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集合典型例题集合和区间集合一般地,把某些指定对象集在一起就成为一个集合,其中每一个对象叫集合的元素,元素与集合的关系是属于或不属于,分别用或表示.集合中元素的三大特性:无序性、互异性、确定性
2.集合的记法与常见数集的记法
3.集合常用大写拉丁字母或花括号来记,一些常见数集用特定大写拉丁字母来记.整数集:1非负整数集自然数集2正整数集或3有理数集4实数集5复数集6集合的表示方法
4.列举法把集合中元素一一列举在花括号内表示集合的方法1描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法2要使得集合中有且只有一个元素,可得,即,解得.即正实数的取值范围是.例
13.已知集合A={x,y|x2+y2l,x,yeZ},B={x,定义集合y||x|2,|y|2,x,yeZ,AB={xi+X2,yi+Y2|xi,则中元素的个数为yieA,x,y eB},AB22点集A.77B.49C.45D.30合相加,分60合中有个元素即个点,即图中圆内及上的整A55解析集合A={x,y|x2+y2l,x,yeZ,所以集点.集合中有个元素即B={x,y||x|2|y|2,x,y^Z}255个点,即图中正方形内及正方形上的整点.25ABCD ABCD集合AB={xi+X2,yi+y2|xi,yieA,X2,AiBiCiDi上除去四个顶点外的整点,共7x7-4=中的元素可看作图中正方形内及正方形y2eB}AiBiCiDi个,故选45C.例已知,若关于的不等式的解集中的整数恰有个,则实数14:3的取值范围是()(真正的双字母考虑,分)70解所解不等式为,可以考虑两边平方后去掉绝对值,A.B.C.D.因式分解可得,由题意中含个整数解可得3解集应该为封闭区间,所以的系数均大于零,即,另一方面,解集区间内有个整数,从端点作为突破口分析,两3可得三个整数解为,所以另一个端点的取值范围为
①,而
②,所以只要
①②有交集,则可找到符合条件的,结合数轴可得,求出例.若关于的不等式的解集中整数恰好有个,则153实数的取值范围是.(整数解问题,分)65解析因为不等式等价于,其中中的,且有,故,不等式的解集为,则一定有为所求的整数解集所以,解得1,2,3的范围为图示法用一条封闭的曲线和它的内部表示集合的方法,这3个图叫图Venn.有限集、无限集、空集含有有限个元素的集合叫有限集含5有无限个元素的集合叫无限集;不含任何元素的集合叫空集,空集用表示区间区间是集合的一种表示方法,具体情况如下表所示和ab,a b是区间的端点定义名称符弓数轴表示{x a xb]开区间a,b——a—o—►[x1a Wx£力}闭区间la b]——•------------►9{x\axb}左闭右开区间la,b——•-----o—►[x\axb}左开右闭区间a.b]-----o e_►{xlxe R开区间一OC,4-00O_►{x xa]开区间-oc,a——O-----------------►{x xa}开区间a,+8{x xa]左升右闭区间-co,a]■~►{x xa\左闭右开区间[a,+8例【上海二模】设集合,
1.2022若,则实数的取值范围是.(一次函数,区间恒成立问题,分)70【解析】,,在上恒为正,设,则,即,得,即,实数的取值范围是,故答案为.例.已知且集合二,二,又二,则有()(带2mA,nB,A BC字母的集合,分)30不属于中任A.m+nA B.m+nB C.m+nC D.m+n A,B,C意一个正解:..设-mA,m=2ai,aiZ,X*.n,/.n=2a2+l,a2Z m+n=2(ai+a2)+1,0*0ai+a2Z,..m+nB,故选B.例
3、设关于x的方程x2+px-12=0,x2+qx+r=0的解集分、别为A且求的B A#B,AUB={-3,4},AnB={-3},p,q,r值.(集合运算与元素判断,分)20解析由,可知方程有根故AnB={-3}x2+px-12=0-3,有(-3)2-3p-12=0,/.p=-1,此时A={x|x2-x-12=0}={-3,4},又可知方程只A*B,AUB={-3,4},AnB={-3},x2+qx+r=0能有重根-3,即这个方程为(x+3)2二0即x2+6x+9=0,故q=6,r=9,/.p=-l,q=6,r=
9.例
4.已知集合A={a,a+b,a+2b},B={a,ac,ac2}.若二求的值.A B,c解分两种情况进行讨论.相等集合的讨论,20分1若a+b=ac且a+2b=ac2,消去b得a+ac2-2ac=0,时,集合中的三元素均为零,和元素的互异性相矛a=0B盾,故a*
0..*.c2-2c+1=0,即c=1,但c=1时,B中的三元素又相同,此时无解.2若a+b=ac2且a+2b二ac,消去b得2ac2-ac-a=0,,.二*/a*02c2-c-1=0,即c-l2c+1=0,c*l,故c=・.例福建莆田模拟】设非空集合满足当时,有.
5.[2021给出如下三个命题
①若;
②若;
③若.其中正确命题的个数是集合与元素关系的难题,分75解由定义设非空集合,满足时,有知,符合定义的参D数的值,一定大于等于或小于等于惟如此才能保证时,有,10,符合条件的的值一定大于等于,小于等于,惟如此才能保证01打时,有,正对各个命题进行判断对于
①,故必有;
②,贝对于
③,若则,解之得,所以正确命题有个,U,3例在全国高中数学联赛第二试中只有三道题,已6:知某校个学生参加竞赛,每个学生至少解出一道题;⑵125在所有没有解出第一题的学生中解出第二题的人数是解出第三题的人数的2倍;3只解出第一题的学生比余下的学生中解出第一题的人数多1;4只解出一道题的学生中,有一半没有解出第一题,问共有多少学生只解出第二题?交并集合超难,极限使用容斥原理,分90解根据已知条件可得1,2,3,4a+b+c+d+e+f+g=25,
①b+f=2c+f,
②a=d+e+g+1,
③a=b+c.®
②代入
①得a+2b-c+d+e+g=25,
⑤③代入
⑤得2b-c+2d+2e+2g=24,
⑥④代入
⑤得3b+d+e+g=25,
⑦⑦*2-
⑥得4b+c二
26.
⑧由于c0,所以b
6.利用
②、
⑧消去,得c f=b-226-4b=9b-
52.因为,所以则有,即只解出第二题的f0bN5,b=6学生有人.6例7:已知集合A={x|2a^xa2+1},B={x|x2-3a+lx+23a+l0},求使AB的a参数区间的关系,30分解析
①二故当,即B{x|x-2[x-3a+l]0},3a+l2aN时,B={x|2x3a+l};当3a+l v2即a〈时,B={x|又故3a+lx2}AB,或解得,或a=-l
②B={x|x-2[x-3a+l]0},故当3a+l2,艮|1aN时,B={x|2x3a+l};当3a+l2EP时,B={x|3a+lx2}又故AB,或解得或la3,a=-l.例河北邯郸一模】已知集合,,,若集合的
8.[2021子集的个数为则的取值范围为8,解析作函数因为集合的子集的个数为所以集合中的元素8,个数为因此且3,即的取值范围为a(主考函数图象零点的集合题,很不错,分)80例已知集合,若且集合中恰有个元素,则满足条件的集合
9.2的个数为().(双变量二次不等式,60分)解:根据题意将两边平方得,B继续平方整理得,故该方程有解.所以,即,解得,因为,故,当时,易得方程无解,当时,,有解,满足条件;当时,,方程有解,满足条件;当时,,方程有解,满足条件;故,因为且集合中恰有个元素,2所以集合可以是,,.例
10.设U是一个非空集合,F是U的子集构成的集合,如果同时满足
①,
②若,则且,那么称是的一个环,F F U下列说法错误的是()(新定义,集合作为元素,分)D80若,则是的一个环A.U若,则存在的一个环含有个元素B.U F,F8若,则存在的一个环含有个元素且C.U F,F4若,则存在的一个环含有个元素且D.U F,F7对由题意可得满足环的两个要求,故是的一个环,A,FU故正确,不符合题意;A对若,则的子集有个,则的所有子集构成的集B,U8U合满足环的定义,且有个元素,故正确,不符合题意;F8B对如满足环的要求,且含有个元素,,故正确,C,4C不符合题意.对D,,,,,,,再加上,中至少个元素,故错误,符合题意.8D例.设,其中,一是的一个组合,111,2,3,4若下列四个关系
①②③;
④有且只有一个是错误的,则满足条件的的最大值与最小值的差为()(分类讨论,集合推断题,分)80A.B.C.D.若
①错,则,,,有两种情况,,,,oV5J JJ5若
②错,则,,互相矛盾,故
②对;若
③错,则,,,有三种情况若
④错,则,,只有一种情况所以故选C例12若集合中有且只有一个元素,则正实数的取值范围是(带参数的二次函数仅有一个元素,分)70由题意,不等式且,即,令,所以,所以是一个二次函数,图象是确定的一条抛物线,而一次函数,图象是过一定点的动直线,作出函数和的图象,如图所示,其中,又因为,结合图象,。