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弹性地基梁理论地下建筑结构第章弹性地基梁理论3崔振东副教授中国矿业大学iaeg,ficdm,fiecuizhendong@cumto edu岩土工程研究所本章内容概述按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程按温克尔假定计123算短梁按温克尔假定计算长梁45按地基为弹性半无限平面体假定计算基础梁概述3o1弹性地基梁放置在具有一定弹性地基上,各点与地基紧密相贴的梁可以平放的,也可以是竖放的地基介质可以是岩石等固体材料,也可以是水、油之类的液体材料弹性地基梁是超静定梁,针对弹性地基梁的计算理论称为弹性地基梁理论概述3o1弹性地基梁与普通梁的区别超静定的次数是有限,还是无限普通梁的支座通常看作刚性支座,即略去地基的变形,只考虑梁的变形;弹性地基梁必须同时考虑地基的变形按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程32O局部弹性地基模型年前后,温克尔对地基提出如下假设:地基表面任一1867e winkleij点的沉降与该点单位面积上所受的压力成正比py=k式中,为地基的沉陷;为地基系数其物理意义为:使地y mk kpa/m,基产生单位沉陷所需的压强;为单位面积上的压力强度p kpa按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程32O局部弹性地基模型这个假设实际上是把地基模拟为刚性支座上一系列独立的弹簧当地基表面上某一点受压力时,由于弹簧是彼此独立的,故只在该点p局部产生沉陷而在其他地方不产生任何沉陷因此,这种地基模型称y,作局部弹性地基模型弹性底座按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程32弹性地基梁的挠度曲线微分方程321右图表示一等截面的弹性地基梁,梁宽根据温克尔假定,地b=l基反力o=ky弹性地基梁的挠度曲线微分方程321O根据力的平衡条件根据力矩平衡条件^fy=O^m=Odq=o-qxdxdmq=dxdqd2m==a-qx2dxdx弹性地基梁的挠度曲线微分方程3o21O若不计剪力对梁挠度白,影响,由材料力学知识得1Id0d2y IIm=-ei=-ei2Idxdx13dmdyq==-ei3I IdxdxJ0=dydxdqd2m==a-qx2dxdxd4yei4=-ky+qxdx令k a=4ei4梁的弹性标值4a4d4y+4a4y=qx4dxk弹性地基梁的挠度曲线微分方程32o1为了便于计算,用代替变量4a4d4y+4a4y=qx4dxk ax xdydydaxdy==adxdaxdxdaxd4y4+4y=qax4dax k按温克尔假定计算弹性地基梁的基本方程3o2挠度曲线微分方程的齐次解32o24d4y+4y=qax4daxkd4y+4y=04dax,eax-e-axeax+e-axshax=chax=22y=clchaxcosax+c2chaxsinax+c3sh axcosax+c4s haxs inax下面将弹性地基梁分为短梁和长梁分别考虑,以定出齐次解中的四个常数与附加项荷载影响再将一般解与附加项叠加,就得到微分方程的最终解答按温克尔假定计算短梁33初参数和双曲三角函数的引用33o1y=clchaxcosax+c2chaxsinax+c3shaxcosax+c4shaxsinax初参数和双曲三角函数的引用33o1y=clchaxcosax+c2chaxsinax+c3shaxcosax+c4shaxsinax初参数和双曲三角函数的引用3o3o1按温克尔假定计算短梁33荷载引起的附加项3o3o2荷载引起的附加项332⑴集中荷载引起的附加项P荷载引起的附加项332力矩荷载引起的附加项2m荷载引起的附加项3o3o2⑶分布荷载引起的附加项q如视为常数,则x dx-u=-du荷载引起的附加项3o3o2⑶分布荷载引起的附加项q代入分部积分荷载引起的附加项332⑶分布荷载引起的附加项q一段均布荷载一段三角形分布荷载全跨布满均布荷载全跨布满三角形荷载荷载引起的附加项-分布荷载引起的附加项3o32q梁上有一段均布荷载的附加项aoq=qO,dq=0du荷载引起的附加项-分布荷载引起的附加项3o3o2q梁上有一段三角形分布荷载的附加项boq=△qu-x3,dq=-Aqx4-x3dux4-x3荷载引起的附加项-分布荷载引起的附加项33o2q梁的全跨布满均布荷载的附加项当均布荷载布满梁的全跨时,Co qO则并且任一截面的坐标距永远小于或等于x3=0,x x4荷载引起的附加项-分布荷载引起的附加项3o3o2q梁的全跨布满三角形荷载的附加项当三角形荷载布满梁的全跨时,do则并且任一截面的坐标距永远小于或等于x3=0,xx4荷载引起的附加项3o3o2在衬砌结构的计算中,常见的荷载有均布荷载、三角形分布荷载、集中荷载和力矩荷载0=m=q=按温克尔假定计算短梁--例题33例如下图所示基础梁,长度宽度地基1l=4m,b=0o2m ei=1333kn-m2oo的弹性压缩系数梁的两端自由求梁截面和截面的k=40000kn/m3,12弯矩()查双曲线三角函数1k=。