组织目标及其管理目标1要求受访者确认投入产出项目进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出种类列出,以供受访者参2考要求受访者确定投入产出的衡量指标进行过程中间研究者从文献以及经验得知的各种投入产出衡量指标列出,以3供受访者参考收集并整理投入产出数据4确认投入产出项目及衡量指标并完成数据收集整理后,进一步与受访者探讨,分析其含义5产出项目根据森林一般多目标经营的想法,例如美国年颁布的法案,森林的功能1960Multiple Use—Sustained Yield包括木材生产、野生动物、水源涵养、放牧、森林游乐等五项.通过与林业局的深访,决定台湾省林业经营目标有林产、水源涵养、游乐三项,而采用以下三个指标来衡量主产物木材的产量,度量单位为立方公尺;1平均蓄积用以衡量水土保持、调节气温、洁净水源等森林功效,以林地林木蓄积量表2示,单位为千立方公尺;游乐用以衡量森林之游乐功效,单位为游客人数3投入项依据生产经济理论,基本上是土地、资本与劳力,在森林经营中,林她上林木蓄积量亦可视为资本因此,林业局的相关人员认为因采用如下四项指标来衡量投入,即预算以千元为单位;1原始蓄积林地之林木蓄积量越大,其林木的生产量也越大,水源涵养效果也越佳,因此2以评估期开始的林地为林地蓄积为指标,单位为千立方公尺;劳动力投入的人力,单位为人;3土地面积单位为千公顷4投入产出项经过专家筛选出来以后,下一步就是投入产出项的数据的收集与整理使用不受指标单位的限制,为DEA了避免各年资料一时的波动造成绩效评估的误判,本案例中选取十年的数据,各指标取十年的平均值,并将货币19787987价值以年的物价销售指数为基底进行平减因为台湾省在此段时间的林区总数为个,未能满足投入产出项目个数197513两倍之最少受评单位的要求,因此加入四个与十三个林区大致相当的林区经营单位林区开发处、林业试验所、台大实验林以及中兴实验林,因此获得了个受评单位,其数据如下表所示17表原始数据表5—9投入产出林区面积劳力预算原始蓄积主产物平均蓄积游乐文山60o
852704.
115.
0415.
855.
1714.57竹东108o
46597.99313o4547o1918o867O大甲
79.
06421.46o
358.2721o5710o4833o73大雪山
59.
66860.
112.
2810.
958.4111o719o64埔里
84.
52714.339o
9339.
0412.250峦山1272859210o
4513.3657o1113o810O玉山
98.886312o
158.1442o8112o43399o83123o148528o8410o
8655.
29.187o56恒春86o372855o
358.
6239.246o881081o89关山
227.
2216.
15.
8724.
0444.0827o280玉里146o
432054.0815o
7637319.30O木瓜
173.
48774.912o
623.
0396323.
5341.86O兰阳171o112722o
714.
5117.8419o
7318.8684开发处
93.
651399128.9417o5842o
1117.30林试所
13.65350o90o911o
4219.071580o台大33o
521651.
730.3813o
570.51061o48中兴
8.23490o31o593o861o
5767.73通过相应的计算,可得模型,模型,超效率模型,原始交叉效率模型,攻击型交叉效率模型,仁CCR BCC慈型交叉效率模型的结果如下表所示.表各种模型下的效率值及其排序结果5—10DEA林区超效率排序原始交叉效率排序攻击型交叉效率排序仁慈型交叉效率排序CCR BCC文山0o73380o77630o7338170o
4779130.
4453120.620515竹东1o
00001.
00001.
152670.730250o
675750.95381大甲0o
89610.
91130.
8961120.5734110o5366110o78338大雪山
1.00001o
00001.
0418100.
4383140.4123150o670612埔里
1.
00001.
00001.
196650.796810o739530o91482峦山
0.88141o
00000.
8814130.603790o5491100o734310玉山1o
00001.
00001.091790o
6032100.557690o85514楠浓0o
76571.00000o
7657150.
4784120.
4413130.568616恒春
1.
00001.
00001.
173860.637480o
571980.707311关山
1.
00001.00001o
340940.738240o726540o78777玉里
1.00001o
00001.
117680.
789420.
766110.86003木瓜Oo
81931.00000o
8193140.4342150o4162140o636314兰阳
0.
74390.78490o7439160o3444170o
3407170.525717开发处0o
97461.00000o9746110o
4045160.3586160o651713林试所
1.00001o
00003.062720o
654260.
638160.73459台大1o
00001.000022c
256010.639970o599970o82126中兴
1.
00001.
00001.634230o
761230.
744120.83465从表中可知,模型和模型中存在多个有效决策单元,因此如果分析的目的是实现所有林区的全排序,570CCR BCC显然选择这两个模型难以达到要求.而后四种方法超效率模型,原始交叉效率模型,攻击型交叉效率模型以及仁慈型交叉效率模型可以较好的实现对所有林区的全排序.原始交叉效率模型与攻击型交叉效率模型所得的排序结果最为接近,如玉里林区在原始交叉效率模型中排在第二位,而在攻击型交叉效率模型中排在第一位;而与之类似的林区还有中兴和玉山.差异最大的是埔里林区的排序,在原始交叉效率模型中排第一位,而在攻击型交叉效率模型中排在第三位.而攻击型交叉效率与仁慈型交叉效率所得的排序结果的差异较大,在仁慈型交叉效率中排在第一位的是竹东林区,而竹东林区在攻击型交叉效率模型中排在第五位在超效率模型中,台大林区以相对有效值遥遥领先于其他林区排在第一位,第二位的林试22256所以排在第二位,中兴林区以排在第三位,也就是说后面加入的四个决策单元与林区具备类似功能的单元
3.062716342O占据了所有林区排序的前三位,超效率的结果与其他三种可以实现全排序的排序结果均存在较大差异.技术有效对于任意的若不存在且则称为技术有效的生产活动.1x,y£7,yy,x,y£7,x,y£7规模收益将产出和投入的同期相对变化比值左=上/」称为规模效益.若说明规模收益递增,221,y%这时可以考虑增大投入;若左说明规模收益递减,这时可以考虑减小投入;若左说明规模收益不变,且称为规模有1,=1,效.一方法原理与模型DEA CCR方法的基本原理是设有个决策单元它们的投入,产出向量分别为=%,%,,七=九,DEA nMUjj=l,2,/,J0,,Y.Xj为,,为/,,由于在生产过程中各种投入和产出的地位与作用各不相同,因此,要对进行评价,必须j=1,DMU对它的投入和产出进行“综合”,即把它们看作只有一个投入总体和一个产出总体的生产过程,这样就需要赋予每个投入和产出恰当的权重假设投入、产出的权向量分别为^=匕,彩「・.,匕〃/和〃=%,〃2,,〃、丁,从而就可以获得如下的定义定义称%.=吃力为第/个决策单元加的效率评价指数$rY2,7=1,2,4u丁v X.匕%LJi=l根据定义可知,我们总可以选取适当的权向量使得%如果想了解某个决策单元,不交设为/}在这个决1nDM”£{1,2,策单元中相对是不是“最优”的,可以考察当〃和尽可能地变化时,的最大值究竟为多少?为了测得/的值,v4Charnes等人于年提出了如下的三位作者名字首字母缩写模型1978CCRSX”得---------Maximize=0工明九subject to1,J=1,2,,n,1i=l s£匕%匕i=\u0,0,Vr,i.r利用和川提出的分式规划的一变换甲诂,Charnes Cooper1962Charnes Coopert=g=八\,=,变换后我们可以得到如下的线性规划模型:ju=%,r=1,,s,1,/nr本部分基本概念数据包络分析data envelopment analysis,DEA;决策单元Decision makingunit,DMU夕,只因有你,七总有一些人牵肠挂肚难以忘记,总有一些日子温暖甜蜜最为珍惜从春夏到秋冬,从陌生到熟悉,虽不能时时联系,却总在特别的日子想起你,七夕快乐,我的朋友.七夕,只因有你,因为有你,再苦生活也不觉得累,再大的险阻也无所畏,再大的波折也不担忧,再痛的经历也会忘记,因为有你,我就拥有了整个世界,谢谢你出现在我的生命里.七夕快乐,我的朋友七夕,只因有你,相识,是最珍贵的缘分,牵挂,是最真挚的心动,思念,是最美丽的心情,问候,是最动听的语言,在这七夕到来之际,最美的祝福送给你,七夕快乐,我的朋友.七夕,只因有你,雨点轻敲窗,风吹散了梦想,唯有你的模样依旧在脑海里徜徉,夜深入好时,你占满了心房,舍半生较狂,半世时光,只为拥有一段和你相处的珍贵情缘,七夕快乐,我的朋友.七夕,只因有你,虽然相距很远,但两颗心却紧紧相连虽然不常见面,音容笑钝犹如眼前,悄悄的扶一缕情丝,放飞在炎炎夏日默默的拽一丝牵挂,悬挂在无垠宇宙静静的指一声问候,盛开在七夕佳节七夕快乐,我的朋友七夕,只因有你,祝福,是一种真实的心意,是一种甘甜的快乐,是一种浪漫的味道,是一种温馨的记忆,是一种美丽的幸福,更是我们情谊永远不变的纽带,七夕快乐,我的朋友.七夕,只因有你,爱是种体会,即使心碎也觉得甜蜜,爱是种感受,即使痛苦也觉得幸福,爱是种缘分,即使分离也觉得快乐,七夕到了,最真诚的祝福送给你,七夕快乐,我的朋友七夕,只因有你,愿天下有情人终成春属,愿单身人士找到爱的方向,愿情侣们找到幸福的天堂,愿夫妻找到温暖的避风巷,愿岁月抚平生活的忧伤,愿爱的花瓣轻舞飞扬,川Charnes A,Cooper WW,Rhodes E.Measuring theefficiency ofdecision makingunits[J].European Journal of OperationalResearch,1978,2:429-
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2003.126屯,MaximizeZ=2r=l切耳subject togXj=1,⑵s m为一例勺小,24240,7=1,r=i/=1)1u,o0,r=1,,s;i-1,,m.rl根据线性规划的相关基本理论,可知模型
(2)的对偶问题表达形式Minimize0()〃工subject toxij%-2%,i=1,2,,m,7=,
(3)♦上述的模型是基于所有决策单元中“最优”的决策单元作为参照对象,从而求得的相对效率%.0,y=l,j=i都是小于等于的模型⑵或者⑶将被求解次,每次即得一个决策单元的相对效率模型⑶的经济含义是为了评价1n(°£{1,2,,川)的绩效,可以用一组假想的组合决策单元与其进行比较.模型
(3)的第一和第二个约束条件的右端项分别是这个组合决策单元的投入和产出.从而,模型()意味着,如果所求出的效率最优值小于则表明可以找到这样一个假31,想的决策单元,它可以用少于被评价决策单元的投入来获取不少于该单元的产出,即表明被评价的决策单元为非有效DEA而当效率值为时,决策单元为有效.有关有效根据松弛变量是否都为零还可以进一步分为弱有效与1DEA DEADEADEA有效两类即通过考察如下模型中的=…而)与s(r=1,..,s)的值来判别“7S%-£»『+»;Minimize/=1r=l〉勺subject to=60,i=1,,m j=l4乙一;,2%5=%r=l,,S j=i乙,20,Vz,j,r.J其中£为非阿基米德无穷小量根据上述模型给出被评价决策单元,川)有效性的定义:DMU3£{1,2,(定义若模型()的最优解满足;=则称〃为弱有效341,DMU DEA定义4若模型
(4)的最优解满足;=1,且有歹=0,s=0成立,则称ZWU〃为DEA有效.定义5若模型
(4)的最优解满足1,则称DWU〃为非DEA有效对于非有效的决策单元,有三种方式可以将决策单元改进为有效决策单元保持产出不变,减少投DEA入;保持投入不变增大产出;减小投入的同时也增大产出.模型容许在减小投入的同时也增加产出.CCR DMU对于模型,可以通过如下投影的方式将其投向效率前沿面,从而投影所得的点投入产出组合即为有效CCR DEA,2~/为-s,=xio—(1—%)*io—SjXj,i=1,o,・y ro=y ro+=L S上述投影所得值与原始投入产出值之间的差异即为被评价决策单元欲达到有效应改善的数值,设投入的变化量为一与,产出的变化量为-°4=为一,一),io=*io—y Z=1,(%),厂,,♦%+$—%=1s
(二)模型BCC模型是假设生产过程属于属于固定规模收益,即当投入量以等比例增加时,产出量应以等比增加然而实际的生CCR产过程亦可能属于规模报酬递增或者规模报酬递减的状态为了分析决策单元的规模报酬变化情况,与Banker,Charnes以生产可能集的四个公理以及距离函数为基础在年提出了一个可变规模收益的模型,后来被称为Cooper Shepard1984BCC的模型⑶线性形式的模型可表示为BCC丫°-Maximize£4u,r or=lsubject to£gx2=1,Z=1s mZ〃山—以J=L,小r=l i=\,
①;
4.j NO,r=l,si=l,f9含松弛变量形式的对偶模型BCCs%-屯打+;Maximize Zsi=\r=\内,subject to+s[=i=1,,m j=\0Z%乙一$;=%,-=1,,s j=iS当户j=l;4s1,s20,Vz,y,rJ其中£为非阿基米德无穷小量.根据BCC模型中的以的取值大小,Banker和ThraI I
(1992)⑹提出如下判别方法来判断模型⑸的规模收益定理
13.假设含有投入产出组合(%,券)的例是有效的,那么下面的条件可以判别模型
(1)之下MU,的规模收益i对于投入产出组合®,”规模收益不变当且仅当在某个最优解情况下有〃=0;对于投入产出组合规模收益递增当且仅当在所有最优解情况下都有<i i0;对于投入产出组合®,以规模收益递减当且仅当在所有最优解情况下都有,〉|i i
0.其中〃:代表模型中的最优解该定理的证明参见文献5
[6]o模型或者模型计算出来的效率可能存在多个效率值为的情形,为了进一步区分这些有效决策单元,常用CCR BCC1的方法有超效率模型,交叉效率模型以及双前沿数据包络分析模型下面依次做个简单介绍三超效率模型模型在计算效率值时,经常会出现多个有效的决策单元效率值为的情形,从而使得有效决策单元之间无法进CCR1行比较分析和⑺为了实现决策单元的完全排序,将被评价的决策单元从效率边界中剔除,以剩Andersen Petersen1993余的决策单元为基础,形成新的效率边界,计算剔除的决策单元到新的效率边界的距离.由于剔除的决策单元不被效率边界所包围,对于有效的决策单元而言,其计算出来的新效率值就会大于而对于无效的决策单元而言,其所得的效率值不1,变,仍小于从而使得全体决策单元可以实现完全排序由于有效的决策单元效率大于从而就有了超效率1,1,的概念,基于模型的超效率模型为Super—efficiency CCRDEAMinimize0外诒,,=subject to Zxij^j41,2,,m,j=i⑺7之九Z%%J=12,s,声”20,/o.7=i和⑻证实了超效率极易受离群值的影响,因此该方法可以用来检测数据集中是否存在离群值Banker Chang2006四交叉效率模型为了解决有效决策单元的排序和比较问题,等人⑼提出了交叉效率评价的概念所谓交叉效率评价DEA Sexton1986就是每个分别确定一组输入输出权重,供所有的评价使用,其中用自身确定的权重评价自己的效率,DMU DMUsDMU称为自我评价效率;用其它确定的权重评价自己的效率,称为交叉效率或同行评价效率以表为例,交叉效率评DMU57价的实质是对每个同时进行自评和同行评价,这样不仅考虑自评的最好相对效率,而且还考虑了同行DMUDMUDMU评价给出的交叉效率,利用自我评价和交叉效率的平均值作为衡量绩效的综合指标,该指标不仅较好地解决了DMU DMUs间排序和比较问题,而且解决了模型由于输入输出权重不一致性导致的不可比较问题.CCR等人通过引入二级目标来确定输入输出权重、消除权重的不唯一性.随后和[⑼,Sexton1986Doyle Green1994,1995从同行评价的角度解释了交叉效率的含义,并给出了后来的到广泛引用的二级目标函数一攻击型计算方式和仁慈型计算方式,下面两个模型依次为攻击型交叉效率模型和仁慈型交叉效率模型:表交叉效率示意表5—1交叉效率决策单元-------------------------------------------------------------------------------------算术平均值12•••n工四13%…%%…%,£百2n%%…%£四攻击型交叉效率模型:〃sMinimize2X Syrjmn ASubject toZ/X xij=Li=l j$火-馥=°,48r=l/=1s/■六,叫S%-E%F WO‘1,j*k,r=l/=lu,.0,r=l,,s,kv0,i=1,,m.ik仁慈型交叉效率模型n\£%火Maximizer=ln\SXiJ\j=Lj,Subject toki=l1,E-或国=°,OM29r=lz=l5mr=l z=l,*k20r=l,,s,v0,i=1,,ikm.然而,至今仍无一个准则来判别什么情况下使用攻击型或者是仁慈型为了避免目标函数选择上的两难,Wang和Chin2010ai,2i提出了一种中性交叉效率模型.其模型形式如下所示:Maximize S=MinimizeRmre{l,,s}mi〉X.V.y uysubject to夕=乙「=】J onm V.X.—三1io ioZi,巩夕二Wl,j=l,jwo,jo mJ77/10U0,r=l,,s,ro匕0N6i=L利用的变换公式,可得中性交叉效率模型的线性模型Charnes-CooperMaximize S为subject toE%=1,/=!£%加=%〃r=ls=11r=l i=\「“一»,匕〃020,r=l,S,0,i=
60.交叉效率模型还有其他一些改进方式,例如等人户年提出了个可供选择的二级目标计算方式;Liang2008a3Liang等人[⑷将非合作博弈理论与交叉效率评价方法结合起来,提出了博弈交叉效率的概念,并设计了算法求解博弈交2008b叉效率值,同时证明了该博弈交叉效率值即为纳什均衡点;和心提出了一些可选择性交叉效率评价模型;Wang Chin2010b和在交叉效率的研究中率先引入有序加权平均算子很好的体Wang Chin2011m Orderedweighted averagingoperator,0WA,现了决策者的各种偏好,尤其是对不合理的交叉效率评价值赋予较小的权重,从而使得最终的评价结果更为科学合理.有兴趣的读者可以进一步参阅其他有关交叉效率的相关论文五几何平均效率模型为了区分有效决策单元的排序难问题,等人2〕于提出了悲观效率模型,并将其与乐观效率模型相Wang20072007结合,提出了基于几何平均值的双前面数据包络分析方法基于悲观前沿面的数据包络分析模型为Minimizesubject to12sr=l川£匕为二,i/=1s为一匕%,,,凡22°J=i2,r=1,2,,s;i=1,2,,m.其中和匕是非负权重模型与模型的区别在于模型计算所得效率均大于等于而模型⑵4122121,所得的效率值均小于等于基于几何平均值的双前沿数据包络分析方法就是将模型所得的效率与模型所得的效率通
1.122过几何平均的方式加以综合,即其中为综合后的/}的效率值,而外和夕分别对应该决策单元在模型与模型下的212最优效率值下图为有效前沿面和无效前沿面的一个演示图.图决策单元的有效和无效前沿面5—1六最优决策单元的选择在实际应用中,决策者有时候关心的是哪个方案或者哪个决策单元是最优的,而对于其他单元的排序并不在意因此,如何利用模型直接寻求最优决策单元成为学者们所感兴趣的问题.和心提出了一个混合整数线性规DEA AminTolo2007划模型,采用两步法以期实现寻求最优决策单元.然而随后发现这种两步法有时会产生两个或者两个以上的Amin2009[3最优决策单元,因此他提出一个非线性混合整数模型即发现的非线性规划模型在有些情况下是不可,Foroughi2011Amin行的不过的模型存在着一些冗余的约束且对输入输出权重给定了保证域,并且该模型易受离群值Foroughi2011outliers的影响,从而导致所选择的最优决策单元不正确.因此,Wang和Jiang2012⑵]提出了三种混合整数线性规划模型来改进的模型中所存在的问题这三种最优决策单元选择的模型分别为Foroughi2011基于不变规模收益的混合整数线性规划模型的最优决策单元选择方法1,匕Minimize EN%£ytji=l\J=1r=\,=1SubjecttoZ叫为一Z匕/4//,J=r=l/=!£「1,13J=IIj£{,1},j=1,.・.力,1u,尸=1,...,s,rm+5max{y rj}1匕,i=---------------,m+5max{x..};u其中//,〃是二元变量,且只有一个变量可以取非零值.如果那么约束条件j=l,1/I,S力一tZjIj对应的外也的约束为二匕/1,即允许口以7“的效率值大于1,而其余的r=l Z=1〃?s sDMU的约束2f/j与原始的CCR模型的约束相同,也就是厂2%40对于任意的/£{1,,〃}z r=\z=l r=l i=\除了因此,只有最有效的决策单元的效率值会大于而其余决策单元的效率均小于等于权重约束沿用/wo1,1Sueyoshi,1999122]提出的松弛变量模型中的形式,该约束形式在实际应用中被广泛采用,即匕之马}对于任意的u1/m+5max{}r=l,,s;1/m+5!1^{z=1,,m.r基于投入导向的模型的混合整数线性规划最优决策单元选择方法
2.BCC模型是基于不变规模收益下的最优决策单元的选择方法该方法可以拓展到可变规模收益的情形如下所示,该模13型的形式是基于投入导向的模型下的形式BCCs〃Minimize厂=1I,=1s m,Subjectto\\为一£匕/+%/〃j=l・.・,n,r=l z=l力产1,14J=1Ij£{0,1},j=1,..♦,几,1u,r=1,・・・,S,rm+5max{^}1匕,i=m+5max{x},7;V无符号限制.v。