二次根式非负性之用教学设计26

二次根式的双重非负性运用教学目标

一、知识与技能目标

1、理解二次根式的定义，并会应用此定义判断一个根式是否为二次根式;

2、会运用二次根式的非负性，解决实际问题；

3、会运用二次根式的非负性，结合已经学过的相关知识求值

二、过程与方法目标

1、熟练掌握二次根式的非负性（双重）

2、学会对比应用，掌握实际能力

三、情感目标让学生学会自主激发学习兴趣，获取学习能力提升，激发学习主动性教学重点重点理解二次根式的非负性；难点二次根式的非负性的灵活运用式子表示非负数〃的算术平方根，它是一个非负数，而〃是被开方数，它也是一个非负数，这就是二次根式的双重非负性.这种双重非负性在数学中占有极其重要的位置，所以在解题中一定要注意这两个隐含条件.现列举这一性质在几类试题中的运用，以供大家参考.

一、确定自变量的取值范围例1若下列式子有意义，试确定元的取值范围.Jx-3x-4飞32—x Hx-4工一4解

（1）依题意，得不等式组x—3204J2x—5—5°解这个不等式组，得xN3且xw4,所以，x的取值范围为xN3且x4；x+30⑵依题意，得不等式组1x-20解这个不等式组得x

22.所以工的取值范围为x2；[2-xQ⑶依题意，得不等式组1x—4w0解这个不等式组，得XV2；[2x-504依题意，得不等式组-----------,“2x-5W5解这个不等式组，得且xwl5;2评注初中数学中，对字母的取值有要求的主要有三种情况:1分式中的分母不能为零;2二次根式中被开方数要大于等于零;3零指数累的底数不能为零.抓住这三点就能准确地求出自变量的取值范围.通过这样训练，就能使其条件从隐含形态转变为显形形态而成为一种数学思想，从而促成学生模型思想的生成.例21若等式二=上区成立，求的取值范围；V6r a2若Jx=一2不+1一8工+16=3,求x的取值范围;3若+3x2=-xJx+3,试求x的取值范围解1Q=20,又片0,al-6Z0,:.a\,乂Qa0,a的取值范围为:al且〃wO;2Q J%2-2x+1+V x~—8x+16—J尤-I+J x-4——x—1+x—4当X1时，原式—1—x+4—x—5—2x；当14x44时，原式=x—1+4—x=3;当x〉4时，原式=x—1+x—4—2x—5；/.X的取值范围为1X«

4.3Q Jx3+3x2=Jx

2、+3=x Jx+3当x«0时，原式=—xJx+

3.又Qx+3N0,，xN-3,Ax的取值范围为一34xW

0.评注这组题用到了二次根式的双重非负性、病的化简和如何去掉绝对值，解不等式和不等式组，只有理解了这些知识，才能作出正确的解答.注意一定要等于同去掉根号带上绝对值.

二、求代数式的值例31已知x,y为实数，且=,工一2x—3,求X、的值.2已知x,y为实数，且满足JTXl—y—1斤不=0,那么一“一2”=解1依题意，得不等式组X--0,2--x012解这个不等式组，得工=,，.・.y=—3,212・・.=—-3=

8.2⑵原方程可以变形为J1+x+J1-=0,fl+x=0评注解决此类题用到了“几个非负数的和为零，那么每一个加数一定为零”和“如果被开方数互为相反数，要使得两个被开方数同时有意义，那么这两个被开方数一定同时为零”.

三、化简对于利用二次根式的双重非负性在化简中又包含以下几种情形

1.默认条件例4Jl8a%2c-3ab-fac.这类题目如果没有注明条件，在解题中就认为所有的字母都是非负数.

2.给定条件例5若x2,化简:Jd-8x+16-Jx一4%+4分析开方性质推导解原式=Jx-4~—Jx-2~=%—4—%—

2.Q x2,则x—40,x-20,工原式=4—x+x—2=

2.

3.题目隐含条件例6化简:⑴J—；⑵.V a分析运用二次根式的定义，及基本性质被开放数非负性解1Q-/^0,/.j30,••原式二J/-y=y yj-y=-yj-y-2Q—20,a••原工］—、———-.V cia a评注由于受思维定势的影响，学生见惯了被开方数是没有带负号正数的情况，而对于被开方数是-〃这种形式的正数不习惯，这就需要教师注重发挥学生想象力，不断积累经验.解决这类问题关键一定要抓住二次根式的双重非负性质来解决，才能找到突破口，从而化难为易.

四、分类讨论例7化简|2x—4|—J/—6X+

9.分析运用非负性，以及二次根式的开方运算规律解决解原式二|2工_4|_,_3|,当x42时，原式=4-2%—3—x=4-2x-3+x=l-x;当2x43时，原式=2x—4—3—x=2x—4—3+x=3x—7;当3口寸，原式=2x—4—%—3=2%—4—九+3=%—

1.例8化简:J-加.分析熟练运用非负性，推导其中特定字母的可取性解原式当〃KO,〃〉0时，原式=-4/-出；当b0,时，原式=bj-ab.评注分类的思想方法是初中数学中一种重要的数学思想方法.我们要按照新课程标准的要求，巧妙地借助数轴进行分区间讨论，那么复杂抽象的问题也能化难为易，顺利得解.。