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双变量任意与存在问题考察的个视角5文/刘蒋巍一.双变量任意与存在问题若的值域分别为B,则,
1.x gx A,任意=存在型处,使得於成立,则1“£3x e£,i=gX2AG52存在=存在“型月的,使得加成立,则母.;2“£3x e£,i=g12AD2不等问题
2.“任意之、、任意”型,YxGE,均有於恒成立,则1Vxi£ig%2«Xming%max.注防止误将均有〉恒成立,转化为一般应作差VxEZ,«X gX«XmingXmax,构造函数转化为恒成立;Fx=»-gx,Fx n0mi“任意之、、v存在”型使得危成立,则23x e£,ig3/Xm i n gXmi n.2“存在、、存在型方汨,使得於成立,则30£3x eE,ig%2«¥maxgXmin.2注防止误将三%,均有恒成立,转化为一般应作£«Xg%/%maxg%min,差构造函数转化为恒成立.Fx=»-gx,Fx ax0m二.考察的个视角5视角形如“对任意总存在后使得成立”1XI£4,£»fxi=gX2191例已知函数外=若对任意%总存在血13f+2%—〃—2Q,g%=%B—i£[—1,1],£使得成立,求实数的取值范围.2],“xi=g%2a【解答]危一居―一上,所以一=3*+2%—aa+2=3x+g
22.min=又的值域是一由题意可知,段的值域是的值域=—“2—2a—gx g,6,gx-TW6,的子集,所以一一一如一右解得一故实数a的取~j,6~|1422WaW0,VUW6,值范围是[―].2,视角形如“存在及到右以使得/刈=双到成立”2例已知函数函数若存在%及%使20,1,g%=Ax—2k+2Q0,%£0,1,160,30,得成立,求实数人的取值范围.xi=g%2「3a【解答】由题意易得函数的值域为的值域为][/U1,gx2—2Z,2-yJ,3且两个值域有公共部分.当两个值域没有公共部分时,或—全〈,解得2—2Q12旧或《所以要使两个值域有公共部分,实数左的取值范围是I.变式已知函数若存在使得求[]4x=#+x,gx=lnx+l—6Z,XI,X20,2,/%l=g%2,实数的取值范围.Q【解答】的值域的值域〃].由存在[][[]«xA=0,4,gx3=—Q,ln3—x e0,2,2使得功,知,由门得一或<解得〈一或<8=8AA3W045=41113—0,4故当时,所以的取值范围是>〃[]ln3,AABW-4W Wln3,-4,ln
3.视角形如“对任意由任意必员使得加成立”>3g4£i gM例已知函数gx=mAx~13/jOnf+M+a—5,—m+
8.若函数在区间上存在零点,求实数,的取值范围;[]1y=/U—1,1【解答】由题意得,函数图象的对称轴为故函数在区间Lx x=-2,,/U』]上为增函数.因为函数兀在区间上存在零点,所以[]1x—1,18W0,、八解得故实数的取值范围为[]0,
8.[Q30,当时,若对任意的⑼恒成立,求实数机的[]2=0xi,X2e l,2,取值范围.【解答】由题意,函数大%在上的最大值小于等于函数在上[][]1,2g%1,2的最小值.当〃时,易知函数在上的最大值为人[]=040=/+4%-5=x+22—9,#x1,22=2+22—9=
7.方法一当时,函数「一根在上为增函数,则〃・[]m0gX=24l+81,2gXmin符合题意;当相时,函数加在上为减函数,则〃・[]=gl=87,0gx=24-i—+81,2解得一;根.当m=0时gx=符合题意.综上,实数机gxmin=g2=3m+827,0787,的取值范围为[一/+8方法二由题意知根门一加+对任意都成立.因为所以・[]4827x£l,214W2,
1.当m=0时,显然成立;当/nWO时,机》一不对任意工[]W4LiW4,0W4Li—1W3£1,2都成立,令函数一率二其在区间上为增函数,故所以后一/综,[]y=T1,2ymax=-1,上,实数机的取值范围为[―;,+8变式已知函数於尸%2—gx=log2x+m,对任意的有恒成[]2x+3,1,4,g%2立,则实数机的取值范围是一8,
0.【解析】人工=%当%时[]2—2x+3=x—12+2,£1,4,«xmin=/l=2,g%max=g4则即+如解得机故实数机的取值范围是一巴=2+m,“xmingxmax,220,
0.视角形如“对任意总存在由比使得双到成立”4Xi GA,£/3例已知函数]〃,且若对任意的刘总存在[][]4/%=kgaax2—£2,3,X G3,4,2使得於咱则实数a的取值范围是_区_卫118—%2,1【解析】由题意得於当时,故〃min[10g8—X]min.1[logf/8—%]min=logr/4,只需所以加一〉即加一%对\/][恒成立.分离/Xmin10gc4,xmin4,4£2,3]111fl H3参数得转令人贝.即〃产+〃|J4~4P+0max=43故当时,故只需於所以加一;〃〃20QVl[loga8—X]min=log5,minlog5,_11且/―即依对\/工[恒成立.分离参数得白]]]Xmax5,xmm0,2—5£2,35_inn i8+,令人则tCl5t2+t,即,〃=/max V5»+0min=5/2+/_=9,1-318n83故云综上,实数的取值范围是Q§.Q59jU^2,+8视角形如“存在修及使得成立”5£4/UigX2例已知函数兀=*+/若存在X2使得则实5¥gx=lnx+l—6Z,XI,G[0,2],1%lg%2,数的取值范围是-4,+
8.【解析】问题可转化为易得由/Xmaxgxmin,«Xmax=4,gxmin=-Q,导所以一/Xmaxgxmin,4—Q,
4.。