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考点因式分解06【夯实基础】把一个多项式化成几个的形式,叫做把这个多项式因式分解.
1.因式分解
2.Sab-15ac=.
3.平方差公式a2—b2=;完全平方公式a2+2ab+b2=【答案】
1.整式的乘积.
2.5ab—3c.
3.a—ba+b;a±b
2.【走进考点】一.因式分解的概念【解题关键】本考点主要考查因式分解的基本概念把一个多项式化成几个整式的乘积的形式,叫做把这个多形式因式分解.注意其中三个关键点
①原式是多项式,
②化为整式,
③乘积的形式.判定一个变形是因式分解的条件⑴左边是多项式;右边是乘积的形式;2右边的因式全是整式.3二.因式分解的方法【解题关键】因式分解属于历年中考必考的知识点,解题的关键是准确掌握提公因式法和公式法并能灵活运用,并准确按步骤对多项式进行因式分解有公因式的先提公因式,然后再看能不能套用公式,最后一定要注意分解要彻底因式分解的步骤有公因式的要先提公因式;1再看能否用平方差公式或完全平方公式分解;2⑶检查最后结果是否分解彻底.三.因式分解的应用【解题关键】因式分解的应用考查形式比较灵活,可以与很多知识产生交叉融合,因此在一些综合型题目的考查中经常用到因式分解.灵活的应用因式分解对故另一个因式为的值为x+4,Z
20.
22.2022春•汉寿县期中已知A=3/—12,B=5x2y3-lOxy3C=x+lx-5+9,问9多项式、、是否有公因式?若有,求出其公因式;若没有,请说明理由.A3【解答】解多项式、有公因式.A22—4=3x+2x—2,A=3X-12=3XB=5x2y3-\Oxy3=5^3x—2,C=x+lx-5+9=x2-4x-5+9=x2-4^+42=JI-
2.因此多项式、、的公因式是A BC x-
2.•南京模拟把下列各式因式分解
23.202212a2-8;+勿份+242—124+
9.【解答】解原式=12/—4=2m+2m-2;原式〃+—2=[23f〃=2Q+2—
32.解决相关问题会起到事半功倍的作用.因式分解的应用简化计算;1与其他知识的综合,如面积、三角形相关知识等;2换元思想、整体思想的应用.3【真题实例】一.因式分解的概念•济宁下面各式从左到右的变形,属于因式分解的是
1.2022A.x2-^-1=x%T-1B.x2~l=x-12C.x-3x+2D.x x-l【解答】解选项不是因式分解,故不符合题意;A选项计算错误,故不符合题意;B选项是因式分解,故符合题意;C选项不是因式分解,故不符合题意;D故选C.•永州下列因式分解正确的是
2.2022A.ax+ay=a%+y+1B.3a+3b=
3.a+bC.a2+4a+4=2D.a2+b=a a+bQ+4【解答】解选项,故该选项不符合题意;A ax+ay=a x+y,选项,故该选项符合题意;B3a+3Z=3a+b,C选项,a2+4a+4=a+22,故该选项不符合题意;选项,与》没有公因式,故该选项不符合题意;D“2故选B.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是
3.A.3a+b=3a+3b B.层-[=+1〃-1C.a1-a+1=a+1D.a2+2a+4=a+22QT【解答】解,从等式的左边到右边的变形属于整式乘法,不A.3a+b=3a+3属于因式分解,故本选项不符合题意;B.a2-l=a+1aT,由左边到右边的变形属于因式分解,故本选项符合题忌;C.a2-a+}=a aT+1,有把把一个多项式化成几个整式的积的形式,不属于因式分解,故本选项不符合题意;D.a2+2a+4^a+22,故本选项不符合题意.故选B.秋•中山区月考下列各式从左到右不属于因式分解的是E.2022A.%2%-1B.x2+2x+1=x%+2+1C.2%-32D.x2-l=x+1xTX-6X+9=【解答】解、符合因式分解的定义,属于因式分解,故此选项不符合题意;A、右边不是整式的积的形式,不属于因式分解,故此选项符合题意;B、符合因式分解的定义,属于因式分解,故此选项不符合题意;C、符合因式分解的定义,属于因式分解,故此选项不符合题意.D故选B.二.因式分解的方法
1.2022•绥化因式分解m+〃2-6m+n+9=.【解答】解原式=Cm+n22-2*W+«*3+3=m+n-
32.故答案为m+n-
2.•河池多项式因式分解的结果是
2.2022--4%+4A.%x-4+4B.%+2%-2C.%+22D.%-22【解答】解原式=尸
22.故选D.
3.2022•荷泽分解因式%2_外2=.【解答】解原式=%-3y x+3y.故答案为x-3y%+3y.
4.2021•兰州因式分解xi-4x2+4x=A.x%-22B.x2C.1-22D.x x2-2x+4X-4X+42X【解答】解原式=%f-4尤+4=x%—
22.故选A.三.因式分解的应用•黔西南州已知必〃+尻求的值是.【解答】解
1.2022=2,3,a^b+ab^ab a+b,.二原式,ab=2,a+b=3,=2X3=
6.故答案为
6.•广安已知则代数式什的值为.
2.2022a+b=l,/+29【解答】解*.*a2-b2+2b+9=a+b Ca-b+2b+9又/.原式=-加匕a+b=l,2+9=a+8+9=
10.春•顺德区校级月考三角形三边长分别是且满足则这
3.2022a,b,c,c^-b^+ac-hc^,个三角形是等腰三角形直角三角形等边三角形形状不确定A.B.C.D.【解答】解•三角形三边长分别是a力,c,,a+b+c0,/.a2-b2+ac-bc=a+力Ca-b+a-b c=a-b.a+b+c=0,•.这个三角形是等腰三角形,...a-b=0,故选A.春•顺德区校级期中小南是一位密码编译爱好者,在他的密码手册中有这
4.2022样一条信息%T,a-b,3,x2+l,a^x+i分别对应下列六个字中,爱,我,数,学,一,现将3a^2-1-3b x2-1因式分解,结果呈现的密码信息可能是我爱学爱一中我爱一中一中数学A.B.C.D.【解答】解:3a fT-3b x2-1=3x+1x-l a~b,故选C.【真题演练】•兴安盟下列等式从左到右变形,属于因式分解的是
1.2021A.a+Z4-=a1-b2B.x2_2x+1=%-12C-2a-1=a⑵6D.,+6%+8r无+6+8【解答】解=4白,原变形是整式乘法,不是因式分解,故此选项不A.a+03b符合题意;B./-2%+仁x-12,把一个多项式化为几个整式的积的形式,原变形是因式分解,故此选项符合题意;C.2〃-2」,等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故此a选项不符合题意;等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,D.1+6%+8=%%+6+8,故此选项不符合题意;故选B.
2.2020•河北对于
①%-3盯=%1-3丁,
②%+3x-l=x2+2x~,从左到右的变形,表述正确的是都是因式分解A.都是乘法运算B.
①是因式分解,
②是乘法运算C.
①是乘法运算,
②是因式分解D.【解答】解
①九孙=%从左到右的变形是因式分解;-3l-3y,
②%+3x-1=/+2%-3,从左到右的变形是整式的乘法,不是因式分解;所以
①是因式分解,
②是乘法运算.故选C.春•南岸区校级月考下列因式分解正确的是
3.2022A.x2--y2=%-y2B.x2-1+2x=x-1x+1+2xC.m2+3m«+2n2=m+2n m+M D.-c^+lab-b1=-a+b2【解答】解犷因此选项不符合题意;A.f-y2=%+y y,AB.x2-1+2x=xTx+1+2%,不符合因式分解的定义,因此选项B不符合题意;C.m2+3m«+2n2=m+2/i m+n,因此选项C符合题意;D.-a2+2ab-b2=-Ca-b2,因此选项D不符合题意;故选C.春丽水期末下列多项式中,能用完全平方公式进行因式分解的是
4.2022♦A.fTB.2C.11D.x2-2x~1X+2X X+2X+【解答】解可以利用平方差公式进行因式分解,因此A.^-1=x+1x-1,选项不符合题意;A可以利用提公因式法进行因式分解,因此选项不符合题思;B.f+2%=%%+2,BC.f+2%+仁x+12,可以利用完全平方公式进行因式分解,因此选项C符合题意;不能利用完全平方公式进行因式分解,因此选项不符合题意;故选D.^-2x-l,DC.春•高邑县期末已知甲、乙、丙均为含%的整式,且其一次项的系数皆
5.2022为正整数.若甲与乙相乘的积为乙与丙相乘的积为%则甲与丙相乘的f-4,2-2%,积为A.2x+2B.f+2x C.2x-2D,【解答】解•・•甲与乙相乘的积为X2-4=X+2k2,乙与丙相乘的积为X2-2%=%厂2,二•甲为乙为丙为x+2,x-2,x,则甲与丙相乘的积为%x+2=^+2x,故选B.春•蜀山区校级期中若〃〃力=勿庐+次=-九则的值为
6.20222+16+2,9a+b A.±5B.5C.±4D.4【解答】解:a2+ab=16+m,b2+ab=9~m,:•c^+ah+b2+ab=16+m+「•a+b2=25,/.a+b=±5,故选A.春•西安期末利用因式分解计算的结果是
7.202211X1022-11X982A.44B.800C.2200D.8800【解答】解原式二11X1O22-982=11X102+98X102-98=11x200x4=
8800.故选D.
8.2022•哈尔滨把多项式孙2-9x分解因式的结果是.【解答】解xy2-9x=x y2~9厂=x y+33,故答案为%广y+
33.•长沙模拟下列从左到右的变形,属于因式分解的是
9.2022A.尤+3尤-3=%2-9B・r一9+x=x+3%—3—xC.xy2-x2y=xyy-x D.x2++4=xx+5+45A【解答】解从左到右的变形是整式乘法,不是因式分解,故不符合题意;AA.等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故不符合题意;B.5是因式分解,故符合题意;C.等式的右边不是几个整式的积的形式,不是因式分解,故不符合题意.D.故选C.•南京模拟下列多项式能用完全平方公式分解因式的是
10.2022A.x2-2x-l B.a2-b2C.x2-2xy D.a2-6a+9【角牟答】解tz2-6a+9=tz-
32.故选D.•金东区二模下列多项式中,在实数范围内不能进行因式分解的是
11.2022A.cr—1B.cr+2a+1C.cr+4D.9a~—6a+1【解答】解、原式=不符合题意;A a+la-l,、原式=不符合题意;B a+l2,、原式不能分解,符合题意;C、原式=不符合题意.D3a-l2,故选C.•宁波自主招生若为整数,且是方川+]的一个因式,则
12.2022a,b dr—i9+的值为.a【解答】解丁一%一是苏+乐的因式,718+i当d-x-1=0时,ax+fer8+1=0,设与,%是的两根,d-1-1=0=1,1,2X]-%2/.+工二-/.Q(X]-%2)=X8一々9
①XX;-
②XX得竭九;+-(渥X+X;)=0,同理可得x+x;=9-2=7,.*.61=7x3x1=
21.故答案为
21.•南京模拟丁一的公因式是【解答】解的公因式是
13.202228%2/—8%2%.故答案为2%.•市中区二模因式分解=
14.20222/+6【解答】解以2a+6a=2a+3,2故答案为2aa+
3.
15.2022•开平市模拟分解因式m2-m=[解答]解:nr-m=mm-
1.故答案为mm-l.
16.2022•乐陵市模拟因式分解/一4=【解答】解a2-4=a+2a-
2.故答案为a+2a-
2.•宛城区一模因式分解【解答】解原式川-
17.20222aM-8a==24=2am2m
2.I故答案为2am+2m-
2.
18.2022•保亭县二模因式分解3m2-3=【解答】解:原式=3疗_1=3根—1根+故答案为1,3WI-1W7+
1.•涡阳县二模在实数范围内分解因式
19.20222d—6=.【解答】解2x2-6=2x2-3=2x+/3x-.故答案为2X+GX-G.秋•老河口市期中写出一个单项式,使得它与多项式的和为单项
20.20223%+2y式.【解答】解可填单项式-3%答案不唯一,故答案为答案不唯一.-3%秋•淇县期末仔细阅读下面例题,解答问题
21.2021例题已知二次三项式%2一4%+%有一个因式是%+3,求另一个因式以及加的值.解设另一个因式为〃,得x+x2-4x+m-x+3%+n贝!根=%,++J f-4%+3x+3nJ〃+3=-4[m=3n解得〃=一7,m=-
21.•另一个因式为加的值为・I-7,-21问题仿照以上方法解答下面问题已知二次三项式左有一个因式是求另一个因式以及女的值.2d+3x-2x-5,【解答】解设另一个因式为得x+a,-攵=+3x2x-5x+Q,贝!]厂+2x+3x-k=2-5x-5ci2Q—,25=3z..—5ci=~k解得.k=2Q=4,。