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第讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词3【课程要求】了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.
1.理解全称量词与存在量词的意义,能正确地对含有一个量词的命题进行否定.
2.对应学生用书小【基础检测】概念辨析
1.判断下列结论是否正确请在括号中打“或“X”若命题为假命题,则命题都是假命题.1pAq p,q命题和不可能都是真命题.2p p若命题至少有一个是真命题,则是真命题.3p,q pVq若命题㈱是假命题,则命题中至多有一个是真命题.4p/\q p,q“长方形的对角线相等”是特称命题.5[答案]⑴X2V374X5X教材改编
2.[选修组]已知是偶数,是质数,则命题㈱2—Ipi/p2q2p,q,pVq,pAq中真命题的个数为A.\B.2C.3D.4[解析]和显然都是真命题,所以㈱都是假命题,都是真命题.p q^p,q pVq,p/\q[答案]
8.[选修]命题“正方形都是矩形”的否定是.32—1230764[答案]存在一个正方形,这个正方形不是矩形易错提醒
4.命题使得〃,,的否定是“Vx£R,o2/力o£N’,使得〃2A.OVA使得〃v/B.Vx^R,使得〃C.mx£R,S/2o ox8使得及D.mx£R,V/EN*,[解析]的否定是m的否定是的否定是〃故选V iV,42,D.[答案]D
5.多选已知命题;命题若则.下列命题为真命题的是p Vx0,Mx+l0q ab,ab2A.pVq B.pA^q㈱㈱八谶C.pVq D.p q[解析]・・・x0,Ax+ll,.lnx+lln1=
0.・••命题p为真命题,p为假命题.取而2此时Vab,a=l,b=—2,y=i,―2=4,a2Vb2,工命题为假命题,为真命题.q q为真命题,睇为真命题,为假命题,八睇为假命题.•••pVq pA q/pVq•p q[答案]
456.已知命题加.若命题㈱是假命题,则实数加的取值范围是.p VxeR,3meR,4—21+=0p[解析]若^是假命题,则是真命题,即关于的方程・加有实数解,o x4—22+=0由于=A X入2m—4—2,2=—2-1+11,[答案]]-8,1【知识要点】
1.逻辑联结词命题中的_或且”“非”一叫逻辑联结词.
2.命题pAq,pVq,蟀p的真假判断P q pAq pVq p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真
3.全称量词、存在量词全称量词1短语“对所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做—全称量词并用符号表示.含有全称_V_量词的命题,叫做—全称命题全称命题“对中任意一个有成立“,简记作M x,px Vx£M,px.存在量词一2短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做——存在量少一并用符号_工_表示.含有存在量词的命题,叫做—特称命题―,特称命题“存在中的元素使成立”,简记作M xo,pxo金_____________________________________________________________3xo M,pxo_,量词名词常见量词表力、下节J全称量词所有、一切、任意、全部、每一个等V存在量词存在一个、至少有一个、有些、某些等
34.全称命题和特称命题全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题.名称形式全称命题特称命题结构对中的任意一个有成立存在中的一个使成立M x,px Mxo,pxo简记Vx£M,DX■x£M,pxo_否定,㈱,㈱mx£M_pxo—x£M px对应学生用书P7考点M含逻辑联结词命题的真假判断V例⑴已知命题对任意,总有、;命题/是的充分不I1p x£R20必要条件.则下列命题为真命题的是㈱八㈱A.p/\q B.p q㈱C.pAq D.p/\^q[解析]因为指数函数的值域为所以对任意歹恒成立,故为真命题;因为当0,+8,=2»0p时,不一定成立,反之当时,一定有成立,故是匕的必要不充分条件,故为假xl x2x22q命题,则^夕为假命题,为真命题,夕八^㈱八夕为假命题,㈱为真命题.pAq,q,2/\q[答案]D,、兀x+多选已知命题函数的最小正周期为兀;命题小函数的图象2p/x=sinxcosx gx=sinl2,关于原点对称,则下列命题中为真命题的是A.pf\q B.pVq糠C.q D.D TT1[解析]命题夕函数最小正周期为=兀,故命题夕为真/x=sinxcosx=sin2x,T=,、兀x+命题;命题饮函数[图象关于歹轴对称,故命题^为假命题,所以为真gx=sin2j=cosx,pVq命题,为真命题.[答案]BC[小结].判断含有逻辑联结词命题真假的步臊1含逻辑联结词命题真假的种等价关系〃▽真=〃,至少一个真=㈱八假.
2.517qpg〃\/[假=〃,均假Q㈱夕狒夕真.2q A真=〃,均真Q㈱夕夕假.3/A^q假=〃,至少一个假=谶㈱真.4p/\q q pV4㈱真假;㈱假真.5P=p p=p
1.若命题与命题“㈱都是真命题,则“pVq”p”命题与命题都是真命题A.p q命题与命题都是假命题B.p q命题是真命题,命题是假命题C.p q命题是假命题,命题是真命题D.p q[解析]因为为真命题,所以为假命题,又为真命题,所以为真命题.p pVqq[答案]
2.多选已知命题若则恒成立;命题在等差数列{中,p al,ax/ogaX qaj m+n=p+q是的充分不必要条件则下面选项中真命题是an+am=ap+aq m,n,p,q^N*.谶夕八[僚傣夕A.B.pV谶哈C.p\D.p/\q[解析]当时,丁=此时,x故夕为假命题.Q=,x=22=,logaX=log2log=2,a\ogaX9命题夕,由等差数列的性质,当用+〃=时,期+〃=劭+%成立,p+q0当公差时,由=不能推出成立,故是真命题.d=Q a-\-a ap-\-a m-\-n=p-\-q qm n q故㈱是真命题,㈱是假命题,所以为假命题,为假命题,夕为真命题,㈱夕㈱p9Aq V为真命题.q[答案]AB考点21A全称命题与特称命题匚口例命题“对任意X0R,都存在〃使得加62成立”的否定为21201,对任意x£R,都存在加使得成立A.ol,对任意x£R,不存在加使得加守成立B.01,0%存在x£R,对任意〃都有加C.*1,xoWexo存在R,对任意都有D.xo£m1,mxoexo[解析]•・•全称命题的否定是特称命题,・••命题“对任意x£R,都存在〃201,使得〃2戌守成立”的否定是“存在Xo£R,对任意,都有加成立”.m\xoWexo[答案]c下列四个命题:2()l2j l3j;Sxoe0,+8,e()3xo0,1,logxolog^xo;2())1Vxe o,+8,
[2]gP3O210,13J,12JVxel logP4X其中真命题是.,,A.pi P3B.pi P4,夕,C.22P3D.2P4[解析]根据嘉函数的性质,对故命题是假命题;由于Vx£O,+°°,l2j UJ,Pi log xiIgx_Igx lgxlg2—lg3=—logx=故对Vx£0,1,log xlogx,所以1XO£O2--lg2-lg31g21g3x A0I命题是真命题;当时,〈,故不,log Xolog Xo,P22012jvl,tog x\I2J kgx1i inpi pi11成立,备题是假命题;p3,故;命题是真命鼠故3J,0l2jl,logX\LJvlog/P4为真命题.P2,241[答案]D3[小结]对全特称命题进行否定的方法1
①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词;
②对原命题的结论进行否定.判定全称命题是真命题,需要对集合中的每一个元素羽证明成立;要判断特称命2px题是真命题,只要在限定集合内找到一个使夕成立.x=xo,xo含有一个量词的命题的否定及真假判断是高考命题的热点,而全称命题、特称命题的真3假判断常与不等式、方程等相结合,涉及知识面较广,难度不大,是中低档题.一般以选择题、填空题的形式出现.
3.命题的否定形式是“mxo£R,l/xoW2”A.VxeR,l/x^2B.Bxo1A%o^2或C.3x eR,o^l./xo20\或D.VxeR,/x2[解析]特称命题的否定是全称命题,原命题的否定形式为或大幻2”.[答案]D
4.下列命题是假命题的是使A.3a,3ER,cosa+P=cos a+cos4函数都不是偶函数B.V0WR,/x=sin2x+9使石+高+加且为常数C.3xoeR,o+c=Oa,b,c£R函数有零点D.VQ0,./x=ln2x+lnx—a;研_1_[解析]取兀,夕=一兀,夕,正确;取夕=兀,函数1=cosa+£=cos a+cos A/x=sinl2是偶函数,错误;对于三次函数当—8时,°°,当十=cos2x By=/x=x3+ax2+6x+c,y-^—X-8时,又危在上为连续函数,故使正确;当时,yf+8,R mxo£R,X8+QX8+6XO+C=O,C./x=02则有2所以函数有零点,正确,综上可ln x+lnx—7=0,6r=ln x+lnx=2Va0,/Cx=ln2x+lnx—a D知,选B.[答案]B【、例已知〃一若对使得》31fx=/x2+1,gx=2/m,Vxi£[0,3],3x2^[1,2],fxi gX2,则实数的取值范围是.m[解析]当时,加〃=当时,x@[0,3]fx f0=0,x£[l,2]〃由加〃加〃,gx%»=g2=-m,4x2gx4得所以0l—m,44「1+[答案][94已知且命题函数在内单调递减;命题曲线2a0,aWl,p y=/ogax+1x£0,+8q y=x+与轴交于不同的两点.若为假,则的取值范围是2a—3x+l x“pVq”ar5r rr511八」」」
25.12U12「15]115,],十8,,1C[22j D[2Ju^J[解析]当〈〈时,函数在内单调递减,若为假,则.曲线O al y=/ogax+l0,+8p al2与轴交于不同的两点等价于即或.若为假,y=x+2a—3x+1x2a—32—40,av1a q则」.若使为假,则」,即〔2“pVq”a£l,+8n122a£2_.[答案]/[小结]根据命题的真假求参数的取值范围的步骤求出当命题为真命题时所含参数的取值范围;1p,q根据复合命题的真假判断命题的真假性;2p,q根据命题的真假情况,利用集合的交集和补集的运算,求解参数的取值范围.3p,q
5.命题实于的不等式对一切恒成立;命题函数,危=p x x2+2ax+40,x£R q3尸是增函数.若为真,为假,则实数的取值范围是—24p\/q[解析]p为真J=4a2—160,解得一2VQ2;为真解得q3—2tzl,
1.为真,八为假,,一真一假.,:p\qp9p,q..,[—2a2,当p真q假时,=1WQ2;三或2QW—2,,当夕假真时,9=QW—
2.a\工实数的取值范围是一8,][-2U1,
2.[答案]-8,][-2U1,2v2—X+
16.己知函数xfx=x22,gx=a al,xN
2.x—1若使成立,则实数的取值范围是;⑵若1mxo£[2,+°°,fxo=m mVxi£[2,+oo,[2,+8,3X2E使得则实数的取值范围是fxD=gX2,a三当且仅当时v2—x—1=x+1=x—1+1+12+1=3,x=2X—1X—1等号成立,所以若女使成立,则实数[解析]⑴因为o£[2,+8,fxo=m mfx=的取值范围是[3,+
8.X—1因为当时,若使得2x22fx23,gx22,vxi£[2,+~,3x e[2,+~,fx1=gX2,2a2q贝解得Ia£l,3].al,[答案]⑴;[3,+821,3]对应学生用书P8•全国卷文记不等式组一+丫’,表示的平面区域为命题2019HI6D.p3x,yeD,2x—y20,;命题.下面给出了四个命题2x+y29q Vx,y£D,2x+yW12
①;
②;
③㈱
④八pVq^pVq p/\q;p q;这四个命题中,所有真命题的编号是
①③①②②③③④A.B.C.D.v=2x x—2[解析]如图,平面区域为阴影部分,由’得D lx+y=6,ly=4,即直线与直线均过区域A2,4,2x+y=92x+y=12D,则真假,有假㈱真,所以
①③真,
②④假.故选p qq4[答案]/点集训三第讲简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词93对应学生用书P204A组题.命题的否定为1+8,x+3l”[A.3xo^—2,+°°,xo+3l[B.Sxo^—2,+°°,xo+321[C.Vx£—2,+°°,x+3l,D.Vxe-oo,-2,x+3l[解析]:全称命题的否定是特称命题,,命题[的否定是[“Vx£—2,+°°,x+321”“mxo£—2,+°°,xo+3l”.[答案]N.下列命题中的真命题是2使得A.SxeR,sinx+cosx=2vB.Vx^0,+°°,e x+1X XC.3xe-oo,o,23D.Vxe0,7i sinxcosx9兀_x+a[解析]因为故错误;当时,的图象在》》的图象上方,sinx+cosx=2sinl2,A x0=2=3故错误;因为时有故错误.故选C xe04sinxcosx,D B.[答案]B多选已知命题为直线,为平面,若〃,则〃;命题若
3.p m,n am n,nu am aq ab,则.则下列命题为假命题的是acbc㈱A.pVq B.pVqC.^pAq D.pAq[解析]命题若则为假命题,命题为直线,为平面,若〃q ab,acbc pm,n amn,nua,则〃也为假命题,因此只有为真命题.m apVq”[答案]/CD已知命题是命题“若则的逆命题;命题若复数
4.p acbc,ab”q x—l+x2+x,是实数,则实数则下列命题中为真命题的是—2x=l,A.pVq B.pAq隰僚侬C.pA qD.pAq[解析]由题得命题若则是假命题.p ab,acbc,因为是实数,X—l+x+x—2»所以2e或x+x—2=0,..x=—2x=l.所以命题是假命题,q故㈱是真命题.p/\q[答案]1X已知命题有下列命题
5.p X/x,y£R,xx+l+2y2—y,q2xoR1+3J xo
①②夕
③㈱;
④㈱㈱幻,其中是真命题的有
①②①③②④③④0A/V/pA^qpVA.B.C.D.x+2,+8T2+»•.•命题P为[解析]・・%+14~2~y2—y=x2-\~x~\ry1_2j+2=L21真;・是减函数,是增函数,,它们的图象在第一象限有交点,从而有解,,=l+13j y=x1+13J vx命题为真,,
①②均为真,
③④均为假.9[答案]A命题的否定是“对所有正数,则命题可写为.[解析]因为是㈱的否定,
6.p x,xx+l p p p所以只需将全称量词变为特称量词,再对结论否定即可.[答案]mx£0,+°°,xoWxo+1已知命题[]x;命题若命题a v是真命题,
7.p Vx£0,1,a^e q3xo^R,x3+4xo+a=O.p/\q则实数的取值范围是.[解析]命题为真;命题为真因为命题是真命题,p a2e q16—4QN0,QW4,所以夕,都为真,即实数的取值范围是[,]9e
4.[答案]瓜]4已知命题〃,的否定为假命题,则实数的取值范围是
8.“Vx£R,/—51+1502[解析]由;〃的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式“Vx£R,N—51+0”2对任意实数了恒成立.X—5X+Q02设危=/—则其图象恒在轴的上方.故义战解得心5X+15Q,14=25—4150,5,2264+OO即实数的取值范围是16,「]5_u[答案][6J组题B已知函数若命题:a使是真命题,则实数的取值范围
1.fx=4|a|x—2a+L3x eO,1,fxo=O”ao是.[解析]由使得是真命题,3x eO,1,fxo=O”o得fO-flO=l-2a4|a|-2a+10卜2或]a0,i2a+l2a-l0=a.[答案心+oo6a—12a—10,2命题关于的不等式对一切恒成立;命题/函数》=—一》
2.p Xx2+2ax+40x£R52是减函数,若为真命题,夕八乡为假命题,则实数的取值范围是.pVq[解析]先求出命题为真命题时实数的取值范围,对一切恒成立,p,q QX2+2QX+40x£R则/=解得一,即命题;函数,是减函数,则2a2—4X1X40,2a2p—2a2y=—5—2a〃得即命题令为真命题,则和至少有一个为真,夕为假命题,5—21,2,
2.pVq pq Aq则和至少有一个为假,所以和乡一真一假,但当为真时,一定为真,故夕假且真,P qppq g所以实数的取值范围是一8,]-
2.[答案]-8,]-2已知函数x若
3.fx=x+t gx=2+a,Vxi£_2x3」,[]使得》则实数的取值范围是.3X2e2,3fxi gX2,a~17,34[解析]・・・匕」,・・・,・当且仅当时,〃〃当[]x£fx2x-=4,x=2fx“=4,x£2,3x时,2依题意知加〃加〃,即gx=2+a=4+a,fx2gx42a+4,JaWO./w/w[答案]一]8,0-i r已知2函数存在零点,若为真命
4.p Vx£_4‘2_,2xmx+l,q fx=4x+2x i+m—1“pAq”题,则实数的取值范围是.m[解析]由2可得2xmx+l,m,2x+1112x又9时,x£_42_lx2+lj=t故当为真时,;p4…m函数xx+1X2fx=4+2+m—1=2+l+m—2,令氏得x=0,2*=2-m-l,若存在零点,fx则解得〈2—m—10,m l,故当为真时,q ml.f4i]若为真命题,则实数的取值范围是“pAq”m15,J4a[答案],[5J。