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重难点线线角、线面角、二面角问题01【知识梳理】求两条异面直线所成的角的步骤
1.
(1)平移选择适当的点,平移异面直线中的一条或两条,使其成为相交直线;
(2)证明证明作出的角就是要求的角;
(3)计算求角度(常利用三角形的有关知识);
(4)结论若求出的角是锐角或直角,则它就是所求异面直线所成的角;若求出的角是钝角,则它的补角就是所求异面直线所成的角..求直线和平面所成角的关键2作出这个平面的垂线进而斜线和射影所成角即为所求,有时当垂线较为难找时也可以借助于三棱锥的等体积法求得垂线长,进而用垂线长比上斜线长可求得所成角的正弦值找二面角的平面角的常用方法
3.
(1)由定义做出二面角的平面角
(2)用三垂线定理找二面角的平面角
(3)找公垂面
(4)划归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角【考点剖析】题型一求异面直线所成的角
1.(2021,上海•格致中学高二期中)设E是正方体ABCQ-AMG的棱CG的中点,在棱4A上任取一点P,在线段AE上任取一点Q,则异面直线PQ与8D所成角的大小为.平面4BCD所成角,据四棱锥的体积,可求得CD长,在新.尸CQ中,求得各个边长,即可得答案.
(3)根据线面平行的判定和性质定理,可证AB///,结合题意,可得PA_L/,同理PO_L/,则NA叨即为二面角所成的平面角,根据三角形性质,即可得答案.⑴证明因为NCOP=90,所以CD_LOP,因为A8〃C£.所以A3_L,乂因为NB4P=90,即A3_LAP,且AP.OPu平面PA,所以A
31.平面PAO;⑵因为A8_L平面心力,AB\平面488,所以平面%£)_!_平面ABCD,取2中点Q,连接PQ,CQ,因为△R4O为正三角形,Q为4中点,所以PQ_LA,又平面04_L平面288,且平面PA1平面八88=4,所以PQ_L平面288,所以/PC即为PC与平面ABCD所成角,在m二PDQ中,PQ=^PD2-DQ1=73»设CD长为x,则四楂锥P-A8CD的体积^=15小乂22=白白(2+少2乂0=26,求得8长x=4,在心△CQQ中,CQjcU+DQ二折,在用二PCQ中,PC=[CQ、PQ,=2后,所以疝/=丝=卑=巫,PC2A/510所以PC与平面2BC0所成角的正弦值为巫103证明因为A8//C,COu平面PCD,AB<z平面PCD,所以AB〃平面PCD,又A8i平面RW,且平BABc平面PCO=/,所以AB///.因为小_LA4,AB//h所以P4_L/,同理POJJ,所以NAP即为二面角-/-所成的平面角,因为△以/为正三角形,所以乙42=,即二面角8-/一的大小为
4.2021・上海中学高二期中如图,在矩形28CD中,M、/V分别是线段
48、CD的中点,4=2,A8=4,将△ADM沿DM翻折,在翻折过程中A点记为P点.⑴从ZM/W翻折至NDW的过程中,求点P运动的轨迹长度;2翻折过程中,二面角P-8C-的平面角为0,求tan的最大值.【答案】⑴上12g【分析】1取0M的中点E,则从△AZW翻折至的过程中,点P运动的轨迹是以点£为圆心,AE为半径的半圆,由此可求得点P运动的轨迹长度.2由1得,连接4V,并延长交8c延长线于F,过P作PO_LEF,再过点0作OGJ.3C,则NPGO就是二面角P-BC-D的平面角,设N尸£0=,0<<乃,PO=PEs\na=42sina,夜OF=3丘-OcosaQG=3-cosa,可得tanNPGO=^^=sin a,令—sin a=«,运用辅助角公式和OG3-cosa3-cosa正弦函数的性质可求得最大值.
(1)解取M的中点£,则从ZWW翻折至MW的过程中,点P运动的轨迹是以点E为圆心,AE为半径的半圆,因为40=2,A4=4,所以AE=0,所以点P运动的轨迹长度为、.⑵解由
(1)得,连接AN,并延长交8c延长线于F,ANVDM,折起后,有DM上面PEN,过P作POLEF,则P01面0MBC,再过点作OG_L BC,则NPGO就是二面角P-BC-D的平面角0,设NPE°=a,(W夕W),PO=PEs\na=V2sina,OF=AF-AE-OE-40-/2-\/2cosa-30-6cosa、OG=3-cosa,tan4G=2叵皿OG3-cosaVasina[仄.._____A
⑦+常令---------------=%=,2sin a+Acosa=3*所以j2+k2sin(a+0=3k,所以一⑶解得3k3-cosa所以lan的最大值为会【过关检测】一.填空题(共小题)
61.(2022秋•黄浦区校级月考)如图所示,在正方体/WCD-A181C1O1中,E、尸分别是人仄人的中点,则异面直线BiC与E/所成的角的大小为60°【分析】连接四|,D1C,根据正方体的性质可得NOiBC(或其补角)即为所求,即可得出答案.【解答】解连接8iQi,D\C,如图所示则8Q〃ER故NQiBC(或其补角)即为所求,又4IQI=OIC=BIC,则NO/iC=60,故答案为60°.【点评】本题考查棱柱的结构特征和异面直线的夹角,考查转化思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于基础题.
2.(2021秋•黄浦区校级期中)设E是正方体ABCD-A\B\C\D\的棱CCi的中点,在棱AAi上任取一点P,在线段4E上任取一点Q,则异面直线PQ与87)所成角的大小为【分析】利用面4ACG,即可得异面直线尸Q与B所成角的大小为二-.2【解答】解如图,在正方体ABCD-4IBICIDI中,易得A41J_面4CD,•••DBu面ABC,/.DBlAAi,XDfflAC,ACQAA\=A,,.面AMCCi,又PQu面AiACCi,,PQLBD,・•・异面直线PQ与BD所成角的大小为二.【点评】本题考查了空间线线角,属于中档题.
3.(2023春•虹口IX期末)已知E是正方体ABCO-AiBCQ棱CG的中点,则直线AiE与平面ABCO所成的角的大小等于_arctang_・4【分析】通过将直线AiE平移到FC,可直接得到线面角为NFCA,在直角三角形中可直接求出其正切值,进而得角的大小.【解答】解如图,取AAl的中点凡连接凡CA.在正方体中,E,尸分别是CO,AA1的中点,则Ai尸〃C£且AiP=CE,故四边形4FCE为平行四边形,所以A】E〃/C,・・・AiA_L平面A8CQ,・・・NFCA即为直线R7与平面A8C所成的角,设正方体棱长为2,则”=1,AC=2版,所以tan/R7A==亚,故直线k与平面ABCD所成角的大小为arctan亚,AC44即直线ME与平面A8CO所成的角的大小等于arctan亚.4【点评】本题考查线面角的求法,属基础题.
4.(2022•静安区校级开学)空间四边形A8CO中,AC=AD,BC=BD,则异面直线48与CO所成的角的大小为90°【分析】取CO中点O,连接
80、AO,由8OJ_C£,AO1CD,证CO_L平面AO8,再证CQ_LA8即可得所求角度.【解答】解空间四边形A8CD中,取CO中点O,连接8,AO,因为AC=AO,BC=BD,所以8O_LCO,AOLCD,因为8OGAO=,
80、AOu平面A08,所以CO_L平面AOB,因为ABu平面AOB,所以C£_LAB,所以AB与C所成的角为90°.故答案为90°.【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
5.(2022•浦东新区校级开学)在正方体A8CO-AIBICIOI中,E、尸分别是棱A4i、AB的中点,则异面直1T线EF和所成角的大小为—.一2一【分析】在正方体中连接48,CDi,且CQinCiQ=O,则NCO即为异面直线E尸和所成角的平面角,求出NCOD即可.【解答】解在正方体中连接AiB、CDi,且CQinCiQ=,因为£、产分别是棱
44、A8的中点,所以E/〃48,又AB〃CD\,所以E广〃C£h,所以N COD即为异面直线EF和CiD所成角的平面角,因为四边形CTMiCi为正方形,所以/COD二三,2所以异面直线石尸和所成角的大小为马.故答案为—.2【点评】本题考查了两条异面直线所成角的大小的求法,考查了数形结合思想和空间想象力,属基础题.
6.(2021秋•嘉定区校级期中)如图的四面体0ABe中,所有棱长均相等,每个面都是全等的正三角形,M,N分别是棱A,的中点,则直线04与平面CMN所成角的大小为【分析】由题意得,四面体0ABe为正四面体,利用线面垂直的判定定理可得0A_L平面CMM即可得出答案.【解答】解连接CM,BM,如图所示由题意得四面体048c为正四面体,.CM10A,BM10A,VCMnBM=M,CMu平面CMM BMu平面CMM・・・OA_L平面CMN,故直线0A与平面CMN所成角的大小为三.2IT故答案为—.2【点评】本题考查直线与平面的夹角,考杳转化思想,考查逻辑推理能力,属于中档题.二.解答题(共小题)
117.(2022•徐汇区校级开学)在长方体中,48=4,BC=3,CC\=2,C中点为E.
(1)求异面直线A1C与881所成角;
(2)求异面直线4c与归所成角.(长方体体对角线长为iHa2+b2+c2,其中小力,为长方体的条棱长)【分析】
(1)异面直线4c与85]所成角为N44C(或其补角),求出cosNA4c的值,即可得出答案.
(2)取44中点凡连接4P,CF,则d〃4F.所以异面直线AC与|£所成角为N/小C,计算得Ai,CF,由余弦定理求出cosNfAiC的值,即可得出答案.【解答】解
(1)1C=V42+32+22=V29,因为变所以异面直线4C与所成角为NA4C(或其补角),8sAM,1V2929所以异面直线AC与所成角arccos2^.
(2)取A8中点凡连接4F,CF,则归〃4E所以异面直线4C与所成角为/以C,计算得A]F=2\历,CF=V13,AiC^+A^-CF^人/「由余弦定理得cosNFAG2普所以异面直线AC与归所成角arccos宜感.29【点评】本题主要考查异面直线的夹角,属于基础题.
8.(2022秋•普陀区校级月考)如图,尸是平面四边形A8C所在平面外一点,E、”分别是PC、尸的中点,已知PO_LC7),且尸=2CO.
(1)求证A、B、E、F在同一平面上;
(2)求异面直线尸C与A8所成角的大小.【分析】
(1)根据平行线确定唯一平面即可证明;
(2)将两异面直线平移成相交直线,再解三角形即可求解.【解答】解
(1)证明•・•区F分别是PC、PQ的中点,.EF//CD,
7.CD//AB,:,AB〃EF,;・A、B、E、〃在同一平面上;
(2)\-CD//AB,且PO_LC・•・直线PC与AB所成角为/PCQ,又PQ_LCO,且PD=2C,AtanZPCD=—=2,・••异面直线PC与/W所成角的大小为arcian
2.【点评】本题考杳平行线确定唯一平面,异面直线所成角,属基础题.
9.(2022秋•虹口区校级月考)已知点M是正方体A8CO-Ai86Z)i的BBi上的中点,求异面直线MQ1与48所成的角.【分析】连接MQi,CDi,因为48〃CQi,则异面直线MQi与43所成的角为NMQC(或其补角),然后结合余弦定理求解即可.【解答】解连接MQi,CDT,因为4B〃CDI,则异面直线MD\与Ai8所成的角为NMDiC(或其补角),设A8=2,则D[C=W^,CM=V501M=3,DiC^DiM^CM
2.万;,二由余弦定理可得cos/MD iC=手即/叫(4,14即异面直线MDI与AiB所成的角为?L.【点评】本题考查了异面直线所成角的求法,重点考查了异面直线所成角的作法,属基础题.
10.(2022秋•长宁区校级期中)已知在正三棱柱A8C・AIBICI中,A8=A4i=4,点、E分别为棱AAi、A\B\的中点.
(1)求直线BC\与平面ABB\A\所成角的大小;
(2)求四面体BDEC\的体积.【分析】连接8,利用线面垂直的判定定理证得3O_L平面AEC4,再利用线面垂直的性质定理可知BD1PQ,即可得解.【详解】连接B,由底面A8C为正方形,可知3Q_LAC,由正方体的性质,可知AA JL平面A8CO,又4Ou平面A8CO,则A411Ao又A41nAe=A,则平面AECA,由已知可知PQ u平面AECA,则BD±PQ所以异面直线PQ与BD所成角的大小为三故答案为y
2.(2021・上海中学高二期中)正方体43C-44GA中,异面直线八片与8所成角大小为【答案】y【分析】连接AR、BR,,证明48,可得乙4片即为异面直线4片与8所成角,在,4片求/ABR即可求解.【详解】如图,连接AR、BR,因为BBJJDI,BB、=D»,所以四边形8BQ是平行四边形,所以与08,所以乙4sA即为异面直线村4与BD所成角,设正方体A8C-4月GQ的棱长为,在tABQ中,ADI=ABI=BR=,所以,是等边三角形,所以/人与乌=,即异面直线A片与8所成角为,J JG【分析】(l)由题意可得E_L平面从而得NO8E即为直线8与平面A331Al所成的角,再解三角形即可得解;
(2)由
(1)知CiE是四面体6QE的底面3七上的高,接着计算SABDE的面积及CiE长度,再由三棱锥的体积公式计算即可得解.【解答】解⑴由题意可得及L4A1,又AA」CiE,AA\C]A\B\=A\,且44,AiBiu平面人4小4,七_1_平面AB81A1,・•・NCiBE为直线BC\与平面ABB\A\所成的角,7C1E=2y-X4=2V3BJU历..RRC1E2V3V
6..sxnZC^E-^-^・•・直线BC\与平面ABB\A\所成角的大小为arcsin逅■.4
(2)^B^SABDE=SABB1A1-SAA1DE-SAABD-SABB1E=6,由(I)知C1E是四面体BOE的底面8OE上的高,・•・四面体BDECi的体枳Vc_BDE[义6X2M=小巧•1O【点评】本题主要考查线面角的计算,锥体体积的计算,属基础题.
11.(2021秋•徐汇区校级期中)已知正三棱柱的所有棱长都是
1.
(1)画经过A8C三点的截面;
(2)过棱4c作和底面成60°二面角的截面,并求此截面面积.【分析】1如图所示连接AB与8E相交于点F,连接AC与夕C交于点Q,再连接FQ即可;2设过8的截面与AAi,交于R取BC的中点E,连接AE,EF,所以/AE/是截面与底面所成的角,即NAEF=60°,可得AF=MA4I,得到截面不与棱AAI相交,与平面AiBCi相交于RS,截面为2梯形RSBC,再求解即可.【解答】解1如图所示连接4B与88相交于点片连接4c与8C交于点Q,然后连接尸与KC交于M,与CC交于N,所以经过ABC的截面是ABMNC;2如图所示设过3C的截面与A4,交于凡取8c的中点E,连接4£,EF,则AE_L3C,FE2BC,所以NAM是截面与底面所成的角,即NAEr=60°,因为△/WC是正三角形,所以人E=返,所以人户=2/Ui,22所以截面不与棱A41相交,与平面481a相交于RS,因为平面A1BC1〃平面ABC所以RS//BC,所以截面为梯形KSBC,又4尸=焉,EF=.2sinoO所以S/、.FBC=LX BCXEF=叵,22又因为僚产=(察产/所以SdR△S=FB XCAFBC=—X YZ=翌A_P,999218所以截面面积为S=SNBC-SAFRS士区-返=生巨.2189【点评】本题考查作图能力与求截面面积,属基础题.
12.(2022秋•黄浦区校级月考)已知正方体A8CO-AiBiOOi.
(1)求异面直线AiB与AC所成角的大小;
(2)求证OiB_L平面AB1C.【分析】
(1)根据正方体的性质可得A4i〃C,进而可得异面直线48与AC所成角的大小即直线Ai8与4所成角NCA18,再根据4G=Ai8=B求解即可NCM1B即可;
(2)根据线面垂直的证明可得A8iJ_平面4O1B,从而得到ABi_LD山,同理可得AiCLDiB,结合线面垂直的判定证明即可.【解答】解(I)如图,因为AACO-4用1为正方体,故得A4i〃CCi且A4=C,故四边形44CiC为平行四边形,故AC〃4Ci,所以异面直线48与AC所成角的大小即直线48与AICI所成的角NC1A1B.根据正方形对角线等长可得4Ci=AiB=BCi,故NCi48=H.3即异面直线AiB与AC所成角的大小为三.3证明
(2)如图,根据正方体的性质可得4Bi_L4/3,且4Q|J_平面A8/314,又A8iu平面A〃8iAi,故A\D\A.AB\,又4OinAiB=Ai,A\D\,4Bu平面AIDIB,故ABi_L平面A1Q18,又DiBu平面AiDiB,故山_LA8i.同理且ABinBC=Bi,ABi,BiCu平面ABC,故i8_L平面ABC,即得证.【点评】本题主要考查异面直线所成的角,属于中档题.
13.(2022•静安区校级开学)如图,直线/是平面a的斜线,且与平面a斜交于点M,/上异于点M的一点4在平面a上的射影为O,在平面a上过点M作一条直线/〃,直线〃和直线MO不重合,设直线/和直线机的夹角为6(0V6W卫),比较NAMO与的大小,并说明理由.【分析】在平面(X内过作直线〃的垂线,垂足为M连接AN,由三垂线定理理得,AN±m,由直角三角形斜边大于直角边可得ANAO,得至iJsinNAMOVsin仇再由正弦函数的单调性可得结论.【解答】解由题意得在平面a内过作直线机的垂线,垂足为N,连接AM由三垂线定理理得,ANLm,在Rl^AOM中,sinZAA/O=—,AM在RtZLAON中,由斜边大于直角边得AN40,在RlZUMW中,而9=幽,AM因为AN40,所以sin/AMOVsin,由直线与平面所成角及空间两直线所成角的范闱得NAMO,sin均属于[0,—],由正弦函数在[0,匹]上为严格增函数,得NAMOV
6.乙【点评】本题考查两条异面直线所成角的大小的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养.
14.(2021秋•静安区校级月考)已知正方体A8CQ-4BC1Q1的棱长为2,点E是棱AiBi的中点.
(1)求证4B与七是异面直线;
(2)求异面直线与ECi所成角的大小.【分析】
(1)可由异面直线的定义进行证明即可;
(2)分别取44的中点产,中点G,连接产G,CG,FC,则异面直线46与£所成角为N〃GC(或其补角),利用余弦定理进行求解即可.【解答】解
(1)如图因为直线AiBu平面48B1A1,点灰平面4B814,点££小8,点Ci任平面ABBiAi,所以直线AiB和ECi是异面直线.
(2)取A4的中点F,中点G,连接/G,CG,FC,如图因为正方体43CQ・AIBICIOI,所以/G〃AiB,CG//EC},所以异面直线A\B与EC\所成角为/尸GC(或其补角),因为正方体ABCD-A\B\C\D\的棱长为2,所以有FGS,GC=V5,FC=3,FG2-K;C2-FC2+5-9_V10由余弦定理得COS/FGO2FG・GC2V2*V5--10所以异面直线AiB与ECi所成角的大小为arccos垣•JJ—O wc【点评】本题考查了异面直线的判定,以及异面直线所成角,属于中档题.
15.(2022秋•虹口区校级期末)如图,在三棱柱A5C-4BCI中,底面A5C是以4c为斜边的等腰直角三角形,侧面AA1OC为菱形,点4在底面上的投影为AC的中点,且44=
2.
(1)若M、N分别为棱A
3、的中点,求证81M〃平面CQM
(2)求点C到侧面AA1B山的距离;
(3)在线段4劭上是否存在点£,使得直线E与侧面A4山山所成角的正弦值为渔?若存在,请求7出4E的长;若不存在,请说明理由.B【分析】
(1)由已知利用中位线性质分别得出MO〃BC且2|M/)|=|BC|,与M〃阴N且|MO|=|加M,可得四边形BiNDM为平行四边形,即可证明结论;
(2)由已知结合投影性质与等腰直角三角形性质,证明直线DC,04两两垂直,建立空间直角坐标系,利用向量法,即可得出答案;⑶假设存在,并设人送=入=A*AB=(V2入,V2入,0),入曰0,1],得到A]E,再由向量运算得到瓦,利用直线与平面的夹角的正切值,即可得出答案.【解答】解
(1)证明连接MQ,如图所示・・,加为的中点,为4c的中点,且2・:N为B1C\的中点,则在三棱柱ABC-A181cl中,・・.8iN〃8c且⑻M=』8C1,・・・MQ〃8iN且|MO|=@N,・•・四边形BiNDM为平行四边形,:.B\M〃ND,又・・・NQu平面CDN,且平面CDN,・・・BiM〃平面CDN;
(2)•・•点4在底面上的投影为AC的中点,・・・4OJ_平面ABC,・・・4O_LAC且•・•底面4BC是以AC为斜边的等腰直角三角形,,BDLAC,•・•侧面AA1C1C为菱形,且4Q_L4C,A\C=A\A=AC9AB=2DB=DA=DC=V2»旦DA1二f•・•直线从DC,4两两垂直,故建立以点为坐标原点,直线DC,04分别为x,y,z轴的空间直角坐标系O-xyz,如图所示:则(0,0,0),A(0,0),B(泥,0,0),C(0,50),4(0,0,%),则族=(加,V2,0AC=2版,°),国=(,M,瓜),设平面A4B18的一个法向量为(x,y,z贝小巴t,即星乂晔丫=,取z=l,则尸心y=-如,[AA]・n=0V2yW6y=0••・平面A4818的一个法向量为-yf2,1),卡则点C到侧面AA\B\B的距离为方1=^-=2^
16.(2022秋•虹口区校级期中)如图1,在等腰直角三角形区BC中,NA=90,BC=6,D,E分别是AG AB上的点,CD=BE=J5,0为AC的中点.将△AOF沿E折起,得到如图2所示的四棱锥/V-BCDE,其中A0=^
3.图图I2
(1)求证A平面8COE
(2)求二面角A-CO-8的大小;(结果用反三角函数值表示)
(3)求点B到平面A C的距高.【分析】
(1)利用余弦定理求出O,0E,利用勾股定理逆定理可得NHOO=NAOE=90°,根据线面垂直的判定定理,即可证明结论;
(2)取DE中点H,则OJ_OB.以O为坐标原点,OH,OB,O/T分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,利用向量法,即可得出答案;
(3)由
(2)得平面A的一个法向量崂=(1,-1,«),利用向量法,即可得出答案.【解答】解
(1)连接OQ,OE,在等腰直角△ABC中,ZB=ZC=45°,CD=BE=/2,C0=B0=3,在△COD中,由余弦定理得ODWco2时D2-2C0CDcOS45°幸,,在AOBE中,由余弦定理得OE=JOB2+BE2-20B・BECOS45°=瓜•・・AD=A D=AZ E=AE=2/2,A0=V3,AO2+ODr=3+5=8=AD2,AO^OE1=3+5=8=AE2,AZAW=ZAOE=90!,.AOLOD,A,OVOE,XODQOE=O,OQu平面BCOE,OEu平面8cOE,
(2)取DE中点H,则0,_L08,建立以0为坐标原点,以〃,O从04,所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系O-xyz,如图所则00,0,0,A0,0,V3,C0,-3,0,D1,-2,0,平面8C的一个法向量为赢尸=0,0,«,设平面4CQ的法向量为W=(x,y,z),CA7=(0,3,V3),CD=(1,1,0则后乎=3y+V§z=0,取—则yf.n*CD=x+y=0・•・平面8C7)的一个法向量W=(i,-1,正),设二面角A CO-B的平面角为a,且由图形得a为锐角,厂之所以cosa=|cos OA,^l=-=4;~~F1-=二^^~,照’”|0Az|-|n|V3XV55故二面角A-CD-B的大小为arccos返■:5
(3)由
(2)得平面4C的一个法向量扇=(1,-1,J5),XC0,-3,0,B0,3,0,则而=0,6,0【点评】本题考查直线与平面垂直的判定定理、二面角、点到平面的距离及空间向量的应用,考查转化思想二6爬・••点E到平面4C的距离为5和数形结合思想,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
17.(2021秋•徐汇区校级期中)如图,几何体A8CQE中,△A8C是正三角形,AE和CO都垂直于平面ABC,且£A=A8=2,DC=1,F,G分别为£8和A8的中点.1求证产Q〃平面ABC;故答案为—
3.(2022•上海浦东新•高二期末)如图,在正方体ABC-AgCa中.⑴求异面直线4内和CC,所成的角的余弦值;⑵求证直线AB//平面CGR.【答案】
(1),⑵证明见解析【分析】
(1)根据已知CG8瓦,川.将异面直线AB和CG所成的角转化为直线和84所成的角,再根据题目的边长关系,即可■完成求解;
(2)可通过连接C,证明四边形ABC为平行四边形,从而得到AB//RC,再利用线面平行的判定定理即可完成证明.⑴因为CG//阴,所以幺叫就是异面直线A8和CG所成的角.又因为AECD-AeCQ为正方体,所以异面直线A8和CG所成的角为45“,所以异面直线4/和cq所成的角的余弦值为它.2
(2)求二面角4-FC-G的正切值.【分析】
(1)连CG,FG,由已知中尸是8E的中点,结合三角形中位线的性质,可得/G平行且等于AE的一半,乂由班、C都垂直于平面人BC,且E4=2,DC=\,可得四边形OEGC是平行四边形,进而得到DF//CG,由线面平行的判定定理即可得到/•力〃平面ABC;
(2)易知BGJ_平面FCG,所以△FCG为△研C的射影,故分别计算面积可求二面角的余弦值,从而得解.【解答】
(1)证明・・・小、G分别为E
8、A8的中点,.FG-EA=\且FG〃E4,2f又,Ek、0c都垂直于面ABC,.EA//DC,又0c=1,所以R7〃,FG=DC,,四边形/GCO为矩形,AFD//GC,XV GCc®ABC,FDcf ffiABC・〃面48c.
(2)解设二面角3-尸C-G的大小为a,易知86_1_平面FCG,所以BG1GF,在RtABGF中可得BF=近,在RtZXCG/中可得=2,又8C=2,在△BC尸中8/边上的高为1工,2所以BFC=2XYS_XV2=222乂ZX/WC是正三角形,所以GC=«,又垂直于平面ABC,FG//EA,所以PG_L平面ABC,所以5^=2乂々乂1=返,22又8G_L平面FCG,所以△FCG为△3PC的射影,•.cosa=^FCG=2=2/2l.lana=2V
3.,^△BFC夕732所以二面角B-FC-G的正切值为汉无.3【点评】本题以多面体为载体,考查直线与平面平行的判定,熟练掌握线面平行的判定方法及证明步骤是解答本题的关键.连接c,因为AA//8C且AA=8C,所以四边形43cA为平行四边形,所以A8//RC;平面DCCR,RCu平面CGR;所以直线A8//平面CGR.即得证.
4.2021・上海中学高二阶段练习如图,长方体/IBCD-ABCQ中,|A@=|4O|=1,|A4j=2,点尸为2的中点.AB⑴求证直线8〃平面外c;⑵求异面直线与AP所成角的大小.【答案】⑴证明见解析;
230.【分析】⑴4c和8交于点O,由P〃也即能证明直线〃平面PAC.2由尸〃8,得NAPO即为异面直线与”所成的角.由此能求出异面直线与”所成角的大小.⑴设AC和BO交广点,则为80的中点,连结P,又•・•,是R的中点,・・・PO〃B,又•・•POu平面PAC,8A/平面PAC,.•.直线8R〃平面总;2由1知,PO〃8,/4PO即为异面直线8与/炉所成的角,,V|P4|=|PC|=/2,|AO|7=2j4入C|=5*iL嚅PO曦J.A弓又ZAPOe(0,90°],...ZAPO=30°故异面直线BD与AP所成角的大小为30°.,题型二线面角L(2021•上海市大同中学高二阶段练习)如图,在四棱锥P-ABCO中,底面为直角梯形,AD//BC,ZBAD=90°,P4垂直于底面A8CO,PA=AD=AB=2BC=2,M.N分别为PC、尸8的中点.
(2)求8与平面AOA/N所成的角.【答案】
(1)证明见解析
(2)y.6【分析】
(1)由题设易得BC_LAB,由已知及线面垂直的性质有8c_L面已切,根据线面垂直的判定可证BCtPB、PA1AB,再由线面垂直的判定及平行的推论可得尸B_L面ADMN,最后由线面垂直的性质证结论.BN
(2)若8与平面AOMN所成角为,由线面垂直易知sin6=黑,即可求线面角的大小.BD【详解】
(1)±Za4D=90°UPAD±AB,又ADIIBC,有3C_LA8,丁BCu面ABCD,APA1BC,而尸4AB=A则有8c_L面E4B,t又PAu面小4,则8C_LP3,由ABi面ABC,有P4_LA/3,且B4=A4,N为PB的中点,则AV_LP8,又M为PC的中点,有MV//BC,即MNJ.PB,而47出=%,又ADHBC,则AO//MN,即AMDM共面,,〃8_1面4的,而DWu面AOMN,故,PB工DM.
(2)由
(1)知PB上面ADMN,若4与平面AOMN所成角为[,自,且8C=1,/.BN=\fl,BD=2\fl,则sin8=^^=[,故8=[.BD
262.(2021・上海市进才中学高二期中)已知正四棱锥P-A8co中,AB=\,PA=2x⑴求侧棱与底面所成角的正弦值;
(2)求正四棱锥P-ABCD的体积【答案】⑴巫⑵巫46【分析】
(1)由于正四棱锥P-ABCD,故顶点在底面的投影在底面的中心0,连结尸0,4分析可得/PA0即为侧棱与底面所成角,利用题干长度关系求解即可
(2)由于PO_L平面ABCD,故匕Te=QxPOxS,计算即可ABCD⑴由于正四棱锥尸-ABCO,故顶点在底面的投影在底面的中心,连结PO,A故PO_L平面ABC,NPAO即为侧棱与底面所成角由A8=l,PA=2,故40=与人巫22又PO_L平面ABC,AOu平面48C,故PO_LAO故而,==色PA4即侧棱与底面所成角的正弦值为亚4⑵由
(1)夕_1平面488,月.尸=恒2珈v1sc1x/14jV14以VP-ABCD=1X尸°XS=-X—Xl=—332oABCD即正四棱锥户-/WCD的体积为巫6题型三二面角
1.(2021•上海•西外高二期中)在正方体ABCQ-ABCR中,二面角A-8C-A的大小是.【答案】£4[分析]根据二面角的定义判断二面角A-BC-4的大小.【详解】画出图象如下图所示,由于3CJ.4民BCJ.AB,所以幺明是二面角A-4C-A的平面角,根据正方体的性质可知NA8/l=f.故答案为v
42.(2022•上海•复旦附中高二期中)如图所示,某农户拟在院子的墙角处搭建一个谷仓,墙角可以看作如图所示的图形,其中
408、0a两两垂直(408,均大于2米).该农户找了一块长、宽分别为2米和1米的矩形木板.将木板的一边紧贴地面,另外•组对边紧贴墙面,围出•个三棱柱(无盖)形⑴若木板较长的一边紧贴地面,且围成的谷仓体积为立立方米,问此时木板与两个增面所成的锐二面2角大小分别为多少?⑵应怎样摆放木板,才能使得围成的谷仓容积最大?并求出该最大值.【答案】⑴《和£⑵体积最大值为1立方米,此时木板长边贴地,与两个墙面所成锐二面角均为45°【分析】
(1)利用设二面角为6或三棱柱底面的一条直角边长为x两种方法进行求解即可;
(2)用
(1)中的或工表示谷仓容积,再利用三角函数和基本不等式,进行求最值即可得解.⑴法一设其中一个锐二面角的大小为0,则三棱柱底面的两条直角边长分别为2cos、2sin6,高为1,体积V=S72=L2cose・2sin6H=sin26=^,解得6=J或2263所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为搭和g.63法二设三楂柱底面的一条直角边长为M°vx2),则另一条直角边长为高为1,体积V=S〃」.x.j4-f.[二且,解得x=l或后,22所以此时木板与两个墙面所成的锐二面角大小分别为和g.63
(2)法一同
(1)中法一所设,若长边紧贴底面,体积V=S/z=g-2cos32sin6M=sin26Kl,等号当且仅当=5时成立;4若短边紧贴底面,f$^V=5/=i-cos9-sin^-2=-sin29i,222等号当且仅当二f时成立;4显然lg,所以体积最大值为1立方米,此时木板长边贴地,与两个墙面所成锐二面角均为
45.法二同
(1)中法二所设,厂若长边紧贴底面,体积V=Sh=-x•7了•1+4-=1,24等号当且仅当人=应时成立;若短边紧贴底面,体积V=Sh=-xyl^7-2二止二=1,222等号当且仅当x=巫时成”;2显然lg,所以体枳最大值为1立方米,此时木板长边贴地,与两个墙面所成锐二面角均为45°(也可描述底面两条直角边长).
3.(2021•上海•格致中学高二期中)在四棱锥P-ABCD中,底面为梯形,AB//CD,△24为正三角形,且E4=AB=2,/明尸=NCOP=90°,四楂锥P—ABC力的体积为2G.⑴求证48_1平面抬;⑵求PC与平面ABCD所成角的正弦值;⑶设平面BABc平面PCO=/,求证I〃AB,并求二面角的大小.【答案】
(1)证明见解析;
(2)巫;
(3)9103【分析】
(1)根据线面垂直的判定定理,结合题意,即可得证.
(2)根据面面垂直的判定、性质定理,结合正三角形的性质,可证PQ,平面98,则NPCQ即为PC与。