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重难点01元素、子集、集合个数60题专练6种题型」【考点剖析】元素与集合关系的判断共小题
91.2022秋•徐汇区校级月考一有限集合S中元素个数记作以S,设A、B都为有限集合,给出下列命题
①ACB=0Sa rdA U B=card A+card B;
②AqBncard AWcard B;
③AGBucard AWcard B;
④A=Bgard A—card B;其中真命题的个数是A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】根据集合间的关系和有限集元素的个数,分别判断各项即可.【解答】解对
①,*card AUB=card A+card B+card A A B,又AC\B=O0card AA B=Q^card AUB=card A+card B,,
①正确;对
②,/.card AWcard B,・••
②正确;对
③,,:card AWcard B不能得到AU3,•••
③错误;对
④,.••由A=3,可得cmz/A—card B,但con/A=card B,不能得到A=8,,
④错误.故选B.【点评】本题考查集合的元素个数问题,属基础题.
2.2022秋•浦东新区校级期中已知非空集合M同时满足下列条件
①MU3|x|10,x210,xGZ;
②若尤CM,则-xCM,则符合条件的集合M共有15个.【分析】化简集合3IR10,10,xGZ}={-3,3,-2,2,-1,1,0},结合题意知M相当于是一个4元素集合的非空子集,从而求解.【解答】解{RIRVIO,/10,xGZ}={-3,3,-2,2,-1,1,0},VxeM,则-XCM,一3与3同时在或不在M中;三.集合的包含关系判断及应用共小题
411.2022秋•浦东新区校级月考集合A={x|-2VxV4},集合8={x|m-1VxV2〃2+l}.若BUAG3,求实数机的取值范围.【分析】由题意得8UA,再分类讨论即可.【解答】WVfic AAB,.BQA.
①当m-122〃2+1,即mW-2时,3=0,成立;
②当m-12/71+1,即m-2时,卜24m-l卜m+l4,[m-2解得-根W旦,2综上所述,实数m的取值范围为{加-2或-1〈加〈昆}.2【点评】本题考查了集合间关系的应用,属于基础题.
12.2022•徐汇区校级开学已知根为实数,A={x\x1-m+l x+m=0},B={x\nvc-1=0}.1当AGB时,求〃z的取值集合;2当时,求〃z的取值集合.【分析】1A={x|x-1x-m=O}W0,AQB,可得zWO,可得3={2},进而解得力.m2当时,BQA,对加分类讨论,根据3GA即可得出机的取值集合.【解答】解1VA={x|x-1x-/n=O}W0,ACB,则mWO,♦・.8={」},m仕=1贝m\解得根=
1.m=lL•••加的取值集合为{1}.2当AU8=AB寸,BQA,当机=0时,B=0QA,适合题意.当加W0时,则3={2},若56,贝IJ―-1―-m=0,解得加=±
1.m mm综上所述机的取值集合为{-1,0,
1.【点评】本题考查了集合之间的关系、方程的解法、分类讨论方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
13.2022秋•浦东新区校级月考若A={x|履=1},B={x|4-x=2},且AuB,则实数Z的值为0,-2【分析】化简集合3={x|/+x=2}={-2,1},根据Au5可知A=0,A={-2},A={1},从而求解.【解答]解:B={x|+x=2}={-2,1},VAcB,,A=0,A={-2},A={1},当A=0时,攵=0;当A={-2}时,k=2当4={1}时,k=\;故实数2的值为0,-X
1.2故答案为0,-—,
1.2【点评】本题考查了集合的化简与运算及分类讨论的思想方法的应用,属于中档题.
14.2022秋•宝山区校级月考设集合A={X|/+2X=0},B={X|X2+4a+1x+4a2-1=0}.1若求a的值;2若求a的取值范围.【分析】化简集合4={尤|/+21=0}={-2,0},1由题意知AG8,从而可得-2,0是方程7+4a+1x+4/-1=的根,从而求解;2由题意知8UA,分类讨论即可.【解答]解:A={x|+2x=0}={-2,0},.AQB,,-2,0是方程/+4a+1x+4/-1=0的根,・•・-2+0=-4+1,-2X0=4cJ-l,解得a=--;2・••匹A,
①当5=0时,A=[4q+1]2-44a2-10,解得a-,8
②当5中只有一个元素时,△=[4+1]2-44/-1=0,解得a=~;8此时B={-3},不成立;2
③当B中有两个元素时,-2,0是方程/+4〃+1工+4/-1=0的根,故-2+0=-4〃+1,-2义0=4/-1,解得ci=--;2综上所述,Q的取值范围为{〃|a-且或=-1}.82【点评】本题考查了集合间子集关系的应用及分类讨论的思想方法的应用,属于中档题.四.子集与真子集共小题
4015.2022秋•浦东新区校级月考集合{y€N|y=-/+6,xeN}的真子集的个数是A.9B.8C.7D.6【分析】根据条件,让x从开始取值,求出对应的y值x=0,y=6;%=1,y=5;x=2,y=2;x=3,=-3,显然x往后取值对应的〉值都小于0,所以集合{€N|y=-/+6,xEN}={2,5,6,这样求出该集合的所有真子集即得到真子集的个数.【解答】解工=0时,y=6;x=\时,y=5;x=2时y=2;x=3时,y=-3;:函数y=-7+6,xeN,在[0,+°°上是减函数;.•.x23时,y0;•・・{yGN|y=-f+6,eN}={2,5,6};x•••该集合的所有真子集为:0,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6};•••该集合的真子集个数为
7.故选C.【点评】考查描述法表示集合,自然数集N,以及真子集的概念.
16.(2022秋•金山区期末)已知集合A={x|(-1)/+3%-2=0}有且仅有两个子集,则实数a=1或1—■8-【分析】结合已知条件,求出(-1)/+31-2=0的解的个数,然后对参数分类讨论,并结合一元二次方程的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【解答】解若A恰有两个子集,所以关于X的方程恰有一个实数解,
①当4=1时,x上,满足题意;3
②当时,△=8〃+1=0,所以=—8综上所述,=1或软二」.8故答案为1或」.8【点评】本题主要考查集合子集的应用,属于基础题.
17.(2022秋•嘉定区校级期中)已知集合加值3%=产+广〃,neN)(其中i为虚数单位),则满足条件的集合M的个数为
8.【分析】先求出集合再结合集合与其子集的关系,即可求解.【解答】解春=-1,尸=-3,4=],当〃=44(依N)时,1=邰+=4=2,当〃=4什1(髭N)时,工=邢+1+14-1=0,同理可得,〃=42+2(攵6N)时,x=-2,〃=4攵+3(依N)时,x=0,综上所述,M={0,2,-2},•・•集合产产+「,〃6N}(其中i为虚数单位),集合M的元素个数为3,/.则满足条件的集合M的个数为23=
8.故答案为
8.【点评】本题主要考查子集与真子集,属于基础题.
18.(2022秋•黄浦区校级期中)设集合A={xRa+l=O,xER}只有一个子集,则满足要求的实数〃=・【分析】根据已知条件,推得A为,即可求解.【解答】解集合A={X|QX+1=0,xER}只有一个子集,则4={川办+1=0,x£R}=0,所以方程ox+l=0无解,即a=
0.故答案为
0.【点评】本题主要考查子集的定义,属于基础题.
19.(2022秋•浦东新区校级期中)满足{1,2}CAG{1,2,3,4,5}的集合A共有7个.【分析】根据已知条件,结合并集的定义,以及集合之间的包含关系,即可求解.【解答】解{1,2}cAg{l,2,3,4,5),则满足条件的集合A有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,4,5}共7个.故答案为
7.【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用,属于基础题.
20.(2022秋•浦东新区校级期中)设集合/={1,3,5,7},若非空集合A同时满足
①②|A|W加〃(A),(其中|A|表示A中元素的个数,min(A)表示集合A中最小的元素)称集合A为/的一个好子集,则/的所有好子集的个数为
8.【分析】根据好子集的定义,分类讨论即可求出.【解答】解:
①当圄=1,即集合A中元素的个数为1时,A的可能情况为{1},{3},{5},{7},
②当|A|=2,即集合A中元素的个数为2时,A的可能情况为{3,5},{3,7},{5,7},
③当|川=3,即集合A中元素的个数为3时,A的可能情况为{3,5,7),•••/的所有好子集的个数为
8.故答案为
8.【点评】本题主要考查好子集的定义,属于基础题.
21.(2022秋•嘉定区校级期中)集合AU{1}={1,2,3},则满足条件的集合A共有2个.【分析】求出所有满足条件的集合A即可得出.【解答】解若AU{1}={1,2,3},则4={2,3}或4={1,2,3},共有2个.故答案为
2.【点评】本题考查集合之间的关系,属于基础题.
22.(2022秋•浦东新区校级期中)满足{〃,b}QAQ{a,b,c,d,e}的集合A的个数为
8.【分析】根据已知条件,结合集合的包含关系,即可求解.【解答】解{〃,6}—{〃,b,c,d,e},则集合A为{〃,b},{a,b,c}{a,b,d},{a,b,e},{a,b,c,d],[a,b,c,e},{a,b,d,e},{Q,b,c,d,e},9故集合A的个数为8个.故答案为
8.【点评】本题主要考查集合的包含关系,属于基础题.
23.(2022秋•浦东新区校级期中)若集合A={x[(a-1)/+3工-2=0}恰有两个子集,则实数,的值为J或—.—8—【分析】由题意可知,集合A只有一个元素,再对分类讨论,即可求解.【解答】解集合A={x|(〃-1)/+3%-2=0}恰有两个子集,则集合A只有一个元素,当=1时,A={2}符合题意,3当QWI时,A=32-4(Q-1)X(-2)=0,解得a=8故实数的值为1或
1.8故答案为1或」.8【点评】本题主要考查集合的子集,考查转化能力,属于基础题.
24.(2022秋•青浦区校级期中)已知非空集合M满足对任意xEM,总有few且五三凡若MgO,1,2,3,4,5},则满足条件的”的个数是
11.【分析】由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且2,4不同时出现,同时出现有4个,即可得出结论.【解答】解由题意M是集合{2,3,4,5}的非空子集,有15个,且2,4不同时出现,同时出现有4个,故满足题意的〃有11个,故答案为
11.【点评】本题考查元素与集合关系的判断,考查了子集的概念,是基础题.25,(2022秋•青浦区校级月考)集合{1,2,3,4,…,2009}的非空真子集个数为
229.【分析】先求出集合的元素个数,再结合其与非空真子集的个数,即可求解.【解答】解集合{1,2,3,4,…,2009}中元素个数为2009个,则集合{1,2,3,4,2009}的非空真子集个数为220°9一
2.故答案为22009-
2.【点评】本题主要考查子集与真子集,属于基础题.
26.(2022秋•徐汇区校级期中)集合31865WxW2024,x€Z}中,共有()个数是7的整数倍A.21B.22C.23D.24【分析】由题意可令1865W7ZW2024,求出攵的范围即可求解.【解答】解令x=7k,kEZ,由题意可得1865W7ZW2024,解得等_k警鱼,所以
266.44W
289.1,姓Z,所以满足条件的整数共有289-267+1=23个,故选C.【点评】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.
27.(2022秋•杨浦区校级期中)对集合A={1,2,3,…,几}的每一个非空子集,定义一个唯一确定的“交替和”,概念如下按照递减的次序重新排列该子集,然后从最大的开始,交替减加后面的数所得的结果.例如集合{1,2,4,6}的“交替和”为6-4+2-1=3,集合{3,8}的“交替和”为8-3=5,集合{6}的“交替和”为6,则集合A所有非空子集的“交替和”的和为()A.几B.〃・2厂1C.n(叶1)・2〃D.n(〃+1)・2〃一1【分析】将此集合分成两类,并在两类集合之间建立一一映射关系后根据“交替和”的定义即可求出答案.【解答】解由题意得集合A={1,2,3,…,〃}的非空子集中,除去集合{3,还有2〃-2个非空集合,将这2〃-2个子集分成两类第一类包含〃的子集;第二类不包含〃的子集;在第二类和第一类子集之间建立如下的对应关系/其中4是第二类子集,显然这种对应是一一映射,设4•的“交替和”为攵,则4U{〃}的“交替和”为〃-比这一对集合的“交替和”的和等于%所以集合A的所有非空集合的“交替和”总和为!(2「2)乂F=”2年1,2故选B.【点评】本题考查集合间的包含关系,属于基础题.
28.(2022秋•徐汇区校级期中)设集合PI={X|/+QX+10},P2={X|/+QX+20},Q={4+x+00},Q2={x\x1+2x+b0},其中、bER,下列说法中正确的是()A.对任意4,Pl是P2的子集,对任意不是2的子集B.对任意a,P是P2的子集,存在,使得Q1是2的子集C.存在4,使得P1不是P2的子集,对任意儿Q1不是2的子集D.存在〃,使得Pi不是P2的子集,存在从使得Q是Q2的子集【分析】根据集合子集的概念,由〃氏Pl可推出“GP2,可得对任意Pl是P2的子集,再举例b=6,2=1判断Qi,Q2的关系即可.【解答】解:对于集合Pi={x|/+ax+l0},P2={x|x24-ax+20},可得当mEPi时,即P+am+i o,可得+卬/20,即有mCP2,可得对任意a,P\是Pi的子集,对于集合Q\={x|x2+x+/0},Qi={X|X2+2X+Z0},当8=6时,1={尤|/+1+60}=/,Q2={X|/+2X+60}=R,可得Q是2的子集,当b=\时,Q={x|/+x+l0}=/,0={x|/+2x+l0}={x\x^-1),可得不是Qz的子集,所以存在使得Q是2的子集,故选B.【点评】本题主要考查了集合间的基本关系,属于基础题.
29.(2022•浦东新区校级开学)下列命题中正确的是()A.空集没有子集B.空集是任何一个集合的真子集C.任何一个集合必有两个或两个以上的子集D.设集合那么,若通4,则它8【分析】利用子集、真子集、空集的定义直接求解.【解答】解对于4空集的子集是空集,故A错误;对于以空集是任何一个非空集合的真子集,故5错误;对于C,空集只有一个子集,故C错误;对于D设集合3UA,那么,若则xCb故正确.故选D.【点评】本题考查命题真假的判断,考查子集、真子集、空集的定义等基础知识,是基础题.
30.(2022秋•浦东新区校级期中)设集合尸I={X|/+G+10},P2={x|/+办+2〉0},21={%|+%+/0},Q2={X|/+2X+00},其中beR,下列说法正确的是()A.对任意4,P1是P2的子集,对任意,Q1不是2的子集B.对任意a,尸1是P2的子集,存在,使得Q是2的子集C.对任意4,使得尸1不是P2的子集,对任意,1不是2的子集D.对任意m使得Pi不是P2的子集,存在从使得Q1不是Q的子集【分析】运用集合的子集的概念,令〃£尸1,推得H2CP2,可得对任意,P1是P2的子集;再由8=1,b=5,求得Q,Q2,即可判断8正确,A,C,错误.【解答】解对于集合PI={X|/+Q九+10},P2—{x^+ax+l0},可得当〃£P1,即加〃计1o,可得m2+6zm+20,即有加CP2,可得对任意m Pl是P2的子集;当b=5时,QI={R/+X+50}=R,Q2={X|/+2X+50}=R,可得Q是2的子集,故A错误,8正确;当b=1时,Q\—{x|x2+x+l0}Q2={X|/+2X+10}={X|XW-1且xER},可得Q不是Q2的子集.综上可得,对任意m Pl是P2的子集,存在近使得是2的子集,故C错误,错误.故选B.【点评】本题考查集合的关系的判断,注意运用二次不等式的解法,以及任意和存在性问题的解法,考查判断和推理能力,属于基础题.
31.(2023春•杨浦区校级月考)已知集合”={1,2,3,110},集合定义“(A)为A中元素的最大值,当A取遍M的所有非空子集时,对应的M
(4)的和记为Sio,则Sio=
9217.【分析】根据含〃个元素的集合有2〃个子集,可确定最大值分别为1,2,…,10时相应的集合A的个数,再用错位相减法求和即可.【解答】解由题意,M(A)的可能取值为1,2,3,10,根据子集定义,共有2°个1,21个2,22个3,…,29个10,•••Sio=1X2°+2义23X22+…+10X29,则2Sio=l X21+2X22+-+9X29+1OX210,101-9两式相减得-SIO=1+21+22+-・・+29---10X210=-9X210-1,1-
2.•.5io=9X2lo+l=
9217.故答案为:
9217.【点评】本题考查集合的子集个数问题,属基础题.
32.(2022秋•浦东新区校级期中)已知集合A={x|〃+l)/+2x-1=0}有且仅有两个子集,则实数攵=1或-
2.【分析】根据集合A={x|(%+1)/+2x-1=0}有且仅有两个子集,转化为方程(攵+1)/+2x-1=0有一个解或两个相同的实数根即可.【解答】解:集合A=3(攵+1)/+21-1=0}有且仅有两个子集,・,・方程(攵+1)/+21-1=0有一个解或两个相同的实数根即可,当攵=-1时,A={x|2x-l=0)=g},符合题意;当左W-1时,A=4+4(Z+1)=0今攵=-2;所以实数仁-1或%=-
2.故答案为-1或-
2.【点评】本题主要考查了集合子集的定义,属于基础题.
33.(2022秋•静安区校级期中)设集合品={1,2,3,…,〃},若XUS”,把X的所有元素的乘积称为X的容量(若X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为0).若X的容量为奇(偶)数,则称X为金奇(偶)子集.若〃=6,则S〃的所有奇子集的容量之和为
47.【分析】写出所有的奇子集,从而求出所有奇子集的容量之和.【解答]解:〃=6时,S6={1,2,3,4,5,6),含有一个元素的奇子集为{1},{3},{5},含有两个元素的奇子集为{1,3},{1,5},{3,5},含有三个元素的奇子集为{1,3,5),故所有奇子集的容量之和为1+3+5+1X3+1X5+3X5+1X3X5=
47.-2与2同时在或不在M中;-1与1同时在或不在M中;又•••/[{-3,3,-2,2,-1,1,0},・•・“相当于是一个4元素集合的非空子集,故符合条件的集合M共有24-1=15个,故答案为
15.【点评】此题考查学生掌握元素与集合关系的判断,理解子集的定义,是一道基础题.做题时注意若底例,则-xEM这个条件.
3.(2022秋•浦东新区校级月考)已知集合A={x|2+3工+1=0,eR x6R}中至多有一个元素,则的取值范围a9是{0}U A+8).4-----------【分析】对分类讨论,对于二次方程的根至多有一个,令判别式小于等于
①【解答】解•••集合A中至多有一个元素,・••当〃=0时,A={x|3x+l=0}={-2},合题意,当QWO时,△=9-4〃W0,解得4的取值范围是{0}U[_1,+8).故答案为{0}U[9,+OO).4【点评】本题考查与二次方程的根的个数与判别式的符号有关问题;考查分类讨论的数学思想方法.注意二次项的系数为字母时,一定讨论系数为0时的情况.xGM
4.(2022秋•浦东新区校级月考)对于集合定义函数£赭(%)=厂,对于两个集合M、N,定义M1,xt M集合,M^N={x\fM(xfN(x)=-1},已知A={2,4,6,8,10},B={1,2,4,8,16},用|M|表示有限集合M中的元素个数,则对于任意集合△川+|MA3|的最小值为()A.5B.4C.3D.2【分析】通过新定义计算即得结论.【解答】解由MZXN的定义可知,加(x)・/v(x)=-1即^4%6{4¥6”U]\}且底加02[△A|+|^的要取得最小值,需满足AABQMQA UB,故答案为
47.【点评】本题主要考查了集合的子集概念,属于基础题.
34.(2022秋•徐汇区校级期中)集合A={川/V2022V3肉^Z1的子集个数为
32.【分析】根据题意可分别令〃为7,8,9,10,11,12,13,从而可得〃的取值.【解答】解因为〃GZ,所以当〃=7时,343V2022V2187不成立,当〃=8时,512V2022V6561成立;当〃=9时,729V2022Vl9683成立;当〃=10时,1000V2022V59049成立;当几=11时,1331V2022Vl77147成立;当〃=12时,,1728V2022V531441成立;当几=13时,2197V2022Vl594323不成立;故满足题意的〃为8,9,10,11,12,故集合4={川/20223〃,〃GZ}的子集个数为25=32个,故答案为
32.【点评】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.
35.(2022秋•浦东新区校级期中)设全集U={2,3,5,6,9},对其子集引进“势”的概念
①空集的“势”最小;
②非空子集的元素越多,其“势”越大;
③若两个子集的元素个数相同,则子集中最大的元素越大,子集的“势”就越大,最大的元素相同,则第二大的元素越大,子集的“势”就越大,依次类推.若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列,则排在第12位的子集是{5,6}.【分析】逐个列举出来求解即可.【解答】解元素个数为的1个,0;元素个数为1的5个,{2},{3},{5},{6},{9};元素个数为2的10个,{2,3},{2,5},{3,5},{2,6},{3,6},{5,6},{2,9},{3,9},{5,9},{6,9}.所以排在第12位的子集是{5,6}.故答案为{5,6}.【点评】本题主要考查了集合子集的定义,属于基础题.
36.(2022秋•徐汇区校级月考)已知{1,2}uMU{l,2,3,4,5},则满足要求的集合团共有8个.【分析】由题意可知,满足要求的集合M的个数即为集合{3,4,5}的子集的个数,再结合集合的子集个数公式求解即可.【解答】解:{1,2}CA/C{1,2,3,4,5,,满足要求的集合M的个数即为集合{3,4,5}的子集的个数,・••满足要求的集合M的个数为23=
8.故答案为
8.【点评】本题主要考查了集合的包含关系,考查了集合的子集个数公式,属于基础题.
37.2022秋•杨浦区校级期中考虑集合5={1,2,3,…,8}的非空子集,若其子集中的奇数个数不少于偶数个数,则称这个子集叫做“奇子集”,则S的“奇子集”的个数为
162.【分析】集合S中共有8个数字,一半偶数,一半奇数,S的子集中的奇数最多只能取4个,则偶数个数一定比奇数个数少,依次分类即可.【解答】解设一个“奇子集”中有/z=l,2,3,4个奇数,则偶数的数目可以有j J=0,I,-/个,因此,“奇子集”的数目为:C1+2CO+CUC2+3C°+CUC2+C3+4c0+C44444444444444UC2+C3+C4=
162.4444故答案为
162.【点评】本题为新定义,考查子集,组合数的计算,属中档题.
38.2022秋•长宁区校级期中集合P满足Pu{%,y|/+y2=%x,yGZ},则这样的集合P有15个.【分析】用列举法表示集合{x,y|/+y2=4,X,yEZ},求其真子集的个数得答案.【解答】解{x,y E+y2=4,x,y£Z}={-2,0,2,0,0,-2,0,2},•・・Pu{x,y|/+『=4,人yGZ},・••集合尸有24-1=15个.故答案为
15.【点评】本题考查子集与真子集,考查集合的包含关系及应用,是基础题.
39.2022秋•普陀区校级月考若集合{x|依2+3x+2=0,x6R}至多有两个子集,则实数攵的取值范围为{0}Q,+
8.8-----------【分析】由题意可知,方程2+3x+2=0至多有1个实根,再分%=0和ZW0两种情况讨论,分别求出女的取值范围,最后取并集即可.【解答】解•••集合{很?+3x+2=0,xER}至多有两个子集,・••方程入2+31+2=0至多有1个实根,
①当左=0时,方程化为3x+2=0,根为x=-2,符合题意,3
②当ZW0时,A=9-8^0,解得女29,8综上所述,实数%的取值范围为{0}U13,+
8.O故答案为{0}U[3,+
8.O【点评】本题主要考查了一元二次方程根的个数问题,属于基础题.
40.2022秋•徐汇区校级月考满足{2,4}£AC{1,2,4,8,16的集合A的个数为8【分析】由题意可知,集合{1,8,16}的子集个数即为符合条件的集合A的个数,【解答】解:・.・{2,4}cAc{l,2,4,8,16},..满足条件的集合A的个数为集合{1,8,16}的子集个数,♦所以满足条件的集合A有23=8个,故答案为
8.【点评】本题主要考查集合间的基本关系,属于基础题.
41.2022秋•浦东新区校级月考集合A={x|a/+5x+2=0},若A的子集至多有两个,则实数,的取值范围是{0}Ur—+
8.8【分析】根据题意,中元素最多1个,则分A中有且只有一个元素与空集两种情况分类讨论即可.【解答】解因为集合A={X|Q/+5X+2=0},且A的子集至多有两个,,得〃=0或〃=里当A中有且只有一个元素时,即4=0或△=25-8a=08I/,△=25-8a025当A为空集时,即石则A中元素最多1个,故答案为{0}U[空,”・8【点评】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.
42.2022秋•徐汇区校级月考已知集合”={x,y|3x+4y-120,x,yeN,xy0},则集合M的非空真子集有6个.【分析】直接分类讨论即可求解集合M,从而得集合M的非空真子集个数.【解答】解・.・M={x,j|3x+4y-120,x,jGN,xy0},当x=l时,4yV9,y=l,2,当x=2时,4y6,y=l,当x=3时,4y3,y无解,.M={1,1,1,2,2,1},・•・的非空真子集有{b1},{1,2},{2,1},{1,1,1,2},{1,1,2,1},{1,2,2,1}共6个,故答案为
6.【点评】本题考查集分类讨论思想,集合的子集个数问题,属基础题.
43.2022秋•浦东新区校级期中满足{
①b}QAQ{a b,c,4的集合A有4个.9【分析】由已知中{〃,b}QA,可得左4又由b,c,d},可得A中元素只能从m b,c,d中取,逐一列出满足条件的集合A,即可得到答案.【解答】解•••{〃,b}QAQ{a b,c,d}
9..满足条件的集合A有♦{a,Z},{〃,b,c},{a,b,d},{a,b,c,d},共4个.故答案为
4.【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用,其中当元素个数不多时,用列举法表示出所有满足条件的集合A是解答的关键.
44.2022秋•浦东新区校级月考设={01,Q2,Q3,…,an}QM〃6N,〃22,若ai+〃2+…+〃=12劭,则称4为集合M的〃元“好集”.1写出实数集R的一个二元“好集”;2请问正整数集上是否存在二元“好集”?说明理由;3求出正整数集上的所有三元“好集”.【分析】1利用集合M的〃元“大同集”的定义能求出实数集R的一个二元“好集”.2由两个不同的正整数之和不等于两个不同的正整数之积,得到不存在正整数集N*的二元“好集”.3设正整数集N*的三元“好集”为{m b,c},则a+b+c=〃3利用列举法能求出正整数集N*的所有三元“好集”.【解答】解1•••设A为集合M的子集,且—={1,Q2,Q3,…,an}尤N*,〃22,若〃1+2+3+…则称A为集合A7的〃元好集”,・••实数集R的一个二元“大同集”为{-1,±}.2
(2)不存在正整数集N*的二元“好集”,・••两个不同的正整数之和不等于两个不同的正整数之积,・••不存在正整数集N*的二元“好集”.
(3)设正整数集N*的三元“好集”为{a,b,c].则a+b+c=abc,/.Q+Z+C=abc3c,•••hV3,•••〃只能取L b只能取2,利用列举法得〃,b,c的值分别为1,2,3,・••正整数集N*的所有三元“好集”为{1,2,3).【点评】本题考查“好集”的定义、“好集”的的判断及求法,考查新定义、列举法等基础知识,考查运算求解能力,属于基础题.
45.(2022秋•浦东新区校级期中)已知集合A={X|Q/+3X-2=0}有且仅有两个子集,则满足条件的实数组成的集合是{一2集.8【分析】若A恰有两个子集,则A为单元素集,即关于x的方程〃/+3x-2=0恰有一个实数解,求出实数的取值范围即可得答案.【解答】解集合A且仅有两个子集,・•・关于x的方程恰有一个实数解,讨论
①当Q=0,X=—,满足题意;3
②当QWO,△=9+8Q=0,.\a=-—.8综上所述,Q=0或4=-且.8・•・〃的集合为{-9,0}.8故答案为{-且,0}.8【点评】本题考查实数的取值范围的求法,解题时要认真审题,注意分析法、讨论法的合理运用,是中档题.
46.(2022秋•长宁区校级月考)设集合X是实数集R的子集;如果实数比满足对任意实数0,都存在xGX,使得OV|x-xo|m称xo为集合X的聚点;则在下列集合中,以0为聚点的集合是
②③.
①{x|xWZ,xWO};
②{小6R,xWO};
③{小=1,归N,心1};n
④{x[x=,〃eN,〃21}.n+1【分析】由集合聚点的定义,逐一分析四个集合中元素的性质,并判断是否满足聚点的定义,进而得到答案.【解答】解对于
①,若〃=《,则不存在xe{x|xez,xWO},使得0|x-0|〈段成立,33所以0不是集合{x|x€Z,xWO}的聚点,故
①错误,对于
②,对任意实数0,都存在上alRxGR,xWO},使得0〈Ra-0|Vm22所以0为集合{x|x£R,xWO}的聚点,故
②正确,对于
③,集合3%=」,〃巳1}中的元素是极限为的数列,n对于任意的0,存在〃工,使得0|」-0|〃,a n所以0为集合{x|x=」,«eN,〃21}的聚点,故
③正确,n对于
④,因为九=」一=1-」^,〃eN,n+1n+1所以X的最小值为工,则在时,不存在满足0V|x|Q的X,22所以不是集合{x|x=」L,neN,〃21}的聚点,故
④错误,n+1故答案为
②③.【点评】本题主要考查了集合元素的性质,其中正确理解集合的聚点的含义是解答本题的关键,属于中档题.
47.(2022秋•徐汇区校级月考)已知集合对于它的非空子集4将A中每个元素攵都乘以(-1)%后再求和,称为A的“元素特征和”.比如A={4}的“元素特征和为(-1)4X4=4,A={1,2,5}的“元素特征和为(-1)叹1+(-1)2x2+(-1)5x5=-4,那么
(1)集合M={1,2,3,4,5}的所有非空子集的“元素特征和“的总和为-48;
(2)集合M={1,2,…,〃-1,刈的所有非空子集的“元素特征和“的总和为(-l)n[n1~(;1)n]-2n-2_+乙【分析】根据集合元素个数可确定非空子集个数,并得到每个元素出现的次数,再按照已知中的运算求解.【解答】解已知集合M,对于它的非空子集4将A中每个元素攵都乘以-1”后再求和,称为A的“元素特征和”,因为“={1,2,3,4,5}的所有非空子集共有25-1个,所以每个元素1,2,3,4,5在集合M的所有非空子集中都出现24次,所以所有非空子集的“元素特征和“的总和为24X[-1]X1+-12x2+-13义3+-14x4+-15x5]=-48;因为={1,2,…,n-1,〃}的所有非空子集共有2〃-1个,每个元素在集合M的所有非空子集中都出现2,”1次,所以所有非空子集的“元素特征和“的总和为[-1+2-3+4--+-1〃川2〃-1停・2叽n为偶数=[-1+2+-3+4+-12曰,芳L/Xl,n为奇数L乙即为-DKn+lTU/l/nN乙故答案为-48;-ln[n+1~;1nr2n-2-乙【点评】本题考查了集合中非空子集的相关计算,属于中档题.
48.2022•浦东新区校级开学已知集合4={x|/+4x=0},B={x\x2+2tz+l x+a1-1=0}.1若A是8的子集,求实数的值;2若3是A的子集,求实数〃的取值范围.【分析】1根据题意可得A=b从而建立方程组即可求解;2由B是A的子集,可得3=0或8={-4}或3={0}或8={-4,0},再分类讨论建立方程即可求解.【解答】解:1VA={-4,0},8={4+26Z+1x+a1-1=0},又-4+0=-2a+
1.,,4=1;-4X0=-1a2•••3是4的子集,・・・3=0或3={-4}或5={0}或3={-4,0},
①8=0时,A=4+12-4/一10,.-1;a(-4+(-4)=-2(a+1)
②3={-4}时,\,・・・〃60;944)=@~1[一乂(-c(0+0=-2(软+1)
③5={0}时,\,•・・〃=-1;9lOXO=-1a@B={-4,0}时,由
(1)知1=1,综合可得实数的取值范围为(-8,-1]U{1}.【点评】本题考查集合间的关系,方程思想,分类讨论思想,属中档题.
49.(2022秋•浦东新区校级月考)若一个集合是另一个集合的子集,则称两个集合构成“鲸吞”;若两个集合有公共元素,且互不为对方子集,则称两个集合构成“蚕食”,对于集合4={-1,2},B={x\ax1=2,20},若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”,则a的取值集合为{合」,2}.2【分析】讨论=0和>0,求得集合B,再由新定义,得到,的方程,即可解得的值.【解答】解:集合A={-1,2},>J3—{x\cix^=2,a0},若4=0,则5=0,即有照人若>0,可得3={-4,0},不满足BQA;若48两个集合有公共元素,但互不为对方子集,可得)2=2或--1,解得a=■^或a=
2.综上可得,〃=0或2或2;2故答案为{0,士,2).2【点评】本题考查集合的运算以及包含关系,考查新定义的理解和运用,运用分类讨论的思想方法是解题的关键,属于中档题.
50.(2022春•上海期末)若集合A={M(k+1)/+尤-攵=0}有且仅有两个子集,则实数攵的值是-1或-1~2~【分析】只要集合A只含有一个元素,即(Z+1)/+工一女=只有一个根或两个重根即可.需要分类讨论
①当我+1=0时,原方程化为一次方程.
②当Z+1W0时,原方程是一元二次方程.【解答】解・.・A={x|(攵+1)/+工-攵=0}有且仅有两个子集,,集合中只有一个元素
①当4+1=0时,k=A-1,二方程(左+1)/hx-攵=0化为1+1=0,Ax=-1,.A={-1}满足题意
②当Z+1W0H寸,对于方程(攵+1)/+尤-攵=0有两个相同的根,/.△=1-4(Z+1)(-k)=
0.k=,2故攵=_]或_12【点评】本题考查集合的子集概念以及方程根的个数,属于基础题.
51.(2022秋•松江区校级期中)已知集合人={0,1},则集合A的子集个数为4个.【分析】根据集合A,可得集合A中元素的个数,进而由集合的元素个数与子集个数的关系,计算可得答案.【解答】解:集合A={0,1},集合A中有2个元素,则其子集有22=4个,即0,{0},{1},{0,1},故答案为
4.【点评】本题考查集合的元素个数与子集个数的关系,若集合中有〃个元素,则其有2〃个子集.属于基础题.In二口,2,3,…,n},p={-^|e I,k€l}•若P〃的子集A中任意两个元素之和不是n mn
52.(2022秋•徐汇区校级期中)对正整数〃,记整数的平方,则称A为“破晓集”.那么使P〃能分成两个不相交的破晓集的并集时,〃的最大值是()A.13B.14C.15D.16【分析】先证当时,P〃不能分成两个不相交的破晓集的并集,假设当〃215时,P〃可以分成两个不相交的破晓集的并集,设4和8为两个不相交的破晓集,推出A为破晓集相矛盾,再证P4满足要求,当攵=1时,P=I»k€liP可以分成2个破晓集的并集去证明,当女=90寸,去证1414明,最后它与P〃中的任何其他数之和都不是整数,从而得到答案.【解答】解先证当〃15时,P〃不能分成两个不相交的破晓集的并集,假设当〃导15时,尸〃可以分成两个不相交的破晓集的并集,设A和B为两个不相交的破晓集,使AU8=Pn^In.不妨设1GA,则由于1+3=22,所以罪人即花3,再证尸14满足要求,当攵=1时,P14二代岛€1卬kEjJ同理可得,6B4,10G又推出15B4,但1+15=42,这与A为破晓集相矛盾,可以分成2个破晓集的并集,事实上,只要取4={1,2,4,6,9,11,13},a={3,5,7,8,10,12,14},则4和小都是破晓集,且4UBi=Pi
4.当攵=4时,集合剩下的数组成集合山,3,至.—,可以分为下列2个破晓集的并2JL222里},2J集合整数外,剩下的数组成集合11/13%T早中,除整数外,14J
101312781114.可以分为下列2个破晓集的并A3二g,yn rTTb B3=P丁于Tbc={%■111最后,集合k€l]]k^l,4,9}中的数的分母都是无理数,它与P〃中的任何其他数之和都不是整数,因此,令A=4UA2UA3UC,B=BIUB UB3,2则A和3是不相交的破晓集,且AUB=P
4.综上,〃的最大值为
14.故选B.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,考查了反证法的应用,考查了学生分析问题、解决问题的能力,属于难题.
53.2022秋•浦东新区校级期中对于集合X,定义X-X={y|y=x-H x,x,EX},设5={1,2,3,…,
20.1设4=3,4,6,A2={3,5,6,求Ai-Ai,A2-A2;2若8是S的子集且3-8={-3,-2,-1,0,1,2,3},求满足条件的8的个数;3设〃是正整数,若对S的任意一个〃元子集C,都有{1,2,3JCC-C,求〃的最小值.【分析】第一问直接用列举法可得,第二,三问统一列表格,即可直观求出结果.【解答】解1由4=3,4,6,则4-4如下表
①,A2={3,5,6},则A2-A2如下表
②,行表此时,的最小值为4,故选B.【点评】本题考查集合的补集运算,注意解题方法的积累,属于中档题.
5.2022秋•浦东新区校级月考设集合2,3,•••,〃},〃为正整数,记/x为同时满足下列条件的集合A的个数
①AUU〃;
②若在4则
③若xd则2烬A那么/10=
32.【分析】任取偶数在为,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2,7经过攵次后,商必为奇数,此时商为m,从而%=根・2勺x是否属于A,由机是否属于A确定,设〃是U〃中所有奇数的集合,则/〃等于〃的子集个数,由此能求出了〃,再代入计算可得.【解答】解任取偶数在“,将x除以2,若商仍为偶数,再除以2经过攵次后,商必为奇数,此时商为加,从而其中加为奇数,蛇N”,由条件知若m64则XS4等价于攵为偶数,若勿理A,则xEA等价于k为奇数,••x是否属于A由m是否属于A确定,设0〃是〃中所有奇数的集合,・••/〃是的子集个数,当〃为偶数或奇数时,”中奇数的个数为工或匹旦,22Z n22,n为偶数告亍,n为奇数・・・/10=25=
32.故答案为
32.【点评】本题给出实际问题,求满足条件的集合的个数.考查了确定集合的元素的知识点,属于中档题.其中分类讨论、确定元素的逻辑关系是解答的关键.
6.2022秋•浦东新区校级月考对正整数〃,记={1,2,3,,n},p】则集合P7中元素的个数为
46.【分析】对于集合尸7,有〃=
7.当%=4时,根据P〃中有3个数与={1,2,3…,〃}中的数重复,由此求得集合P1中元素的个数.示X,列表示尤‘y=x-x34630134-1026-3-20
①y=x-x35630235-2016-3-10
②贝|」4-4={-3,-2,-1,0,123},A2-A2={-3,-2,-10,12,3};的元素恰好为-3,-2,-1,0,1,2,3,由上表知最多只可取连续的4个元素,如8={1,2,3,4}、3={2,3,4,5}等,否则3会出现除-3,-2,-1,0,1,2,3之外的元素,所以,取连续的4个元素时,集合3共有17种以{3,4,5,6}为例,由
(1)知8={3,4,6}、8={3,5,6}有5-3={-3-2,-1,0,1,2,3},而8={
3.
4.5}、8={4,5,6}不符合要求,所以4个连续元素中有两个3元子集符合要求,故取连续的4个元素中3个元素所得集合3有17X2=34种集合8不可能小于3个元素,若小于3个元素,则3的元素个数小于等于3个且必含元素0,不合要求;综上,满足条件的3的个数共有51个;
(3)由
(2)分析知对S的任意一个〃元子集C都有{1,2,3}cc-C,则〃,3,所以〃的最小值为
3.【点评】本题考查子集定义、新定义,考察缜密的逻辑思维能力,属于难题.
54.(2022秋•徐汇区校级期中)
(1)已知集合S={x|xW6,xCZ且无0},任意从中取出八个四元子集4,A2,…,4,均满足AAA/(iWiV/WZ)的元素个数不超过2个,求女的最大值.(举出一个例子即可,无需证明)
(2)已知集合S=3尤7,无EZ且x0},任意从中取出忆个三元子集4,A2,…,4,均满足4n旬(1WijWk)的元素个数不超过一个,求攵的最大值.【分析】
(1)列举所有的四元子集,根据4「为(iWiV/WA)的元素个数不超过2个即可求解;
(2)列举所有的三元子集,根据AiGA/(iWiV/W攵)的元素个数不超过1个,可得攵=7满足要求,当攵28时得到元素个数之和超过21矛盾,即可求解.【解答】解
(1)由题意知5={1,2,3,4,5,6},四元子集的个数一共有15个,如下{1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,4,5},{1,2,4,6},{1,2,5,6},{1,3,4,5},{1,3,4,6},{1,3,5,6},{1,4,5,6},{2,3,4,5},{2,3,4,6},{2,3,5,6},{2,4,5,6},{3,4,5,6},要使任意4n4/攵)的元素个数不超过2个,则攵最大为2,比如Ai={l,2,3,4},A2={1,2,5,6};
(2)由题意知S={1,2,3,4,5,6,7},三元子集的个数一共有35个,如下{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,3,4},{1,3,5},{1,3,6},{1,3,7},{1,4,5},{1,4,6},{1,4,7},{1,5,6},{1,5,7},{1,6,7},{2,3,4},{2,3,5},{2,3,6},{2,3,7},{2,4,5},{2,4,6},{2,4,7},{3,4,5},{3,4,6},{3,4,7},{3,5,6},{2,5,6},{2,5,7},{2,6,7},{3,5,7},{3,6,7},{4,5,6},{4,5,7},{4,6,7},{5,6,7},对VmeS,则机与S中其他元素共构成6个含机的二元数对,而在每个含〃2的三元子集4•中,伶好含机的有2个这种数对,由题意可知两个不同的三元子集中所含的相应数对不同,所以加至多属于三元集组4,中的3个,即机至多出现在3个三元集中,由于4门前的元素个数不超过一个,故在含力的三元数对中,AiC\Aj^{m},由的任意性,不妨取机=1,包含1的三元集合不妨取4={1,2,3},42={1,4,5},43={1,6,7}满足4n4/={1},i,76{1,2,3},去掉1,剩下6个元素为{2,3,4,5,6,7},分为3组{2,3},{4,5},{6,7},若选{2,3}这组中的2,则{4,5}中可选一个数字4或5,则满足4C却至多一个元素的三元集合还有{2,4,6},{2,5,7},{3,4,7},{3,5,6},故4={1,2,3},42={1,4,5},小={1,6,7,4={2,4,6},A5={2,5,7},A6={3,4,7},A7={3,5,6},故攵可取
7.由于VmeS,所以机至多属于三元集组Ai,中的3个,即机至多出现在3个三元集中,S中一共有7个元素,则这7个元素总共出现的次数至多为3X7=21,当ZN8时,每个三元集中的元素出现3次,那么所有的三元集中的元素出现次数为女,则女224,这与总次数21矛盾,故ZW7,故攵的最大值为
7.【点评】本题考查了集合间的关系,属于难题.五.集合中元素个数的最值共小题555,2022秋•普陀区校级月考已知集合4={1,2,3,4,5},B={x,y|烬4巳4,x-yEA},则3中所含元素的个数为
10.【分析】由集合B中的元素所满足的条件,用列举法写出集合8中的所有元素,则答案可求.【解答】解由4={1,2,3,4,5},B={x,y|氏4yE,x-yEA},当x=5时,y=4,3,2,
1.当%=4时,y=3,2,
1.当x=3时,y=2,
1.当x=2时,y=
1.所以3={5,4,5,3,5,2,5,1,4,3,4,2,4,1,3,2,3,1,2,1}所以B中所含元素个数为10个.故答案为
10.【点评】本题考查了集合中元素的个数,考查了描述法和列举法之间的转化,是基础题.
56.2020秋•浦东新区校级月考已知集合4={1,2,3,4},则满足AU5={1,2,3,4,5}的集合3共有16个.【分析】由已知条件,可推得5必须在集合B中,即可求得集合B的个数.【解答】解:VAUB={1,2,3,4,5},A={1,2,3,4,・•・5必须在集合8中,・••集合3的个数为24=
16.故答案为
16.【点评】本题考查了集合的运算,属于基础题.
57.2022秋•宝山区校级月考集合%GZ,y€Z}中的元素个数为
8.x+2【分析】根据题意,xGZ,WZ,则X+2=±1,±2,±3,±6,从而可解y.【解答】解根据题意,集合{|=上,xeZ,yGZ},x+2当x+2=±l,±2,±3,±6,可以得到对应的的8个解,故答案为
8.【点评】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.
58.2022秋•浦东新区校级期中已知集合A为非空数集,定义s={x\x=a+b,a,bEA},T={x\x=\a-b\,a,bEA].1若集合A={1,3},直接写出集合S,T无需写计算过程;2若集合A={X1,X2,X3,X4},2Vx3Vx4,且T=A,求证X1+X4=X2+X3;3若集合AG{x|0〈xW2021,xeN},SA7=0,记|川为集合A中元素的个数,求|川的最大值.【分析】1根据题目的定义,直接计算集合S,7即可;2根据集合相等的概念,能证明X1+九4=犬2+工3;3通过假设集合A={m,m+l,/n+2,2021m^2021,加EN,求出对应的集合S,T,通过SAT=0,建立不等式关系,求出对应的值即可.【解答】解:1•.•集合A={1,3},S={x\x=a+b,a,bEA},T={x\x=\a-b\a,bEA},9・•・集合S={2,4,6},集合7={0,2}.2证明集合A={xi,X2,X3,X4},X1X2X3X4,且T=A,・・.r中也只包含4个元素,即7={0,X2-X\,X3-X],X4-X1},剩下的元素满足X2-XI=X3-X2=X4-X3,.•.X1+X4=X2+X3;3集合{冰xW2021,xGN},SAT=0,记|由为集合A中元素的个数,设集合A={m,42,,或}满足题意,其中1〃2以,贝ij2a\2Vm+Q3•ai+akai+aka,+ak•V或-1+以2公二•IS122k-1,a\-a\a2-a\6/3一a]9ak-a\,/.\T\^k9V5AT=0,由容斥原理,|SU7]=|S|+|7]23Z-1,SU T最小的元素为0,最大的元素为2以,•••|SU7]W2aH4,.3k-1^2^1^4043Z6N*,解得ZW1348,实际上当4={674,675,2021}时满足题意.证明如下设/1={帆,加+1,m+2,m+3,2021,根GN,贝lJS={2〃z,2m+l,2m+2,4042},T={0,1,2,2021-m},依题意,有2021-根<2加,即根>6732,・12的最小值为674,3・•・当相=674时,集合A中元素最多,即4={674,675,2021}时满足题意,综上,|川的最大值为
1348.【点评】本题考查集合的运算、容斥原理、交集定义等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.
59.2021秋•嘉定区校级期中设〃为正整数,集合A={a|a=n,12,…,<,如{0,1}}仁1,2,…,n,对于集合A中的任意元素a=xi,X2,…,xn和0=y\,”,…,》,记Ma,BXi+y XV1|+%2+2-2D+-B-+x+y-|x-y|]-而[「|「乃一|乂丫n n nn1当〃=3时,若a=1,1,0,0=0,1,1,求M a,a和M a,p的值;2当〃=4时,设B是A的子集,且满足对于8中的任意元素a、p,当a、0相同时;M a,0是奇数,当a、0不同时,M a,p是偶数,求集合B中元素个数的最大值.【分析】1直接根据定义计算.2注意到1的个数的奇偶性,根据定义反证证明.【解答】解1M a,a=1+1+0=2,M a,0=0+1+0=
1.2考虑数对必,”只有四种情况0,
0、0,
1、1,
0、1,1,相应的x「‘k l-k了卜2分别为
0、
0、
0、1,所以8中的每个元素应有奇数个1,所以B中的元素只可能为上下对应的两个元素称之为互补元素1,0,0,
0、0,1,0,
0、0,0,1,
0、0,0,0,1,0,1,1,
1、1,0,1,
1、1,1,0,
1、1,1,1,0,对于任意两个只有1个1的元素a,P都满足M a,P是偶数,所以四元集合8={1,0,0,
0、0,1,0,
0、0,0,1,
0、0,0,0,1}满足题意,假设3中元素个数大于等于4,就至少有一对互补元素,除了这对互补元素之外还有至少1个含有3个1的元素a,则互补元素中含有1个1的元素B与之满足M a,P=1不合题意,故B中元素个数的最大值为
4.【点评】本题主要考查集合的含义与表示、集合的运算以及集合之间的关系.综合性较强,难度较大.六.子集与交集、并集运算的转换共小题
160.2022秋•宝山区校级期中用CA表非空集合A中元素的个数,定义rCA-CB,CACB*…、口、儿…A*B=s/,右4={1},B={x|x/+以+2=0},且设实数aCB-CA,CACB的所有可能取值构成集合S,则C S=A.4B.3C.2D.9【分析】根据新定义可确定几何3中元素个数,从而解得的取值即可.【解答】解且A*3=1,则C5=0或2,A={lbCB-CA,CACB显然06则8W0,故5=2,由于0不是/+QX+2=0的根,则/+ax+2=0有两个相等的实数根,故A=〃2-8=0,从而二±2/5,故CS=
2.故选C.【点评】本题考查集合中元素个数,属于基础题.【解答】解对于集合P7,有〃=
7.当攵=1H寸,6=1,2,3…,7,尸〃={1,2,3…,7},7个数,当攵=2时,加=1,2,3…,7,P〃对应有7个数,当攵=3时,m=1,2,3…,7,P〃对应有7个数,当k=4时,Pn={—加kEln}=Pn={—,1,—2,—3,—}中有3个数(1,2,3),Ok2222与k=l时P〃中的数重复,当%=5时,加=1,2,3…,7,4对应有7个数,当%=6时,加=1,2,3…,7,尸〃对应有7个数,当女=7时,m=l,2,3…,7,尸〃对应有7个数,由此求得集合P7中元素的个数为7X7-3=
46.故答案为
46.【点评】本题主要考查新定义,集合间的包含关系,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题.
7.(2022秋•闵行区校级月考)设A为非空集合,定义AX4={(x,y)以,),C4}(其中(x,y)表示有序对),称AXA的任意非空子集R为A上的一个关系.例如A={0,1,2}时,4义人与{(0,0),(2,1)}都是A上的关系.设R为非空集合A上的关系.给出如下定义
①(自反性)若对任意XC4,有(尤,x)GR,则称R在A上是自反的;
②(对称性)若对任意(羽y)eR,有(y,x)eR,则称R在A上是对称的;
③(传递性)若对任意(心y),(y,z)GR,有(x,z)ER,则称R在A上是传递的.如果A上关系R同时满足上述3条性质,则称R为A上的等价关系.任给集合Si,52,・・・,Sm,定义S1US2U-US〃为{RxWSi,XGS2,・・・,或
(1)若4={0,1,2},问A上关系有多少个?A上等价关系有多少个?(不必说明理由)
(2)若集合A有〃个元素A的非空子集4,4,…,Am两两交集为空集,且A—Ai U/I2U•••U Am,求证R—(Ai XAi)U(A2XA2)U•••U(AmXAm)为等价关系.
(3)若集合A有〃个元素问对A上的任意等价关系R,是否存在A的非空子集4,A2,…,4〃(lWwW〃),其中任意两个交集为空集,且A=4LM2U…UA”使得R=(4*4)U(/I2XA2)U-U(而义4)请判断并说明理由.【分析】
(1)先用列举法写出集合AX4其非空子集个数即为其关系个数.等价关系也可用例举法列出来.2要证R=4义4U A2XA2U-U A〃[XA〃z为集合A上的等价关系,只需证集合R在集合A上上满不满足自反性、对称性、传递性.3只需判断针对集合A上包含不同元素个数的子集4♦对应的集合4XAD UR即可.【解答】解1由题意得,AXA={0,0,0,1,1,0,1,1,0,2,2,0,2,2,则有2*1=512-1=511个非空子集,即A上的关系有511个.所有等价关系R1={0,0,1,1,2,2},R2={0,0,1,1,2,2,0,1,1,0},R3={0,0,1,1,2,2,0,2,2,0},R4={0,0,1,1,2,2,2,1,1,2},R5={0,0,1,1,2,2,0,1,1,0,0,2,2,0,2,1,1,2},共有5个.2证明令人={1,Q2,43,…an}1,2,2,1},共有9个元素,因为A的非空子集4,4,…,1<相<〃两两交集为空集,且A=4UA2U…设osGAs则除了集合4外,其余集合不包含s,则{z,as}U4X4,又因为4义4c4*41UA2XA2U...U4%又4%,则圆,z GR,即R在A上是自反的.设4s,atEA则除了集合4外,其余集合不包含as,at,则{如,at,如as}£ArXAr,又因为4X4,4义4U AiXAiU A2XA2U...U原X Am;则z,at GR,如as ER,即R在A上是对称的.设z,at,akEA QlWkWmWn,则除了集合4外,其余集合不包含如,at,ak,则{如,at,as,ak,金〃,a;}U4X4,又因为4X4U S4*4U/I2XA2U...U4%X/U;则{z,at eR,as,ak eR,如外6R,即R在A上是传递的;综上所述,R=Ai XAiU A2XA2U...U AmXAm为A上的等价关系.3令4={ai,2,13,…,a}n因为/为A上的等价关系,则R为集合AXA={x,y|x,€川的非空子集,因为A的非空子集4,A2,…,4〃两两交集为空集,且A=4UA2U…UA”设zWAs1WsW机则除了集合A$外,其余集合不包含z,则V〃sCAs,必有(如,cis)GR,则(AsXAs)UR,设以,atEA ClWkWtWmWn),则除了集合4外,其余集合不包含以,at,贝U(以,ak)ER,(如3)6R,(以,at)6R,.二(AtXAt)UR,设Gx,a,azEAv(1WxWyWzWmW〃),则除了集合4外,其余集合不包含x,a,az,y y贝|J{(Or,Ox),(〃y,4),),(4z,6Zz)}UR,贝1J(Oi,ay)GR,(〃y,4z)6R,(4X,Clz)€R,故(AtXAt)UR,・••不管集合4(1WW根47)中有几个元素,都能保证(AxXAQ CR,则R=(4义4)u(4义加)U...U(AmXAm);综上所述,对A上的任意等价关系R,存在A的非空子集4,A2,…,4%,(1W〃ZW〃),其中任意两个交集为空集,且A=4U42U…U4〃,使得R=(4X4)U(A2XA2)U...U(AmXAQ.【点评】本题主要考查元素与集合的关系,属于中档题.
8.(2022秋•青浦区校级月考)设集合A2〃={1,2,3,…,2n}(〃GN,〃22),如果对于42〃的任意一个含有机(加三4)个元素的子集P,P中必有4个元素的和等于4〃+1,称正整数机为集合左〃的一个“相关数”.
(1)当〃=3时,判断5和6是否为集合4的“相关数”,说明理由;
(2)若相为集合出〃的“相关数”,证明〃岸〃+
2.【分析】
(1)根据相关数的定义判断即可;
(2)根据相关数的定义得到根W2时,机一定不是集合加〃的“相关数”,得到根-心3,从而证明得结论;【解答】解
(1)当〃=3时,A6={1,2,3,4,5,6},4n+l=13,
①对于46的含有5个元素的子集{2,3,4,5,6),因为2+3+4+513,所以5不是集合A6的“相关数”;
②儿的含有6个元素的子集只有{1,2,3,4,5,6),因为1+3+4+5=13,所以6是集合A6的“相关数”.
(2)证明考察集合止2几的含有〃+2个元素的子集3={〃-1,n+1,••,2〃},8中任意4个元素之和一定不小于(〃-1)+〃+(71+1)+(〃+2)=4〃+
2.所以〃+2一定不是集合A2〃的“相关数”;所以当〃W/2时.,加一定不是集合加〃的“相关数因此若加为集合左〃的“相关数必有加2〃+3,即若相为集合加〃的“相关数”,必有机-〃23,即加为什
2.【点评】本题考查了相关数的定义及其应用,考查新定义的理解,是一道中档题.
9.2022秋•浦东新区校级月考已知例是满足下列条件的集合OEM,16M;
②若x、,WM,则x-£M;xWO,
③若x^M且则上心x1判断!是否正确,说明理由;2证明“若x€Z,则属是真命题;3证明若yEM,则xyEM.【分析】1由
①②容易得到2CM,所以由
③得到22xGM,能得到-在加,由已知条件知OEM,所以只要证明任意的正整数xGM即可得到任意的整数XEM,可考虑用数学归纳法来证1,2CM,假设比则攵--1=攵+16,所以根据数学归纳法对任意正整数在〃,所以便得到XGZ是的充分条件;/.\
22.23——X_,x,22先构造出孙=工所以可证明若yEM,则/CM,x+yEM.先证明/GM,设xeM,xWO,EM,X-leM,--GM,x-fe”,x x-1则得到」—^EM所以上•一—=~所以所以得到9x x-1xx-1222X-X-X2由前面知,x+yEM,—eM,所以,三EM,所以便可得到*2,*xxx222292EM,从而.切.x+y22【解答】解1工€/正确;证明如下2由
①Oev,leM,由
②知0-l=-leM;Al--1=2eM,由
③知J1CM;22证明由
②知,若X6M,则0-1=-在”,故只需证明任意正整数即可;由1知,26M,假设正整数始M,则攵--1=Z+16M;・••由数学归纳法知任意正整数即X6Z,是xEM的充分条件;
(3)先证若在加,则fwM由
②知,若xCM,且xWO,V1EM,则x-lGM;由
③知工GM,X X-l所以所以一—=~J--eM,所以所以得到x-(x-x2)=X1EM,X x-l X(x-l)再证若x,yEM,贝I」x+yEM0-y=-yEM,J.x-(-y)—x+yEM;A—ew,2222・•.由前面知,『,(X八),工
22...(x^)2x2+y2=.22【点评】考查对给出的新信息的运用,以及数学归纳法在证明正整数问题的运用,本题属于难题.二.集合的表示法(共小题)
110.(2022秋•黄浦区校级期中)对正整数小记/〃={1,2,3,■■,〃},P]户扣mEQ k€lj
(1)用列举法表示集合尸3;
(2)求集合P7中元素的个数;
(3)若集合A中任意两个元素之和都不是整数的平方,则称A为“稀疏集”.已知集合为能分成两个不相交的稀疏集的并集,求〃的最大值.【分析】
(1)结合集合的性质,利用列举法求出集合P3;
(2)结合集合的性质,利用分类讨论思想和列举法,求出集合P7中元素的个数;
(3)根据定义,首先证明〃,15时,P〃不能分成两个不相交的稀疏集的并集,再证明P4能分成两个不相交的稀疏集的并集,由此求出〃的最大值.【解答】解
(1)/3={1,2,3),P=Im€I»1}={1»2,3,华,V5,当,V3)3332%取1-7中每一个值时,P7中都有7个元素.当攵=1H寸,尸7中的元素为1,2,3,4,5,6,7,共7个;当攵=2,3,5,6,7时,P7中的元素为无理数,且互不相同;当k=4时,P7中的元素为1,2,3,工,旦,立,工,其中1,2,3为重复出现元素,2222综上,P7中共有7义7-3=46个元素.3假设当〃215时,P〃能分成两个不相交的稀疏集的并集,设A,5为不相交的稀疏集,使设1GA,由题意得1+3=22,则3即,即3国,同理,6EA,lOefi,又推得15GA,但1+15=42,与人为稀疏集矛盾,时,P〃不能分成两个不相交的稀疏集的并集,.・・〃W14,若〃=14,则攵=1时,分不能分成两个稀疏集的并集,事实上,只要取4={1,2,4,6,9,11,13},加={3,5,7,8,10,12,14},则4,51为稀疏集,且4UBI=114,可分成下面两个稀疏集A2={5,—,—,—},={•1•,工,—},222222245当%=9时,集合唬|相以14}中除正整数外剩下的数组成集合亭-1,3_可分成下面两个稀疏集里,_J333338当%=4时,集合喷|加以14}中除正整数外剩下的数组成集合仔,参参・•・集合{普依014,且比{1,4,9}}中的数均为无理数,Vk它与P4中的任何其它数之和都不是整数,则把集合{普|加014,且攵臼1,4,9}}中的元素任意分成两个不相交的集合的并集均可,Vk令稀疏集为4与国,,令A=4UA2UA3U4,B=B\UB2UB3U84,・・・A和8是不相交的稀疏集,且AU8=P14,综上,所求〃的最大值为
14.【点评】本题考查涉及求符合某个条件的集合元素个数问题、集合中元素的互异性、列举法等基础知识,考查运算求解能力,是难题.。