聚焦“恒成立 能成立”

聚焦〃恒成立能成立〃最近几年“恒成立能成立”问题在高考中高频亮相，几乎渗透到了高中数学所有主干内容之中.为了理清此类问题的脉络，掌握解决问题的策略，特整合几个问题进行剖析，供同学们学习时参考.

一、“恒成立能成立结论1若不等式f x〉A在区间D上恒成立，则等价于在D区间fx minA上f x minA.2若不等式f x3若在区间D上存在实数x使不等式f x〉A成立，则等价于在区间D上f xmaxA.4若在区间D上存在实数x使不等式f xf xmin

二、“恒成立能成立应用

1.“围城”在函数中例1设f x是定义在R上的偶函数，且当x20时，f x=ex.若对任意的x£[a,a+1],不等式an和an+1的等差中项.1求数列｛bn｝的通项公式；2设cn=12n-l bn,数列｛cn｝的前n项和为Tn,若满足不等式bn+入入的取值范围.解I当n=l时一，al=l；当n三2时，an=Sn-Sn-l=n,故an=n.又bn是an与an+1的等差中项，所以bn=an+an+12,得bn=n+

12.II由I得cn=22n-l2n+l=12n-l-12n+l,所以Tn=l-12n+l.f n=Tn-bn=l-12n+l-n+12=1-n+12+12n+12,则f n在0,+8,且n£N*上是递减数列.因为满足不等式bn+入b2+入b3+入2T3,解得—3714W入-

1710.f x+a2f2x恒成立，则实数a的最大值是.解由题意，得f x=e|x|,则对任意的x£[l,a+1],不等式e|x+a|Ne2|xHl成立，即对任意的[a,a+1],不等式x+a|22|x恒成立.当a=0时，显然不合题意；当a0时，函数yl=2|x|和y2=|x+a|的图象交于点a,2a,-a3,2a3,显然也不合题意；当aa,-2a,-a3,一2a3,由题意，得-a,a+1][a,-a3],所以a+lW-a3,解得aW-

34.综上，实数a的最大值为-

34.例2已知函数f x=13x3+ax2+bx a,b£R若f⑴=13,且函数f x在0,12上不存在极值点，求a的取值范围.解法1分类讨论由f1=13,得b=-a,即f x=13x3+ax2-ax,fx=x2+2ax-a.由y二f x在0,12上不存在极值点，下面分四种情况讨

①当y二f x没有极值点时，△=4a2+4aW0,得TWaWO.

②当y二f x有两个极值点，且两个极值点都在-8,o]时，则A0,f0-a得a无解.

③当尸f x有两个极值点，且两个极值点都在[12,+8时，则A0,f1220,得a=-l.

④当y二f x有两个极值点，且两个极值点一个在-8,0],另一个在,12,+8时，则fx W0,f12WO,得a无解.综上，a的取值范围为-8,0]解法2参变分离同上得f x=13x3+ax2-ax,fx=x2+2ax-a.令fx=0,即x2+2ax-a=0,变形得l-2x a=x

2.因为xe0,12,所以a=x2l-2x.令l-2x=t,贝ljt£0,1,x21-2x=14t+lt-

2.因为h t=t+lt-2在te0,1上单调递减，故h te0,+°°.由y二f x在0,12上不存在极值点，得a=x21-2x在0,12上无解，所以，a的取值范围是-8,

0.

2.“潜伏”在数列中例3设二次函数f x=k-4x2+kx k£R,对任意实数x,有f xW6x+2恒成立；数列{an}满足an+l=f an.1求函数f x的解析式和值域2证明当ane0,12时,数列{an}在该区间上是递增数列.3已知al二13,是否存在非零整数使得对任意n£N*,都有log3ll/2-al+log3ll/2-a2+•,,+log3ll/2-an-1+-1n-1,2X+nlog32恒成立？若存在，求之；若不存在，说明理由.解析1由f xW6x=2恒成立等价于k-4x2+k-6x-2W0恒成立，即k-4k-62+8k-4WO,即kk-22W

0.从而得k=2,所以fx=-2x2+2x,其值域为-8,122an+l-an=f an-an=-2a2n+2an-an=-2an-142+

18.ane0,12-14-2an-142-18-2an-142+

180.从而得an+1-an0,即an+lan,所以数列{an}在区间0,12上是递增数列3由2知an£0,12,从而12-ane0,

12.12-an+l=12——2a2n+2an-2a2n-2an+12=2an-122,即12-an+1=212-an

2.令bn二12-an,则有bn+l=2b2n且bne0,

12.从而有1gbn+l=21gbn+lg2,可得lgbn+l+lg2=2lgbn+lg

2.所以数列{lgbn+lg2}是Igbl+lgb2=lgl3为首项公比为2的等比数列.从而得Igbn+lg2=lgl3•2n-l=lg132n-l,即lgbn=lg132n-

12.所以bn=132n-12=12132n-l112-an=lbn=232n-l・log3112-an=log32•32n-l二log32+2n-llog3112-al+log3112-a2+•••+log3112-an二nlog32+l-2nl-2=2n+nlog32-L即2n+nlog32-l-1n-1•2入+nlog32T,所以2n-l-1n-l入恒成立.

①当n为奇数时，即Xn=1时，2n-1有最小值1,所以X

②当n为偶数时，即入〉-2n-1恒成立，当且仅当n=2时有最大值-2,所以入〉-

2.因此，对任意n£N*,有-2例4已知数列{an}的前n项和为Sn二12n n+1,bn是。