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七解析几何「必记知识』直线方程的五种形式
1.点斜式直线过点,且斜率为k,不包括轴和平行于轴的直线.1y—yi=Zx—xi Pixiy,y y斜截式,伏为直线/在轴上的截距,且斜率为攵,不包括轴和平行于轴的直2=h+y yy线.两点式口工=上红直线过点,,必,且,,不包括坐丫一丫3PGi2”xiW12yW”21x2-xl标轴和平行于坐标轴的直线.截距式二+〃分别为直线的横、纵截距,且〃b73不包括坐标轴、41=lm W0,a b平行于坐标轴和过原点的直线.一般式其中不同时为5Ax+3y+C=O A,
80.直线的两种位置关系
2.当不重合的两条直线/.和h的斜率存在时两直线平行l\〃l2=k\=kz.1两直线垂直I山2=h
21.•22=-三种距离公式
3.⑴为,两点间的距离y,5X2,H3I=J-2—X12+2-y,
2.点到直线的距离其中点直线方程为2Pxo,yo,Ax+By+C=o.两平行线间的距离黑察其中两平行线方程分别为lAx D3/Ax+3y+G=0,d=1V A2且+8y+C2=0GWC
2.圆的方程的两种形式
4.圆的标准方程x-a2-\-y—b2=r
1.1圆的一般方程2+产+瓜+£+f b=04Q
0.2+52—直线与圆、圆与圆的位置关系
5.直线与圆的位置关系相交、相切、相离,代数判断法与几何判断法.1圆与圆的位置关系相交、内切、外切、外离、内含,代数判断法与几何判断法.2椭圆的标准方程及几何性质
6.性质对称性对称轴轴,轴;对称中心原点X yc隹占
八、、/、、、Fi-c,0,F2C,0/10,-C,F20,A\—a,〃,;—〃,;B、一0,420Bi0,A[0,420,a顶点—b,b b,B2M0,0,0线段分别是椭圆的长轴和短轴;长轴长为〃,44,2轴短轴长为2b焦距\FIF\=2C2离心率1焦距与长轴长的比值e==J的关系/=/一从Q,b,C.双曲线的标准方程及几何性质7笛=b0150,丫标准方程2y2b0z zzz aba b、、____
7、✓✓z图形一z/
6、✓、B x以心BI
2、为、、✓✓范围|x|2a,y£R对称性对称轴轴,轴;对称中心原点x y隹占Fi-c,0,F C,0Fi0,-c,F20,C
八、、
八、、2顶点一〃,,Ai0,A20A1O,—a,42Q线段山分别是双曲线的实轴和虚轴;实轴长为〃,虚4A2,822轴几何轴长为2b性质焦距\FiF^=2c离心率焦距与实轴长的比值e=|=+8渐近线产土3a1=c2—b2a,b,的关系c搦物线的标准方程及几何性质8标准方程y2—2pxp0y2——2pxp022pyp0〃x=f=-20隹占鸣C°F,尺,0-£
八、、
八、、准线方程X=--x=-2产-f2范围xeO,yG RxWO,yNO,x£R yWO,x£R离心率e=111图形卜7040X几何性对称轴轴轴X y质顶点00,0若渐近线的方程为〉即△[=,则双曲线的方程可设为一冬=2y=±%a0,/70,a a D aD犯W
0.⑴若双曲线的方程为—金〃,力则渐近线的方程为号―卷5=10,=0,IP j=±-x.aD a,双曲线的方程与渐近线方程的关系9Da2,,22,,2uv v2222若所求双曲线与双曲线京-标力有公共渐近线,其方程可设为京-标=3=130,0蛇焦点在轴上;焦点在轴上.0,x z0,y抛物线焦点弦的相关结论
10.设是过抛物线尸的焦点歹的弦,若即,竺,为直线的倾斜角,A3=2pxp0yi,3X2,1A3则p2丁,y\yi=p.lxiX2=4弦长2|A5|=XI+X2+P=^^.3—+—=-I4FA||FB|p-以弦AB为直径的圆与准线相切.4【易错剖析】易错点遗漏方程表示圆的充要条件1【突破点】二元二次方程瓜+或+尸=表示圆的充要条件是在此条f+y2+O2+E2—4Q0,件下,再根据其他条件求解.易错点解决截距问题忽略的情形2“F【突破点】解决直线在两坐标轴上的截距或截距具有某种倍数关系的问题时,需注意两点截距不是距离,直线在坐标轴上的截距可正、可负、也可为
10.明确直线方程的截距式不能表示过原点或与坐标轴垂直的直线.因此解题时应该从截距是2否为进行分类讨论.0易错点忽视斜率不存在的情况3【臾破点】在解决两直线平行的相关问题时,若利用〃由=攵求解,忽略处,心1/]/202不存在的情况,就会导致漏解.对于解决两直线垂直的相关问题时,若利用俗・求解,要注意其前提条件是k\与攵2k2=-l必须同时存在.2易错点忽略直线与圆锥曲线相交问题中的判别式4【突破点】凡是涉及直线与圆锥曲线位置关系的问题,一定不能忘记对判别式的讨论.易错点忽视双曲线定义中的条件5【突破点】双曲线的定义中,有两点是缺一不可的其一,绝对值;其二,2a\FiF\.如2果不满足第一个条件,动点到两定点的距离之差为常数,而不是差的绝对值为常数,那么其轨迹只能是双曲线的一支.易错点忽视圆锥曲线定义中的焦点位置6【突破点】椭圆的焦点位置由分母的大小确定,双曲线则是根据二次项系数的符号来确定的.解决此类问题时,一定要将方程化为曲线的标准形式.【易错快攻】易错快攻一遗漏直线的斜率不存在的情况[典例][•全国乙卷]已知椭圆£的中心为坐标原点,对称轴为轴、轴,且过22022x yA0,两点.-2,Bf,—1求后的方程;1设过点的直线交于两点,过且平行于轴的直线与线段交于点点2Pl,-2E M,N Mx A3T,H满足而=宿.证明直线过定点.HN听课笔记易错快攻二忽视双曲线定义中的限制条件[典例]点到曲线£上所有点的距离的最小值称为点尸到曲线的距离,那么平面内到定2P E圆的距离与到圆外的定点的距离相等的点P的轨迹是C C A射线椭圆A.B.双曲线的一支双曲线C.D.听课笔记七解析几何m=-14n=1,3n=-将点A0,-2,泥,一1的坐标代入,得1解得49-m+n=1,[典例]解析⑴设椭圆的方程为如2+町加干加「〃,1E2=10,0,22所以椭圆的方程为十+一=E
1.34证明方法一设Ng2Mxi,yi,
2.由题意,知直线与轴不垂直,设其方程为,MN yx—1=©+
2.X-1=ty+2,联立得方程组-+^=
1.消去并整理,得尸+尸+x4-+3»2+168y+16161—8=0,16t2+16t-8所以—嘿器,yi+2=4t2+3Yi+2y+l设由B,丁三点共线,得1Tx,yi.A,,3X°~设成匕v.由而=宿,得即,一|yi+3—0=3|yi—3,y-y,为,3y+6-y=y.Y2-y—Y2-Y1Y2-Y1所以直线的斜率k=HVX-Xr x+x-3y+6ty+y-3y+4t-4,2211121所以直线HN的方程为y~y=Y2-Y1\X-X
2.2tyi+y2-3%+4t—4Y2-Y1令x=0,得,=•—X2+,2tyi+y-3yi+4t-42_yi-y2ty2+2t+ityi+y-3yi+4t-42一2t-3yiy2+2t-5仇+丫2+6丫1tyi+Y2-3yi+4t-416t2+16t-816t2+8t4t2+34t2+3*-3%+41=-
2.所以直线过定点NH0,-
2.方法二由呢,一可得直线的方程为A0,-2,1A5y=|x—
2.Atf若过点的直线的斜率不存在,则其直线方程为KJa.Pl,-2x=
1.222V
6.八,/12限将直线方程代入宁+可得,X=15=1,Ml,—.Ml o o瓜o*_2将一当代入y=^x—2,可得y=T3—V6,oo3人由而=宿,得H5—2粕,3此时直线的方程为乎平,HN y=2+-1+则直线过定点N0,-
2.若过点尸一的直线的斜率存在,设此直线方程为kx-y-k+2=0Mg,b.1,2y,9Ng yi.kx—y—k+2=0,联立得方程组2X y2-+^=
1.v34消去并整理,得y3F+4X2—6M2+ZX+34Z+4=
0.6k2+k—82+k冏丫三不,1%+j+X2=WE2=所以_3k4+k人」_44+4k-2k2X1X2=可不lyiy2=3k2+4且为+》=就•
①12联立得方程组,匚2,可得T争+3,yi.由而=用,得》+羽,》.”36—则直线的方程为下—N y—y2=--x-%
2.//3y+6-x-x112将点的坐标代入并整亚得工为丁工丁
②将0,—221+2—6+2+2+21—3yly2—12=0,
①代入
②,得斤+攵―左+左合-显然成立.24%+1296+48%—2448—48242—3648=0,综上可得,直线过定点HN0,-
2.[典例]解析设圆的半径为广,依据题意可知,\PC\=\PA\-\-r即2|PC|—|%|=69且r|AC|,故所求点尸的轨迹为以为焦点的双曲线靠近点的一支,故选A,CAC.答案:C。