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第章集合与逻辑全章复习与测试1【知识梳理】■F一.集合的含义、集合的含义1集合是一定范围的,确定的,可以区别的事物,当作一个整体来看待,就叫做集合,简称集,其中各事物叫做集合的元素或简称元,是具有某种特定性质的事物的总体.、集合的表示方法列举法、描述法、图示法.2()列举法就是把集合中的每一个元素全部写出来;描述法指的就是用词汇或者用数学语言描述出集合中的1元素;区间表示法就是用区间的形式来表示集合中的元素;图示法(数轴表示法,韦恩图法)用图的形式来描述表示出集合的每一个元素.()有限集常用列举法表示,而无限集常用描述法或区间表示法表示,抽象集常用图示法表示,(有限集就是2集合中的元素个数是能够确定的.无限集是集合的元素个数无法精确.抽象集合就是只给出集合元素满足的性质,探讨集合中的元素属性,要求有较高的抽象思维和逻辑推理能力.)用描述法表示集合时,集合中元素的意义取决于它的“代表”元素的特征.二.元素与集合关系的判断、元素与集合的关系1一般地,我们把研究对象称为元素,把一些元素组成的总体称为集合,简称集.元素一般用小写字母表示,0,b,c集合一般用大写字母表示,两者之间的关系是属于与不属于关系,符号表示如或48,C0a^A.、集合中元素的特征2()确定性作为一个集合中的元素,必须是确定的.即一个集合一旦确定,某一个元素属于还是不属于这集1合是确定的.要么是该集合中的元素,要么不是,二者必居其一,这个特性通常被用来判断涉及的总体是否能构成集合.()互异性集合中的元素必须是互异的.对于一个给定的集合,他的任何两个元素都是不同的.这个特性通2常被用来判断集合的表示是否正确,或用来求集合中的未知元素.()无序性集合于其中元素的排列顺序无关.这个特性通常被用来判断两个集合的关系.3三.集合的确定性、互异性、无序性【分析】利用集合中新定义的元素的属性得出集合中元素的构成是解决该问题的关键,集合中元素不多时,将各个元素列举出来从而得到所求的集合.【解答】解当时,;x=0,y=221=0当时,;x=0,y=3Z2—0当时,;x=l,y=2Z3=1X2X1+2=6当时,x=l,y=3z4=1X3X1+3=12,AAOB={0,6,
12.故答案为{0,6,
12.【点评】本题考查学生对新定义的题型的理解和把握程度,弄准集合中元素的构造方式,考查列举法写集合,分类讨论思想.秋•松江区校级期中设全集集合集合
3.2022U={xEZ|-1«},A=“R|x-1x-2=0},8,分别求集合、、={x€N1}CuA AUBADB.2【分析】先化简集合以及集合和集合然后利用补集的定义求出最后再利用交集与并集的定义求U ACuA,出、即可.AU54nB【解答】解全集0,1,2,3,4,5,A={1,2},B={0,1}可得CuA={-1,0,3,4,5},AU8={0,1,2},AA8={1}.【点评】本题主要考查了集合的含义,以及并集及运算和补集及其运算,属于基础题.二.元素与集合关系的判断共小题6秋•浦东新区期末已知集合〃且则实数〃的值为或
4.20224={2,/+3+3},leA,-1-
2.【分析】根据已知条件,结合元素与集合关系,即可求解.【解答】解:集合且0,A={2,-+3/3},则〃解得〃=一或一・/+3+3=1,12故答案为或--
12.【点评】本题主要考查元素与集合的关系,属于基础题.秋•浦东新区期末用符号或填空.
5.2022E R.“6”【分析】根据已知条件,结合元素与集合关系,即可求解.【解答】解-VTIGR.故答案为G.【点评】本题主要考查元素与集合关系的判断,属于基础题.(秋•徐汇区期末)若集合同时具有以下三个性质();()若、则师;
6.2022A1OeA,1GA2x1-4()若且则上€小则称为“好集”.3xCA xWO,A x已知命题
①集合是好集;{1,0,-1}
②对任意一个“好集”若、贝A,x Ux+yEA.以下判断正确的是()
①和
②均为真命题
①和
②均为假命题A.B.
①为真命题,
②为假命题
①为假命题,
②为真命题C.D.【分析】根据“好集”的定义逐一判断即可.【解答】解对于
①,因为)而-《{-16{1,0,-1,-le{i,0,-1},1-1=-21,0,1},所以集合不是“好集故
①错误;{1,0,-1}对于
②,因为集合是“好集”,A所以0£40-y=-yEA,所以()故
②正确,x--y=x+y£A,所以
①为假命题,
②为真命题,故选D.【点评】本题主要考查了集合的新定义问题,考查了元素与集合的关系,属于基础题.(秋•长宁区校级期末)对于底㈤表示不超过的最大整数,定义在上的函数火)
7.2022R,x Rx=[2x]+[4x]+[8x],若(),),则中所有元素的和为()4={y|y=f xox—AA.12B.3C.14D.15【解答】解当工时,()4x/X8=[2x]+[4x]+[8x]=0+0+0=0,【分析】由已知结合新定义对进行分类讨论,求出()的取值,进而可求.x/x当上时,()幻/X=[2x]+[4x]+[8=0+0+1=1,c4(总时,于3=[2x]+[4x]+[3x]=0+1+2=3,当看时,()/X=[2x]+[4x]+[8x]=0+l+3=4,时,x=±f x=[2x]+[4x]+18x]=1+2+4=7,2故)元素和为4={0,1,3,4,7,0+1+3+4+7=
15.故选D.【点评】本题以新定义为载体,主要考查了集合元素的确定,属于基础题.(秋•金山区期末)已知集合且则实数的值为
8.20224={2,1C4,
1.【分析】由题意可知-求出的值即可.21=1,【解答】解・・・164解得.2a-1=1,Q=1,故答案为
1.【点评】本题主要考查了元素与集合的关系,属于基础题.(秋•闵行区校级期中)对在直角坐标系的第一象限内的任意两点作如下定义若包£,那么称点
9.2022b d(
①)是点()的“上位点”.同时点()是点()的“下位点”;b c,d c,d m b()试写出点()的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标;13,5()已知点()是点()的“上位点”,判断点(毕一)是否是点(〃,)的“下位点”,2m b c,d pQJ,b22证明你的结论;()设正整数〃满足以下条件对集合{力任内的任意元素〃总存在正整数上使得点(〃,)30/2022,Z}2,k既是点()的“下位点”,又是点()的“上位点”,求满足要求的一个正整数〃的值,并2022,m2023,m+1说明理由.【分析】()由定义即可得所求点的坐标;1()先由点()是点()的“上位点”得且£,作差化简得结合所得结论、定2/bc,d ad-bcQ,b d义,利用作差法可判断出点(史二,也生)是否是点(,)的“下位点”;P b22()借助()的结论,证明点尸()既是点()的“上位点”,又是点(
①)的“下位点”,32a+c,b+d c,d b再利用所证结论即可得到满足要求的一个正整数〃的值.【解答】解()根据题设中的定义可得点()的一个上位点“坐标”和一个下位点坐标分别为()13,53,4和()3,
7.()点尸(史三,士曳)是点()的“下位点”.2m b22证明・・•点(,b)是点(c,d)的“上位点”,,包£,b d均大于;,:a,b,c,d0,/.adbc,.ad-bc0,・•a+c_a_b a+c-a b+d_bc-ad a a+c•・言b-bb+d b b+d,b+d,.••点豆工,卫旭是点小的“下位点P b22可证点尸既是点的“上位点”,又是点的“下位点”.3Q+C,b+d c,d Q,b证明丁点(,)是点()的“上位点”,,包£,b C,d bd二,均大于b,a d0,/.adbc,C.ad-bc0,•软+c_c_d a+c-c b+d_b+cd-bc-cd_ad-bc b+d7db+d db+d db+d即纪££,・••点P Q+c,b+d是点c,d的“上位点”,b+d d同理彳曰+c=b a+c-a b+d=bc-ad0,MdT b7bM bb+d即包3i£,・••点P Q+C,b+d是点
①b的“下位点”,bb+d・•・点尸(〃+c,b+d)既是点(ad)的“上位点”,又是点(mb)的“下位点”,根据题意知点(〃/)既是点()的“下位点”,又是点()的“上位点”对力日/|2022,m2023,m+10/2022,怎}时恒成立,Z根据上述的结论知,当〃攵加+时,满足条件,故〃=2022+2023=4045,=21=
4045.【点评】本题考查“上位点”“下位点的定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是难题.三.集合的表示法(共小题)5(秋•奉贤区校级期末)用列举法表示中国国旗上所有颜色组成的集合{红色,黄色}.
10.2022【分析】利用列举法直接写出答案即可.【解答】解由题意知,中国国旗上所有颜色组成的集合为{红色,黄色},故答案为{红色,黄色}.【点评】本题考查了集合的表示法的应用,属于基础题.(秋•崇明区期末)直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为{(尤,)
11.2022y仅}0,y
0.【分析】根据第二象限点的符号特征求解即可.【解答】解直角坐标平面上由第二象限所有点组成的集合用描述法可以表示为{()x,y|x0,y
0.故答案为{-y|x0,y0}.【点评】本题主要考查了集合的表示方法,属于基础题.秋•徐汇区校级期末若函数叫叫--枚|+有零点,则其所有零点的集合为
12.2022/x=42|x|-1421433{-3,.用列举法表示.7,1,3}【分析】注意到国国令结合时,偶函数闻/x=2+|x|-112+|x|-3,/x=0,x0g x=2+|x|国均在+8上单调递增可得答案.-11,h x=2+|x|-30,【解答】解:w w令/x=2+k|-112+|x|-3,f3=0,得叫国-或w211=02+|x|-3=0,令国国g x=2+|x|-11,h x=2+|x|-3,注意到均为偶函数,g x,h xg3—h1=0,又时,x0函数与函数在+°°上单调递增,y=2y=x0,则闻国在上单调递增,g x=2+|x|-ll,h x=2+|x|-30,+°°故在上有唯一零点,得国同.则/%g x,h x0,+82+|x|-11=0=x=±3,2+|x|-3=0=x=±1所有零点的集合为{-3,-1,1,
3.故答案为{-3,-1,1,
3.【点评】本题主要考查集合的表示法,属于基础题.秋•徐汇区校级月考用描述法表示被除余的正整数组成的集合为尸攵任
13.20225235+2,N}.【分析】根据描述法的表示方法结合条件即得.【解答】解•.•被除余的正整数可用弘岳来表示,52+2,N・•・被5除余2的正整数组成的集合表示为口仅=5攵+2,任N},故答案为依{x|x=5Z+2,N}.【点评】本题主要考查了集合的表示方法,属于基础题.秋•浦东新区期末已知集合集合用列举法
14.2022A={x,y\y=4x-1},B={x,y|y=/+2},表示集合【分析】求出直线与抛物线的交点坐标,即可得到集合y=4x-1y=f+2APB.【解答】解由题意可知,集合的元素为表示直线,=以-与抛物线〉=的交点坐标,4031f+2y=4x-1v=1Y=3联立方程,解得|…或Xy=x2+2ly=3ly=ll()().AHB={1,3,3,11}.【点评】本题主要考查了集合的表示方法,属于基础题.四.集合的包含关系判断及应用(共小题)4(秋•金山区期末)设集合均为非空集合.()
15.2022A,B,C若则若则A.A=C B.AUB=8UC,A=C若则若贝C.CUB D.AU3=3GC,CUB【分析】关于这几个命题真假的判断,真命题可以根据集合的运算和运算法则证明,如果命题是假命题,则可以举反例.【解答】解由于集合均为非空集合,A,B,所以对于若则是假命题,A,AABnBAC,A=C例如满足但;A={1,2,3},B={1},C={1,2},AG3=BnC,AWC对于若则是假命题;5,A=C,例如满足但;A={1},B={1,2,3},C={1,2},AUB=3UC,AWC对于由于已知所以贝成立;C,CUBUC,AG3=BUC,故正确;C对于,若贝是假命题,AUB=8nC,IJCGB例如满足但是A={1},B={1,2,3},C={1,2,3,4},AU8=8AC,8GC故选C.【点评】本题考查了命题真假的判断方法,还考查了集合的运算,属于基础题.(春•宝山区期末)已知集合人二{%|小区,集合如-〃|若则实数的取值
16.20230}3={2},AU3,1-x范围是「7,11-【分析】用分式不等式的解法解出集合绝对值不等式的解法解出集合再根据集合的包含关系的定义,45,找到端点关系,从而解出参数【解答】解由上区可得()()解得故0x+1x-10,-IVxVl,A={x|-1-x由|九-可得-即故a\22x-a2,Q-2VxVa+2,B={x\a-2xa+2},若则有卜即A£B,-1«1,U+21实数的取值范围是,J4[-11].故答案为[-1,1].【点评】本题考查了分式不等式,绝对值不等式的解法以及集合的包含关系的应用,属简单题.秋•青浦区校级期末集合2且贝的值是
17.2022A={x|ax-1=0},{%|x-3x+2=0},7a0或或工.1--------2-【分析】解一元二次方程,可得集合或再由且得到集合是集合的子集,最后分析集合3={x|x=l x=2},A8A的元素,可得的值是或或
12.2【解答】解对于解方程可得或3,B={x|x=l x=2}・・且•A={x|-1=0},・••集合A是集合8的子集
①时、集合为空集,满足题意;4=0A
②时,集合化简为」},所以』或QWO A A={x|x==12=2,a aa解之得或〃=」Q=12综上所述,可得的值是或或工012故答案为或或122【点评】本题以方程的解集为例,考查了集合包含关系的判断及应用,属于基础题.在解决一个集合是另一个集合子集的问题时,应注意不能忽略空集这一特殊情况而致错.秋•徐汇区期末已知集合〃集合加仁|当二
18.2022A={x||x-2|},1}.若求1a—1,A Pl若求实数的取值范围.2【分析】根据分式不等式的解法求出集合以再根据交集的定义求解;1分和两种情况讨论,根据列出不等式组,求出的取值范围,最后取并集即可.20AU5【解答】解由生,解得即集合L1-2Vx3,3={x|-2x3},x+2当〃寸,集合1=10A={x[lx3},;.AHB={x\\x3}当时,则满足题意,2aWO A=0,AU8当时,0A={x\\x-2\a}={x\2-ax2+a},fa
0.l2-a-2,解得[2+a43综上所述,实数的取值范围为(-8,]
1.【点评】本题主要考查了分式不等式的解法,考查了集合的基本运算,属于基础题.五.子集与真子集(共小题)6(秋•浦东新区校级月考)集合的真子集的个数是()
19.2022{y€N|y=-f+6,x€N}A.9B.8C.7D.6【分析】根据条件,让从开始取值,求出对应的值;;;显然x yx=0,y=6x=l,y=5x=2,y=2x=3,y=-3,往后取值对应的值都小于所以集合))这样求出该集合的所有真子集即得x y0,{WN|y=-/+6,xeN}={2,5,6,到真子集的个数.【解答]解:时,;x=0y=6时,;x=l y=5时,;x=2y=2时,;x=3y=-3•・•函数y=-7+6,xeN,在[0,+8)上是减函数;•・・时,;123y0•・・;{yCN|y=-7+6,xGN}={2,5,6}•••该集合的所有真子集为:;0,{2},{5},{6},{2,5},{2,6},{5,6}•••该集合的真子集个数为
7.故选C.【点评】考查描述法表示集合,自然数集以及真子集的概念.N,(秋•金山区期末)已知集合(-)工-有且仅有两个子集,则实数或
20.2022A={x|1/+32=0}a=11—■8-【分析】结合已知条件,求出(〃-)的解的个数,然后对参数分类讨论,并结合一元二次方程1/+31-2=0的根的个数与判别式之间的关系求解即可.【解答】解若恰有两个子集,A所以关于的方程恰有一个实数解,x
①当时,上,满足题意;=1X3
②当时,所以二^—,QWO A=8Q+1=O,8综上所述,=或二——.18故答案为或」.18【点评】本题主要考查集合子集的应用,属于基础题.秋•黄浦区校级期中设集合以只有一个子集,则满足要求的实数〃=.
21.2022A={x|+1=0,xER}【分析】根据已知条件,推得为即可求解.A0,【解答】解:集合只有一个子集,A={x|or+l=0,xER}则办A={x|+1=0,xGR}=0,所以方程无解,即QX+1=O=
0.故答案为
0.【点评】本题主要考查子集的定义,属于基础题.秋•浦东新区校级期中满足,的集合共有个.
22.2022“2}CAg{1,2,3,4,5}A7【分析】根据已知条件,结合并集的定义,以及集合之间的包含关系,即可求解.【解答】解底{L2}9{1,2,3,4,5,则满足条件的集合有共个.A{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,2,3,4},{1,2,3,5,{1,2,4,5}7故答案为
7.【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及其应用,属于基础题.秋•浦东新区校级期中已知集合,有且仅有两个子集,则实数%=或
23.2022A={x[Z+l+2x-1=0}1-
2.【分析】根据集合有且仅有两个子集,转化为方程有一个解或两个相A={x|KI/+2x-1=0}Z+1/+2x-1=0同的实数根即可.【解答】解:集合有且仅有两个子集,,方程左有一个解或两个相A={x[Z+l/+2x-1=0}+1/+2%-1=0同的实数根即可,当左时,符合题意;=-1A={x|2x-l=0=g},当半寸,攵=-;k-10A=4+4Z+1=0=2所以实数%=-或12=-
2.故答案为或--
12.【点评】本题主要考查了集合子集的定义,属于基础题.(秋•静安区校级期中)设集合%,〃若把的所有元素的乘积称为的容量(若
24.2022={1,2,3,…},XUS,X X中只有一个元素,则该元素的数值即为它的容量,规定空集的容量为)若的容量为奇(偶)数,则称X
0.X X为金奇(偶)子集.若〃则的所有奇子集的容量之和为=6,S
47.【分析】写出所有的奇子集,从而求出所有奇子集的容量之和.【解答]解:〃时,=656={1,2,3,4,5,6},含有一个元素的奇子集为{1},{3},{5},含有两个元素的奇子集为{1,3},{1,5},{3,5},含有三个元素的奇子集为{1,3,5},故所有奇子集的容量之和为义1+3+5+13+1X5+3X5+1X3X5=
47.故答案为
47.【点评】本题主要考查了集合的子集概念,属于基础题.六.集合关系中的参数取值问题(共小题)2(秋•松江区校级期中)集合=以计中只含有个元素,则实数的取值是
25.202232+44=0,x€R}1或・1【分析】集合表示的是方程的解;讨论当二次项系数为时是一次方程满足题意;再讨论二次项系数非A时,令判别式等于即可.00【解答]解:当,时,满足题意=0A={x|4%+4=0}={-1}当时,要集合仅含一个元素需满足aWO A△=解得=16-160a—1故的值为0;1故答案为或01【点评】本题考查解决二次型方程的根的个数问题时需考虑二次项系数为的情况、考虑判别式的情况.0(秋•宝山区校级期中)已知集合人二{%|三,(〃+)〃
26.202122}3={4-l x+W0}.x-2()若求实数的取值范围;1AU()若求实数的取值范围.2AU5=A,a【分析】A二{x|-32}=□2),B={x|x2-(+1)X+QWO}={X|(x-1)(x-a)WO},结合间关系x2集合中元素具有确定性、互异性、无序性三大特征.()确定性集合中的元素是确定的,即任何一个对象都说明它是或者不是某个集合的元素,两种情况必居1其一且仅居其一,不会模棱两可,例如“著名科学家”,“与接近的数”等都不能组成一个集合.2()互异性一个给定的集合中,元素互不相同,就是在同一集合中不能出现相同的元素.例如不能写成{21,}应写成口,)1,2,
2.()无序性集合中的元素,不分先后,没有如何顺序.例如口,}与{}是相同的集合,也是相等32,33,2,1的两个集合.【解题方法点拨】解答判断型题目,注意元素必须满足三个特性;一般利用分类讨论逐一研究,转化为函数与方程的思想,解答问题,结果需要回代验证,元素不许重复.【命题方向】本部分内容属于了解性内容,但是近几年高考中基本考查选择题或填空题,试题多以集合相等,含参数的集合的讨论为主.四.集合的表示法列举法常用于表示有限集合,把集合中的所有元素一一列举出来,写在大括号内,这种表示集合的方法叫
1.做列举法.{}注意元素之间用逗号分开.1,2,3,…,描述法常用于表示无限集合,把集合中元素的公共属性用文字,符号或式子等描述出来,写在大括号内,
2.这种表示集合的方法叫做描述法.即{丹(为该集合的元素的一般形式,为这个集合的元素的共同属性)x|x P如小于的正实数组成的集合表示为{}IT x|OVxVir图示法(论的图)为了形象表示集合,我们常常画一条封闭的曲线(或者说圆圈),用它的内部表示一个
3.集合.自然语言(不常用).
4.【解题方法点拨】在掌握基本知识的基础上,(例如方程的解,不等式的解法等等),初步利用数形结合思想解答问题,例如数轴的应用,论而图的应用,通过转化思想解答.注意解题过程中注意元素的属性的不同,例如{}x|2x-l0表示实数的范围;{()}表示方程的解或点的坐标.x x,y|y-2x=0【命题方向】本考点是考试命题常考内容,多在选择题,填空题值出现,可以与集合的基本关系,不等式,简易逻辑,立体几何,线性规划,概率等知识相结合.可解决此题.【解答】解:,小解A={x|^^2}=[12,3={2-Q+1X+QW0}=3x-l%-WO},x-2;1TAGB,.aE[
2.+82VAUB=A,Z.BQA,.aE[\,
2.【点评】本题考查一元二次不等式解法及集合间关系应用,考查数学运算能力,属于基础题.七.并集及其运算共小题5春•宝山区校级期末满足条件的所有集合的个数是
27.2022{1,3,5}UM={1,3,5,7,9}M个个个个A.4B.8C.16D.32【分析】根据集合并集的定义“由所有属于集合或属于集合的元素所组成的集合叫做并集”进行反向A B求解即可.【解答】解3,5}UM={1,3,5,7,9且.7EM,9cM,的集合可能为或或或或或或或故M{7,9}{1,7,9}{3,7,9}{5,7,9}{1,3,7,9}{1,5,7,9}{3,5,7,9}{1,3,5,7,9}选B.【点评】本题主要考查了集合中并集的运算,是求集合的并集的基础题,也是高考常会考的题型.秋•崇明区期末集合X若则
28.2022A={2,3},8={x,y},AAB={3},AU8=[1,2,3}.【分析】根据可得出然后即可求出的值,从而得出集合然后进行并集的运算即Ane={3}3B4,3RB,x,y4B,可.【解答】解・・・AG8={3},A3GA,3eB,A解得/.3=3,x=l,Ay=3,,A={2,3},8={1,3},ZMUB={1,2,
3.故答案为{1,2,
3.【点评】本题考查了交集、并集的定义及运算,元素与集合的关系,考查了计算能力,属于基础题.秋•上海期末已知+8,且则实数的取值范围为-
29.2022A=-8,0],B=[a,AUB=R,8,0].【分析】利用并集定义能求出结果.【解答】解+8,且VA=-8,0],B=[a,AU3=R,.•.々WO,・♦・实数〃的取值范围是-8,0].故答案为-8,0].【点评】本题考查集合的运算,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.秋•徐汇区校级期中全集〃,〃则
30.2022/={x|x=26Z},A={2,4,6},B={4,6,8,10,12},AUB=[14,16,18,20}.【分析】根据已知条件,结合并集的定义,即可求解..【解答]解:A={2,4,6},B={4,6,8,10,12,贝」i AU8={2,4,6,8,10,12,〃VZ={xk=2/i,1W W1O,716Z}={2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,A AUB={14,16,18,
20.故答案为{14,16,18,
20.【点评】本题主要考查并集及其运算,属于基础题.秋•徐汇区校级月考已知集合x则
31.2022A={x|/-xW0},B={x|2l},0,+
8.【分析】求出集合利用并集定义能求出4B,AU5【解答】解,••集合A={x*-xW0}={x|0WxWl},冲{小8={1}=0},.AUB=[O,+
8.故答案为[0,+
8.【点评】本题考查集合的运算,考查并集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.交集及其运算共小题A.4秋•金山区校级期末设则
32.2022A={x,y|y=-2x+4},8={x,y|y=5x-3},AA3=A.{1,2}B.{x=l,y=2}或C.{1,2}D.{x,y|x=l y=2}【分析】联立方程组,解出羽》再结合交集的定义,即可求解.【解答]解:A={x,y\y=-2x+4,B—[x,y\y—5x-3,联立y=-2x+4,解得卜=1,[y=5x-3y=2故AA8={1,2}.故选c.【点评】本题主要考查交集的运算,属于基础题.(秋•闵行区校级期末)已知则【分析】求出集合利
33.2022A={0,1,2,3,4},8={x|xW2,xEN},03={0,1,2}.b用交集的定义可求得集合AGb【解答】解因为集合4={0,1,2,3,4},B={X\X^29XGN}={0,1,2},因此,AAB={0,1,2).故答案为{0,1,2).【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义,属于基础题.(秋•浦东新区校级期末)已知集合则〈
34.2022A={x|xl},B={x\-{x|l xW3}.【分析根据已知条件,结合交集的定义,即可求解.1【解答】解集合小4={1},8=3-1«},则AG5={MlVxW3}.故答案为〈{x|l xW3}.【点评】本题主要考查交集及其运算,属于基础题.(秋•奉贤区校级期末)已知〃是实数,集合若则
35.20222M={2,3,m+6},N={0,7},MGN={7},m=
1.【分析】利用交集定义直接求解.【解答】解团是实数,集合)M={2,3,771+6,N={37},MAN={7},A771+6=7,则m=
1.故答案为
1.【点评】本题考查交集定义、集合中元素性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.九.补集及其运算(共小题)3(秋•浦东新区校级期末)设集合全集则/=(-8,
36.2022A={x\\2x-1|3},U=R,-1]U[2,+)
8.【分析】求解不等式得到集合再求|2x-1|V3A,A【解答】解由「得故|21|3,A={x|-lx2},所以当全集时,或U=R A={x[x-1x2}.故答案为()-8,-1]U[2,+°°.【点评】本题主要考查补集及其运算,属于基础题.(秋•松江区校级期末)设全集则
37.2022U={x|0WxW7,xGZ},A={2,4,6,7},A=[0,1,3,5}【分析】先求出全集再结合补集的定义,即可求解.U,【解答】解全集)U={x|0WxW7,xeZ}={0,1,2,3,4,5,6,7,则4={2,4,6,7},故,)={0,1,3,
5.故答案为){0,1,3,
5.【点评】本题主要考查补集及其运算,属于基础题.(秋•闵行区校级月考)已知全集=凡集合从二则下=
38.20221},{x|-lWxW0}.x+1【分析】解分式不等式化简集合,再利用补集的定义求解作答.【解答】解不等式」—1化为即上0,x+1x+1x+1()解得或〉x x+10,XV-1x0,贝或ij M={x\x-1x0},所以二{x|-lx0].E故答案为3-lWxW0}.【点评】本题主要考查补集及其运算,属于基础题.一十.交、并、补集的混合运算(共小题)
739.(2022秋•浦东新区校级月考)设集合S={x[x-2},T={x|x2+3x-4=0},则(CRS)U T=[X\X^-或2x=l}.【分析】先得出再与取并集即可.CRS,7【解答】解:yS={x\x-2},.QRS={X\X^-2},2VT={X|X+3X-4=0}={-4,1},;・(CRS)U7={X|XW-2或X=1}.故答案为或x=l}.【点评】本题考查了并、补集的混合运算,属于基础题.(秋•青浦区校级月考)设全集为自然数集记£={就丫=,作芯那
40.2022U N,2%N},F={x\x=4n,N},么可以表示为()NA.£UF B.EUF C.EUF D.ED【分析】先分析集合区方的关系,然后检验各选项即可判断.【解答】解因为石〃,e={x|x=2nGN},F={x\x=4n neN}={x|x=22n,nGN},9故F£E,所以不符合题意;EU/=E,吊不符合题意;UbWN,3符合题意;E\JY=N9不符合题意.EAF=F,故选C.【点评】本题主要考查了集合的基本运算,属于基础题.秋•浦东新区校级期中设全集集合贝
41.2022U={-2,-1,0,1,2},A={0,1,2},B={-1,2},ijAG CuB=A.{0,1}B.{0,1,2}C.{-1,1,2}D.{0,-1,1,2}【分析】直接利用集合的补集与交集的运算法则求解即可.【解答】解全集={-集合2,-1,0,1,2},A={0,1,2},B={-1,2},则AH Cub={0,1,2}A{-2,0,1}={0,1}.故选:A.【点评】本题考查集合的交集,补集的运算法则的应用,是基础题.秋•徐汇区校级月考已知集合=
42.2022A={x|lW3”27},B=1,+
8.求AUE;1若={冰/-〃且求实数的取值范围.21WXW2},AGC=C,a【分析】根据指数不等式的解法求出集合再求出集合的补集,然后根据并集的定义即可求解;148由已知可得然后根据与两种情况讨论,根据集合的包含关系分别建立不等式,进而可以2CU4C=0CW0求解.【解答】解解不等式可得113270x3,所以集合人=[又由已知可得0,3],B=-8,1],所以A UB=-8,3];因为则2AAC=C,CUA,当时,,解得满足题意,C=0Q-12a-1a-l》0,解得软(3,2a3当时,只需CW0综上,实数的范围为(-8,)-1J[1,A].乙【点评】本题考查了集合的交集,补集,并集的混合运算,涉及到指数不等式的应用以及集合的包含关系,考查了学生的运算能力,属于基础题.(秋•徐汇区校级期中)已知集合三)
43.20224=37-90},B={x||x-4|2,C={x|—0}.x+2()求、;1AG5AUC()若全集求可2U=R,
03.【分析】()求出集合利用并集和交集定义能求出结果;1A,B,C,()求出由此能求出可2X
08.【解答】解()集合,{小》或14=3-920}=3xW-3},B={x\\x-4|2}={x|2x6},C={x|^^0}={x|-2x8},x+2・・・或%-;AG8={x|3«6},AUC={x|xW-32}()全集集合》{小或2•:U=R,A={x|/-90}=23xW-3},B={x\\x-4|2}={x|2x6},/.A={x\-3x3},A AAB={X|2X3}.【点评】本题考查集合的运算,考查交集、并集、补集定义、不等式性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.(秋•黄浦区校级期中)已知全集为对任意集合下列式子恒不成立的是()
44.2022R,4B,A.B B.B C.D.AAB=AU B【分析】举例说明错误,分类分析正确即可.ABC【解答】解取凡则对任意集合都有,故错误;4=8,AU3=AUE A取则对任意集合都有门石,故错误;A=0,8,403=43取仄=则可故错误;3,n8=U3,C对于,若兄则可,4=B=,05=0,AU B=7AAB^AU B;若则,,A=0,B=R,AG3=R AUB=0B;若则A=3,,n5=0,AU^=R,AAB^AU B;若如图,AA8=0,则ACB=B,AU B=B,AGBWAUB;若如图,AG3W0,则为图中阴影部分,为图中非阴影部分,;AUE An^/iu B若如图,4ub则为图中阴影部分,为图中非阴影部分,AC3AUB AG8WAUB;若—如图,则AG8=0,AU B=B,AAB^AU B.综上所述,恒不成立.An3=AUB故选D.【点评】本题考查交、并、补集的混合运算,考查分类讨论与数形结合思想,是中档题.秋•徐汇区校级期中集合都是非空集合,现规定如下运算
45.2022M,N,S MQNQS^{x\xE MANu NASu SAM且假设集合〃},其中实数/满足xWMnNAS}.A={x[xV B^{x\cxd},C^{x\exf},mb,c,d,e,;;;1ahQ,cd0efQ2b-a=d-c=f-e3h+ad+cf+e.计算或匕・-GBCDC={RcVxWe WxVd}【分析】根据题意得出计算、和从而求出aVcVeVOVbVdC/,AAB BACCHA,【解答】解因为〃A={x[xh},B^[x\cxd},C^[x\exf]9所以〃+所以〃-Zc+d,cd-b,因为〃-所以所以所以;a=d-c,o-c=/-d,b-dd-b,bd同理,所以;df,bdf由;;;;1ab0,cdO ef02b-a—d-c—f-e3b+ad+cf+e所以;aceObdf所以;An3={x|cVxVb},BHC={x\exd},C^A=[x\exb}所以)或)AQ BQC={x\cx^e b«d.故答案为〈或{x|c xWeb^xd}.【点评】本题考查了集合的定义与运算问题,也考查了推理与判断能力,是难题.一十一.图表达集合的关系及运算(共小题)Venn4(秋•浦东新区校级期中)设全集集合
46.2022U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={2,4,5,7},B={1,那么如图所示的阴影部分所表示的集合是()4,7,8},A.{3,6}B.{4,7}C.{1,2,4,5,7,8}D.{1,2,3,5,6,8}【分析】阴影部分对应的集合为的补集,根据集合的基本关系即可得到结论.AU8【解答】解阴影部分对应的集合为()Cu AU8,・则()故选•F={2,4,5,7},B={1,4,7,8},.\AUB={1,2,4,5,7,8},Cu AUB={3,6},A.【点评】本题主要考查集合的基本运算,比较基础.(秋•青浦区校级期中)如图,是全集,都是的子集,则阴影部分表示的集合是()
47.2022A,8()()()()A.CuA UB B,Cu AUB C.CuA A5D.Cu AAB【分析】由阴影部分的元素的特点可直接得到结果.【解答】解由论〃〃图知阴影部分的元素属于集合不属于集合4,・•・阴影部分表示的集合为(CuA)G8,故选c.【点评】本题考查论图表达集合之间的关系,属于基础题.秋•普陀区校级月考名学生中,会讲英语的有人,会讲日语的有人,既不会讲英语也不会
48.2022503620讲日语有人,则既会讲英语又会讲日语的人数为
814.【分析】根据题意得英语、日语至少会一门的人数,可设既会英语又会日语的为人,分别表示出只会英x语、日语的人,再列等式可解.【解答】解根据题意,英语、日语至少会一门的人数为人,50-8=42设既会英语又会日语的为人,则只会英语为人只会日语的有人,x36-1,20-1贝得IJ36-x+x+20-%=42,x=14,故答案为
14.【点评】本题考查利用集合的思想解决实际问题,属于基础题.秋•宝山区校级期中行知中学高一某班学生参加物理和数学竞赛辅导班的选拔,已知该班学生参加
49.2022物理竞赛辅导选拔的人数是该班全体人数的八分之三;参加数学竞赛辅导选拔的人数比参加物理竞赛辅导选拔的人数多人;两个科目都参加选拔的人数比两个科目都不参加的学生人数少人;则该班参加数学竞赛37辅导选拔的人数是
18.【分析】根据给定的条件,利用集合思想结合容斥原理列式求解.【解答】解记该班全体同学形成集合该班学生人数为〃,U,参加物理竞赛辅导选拔的人形成集合则加口A,CQ A=38参加数学竞赛辅导选拔的人形成集合则加,8,8=3n+38两个科目都参加选拔的人数为以加405,/.card AU=card A+card B-card AAB=^~n+3+3-card A0B,两个科目都不参加的学生人数为AA3+7,依题意=〃,AC5+1card A U Boo工立n+3+7=n,解得〃则3=—X40+3=18-=40,wz/48故答案为
18.【点评】本题考查集合的运算,考查交集定义、不等式性质、集合中元素个数等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.一十二.充分条件与必要条件共小题3(春•宝山区校级期中)“口二.”是“函数()()为奇函数”的()
50.2023/x=cos x+a充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【分析】分别判断充分性和必要性是否成立即可.TT【解答】解=二二-时,函数()()是定义域上的奇函数,充分性成立;/x=cos x+a=-sinr,R2TT_函数/(尤)()是奇函数时,所以必要性不成立;=cos x+aa=Ki+”-,kCZ,TT所以是函数()
(九)的充分不必要条件.a=2/x=cos+a2故选A.【点评】本题考查了充分与必要条件的判断问题,是基础题.(秋•浦东新区校级期末)在坐标轴的单位圆上任取个不重合的点,从上至下依次记为点、、
51.20223A B记命题()为“点、、的纵坐标的数值是等差数列,命题()为“该个点所对应的角、G IA8II3A、的正弦值是等差数列,那么命题()是命题()的()BCI II充分非必要条件必要非充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【分析】根据充分条件和必要条件的定义,结合等差数列的性质判断即可.【解答】解若点、、的纵坐标的数值是等差数列,即A B2»=w+yc,又・2smB=2yB,s\nA=yA,sinC=yc,/.2sin8=sinA+sinC,即该个点所对应的角、、的正弦值是等差数列,3A B若该个点所对应的角、、的正弦值是等差数列,则3A BC2sin8=siiM+sinC,又•.•2sin8=2yB,s\nA—yA,sinC=yc,所以命题()是命题()的充要条件.I II故选C.【点评】本题主要考查了充分条件和必要条件的定义,属于基础题.(秋•松江区校级期末)已知则包<广是“巨成立的()
52.2022W0,b a充分非必要条件必要非充分条件A.B.五.集合的相等()若集合人与集合的元素相同,则称集合等于集合18A
8.()对集合和集合如果集合人的任何一个元素都是集合的元素,同时集合的任何一个元素都是集合2A B,88的元素,那么集合等于集合记作就是如果同时那么就说这两个集合相等,记作4A8,A=B.AU8,BU4A=B.()对于两个有限数集八则这两个有限数集、中的元素全部相同,由此可推出如下性质3=8,4B
①两个集合的元素个数相等;
②两个集合的元素之和相等;
③两个集合的元素之积相等.由此知,以上叙述实质是一致的,只是表达方式不同而已.上述概念是判断或证明两个集合相等的依据.【解题方法点拨】集合人与集合相等,是指的每一个元素都在中,而且中的每一个元素都在中.解题时往往只解84884答一个问题,忽视另一个问题;解题后注意集合满足元素的互异性.【命题方向】通常是判断两个集合是不是同一个集合;利用相等集合求出变量的值;与集合的运算相联系,也可能与函数的定义域、值域联系命题,多以小题选择题与填空题的形式出现,有时出现在大题的一小问.六.集合的包含关系判断及应用概念如果集合人中的任意一个元素都是集合的元素,那么集合人叫做集合的子集;;如果集合是集合
1.8B AQBA的子集,并且中至少有一个元素不属于那么集合人叫做集合的真子集,即8B4B4U如果集合人的每一个元素都是集合的元素,反过来,集合的每一个元素也都是集合人的元素,那么我们
2.B B就说集合人等于集合即八B,=B.【解题方法点拨】按照子集包含元素个数从少到多排列.
1.注意观察两个集合的公共元素,以及各自的特殊元素.
2.可以利用集合的特征性质来判断两个集合之间的关系.
3.有时借助数轴,平面直角坐标系,韦恩图等数形结合等方法.
4.【命题方向】通常命题的方式是小题,直接求解或判断两个或两个以上的集合的关系,可以与函数的定义域,三角函数的解集,子集的个数,简易逻辑等知识相结合命题.充要条件既非充分也非必要条件C.D.【分析】利用举实例判断充分性,利用不等式的性质判断必要性.【解答】解
①当〃时,满足且但>不成立,,充分性不成立,=-2,=1VI,k1b a(软>[软<0r
②•.•旦(-匕)《/或<、=匕>>或VO=0<>a[a-b0{a-b0・・・〈成立,•••必要性成立,21b则包<是成立的必要不充分条件,1b a故选B.【点评】本题考查了不等式的性质,充要条件的判定,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.一十三.反证法(共小题)3(秋•徐汇区校级月考)用反证法证明命题“若贝或户为真命题时,第一个步骤
53.2022x+yW5,I xW23”是假设尸且),2=
3.【分析】根据反证法的概念即可求解.【解答】解根据反证法可知证明命题“若产贝或户为真命题时,x+5,NW23”第一个步骤是假设原命题结论不成立,写出结论的否定,即假设且x=2y=
3.故答案为假设且x=2y=
3.【点评】不通过考查反证法的概念,属基础题.(秋•青浦区校级期末)已知“品用反证法证明命题“若/+必=则心匕全为零”时的假
54.2022R,0,设是是不全为・a,0【分析】把要证结论否定即可.【解答】解用反证法证明命题若且/十房二,则〃全为时,a,bER,m要做的假设是证明结论的反面,即〃不全为
①m故答案为不全为a,b
0.【点评】本题考查反证法的定义,属于基础题.(秋•普陀区校级期末)设尤用反证法证明若/是奇数,则〃是奇数.
55.2022Z.【分析】假设〃不是奇数,然后推导出/为偶数,与已知矛盾,即得证.【解答】证明假设〃不是奇数,则〃是偶数,设〃上姓=2Z,则/=公,8因为依则好Z,wz,所以炉是偶数,即/为偶数,这与已知/为奇数矛盾,所以假设不成立,即〃是奇数.8【点评】本题考查反证法的运用,属于基础题.【过关检测】一.填空题共小题10设集合则用列举法可表示为
1.4={x,y|y=~%eR},B={x,y||y|=l,%6R,yeR},4r18{1,1,-1,1}.2_f=【分析】由2知卜/一*}.由A={x,y|y=x,xER},B={x,y||y|=l,xGR,jGR},AC\B={x,yly I=1I此能求出结果.【解答】解:•••一={,2y|y=x,xGR},B={x,y||y|=l,xGR,yWR},%f2=「了一.ADB={x,y}={1,1,-1,1}.|y I=1L故答案为{1,1,-1,1}.【点评】本题考查交集的运算,解题时要认真审题,仔细解答,注意集合的运算.用列举法表示集合为
2.{x|/-2x=0,xCR}{0,2}.【分析】解方程得从而写出即可.f-2x=00,2,【解答】解方程的解为/-2x=00,2,故{x|/-2x=0,xER}={0,2},故答案为{0,2}.【点评】本题考查了集合的表示法的应用,属于基础题.下列各命题中正确的序号为
3.23221ab=^ac hc^〃护,23a b;3——^/,cWO22c c4——=^ab.c c【分析】直接利用不等式的性质和作差法的应用判断的结论.1234u2整理得所以或对于()33()(下)]0,a-h0^abQ,0Q2-b=a-b[aa【解答】解对于由于当时,22故错误.1=0ac=bc19整理得上」上生〈故正确;b,0,2a bab对于冬〉与整理得卓,即且故正确;乙乙乙30cWO,3对于包当时,故错误.4c0ab,4c c故答案为
23.【点评】本题考查的知识要点不等式的性质的应用,作差法的应用,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题.已知则
4.A={x|-1WXV2},B={x|xl},A n8=[-1,
1.【分析】由交集的定义求解即可.【解答】解・.■4=3-1WXV2},B={x|xl},.AHB=[-1,1,故答案为[-1,
1.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.已知集合集合则
5.A={x|lWxW4},8={x|3VxV5},AG CRB={x|lWxW3},CRA UB={X\X・或I x3}.【分析】根据已知条件,结合交、并、补集的混合运算,即可求解.【解答】解:集合B={x|3VxV5},,或CRB={X|X5xW3},・••A={RKW4},={却«},CRB・尤或.*CRA={x|4xVl},・・或•CR4U3={X|XV1X3}.故答案为;或31WxW3}{x|xl x3}.【点评】本题主要考查交、并、补集的混合运算,属于基础题.已知命题命题2若是〃的必要不充分条件,则的取值范围是
6.p QWXWQ+1,q x-4x0,q a[0,41【分析】先化简必再由^是的必要不充分条件建立的不等式可求解.P【解答】解:命题命题可化为p QWXWQ+1,q XW4,设尸=3,4+1],2=[0,4],又^是的必要不充分条件,P・・・/^Q,,且两等号不同时取得,la+l
4.aE[O,4],故答案为[0,4].【点评】本题考查充分与必要条件概念,集合关系,属基础题.
7.已知有限集A={m,Q2,Q3,…,an]〃22,nGN.如果A中元素由==1,2,3,…〃满足…斯=1+及+・・・+砺,就称为“创新集”,给出下列结论A
①集合{}是“创新集”;3+V3,3-/5
②若集合{}是“创新集则;2,2=
③若且{}是“创新集”,则;m,O2WR,m,42124
④若“创新集”有且只有一个,且〃=m,6Z2GN*
43.其中正确的结论是
①④.填上你认为所有正确的结论序号【分析】根据已知中“创新集”的定义,结合韦达定理及反证法,逐一判断四个结论的正误,进而可得答案【解答】解
①我满足新定义集合;故
①是正确的;•••3+«3-V3=9-3=6=3++3-«=6,
②若集合{/}是“创新集则陵=〃解得,;故=圾错误;故
②错误;2,2+22,=±6
③若且{及}是“创新集”,41,426R,1,不妨设a\+ai—a\ai—t,则由韦达定理知是一元二次方程2的两个根,a\,42x-tx+t=0由可得或故
③错;A0,10,14,当〃时,故只能〃求得于是“创新集”只有一个,为{=3a\ai3,1=1,2=2,43=3,A1,2,
3.当〃三时,由即有〃〃-
4.121X2X3X…X n-1,1!,也就是说“创新集”存在的必要条件是事实上,〃-!》〃-〃〃一〃〃〃A H-1!,11-2=23+2=-22-2+2,矛盾,,当〃时不存在复活集故
④正确.24A,故答案为
①④【点评】本题考查的知识点是元素与集合的关系,正确理解已知中的新定义“创新集”的含义是解答的关键,难度较大.已知全集={集合则
8.1,2,3,4,5},A={1,4},B={1,3,5},AU CuB={1,2,4}.【分析】先解出的补集,再求出结果即可.8【解答】解因为全集={集合1,2,3,4,5},8={1,3,5,所以CuB={2,4},又因为集合所以A={1,4},AU CuB={1,2,
4.故答案为{1,2,
4.【点评】本题主要考查集合的运算,属于基础题.设集合满足下列性质的集合称为“翔集合”集合至少含有两
9.A={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10},个元素,且集合内任意两个元素之差的绝对值大于则的子集中有个“翔集合”.
2.A49【分析】设满足题意性质的子集个数为则有当〃时,分为有〃的子集和不含有〃的子2=43=0,44=1,4集,分别求解,即可得答案.【解答】解设集合…,〃}中满足题设性质的子集个数为劭,则〃={1,2,3,23=0,44=1,当〃时,可将满足题设性质的子集分为如下两类4一类是含有〃的子集,去掉〃后剩下小于〃-单元子集或者是满足题设性质的子集,2{1,2,3,…3}前者有〃个,后者有所.个;-33另一类是不含有〃的子集,此时恰好是,〃满足题设性质的子集,有斯个,{1,2,3,…-1}.1于是劭=〃-〃3-3+a-1,乂=U23=0,=19所以5=3,46=6,al—11,48=19,49=31,6/10=
49.故答案为
49.【点评】本题属于新概念题,考查了求子集的个数,关键点在于理解“翔集合”的概念,属于中档题.已知集合以=恰有个子集,则〃的取值范围是
10.A={xE-2/+0}8-8,
1.【分析】根据题意可得集合人中有个元素,进一步得到方程%2有两个不同的解,再由△求出〃3-2x+o=00的取值范围.【解答】解因为集合小公=恰有个子集,4={3-2/+0}8所以集合中有个元素,A3则312有三个解,即2有两个不同的解,x-2x+ax=x x-2x+a=0x-2x+a=0所以△即=4-4a0,所以的取值范围为a-8,
1.故答案为-8,
1.【点评】本题考查元素与集合的关系,属于基础题.二.选择题共小题4下列命题为真命题的是
11.A.若P={y|y=f},Q=[\y=1}贝ij PUQxx9若集合2则B.A={x,j\y=x-1},B={x,y\y=-x+l},A AB={-2,1}任何集合都有真子集c.若则至少有一个为空集D.AAB=0,A,5【分析】利用函数的定义域与值域,判断包含关系判断求出集合的交集判断以真子集的定义判断;交4C集的含义判断
0.【解答】解={丁|,则尸所以正确;=/}=[0+8,Q={Ry=/}=R,UQ,A若集合2则所以不正确;A={x,y\y=x-1},B={x,y\y=-x+l},AC\B—{-2,-3,1,0},B任何集合都有真子集,错误,空集没有真子集,所以不正确;若则至少有一个为空集,两个集合可以不是空集,两个集合没有相同的元素,就满足题意,所AA5=0,4B以不正确.故选A.【点评】本题考查命题的真假的判断,考查集合的基本知识的应用,是基础题.已知/元则是,的
12.m R,2+02=0”充分不必要条件必要不充分条件A.B.充分必要条件既不充分又不必要条件C.D.【分析】根据且/=,或〃可解决此题.2+/72=0=Q=0MnOoqu=0,【解答】解•.•=且2+/2=0=06=0,或ah=O^a=O h=0,是/+房的必要不充分条件.•••=0”=0”故选B.【点评】本题考查充分、必要条件的判断,考查数学运算能力及推理能力,属于基础题.(多选)已知集合二二,下列关系可能成立的是()
13.A{x L0}x+1A.-5GA B.OGA C.l^A D.5GA【分析】分式不等式工工转化为()()从而求得或再依次判断0x-1x+10,A={x|xV-1xl},x+1即可.【解答】解・・・三30,J(x-1)(x+1)0,x+1或.x\-1,故或A={x|xV-1xl},故-5E,OWA,1CA,56A,故选ACD.【点评】本题考查了集合的化简与分式不等式的解法,属于基础题.三.解答题(共小题)4设全集是集合〃一()
14.R,A=3Vx“22},B=1,
5.()若求实数的取值范围;1AU5,()条件条件若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.2p xGA,q xEB,q p【分析】()分和讨论,特别是时,直接根据集合间的包含关系列不等式组求解;1A=0AW0AW0()根据是〃的充分不必要条件得到曙直接根据集合间的包含关系列不等式组求解.2q84【解答】解()若1当时,解得A=0a2/-2,-1WW2,\a2-2当时,《,解得AW
0.软2一245综合得,-la4J7()条件条件;若夕是〃的充分不必要条件,2p xGA,q则隋A,••.I1且等号不能同时成立,)[a-25解得软式.【点评】本题考查集合间的包含关系以及充分条件、必要条件的定义,属于基础题..设集合=卜|红/1},A1乙15A={x||x-a|V2},B若求实数的取值范围;1AUB=8,若求实数的取值范围.2AGB=0,【分析】先求出集合再由得从而可求出实数的取值范围;1A,B,AU3=3,AU3,由列出关于的不等式,从而可求出实数的取值范围.2AG5=0,【解答】解〃[x1]={x|-2x3]^1A={x||x-Q|V2}=3a-2VxV+2},B=入‘乙因为所以AUB=3,AG9所以卜解得-21-2,owl,la+23所以实数,的取值范围为;[0,1]因为22n3=0,所以或〃-a+2W-2223,解得或aW-4所以实数〃的取值范围为-8,-4]U[5,+oo.【点评】本题考查集合的运算,属于基础题.已知集合
16.A={X|X2+5X0},B—{x|2m-1xm+l}.若求1m--1,AC若求〃的取值集合.24UB=A,2【分析】先求出集合然后利用交集的定义求解即可;1A,B,利用并集的定义得到分和两种情况,由子集的定义求解即可.2BUA,B=08W0【解答】解集合1A={x|/+5x0}=3-5Vx0},当时,m--1B—{x|-3x0},所以;An8={x|-3x0}因为所以2BUA,
①当时,则解得三;5=022m+l40
②当时,则,解得5W0-2WmW-L2m-lm+1V综上所述,实数相的取值集合为{刑-或机-122}.【点评】本题考查了集合的运算,集合子集、交集、并集、空集定义的理解与应用,考查了运算能力,属于基础题.七.子集与真子集、子集定义一般地,对于两个集合如果集合八中任意一个元素都是集合中的元素,我们就说这两个集148,8合有包含关系,称集合为集合的子集()Z8subset.记作(或)AQB B3A.、真子集是对于子集来说的.2真子集定义如果集合八但存在元素且元素不属于集合我们称集合是集合的真子集.UB,X6B,x44B也就是说如果集合人的所有元素同时都是集合的元素,则称八是的子集,B B若中有一个元素,而中没有,且人是的子集,则称是的真子集,A BA BB注
①空集是所有集合的子集;
②所有集合都是其本身的子集;
③空集是任何非空集合的真子集例如所有亚洲国家的集合是地球上所有国家的集合的真子集.所有的自然数的集合是所有整数的集合的真子集.{1,3}c{l,2,3,4}{1,2,3,4}£{1,2,3,4}、真子集和子集的区别3子集就是一个集合中的全部元素是另一个集合中的元素,有可能与另一个集合相等;真子集就是一个集合中的元素全部是另一个集合中的元素,但不存在相等;注意集合的元素是要用大括号括起来的“{},如{,;{1,2},b,g}另外,的子集有空集,真子集有:空集,一般来说,真子集是在所有子集中去掉它{1,2}{1},{2},{1,2}.{1},{2}.本身,所以对于含有〃个(,不等于)元素的集合而言,它的子集就有〃个;真子集就有但空集属特022-
1.殊情况,它只有一个子集,没有真子集.【解题方法点拨】注意真子集和子集的区别,不可混为一谈,并且时,有八但是并且是不能同时成AQB,BUA=8,ZluB,BuZ,立的;子集个数的求法,空集与自身是不可忽视的.【命题方向】本考点要求理解,高考会考中多以选择题、填空题为主,曾经考查子集个数问题,常常与集合的运算,概率,函数的基本性质结合命题.八.集合关系中的参数取值问题两个或两个以上的集合中,元素含有待确定的变量,需要通过集合的子集、相等、交集、并集、补集等关系求出变量的取值等问题.【解题方法点拨】求参数的取值或取值范围的关健,是转化条件得到相应参数的方程或不等式.本题根据元素与集合之间的从属关系得到参数的方程,然后通过解方程求解.求解中需注意两个方面一是考虑集合元素的无序性,由此按分类讨论解答,二是涉及其它知识点例如函数与方程的思想,函数的零点,恒成立问题等等.【命题方向】集合中的参数取值范围问题,一般难度比较大,几乎与高中数学的所以知识相联系,特别是与函数问题结合的题目,涉及恒成立,函数的导数等知识命题,值得重视.九.并集及其运算由所有属于集合4或属于集合的元素的组成的集合叫做八与的并集,记作BBAUB.符号语言或AUB={x|xQ x6B}.图形语言、—实际理解为
①仅是中元素;
②仅是中的元素;
③是且是中的元素.AUB xA x B xA8运算形状
①②③④⑥两个集合AUB=BU
4.AU0=
4.A U834AUB^B.®AUB=B^AQB.AU8=0,都是空集.
⑦⑧AU CuA=U.Cu AU8=CUA ACUB.【解题方法点拨】解答并集问题,需要注意并集中“或”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;注意并集中元素的互异性.不能重复.【命题方向】掌握并集的表示法,会求两个集合的并集,命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域联合命题.十.交集及其运算由所有属于集合且属于集合的元素组成的集合叫做与的交集,记作A BA BAHB.符号语言:AQB={X\XEA xEB].9实际理解为是八且是中的相同的所有元素.A ABxB当两个集合没有公共元素时,两个集合的交集是空集,而不能说两个集合没有交集.运算形状
①④⑤⑥,两个集合=2/400=
0.§AHA=A.AABUA,AHBQB.AGB=A=4U8,408=0没有相同元素.
⑦⑧AGCM=
0.Cu AAB=CM UCuB.【解题方法点拨】解答交集问题,需要注意交集中“且”与“所有”的理解.不能把“或”与“且”混用;求交集的方法是
①有限集找相同;
②无限集用数轴、韦恩图.【命题方向】掌握交集的表示法,会求两个集合的交集.命题通常以选择题、填空题为主,也可以与函数的定义域,值域,函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题.十一.补集及其运算一般地,如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作通常U.把给定的集合作为全集.对于一个集合由全集中不属于集合的所有元素组成的集合称为集合相对于全集的补集,简称4U4AU为集合的补A集,记作即CuA,CuA且={x\xEU,其图形x^A}.表示如图所示的Venn图.C^A u【解题方法点拨】常用数轴以及韦恩图帮助分析解答,补集常用于对立事件,否命题,反证法.【命题方向】通常情况下以小题出现,高考中直接求解补集的选择题,有时出现在简易逻辑中,也可以与函数的定义域、值域,不等式的解集相结合命题,也可以在恒成立中出现.十二.交、并、补集的混合运算集合交换律八门08=84AUB^BUA.集合结合律4GB nc=zn snc,ZUB UC=ZIU sue.集合分配律八八n BUC=AB UACC,AU BAC=AU BA AUC.集合的摩根律Cu AGB=CuAUCuB,Cu AUB=CuAHCuB.集合吸收律AU AAB=4AH AUB=K集合求补律八AUCuA^U,ACu/4=t.【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质,借助数轴或韦恩图直接解答.【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算,每年高考一般都是单独命题,一道选择题或填空题,属于基础题.十三.图表达集合的关系及运算Venn用平面上一条封闭曲线的内部来代表集合,这个图形就叫做论而图韦恩图.集合中图形语言具有直观形象的特点,将集合问题图形化,利用论〃〃图的直观性,可以深刻理解集合的有关概念、运算公式,而且有助于显示集合间的关系.运算公式的推广形式card AU8=card A+card B-card AABcard Z\U BUC=card A+card B+card C-card AA B-card80C-card4CC+card4nene,或利用论而图解决.公式不易记住,用论砒图来解决比较简洁、直观、明了.【解题方法点拨】在解题时,弄清元素与集合的隶属关系以及集合之间的包含关系,结合题目应很好地使用图表达集合的关系及运算,利用直观图示帮助我们理解抽象概念.图解题,就必须能正确理解题目中Venn Venn的集合之间的运算及关系并用图形准确表示出来.【命题方向】一般情况涉及图的交集、并集、补集的简单运算,也可以与信息迁移,应用性开放问题.也Venn可以联系实际命题.十四.充分条件与必要条件、判断当命题“若则为真时,可表示为称为的充分条件,是的必要条件.事实上,与1p q”p=q,p q q p“p=q”等价的逆否命题是它的意义是若不成立,则一定不成立.这就是说,对于是必不可少的,所以说是q p q p q的必要条件.例如;显然则等价于《则《一定成立.p p x2q x
0.xEp,xEq.x q,x p、充要条件如果既有,又有则称条件是成立的充要条件,或称条件是成立的充要条件,2“p=q”“qnp,p q q p记作与互为充要条件.“p=q”.p q【解题方法点拨】充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据;解题中必须涉及两个方面,充分条件与必要条件,缺一不可.证明题目需要证明充分性与必要性,实际上,充分性理解为充分条件,必要性理解为必要条件,学生答题时往往混淆二者的关系.判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可.判断充要条件的方法是
①若为真命题且为假命题,则命题是命题的充分不必要条件;p=q qnp p q
②若为假命题且为真命题,则命题是命题的必要不充分条件;p=q q=p p q
③若为真命题且为真命题,则命题是命题的充要条件;p=qq=p p q
④若为假命题且为假命题,则命题是命题的既不充分也不必要条件.p=qq=ppq
⑤判断命题与命题所表示的范围,再根据“谁大谁必要,谁小谁充分”的原则,判断命题与命题的关pqpq系.【命题方向】充要条件是学生学习知识开始,或者没有上学就能应用的,只不过没有明确定义,因而几乎年年必考内容,多以小题为主,有时也会以大题形式出现,中学阶段的知识点都相关,所以命题的范围特别广.十五.命题的真假判断与应用判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假,首先要明确、及非的真假,然后由真值表判断复合pqp命题的真假.注意“非的正确写法,本题不应将“非写成“方程的两根都不是实根”,因为“都是”的P”p”x2-2x+l=0反面是“不都是”,而不是“都不是”,要认真区分.【解题方法点拨】判断复合命题的真假,常分三步先确定复合命题的构成形式,再指出其中简单命题的真假,最后由真值表
1.得出复合命题的真假.判断一个“若贝形式的复合命题的真假,不能用真值表时,可用下列方法若则“若则为真;
2.p Uq”“pq”,pq”而要确定“若则”为假,只需举出一个反例说明即可.P q判断逆命题、否命题、逆否命题的真假,有时可利用原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假
3.这一关系进行转化判断.【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容,几乎年年都考,涉及知识点多而且全,多以小题形式出现.
十六、反证法的定义反证法是间接论证的方法之一亦称“逆证”是通过断定与论题相矛盾的判断(即反论题)的虚假来确立论题的真实性的论证方法反证法的论证过程如下首先提出论题然后设定反论题,并依据推理规则进行推演,证明反论题的虚假;最后根据排中律,既然反论题为假,原论题便是真的在进行反证中,只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题,论题的反对判断是不能作为反论题的,因为具有反对关系的两个判断可以同时为假反证法中的重要环节是确定反论题的虚假,常常要使用归谬法反证法是一种有效的解释方法,特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时,用反证法会收到更好的效果反证法的步骤是()假设结论不成立;1()从假设出发推出矛盾;2()假设不成立,则结论成立.3在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况,如果只有一种,那么否定一种就可以了,如果有多种情况,则必须一一否定.表一些常用的否定形式1-2陈述句的否定形式s S或且15iVI”45至少有个最多有个21所有的满足性质a至少存在一个aEA不满足性质所有的不满足性质a至少存在一个满足性质a【考点剖析】.集合的含义(共小题)13(秋•浦东新区期末)请将下列各组对象能组成集合的序号填在后面的横线上
①②④.
2.2022
①上海市年入学的全体高一年级新生;2022
②在平面直角坐标系中,到定点()的距离等于的所有点;0,01
③影响力比较大的中国数学家;
④不等式的所有正整数解.3%-100【分析】根据已知条件,结合集合的含义,即可求解.【解答】解
①上海市年入学的全体高一年级新生,符合集合的定义,故
①正确,2022
②在平面直角坐标系中,到定点()的距离等于的所有点,符合集合的定义,故
②正确,0,01
③影响力比较大的中国数学家,不符合集合的确定性,故
③错误,
④不等式的所有正整数解,即原不等式的集合为符合集合的定义,故
④正确.3x-10V0{1,2,3},故答案为
①②④.【点评】本题主要考查集合的含义,属于基础题.(秋•松江区校级期中)定义集合运算)()尤设集合
3.2022AG B={z|z=px+y,4yEB},A={0,1},B=则集合{2,3},08={0,6,12}。