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第06讲公倍数与最小公倍数(4种题型)【知识梳理】、公倍数与最小公倍数1公倍数几个整数公有的倍数叫做它们的公倍数;最小公倍数几个整数公有的倍数中,最小的一个叫做它们的最小公倍数.、最小公倍数的求法2求两个整数的最小公倍数,只要取它们所有公有的素因数,再取它们各自剩余的素因数,将这些数连乘,所得的积就是这两个数的最小公倍数;如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数;如果两个数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数..两数的最大公因数与最小公倍数的关系3已知数和数人,两数的最大公因数为〃最小公倍数为〃,则axb=mxn2,.三个数的最大公公因数与最小公倍数
4、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数,如果其中的两个商还有素因数,也不要往下除;
1、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全,最后除到两两互素为止2【考点剖析】题型一公倍数与最小公倍数8和15;29和45;319和
21.例,求下列各组数的最小公倍数.1【答案】()和的最大公因数是;和的最小公倍数是;18151815120()和的最大公因数是;和的最小公倍数是;2945994545()和的最大公因数是;和的最小公倍数是
3192111921399.【解析】()()互素的两个数最大公因数是最小公倍数是它们的乘积;131,()成倍数关系的两个数,最大公因数是较小数,最小公倍数是较大数;2【总结】本题考察了求两个特殊关系的数的最大公因数和最小公倍数的方法.【变式】求下列各组数的最小公倍数1和和和1366023978354所以与B的最小公倍数=A2X5X7X3X3X2X5=6300,故答案为
6300.【点评】本题考查了最小公倍数,掌握两个或多个整数公有的倍数叫做它们的公倍数,两个或多个整数的公倍数里最小的那个叫做它们的最小公倍数是解题的关键.(秋•宝山区校级月考)一个数的最小倍数是这个数的素因数有
9.202124,2,2,2,
3.【分析】利用分解质因数的方法解答即可.【解答】解把分解质因数为2424=2X2X2X3,故这个数的素因数有2,2,2,
3.故答案为2,2,2,
3.【点评】本题主要考查了有最小公倍数,素因数,把这个数表示出素因数乘积的形式是解题的关键.(秋•宝山区校级月考)已知、是正整数,且武尸则和的最大公因数是,它们
10.2021x y5,x yy的最小公倍数是・x【分析】和成倍数关系,两个数成倍数关系,较大的那个数,是这两个数的最小公倍数,较小的x+y=5,x y那个数,是这两个数的最大公因数.【解答】解・・小是正整数,.x+y=5,y・和成倍数关系,••x y・和的最大公因数是较小的数最小公倍数是较大的数%.••x yy,故答案为;y x.【点评】本题主要考查最大公因数和最小公倍数,求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法两个数为倍数关系,最大公因数为较小的数,较大的那个数,是这两个数的最小公倍数;是互质数的两个数,它们的最大公因数是最小公倍数即这两个数的乘积.1,(秋•宝山区校级月考)和的最大公因数和最小公倍数的和是
11.20211216【分析】求出和的最大公因数是最小公倍数是求和即可得出答案.12164,48,【解答】解分别把和分解质因数为义义121612=223,16=2X2X2X2,和的最大公因数是和的最小公倍数是A12164,121648,•••4+48=52,故答案为
52.【点评】本题考查了有最大公因数和最小公倍数,掌握分解质因数是解题的关键.(秋•金山区期末)如果且、的最小公倍数是那么
12.2021A=2X3X3Xa,8=2X2X3Xa,A3180,【分析】根据最小公倍数的性质,完成求解.【解答】解由题意得2X3X3X4X2=180,解得a=
5.故答案为
5.【点评】本题考查了最小公倍数的知识,掌握最小公倍数的性质是关键.(秋•青浦区校级期末)定义新运算如下对于两个自然数和江它们的最大公因数与最小公倍数的和
13.2021记为例如根据上面的定义运算,的.6*8=2+24=26,12*15=【分析】根据新运算知道,求就是求和的最大公约数与最小公倍数的和,由此即可解答.12*15,1215【解答】解・・.12=2X23,15=3X5,和的最大公约数是最小公倍数是•••12153,2X3X2X5=60,所以;12*15=3+60=63故答案为
63.【点评】本题考查了最小公倍数和最大公因数,解答此题的关键是,根据定义的新运算,找出运算方法,列式解答即可.三.解答题(共小题)7(秋•闵行区校级期中)用短除法求与的最大公因数和最小公倍数.
14.20224560【分析】把各数分解质因数即可得到最大公因数和最小公倍数.【解答】解745=3X3X5,60=2X2X3X5,因此与的最大公因数为45603X5=15,与的最小公倍数为45603X5X3X4=
180.答与的最大公因数是最小公倍数是456015,
180.【点评】本题主要考查求两个数的最大公约数、最小公倍数,能够熟练运用短除法是解题的关键.最大公约数,指两个或多个整数共有约数中最大的一个;最小公倍数,指两个或多个整数共有的倍数中,除以外最0小的一个.(秋•青浦区期中)用短除法求与的最大公因数和最小公倍数.
15.20229084【分析】求最大公因数也就是这几个数的公有质因数的连乘积,最小公倍数是公有质因数与独有质因数的连乘积,对于两个数来说两个数的公有质因数连乘积是最大公因数,两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数,由此依次解答即可.【解答】解如图29084345421514所以与的最大公因数是;90842X3=6最小公倍数是2X3X15X14=
1260.【点评】此题主要考查求两个数的最大公因数与最小公倍数的方法两个数的公有质因数连乘积是最大公因数,两个数的公有质因数与每个数独有质因数的连乘积是最小公倍数;数字大的可以用短除解答.秋•嘉定区期中用短除法求出与的最大公因数和最小公倍数.
16.20222436【分析】根据最大公因数和最小公倍数的定义解答即可.卜2624218123196【解答】解32,根据最大公因数的定义,可得与的最大公因数为;24362X2X3=12根据最小公倍数的定义,可得与的最小公倍数为24362X2X3X3X2=
72.【点评】本题主要考查了求几个数的最大公因数和最小公倍数的方法,熟知最大公因数和最小公倍数的定义是解答本题的关键.秋•宝山区校级月考求下列各组数的最大公因数和最小公倍数
17.2021和;189和;21248和;313104和
43451.【分析】直接利用最大公因式以及最小公倍数的定义分别得出答案.1234【解答】解和是互质数,互为质数的两个数的最大公因数是故和的最大公因数是1891,891,互为质数的两个数的最小公倍数是它们的乘积,故和的最小公倍数是898X9=72和212=3X2X248=2X2X2X2X3,故和的最大公因数是和的最小公倍数是;12482X2X3=12,12483X2X2X2X2=48和313104=13X8,故和的最大公因数是和的最小公倍数是义1310413,13104138=104和434=17X251=3X17,故和的最大公因数是和的最小公倍数是345117,345117X3X2=
102.【点评】此题主要考查了最大公因数和最小公倍数,正确掌握相关定义是解题关键.(秋•宝山区校级月考)有两列公交车,宝山路每分钟发一次车,宝山路每分钟发一次车.
18.2021630825请问一位公交指挥员从早晨点分同时发车后,直到下午点,这两班车在哪些时刻同时发车?6304【分析】求出两车发车的时间间隔的最小公倍数即可判断同时发车的时间.【解答】解,根据题意可得和的最小公倍数是即两个半小时,3025150,150+60=
2.5,・•・从早晨6点30分同时发车后,再同时发车时间为9点,11点半,14点,••・两班车在上午9点,11点半,下午2点同时发车.【点评】本题考查了最小公倍数的应用,关键两车同时发车的两次时间间隔的最小公倍数,(秋•闵行区校级期中)从运动场的一端到另一端全长米,从一端起到另一端止每隔米插一面小
19.20221004红旗.现在要改成每隔米插一面小红旗,有多少面小红旗不用移动?5【分析】分析题意可得,不动的小旗地点应该是和的公倍数所在的位置,找出以内有几个和4510045的公倍数,然后加上即可.1【解答】解和的最小公倍数是5420,,(面).100+20+1=5+1=6答有面小红旗不用移动.6【点评】本题考查最小公倍数的应用,明确不动的小旗即和的公倍数所在的位置,是解答此题的关键;45应注意,最后要加上第一面旗子.(秋•青浦区校级期中)一块草坪长宽要用这样相同大小的草坪铺成一个正方形花园,铺
20.202250cm,40CM,成的正方形花园的边长至少为多少厘米?至少要多少块这样的草坪?【分析】把和分别分解质因数,找到它们的最小公倍数,即为这个正方形地面的边长;求需要多少5040块这样的方砖,先根据正方形的面积公式求出正方形教室的面积,根据长方形的面积计算公式求出长方形瓷砖的面积,然后用教室面积除以长方形砖的面积即可【解答】解50=5X2X5,40=2X2X5X2,、的最小公倍数50402X2X2X5X5=200,即边长是厘米,200需要200X200+50X40块;=20答铺成的正方形花园的边长至少为厘米,至少要块这样的草坪.20020【点评】此题主要考查求两个数的最小公倍数的方法,掌握求两个数的最小公倍数的方法是解题的关键.【答案】;;1180278360【分析】根据最小公倍数的定义即可求解.【详解】解:和136=2x2x3x3,60=2x2x3x5,3660最小公倍数2x2x3x3x5=180如果两个整数中某一个数是另一个数的倍数,那么这个数就是它们的最小公倍数,所以和最23978小公倍数
78.如果两数互素,那么它们的乘积就是它们的最小公倍数,和最小公倍数
315460.【点睛】此题主要考查找最小公倍数,解题的关键是熟知最小公倍数的定义.【变式]若加=则办〃的最小公倍数为.22x2x3x5,71=2x3x3x7,【答案】1260【解析】m、”的最小公倍数是2x3x2x5x3x7=
1260.【总结】本题考察了用分解素因数法求两个数的最大公因数和最小公倍数.例用短除法求和的最小公倍数.210,1215【答案】60[解析]211012153561555__2__5—
121、、的最小公倍数是:•••1012152x3x5x1x2x1=
60.【总结】本题考察了求三个数的最大公因数和最小公倍数的方法.【变式】•上海市复旦初级中学期中用短除法求与的最小公倍数.202154144【答案】最小公倍数为432【分析】用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数即可.【详解】解短除法如下2|541443|27723|92438和的最小公倍数为541442x3x3x3x8=
432.【点睛】本题主要考查了求两个数的最大公约数、最小公倍数,掌握〃最大公约数,指两个或多个整数共有约数中最大的一个;最小公倍数是几个数共有的倍数叫做这几个数的公倍数,其中除以外最小的一个公倍数〃,运用短除法求两个数的最大公约数、最小公倍数是解答本题的关键.题型二最大公因数与最小公倍数例用短除法求和的最大公因数和最小公倍数.
3.2436【答案】12;72;【解析】解如下图所示,和的最大公因数为和的最小公倍数为24362X2X3=12,24362X2X3X2X3=
72.2|24362|12183|6923【变式】用短除法求和的最大公因数和最小公倍数.104130【答案】;;26520【解析】解短除法如下图所示;因为所以和的最大公因数是;104=2X2X2X13,130=2X5X13,1041302X13=26和的最小公倍数是1041302X13X2X2X5=
520.2|10413013|526545题型三最大公因数与最小公倍数的应用例,已知三个连续奇数的和是那么这三个奇数的最小公倍数是多少?415,【答案】105【解析】设三个数为〃〃—2,%+
2.则〃几+〃+—2+2=15解得n=5,这三个数是3,5,
7.・・・、、的最小公倍数是3573x5x7=
105.【总结】本题考察了求三个数的最小公倍数的方法.【变式】两个数的积是它们的最小公倍数是这两个数各是多少?1144,36,【答案】和
436.【解析】由已知得这两个数的最大公因数是;4设这两个数是(、互素),则4a,4b b4ax4Z=
144.所以必因为、互素,所以=
9.a ba=lx4=4,6=9x4=
36.即这两个数是、
936.【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积.【变式】甲、乙两户人家相邻而居,甲每天去超市购物一次,乙每天去同一家超市购物一次,元旦这一267天两户人家都去这家超市购物,再经过多少天他们又会在同一天都去超市?【答案】天42【解析】与的最小公倍数是
6742.答再经过天他们又会在同一天都去超市.42【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.【变式】月日植树节,六()班同学在米跑道的一侧每隔米种一棵树,当种好第棵树33122400431时,觉得树与树之间隔太密,于是改为每隔米种一棵树,那么有多少棵树不需要移动呢?6【答案】棵n【解析】()米,而与的最小公倍数是4x31-1=1204612,棵.120^12+1=11答有棵树不需要移动.11【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.【变式】在长千米的公路一边,等距离种树(两端都种),开始每隔米种一棵,后来改成每隔米
41.51012种一棵,不用改种的树有多少棵?【答案】棵26【解析】千米米,L5=1500与的最小公倍数是最10126・棵.150060+1=26答有棵树不需要移动.26【总结】本题考察了两个数的最小公倍数的应用.例.某工厂承包了学校的桌椅制作任务,一张桌子配一把椅子,某车间有甲、乙两组,甲组人员做桌子,每人5每天可以做张桌子;乙组每人每天可以做把椅子,为了使生产均衡,每天的桌子、椅子数量刚好配套.该车69间至少安排多少人员?(不考虑其他因素)【答案】人5【解析】因为与的最小公倍数是所以人.6918,18+6+18+9=5答该车间至少安排个人.5【总结】本题考察了两个数的最大公因数最小公倍数的应用.【变式】先求出和的最大公因数和最小公倍数,并把最大公因数和最小公倍数相乘,再把和1810810相乘,你发现了什么?请用你所发现的规律接下面的问题甲、乙两数的最大公因数是最小公倍数是已知甲数是那么乙数是多少?13,30,6,甲、乙两数的最大公因数是最小公倍数是已知甲数是那么乙数是多少?23,90,18,【答案】的最大公因数是最小公倍数是而;8,102,40,8x10=80规律两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积.;
115215.【解析】设另一个数是了,贝1U6x=3x30解得户答乙数是
1515.设另一个数是则2x,1843x90解得答乙数是A
1515.【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数和它们乘积的关系两个数的最小公倍数与最大公倍数的乘积等于这两个数的乘积.【变式】已知两个数的最大公因数是最小公倍数是求这两个数的和是多少?26,144,【答案】或
12066.【解析】设这两个数是〃、互素,则〃解6b b6144;.-.^=24=1x24=3x8当氏这两个数是、和为;=1,24,6144,6+144=120当斫b=8,这两个数是、和为;3,1848,18+48=66【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念.【变式】两个数的最小公倍数是最大公因数是且小数不能整除大数,这两个数分别是多少?3140,4,【答案】和2028【解析】设这两个数是4ba、互素,则出b4=
140.工々,小数不能整除大数0=35=1x35=5x7:/.a=5,b=7,这两个数是、
2028.【总结】本题考察了两个数的最小公倍数、最大公倍数的相关概念.题型四三个数的最大公因数与最小公倍数例求、例和的最大公因数和最小公倍数;
6.2036参考答案解法列举法1的因数有、、、、、2012451020的因数有、、、、、、、3012356101530的因数有、、、、、、、、36123469121836所以最大公因数是2的倍数有、、、2020406080……的倍数有:、、、……30306090的倍数有:、363672所以最小公倍数是;180解法分解素因数法220=2X2X530=2X3X536=2X2X3X3所以最大公因数是最小公倍数是;2,180解法短除法3(用公有的素因数除)2|2030362(除到三个商无公因数为止)101518所以最大公因数是2(用公有的素因数除)2|2030362(用用与与公有的素因数除)2|1015182(用与公有的素因数除)5|51595155(用与公有的素因数除)3|139393(直到所得的商两两互素为止)113所以最小公倍数是义义义义;2X2X53113=180归纳总结、三个数的最大公因数要找三个数的公有的素因数,如果其中的两个商还有素因数,也不要往下除;
1、最小公倍数的计算要把三个数的公有素因数和独有素因数都要找全,最后除到两两互素为止2【变式】求下列各组数的最大公因数与最小公倍数;1()、和;()、和11036902241536参考答案()最大公因数最小公倍数;()最大公因数最小公倍数;12,18023,360【变式】已知三个连续偶数的最小公倍数是则这三个连续偶数分别是什么?224,【答案】4,6,8【解析】设这三个数是〃2〃,〃;2-2,2+22n—22n In+22若为奇数,则孔-〃是偶数,1,+12n-1n n+1贝ij2x2x四a•小生虫=2422n-l n+l解得几这三个数是=3,4,6,
8.若〃为偶数,则几-是相邻奇数,1,H+1则(〃)・〃)2x—
1.5+1=24此方程无解;•••这三个数是4,6,
8.【过关检测】【总结】本题考察了三个数的最小公倍数的求法.一.选择题(共小题)1(秋•宝山区校级月考)一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数,所得的差一定()
1.2022小于零等于零大于零不等于零A.B.C.D.【分析】一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身,再求差即可得出答案,做出选择.【解答】解根据最大因数的定义,可得这个正整数的最大因数是它本身;根据最小倍数的定义,可得这个正整数的最小倍数都是它本身,所以一个正整数的最大因数减去这个正整数的最小倍数,所得的差一定为0,故选B.【点评】考查正整数的因数和倍数的意义,掌握一个正整数的最大因数和最小倍数都是这个数本身,是解决问题的关键.二.填空题(共小题)12(秋•闵行区校级期中)已知B=3乂5乂
7.如果和的最小公倍数是那么
2.2022A=2X3XaX7,A8630,【分析】根据最小公倍数的计算方法,结合题意,列方程并求解,即可得到答案.【解答】解・・・的最小公倍数是48630,A2X3X5X^X7=630,・•./%=3,・•・故答案为
3.【点评】本题考查了一元一次方程和最小公倍数的知识;求解的关键是熟练掌握一元一次方程和最小公倍数的性质,从而完成求解.(秋•闵行区校级期中)如果两个正整数的最大公因数是最小公倍数是那么这两个数是
3.20226,72,6,或7218,
24.【分析】设这两个数分别为6b(匕为正整数,且与互质,ab),根据题意得出得出6m m=12,Z=12,或=b=4,=b—6(不符合题意舍去),然后代入依次计算即可.3,2,【解答】解依题意,设这两个数分别为〃,6b(〃,为正整数,且与互质,ab),则这两个数的6最小公倍数是必.6即6M=72,从而ab=\
2.又12=1X12=2X6=3X4,则〃=或a=2,b=6(不符合题意舍去).1,0=12,a=3,/=4,当〃=时,6a—6,6b=72;1,6=12当〃时,=;=3,0=4618,6/9=24故这两个数分别为或6,7218,
24.故答案为或6,7218,
24.【点评】主要考查最大公因数与最小公倍数的问题,理解题意,列出式子计算是解题关键.(秋•奉贤区校级期中)和的最小公倍数是
4.
2022123060.【分析】先把和进行分解质因数,根据求两个数的最小公倍数的方法即求和这两个数的公12301230有质因数与独有质因数的连乘积;进行解答即可.【解答】解把和进行分解质因数为123012=2X2X3,30=2X3X5,根据最小公倍数的定义,可得和的最小公倍数是;12302X2X3X5=60故答案为
60.【点评】本题考查了最小公倍数,掌握最小公倍数的求法是解答本题的关键.(秋•宝山区期中)正整数的最小倍数减去它的最大因数,所得的差是
5.
2022160.【分析】根据“一个数的约数的个数是有限的,最大的约数是它本身,最小的约数是一个数的倍数的个1;数是无限的,最小倍数是它本身”得出一个数的最大因数和最小倍数相等,即差是据此判断.0;【解答】解正整数的最小倍数是最大因数是1616,16,所以正整数的最小倍数减去它的最大因数,所得的差是
①16故答案为
0.【点评】本题考查了最大公因数和最小公倍数,解答此题应明确一个数的最大因数和最小倍数相等.(秋•普陀区期中)和的最小公倍数是
6.202245【分析】直接把两数相乘即可.【解答】解:4X5=20,故和的最小公倍数是
4520.故答案为
20.【点评】本题考查的是公倍数和最小公倍数,熟知有理数乘法的法则是解题的关键.(秋•松江区校级月考)若义义则和的最大公因数是,最小公倍数
7.2022A=2X3X3,3=235,A
8690.【分析】首先根据B=2X3X5,可得这两个数的公共质因数是和据此求出和的最大公因A=2X3X3,23,A8数是多少;然后根据人独有的质因数是独有的质因数是求出它们的最小公倍数是多少即可.3,85,【解答】解因为A=2X3X3,5=2X3X5,所以这两个数的公共质因数是和23,根据最大公因数的定义,可得和B的最大公因数是;A2X3=6由独有的质因数是独有的质因数是A3,85,根据最小公倍数的定义,可得它们的最小公倍数是6X3X5=
90.故答案为、
690.【点评】此题主要考查了最大公因数和最小公倍数的含义和求法,要熟练掌握.(秋•宝山区校级月考)已知则与的最小公倍数是
8.2021A=2X3X3X5X7,B=2X2X5X5X7,A
36300.【分析】根据最小公倍数的求法列式计算即可.【解答】解因为A=2X3X3X5X7,B=2X2X5X5X7,。