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站在学生角度突破思维障碍解法自然几何证明问题,是学生感到困惑的问题类型之一尤其是对于图形比较复杂的问题,学生常常出现思维障碍,找不到解决问题的方法作为教师可以实现一题多解,学生一法难求而当教师将方法讲给学生后,学生的收益往往甚微,再次遇到类似题目仍无法独立解决教师没有达到“授之以渔”的目的因此作为教师更应该站在学生的角度去思考和分析学生的思维障碍,引导和帮助学生从突破自身思维障碍出发,正确找出解决问题的方法下文笔者通过一个有代表性的一道几何问题,详细阐述如何从学生角度分析问题,解决思维障碍,最后得出多种解决问题的策略的思考过程,希望对读者有所帮助
一、例题呈现如图,在正方形中,点是边上的动点,连接点为的中点,ABCD PCD BP,BP过点作垂足为连接猜想线段与之间的数量关系,并证P PEJ_BD,E EO,AE,BP AE明
二、学生的思维障碍.题目的结论未知,仅通过直观观察看不出它们之间的数量关系;点是一个动1P点,通过点的运动,线段和都在变化,长度不是定值,学生感觉无从下手P BP AE.题目中没有数据可以运用,和的长度无法求出2BP AE和没有在同一个直角三角形中,所以通常三角函数等知识无法解决
3.BP AE.感觉和长度不相等,无法运用全等三角形解决4BP AE
三、站在学生角度,解决思维障碍,探索解决问题的方法.学生思维障碍一结论未知,看不出两条线段是什么数量关系1作为教师如果直接给出学生答案,或者直接利用证明的方式给学生讲解,最后得出结论对学生来说是收获甚微的不利于学生思维的培养因此教师可以站在学生的角度思考问题,如果看不出两者的数量关系可以从什么地方入手来思考课堂上可以提问学生“自己的困难在哪?部分学生会回答“看不出它们之间的数量关系”教师顺势再问“为什么看不出来?”“因为点是动点,长度不确定”“那么你能感觉它P们的关系是确定的吗?”“一定是确定的”“那么与点的位置有关吗?”“无P关”这时便有学生可以联想到未知问题的探索可以从猜测开始,而且对于动点问题可以通过特殊位置作出猜测,而特殊位置往往取运动的起始端和末端当点运动到点P时,点运动到的中点处点恰好是正方形对角线与的交点,则容易C BCE ACBD算出;当点运动到点时,则点恰好与重合,此时容易算出故有不完全归纳法P DE D可以猜测出与的关系为BP AEBP=.学生思维障碍二和长度不相等,无法运用全等三角形解决2BP AE这种思维障碍是学生的思维狭窄,仅仅把线段关系理解为是否相等因此教师应引导学生思考两条线段除了在全等三角形中的相等关系,还会出现不等关系即一条线段是另一条线段的倍数(或几分之几)这样就可以引导学生思考如何解决不在一起的两条线段倍数问题因此从学生思维的角度很容易得到可以证明两条线段所在的三角形相似,然后把目标线段之比转化成两条已知的线段之比于是可以有下面的证明方法解后反思构造三角形相似解决两条线段之比的问题是比较直接的方法当然也可△以通过过点作垂足为点利用△来解决A AF_LBD,F,AFE~BCP.学生思维障碍三题目中没有数据可以运用,和的长度无法求出3BP AE学生这种思维障碍限制在了仅仅运用数字来计算线段长度为了突破思维障碍教师可以引导学生对于线段的计算除了有数字的代数计算外,还有代数式的运算因此自然容易得到用设参数的方式表示出所求线段的长度而对于两条线段的关系最一般的思路就是通过计算它们的长度进行比较,这样的解法更为自然于是可以有下面的解法解法过点作垂足为2E EF_LAD,F.设正方形的边长为的长为则a,DP m,PC=a-m,在中,根据勾股定理,RSPBC在等腰直角中,斜边^DEP DP=m,当然对于线段的计算,教师可以进一步引导学生将图形放置在平面直角坐标系内解决比如通过以点为坐标原点,所在直线为轴,以所在直线为轴建立平B BCx ABy面直角坐标系再通过引入参数结合坐标系有关知识来解决类似问题用代数知识解决学生思维障碍和不在同一个直角三角形中
4.BP AE几何问题,这也正是数形结合思想的重要体现解决这个思维障碍就应引导学生思考是否可以想办法将两条线段放在同一个三角形中(即两条线段有公共顶点)首先想到的便是将其中的一条(或两条)转化为与其相等的线段最终借助第三方线段放在同一个三角形中通过观察发现在正方形中而故只要探索和的数量关系因此容易想到连接将上述AE=EC,BP=20E,EC0E0C,问题转化到直角△中EOC解法连接由四边形是正方形,易证因为△和^3OC,EC,ABCD AE=CE,BPE都是直角三角形,又因为点是的中点,所以设N则NBCP BP BP,EBP=a,OBC=45°-a,则N故N由勾股定理得所以z EOP=a,POC=90°-2a,EOC=90°,OC2+OE2=EC2,即由得EC2=2OE2,BP=20E,AE=EC,思路利用正方形对称性将转化为问题就变成了如何转化到与2AE CE,BP EC有公共顶点的三角形中故可以在点或处构造与相等的线段因此利用E CBP E,B,四点共圆,转化为则由即可以解决C,PBPEF解法连接由四边形是正方形,易证因为所以4CE,ABCD AE=CE.PE_LBD,NPEB=90,因为四边形ABCD是正方形,所以N PCB=90,所以点E,B,C,P四点在以点为圆心,为半径的圆上,作出该圆,延长交于点并连接0E E00F CF,则都是圆的直径,所以因为N所以△是等腰直角BP,EF BP=EF,F=z EBC=45°,ECF.学生思维障碍五部分同学可以探索出二但思维障碍是如何5BPAE,构造AE.上述思维障碍产生的原因是学生对于直角三角形勾股定理以及三角函数知识点不够熟悉教师应该引导学生思考,在什么情况下一个三角形中会出现倍的关系因此学生很容易想到等腰直角三角形的斜边与直角边的比即为因此可以利用旋转构造以AE为直角边的等腰直角三角形,得到然后将放在同一个三角形中解决了这个思维障BP碍便可以得到如下解法解法将△绕点顺时针旋转,得到连接则5ADE A90aAFB,EF,△得所以,因为AED-AFB,AE=AF,z EAF=90°,FB=ED,z ABF=z ADE=45°,PE_LBD,z EDP=45°,所以ED=PE,所以FB=PE,由N ABD=45,得N ABF+NABD=90,所以NFBD=90,所以FBllPE,贝ij四边形FBPE是平行四边形,所以因为BP=EF,当然也可以将绕点逆时针旋转构造以为直角边的等腰直角三角形,AE A90°,AE得到解后反思直接告诉学生本题可以运用旋转变换来解决,对学生来说是有一定困难的而通过解决学生思维障碍的角度看,构造等腰直角便会顺其自然其本质AFAE也就是旋转当然按照上述思路还可以先得到然后构造AE=EC,BP=当然部分同学会想到仍然是存在思维障碍如何构造因此可以类似上面解AE=EC,法,通过旋转构造以为直角边的等腰直角三角形EC
四、反思教师要放手让学生自己寻找解决思维障碍的方法
1.传统的数学教学教师常常以自己为中心,不顾学生的实际情况,察觉不到学生的思维困难,而是任由教师按照自己的思路或知识逻辑灌输式教学这也就导致教师讲解完例题之后学生真正掌握的非常少学生没有把教师所讲的知识内化为自己的知识所以当学生自己去解决问题时往往感到无所适从学生遇到一个或多个思维障碍无法克服,长此以往便形成了学生思维的肤浅性和数学思维的消极性因此教学中不能仅仅让优秀生完美地展示他们的过程,更应该鼓励解题有困难的同学暴露他们的思维障碍,通过解决思维障碍,引领他们思维的深度和广度,逐步培养学生的思维能力前苏联教育家维果茨基曾提出儿童最近发展区理论而学生思考问题的每一个思维障碍便是学生已有水平与将要解决的问题的差距从学生思维的现有角度去思考和解决问题符合学生的发展规律叶澜教授曾指出“课堂教学中,教师应积极地看,积极地听,设身处地地感受学生的所作所为、所思所想,积极鼓励学生质疑问难,允许出错,允许改正”教学中多鼓励学生多换一个角度想问题,勤问一下有困难的学生思考到了哪一步,你还需要哪些条件,你做了哪些尝试,等等因此课堂教学中教师要站在学生的角度,教给学生克服思维障碍的方法才会让学生形成良好的解题习惯,真正提升学生的数学素养解决思维障碍有助于实现一题多解,能够提炼通性通法
2.几何证明题重在培养学生逻辑思维能力和分析问题的能力一题多解就需要学生认真分析条件和结论,大致可以从哪几个大的方面去思考每一条思路遇到思维障碍要及时变通,思考如何解决,遇到瓶颈更要学会有没有其他路线可以运用打通每一个思路便是一种好的解题方法当然教学中应当让学生去总结遇到类似的问题一般从哪些方面去解决,这就是通性通法通性通法的总结和提升应当是学生在教师的引导下来总结,更多的是学生的思考,而不是教师的灌输通性通法的总结有助于帮助学生解决学生思维障碍,实现高效解题因此日常教学要教会学生通过解题反思自己的思维障碍,并以此总结通性通法以生为本,尊重学生的认知规律,课堂教学积极应对学生的思维障碍
3.教学中教师要想了解到学生的思维障碍就应从学生的学习实际出发,了解到每一名学生存在的思维障碍比如小组合作尽量不要让优秀的同学讲解自己独到的方法,让他们成为一言堂而更应该利用学习小组鼓励思维有困难的同学先讲解自己的思路,暴露自己的思维障碍,然后由同学或老师帮助解决这样的合作才更有效组长对本组内每一名学生的思维障碍反馈给教师,教师根据学情有针对性的讲解,打通每一名同学的思维障碍,这才是真正的以学定教,这样的课堂才更有实效性鼓励学生有克服困难的信心
4.对于几何问题的教学,应鼓励学生敢于应对困难,提升自己思维的敏捷性遇到思维障碍导致思路停滞不前时,善于寻找突破思维障碍的关键因素对题目的已知条件和隐含条件重新梳理,对自己的思考方向寻找突破口鼓励学生善于变换角度思考问题,拓宽自己的思维视角当然对于一个几何问题的解决不一定有多种证明方法,但是当学生具备了能够突破自己思维障碍的思维品质时,自己的解题能力会有较大提升对于教师的教学来说,应该做到以生为本,真正落实学生的主体地位教学中将自己的思维“放低”,站在学生的立场思考问题,和学生一起思考解决问题的方法善于运用“台阶式”的问题启发学生的思维,逐步克服学生的思维障碍,实现高效的数学课堂。