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容斥原理专题简析容斥问题涉及到一个重要原理——包含与排除原理,也叫容斥原理即当两个计数部分有重复包含时,为了不重复计数,应从它们的和中排除重复部分容斥原理对n个事物,如果采用不同的分类标准,按性质a分类与性质b分类(如图),那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb—Nab例1:一个班有48人,班主任在班会上问“谁做完语文作业?请举手!”有37人举手又问“谁做完数学作业?请举手!”有42人举手最后问“谁语文、数学作业都没有做完?”没有人举手求这个班语文、数学作业都完成的人数分析完成语文作业的有37人,完成数学作业的有42人,一共有37+42=79人,多于全班人数这是因为语文、数学作业都完成的人数在统计做完语文作业的人数时算过一次,在统计做完数学作业的人数时又算了一次,这样就多算了一次所以,这个班语文、数作业都完成的有79-48=31人练习一1,五年级有122名学生参加语文、数学考试,每人至少有一门功课取得优秀成绩其中语文成绩优秀的有65人,数学优秀的有87人语文、数学都优秀的有多少人?2,四年级一班有54人,订阅《小学生优秀作文》和《数学大世界》两种读物的有13人,订《小学生优秀作文》的有45人,每人至少订一种读物,订《数学大世界》的有多少人?3,学校文艺组每人至少会演奏一种乐器,已知会拉手风琴的有24人,会弹电子琴的有17人,其中两种乐器都会演奏的有8人这个文艺组一共有多少人?例2:某班有36个同学在一项测试中,答对第一题的有25人,答对第二题的有23人,两题都答对的有15人问多少个同学两题都答得不对?分析与解答已知答对第一题的有25人,两题都答对的有15人,可以求出只答对第一题的有25—15=10人又已知答对第二题的有23人,用只答对第一题的人数,加上答对第二题的人数就得到至少有一题答对的人数10+23=33人所以,两题都答得不对的有36—33=3人练习二1,五
(1)班有40个学生,其中25人参加数学小组,23人参加科技小组,有19人两个小组都参加了那么,有多少人两个小组都没有参加?2,一个班有55名学生,订阅《小学生数学报》的有32人,订阅《中国少年报》的有29人,两种报纸都订阅的有25人两种报纸都没有订阅的有多少人?3,某校选出50名学生参加区作文比赛和数学比赛,结果3人两项比赛都获奖了,有27人两项比赛都没有获奖已知作文比赛获奖的有14人,问数学比赛获奖的有多少人?例3:某班有56人,参加语文竞赛的有28人,参加数学竞赛的有27人,如果两科都没有参加的有25人,那么同时参加语文、数学两科竞赛的有多少人?分析与解答要求两科竞赛同时参加的人数,应先求出至少参加一科竞赛的人数56—25=31人,再求两科竞赛同时参加的人数28+27—31=24人练习三1,一个旅行社有36人,其中会英语的有24人,会法语的有18人,两样都不会的有4人两样都会的有多少人?2,一个俱乐部有103人,其中会下中国象棋的有69人,会下国际象棋的有52人,这两种棋都不会下的有12人问这两种棋都会下的有多少人?3,三年级一班参加合唱队的有40人,参加舞蹈队的有20人,既参加合唱队又参加舞蹈队的有14人这两队都没有参加的有10人请算一算,这个班共有多少人?例4:在1到100的自然数中,既不是5的倍数也不是6的倍数的数有多少个?分析与解答从1到100的自然数中,减去5或6的倍数的个数从1到100的自然数中,5的倍数有100+5=20个,6的倍数有16个100+6=16……4,其中既是5的倍数又是6的倍数即5和6的公倍数的数有3个1004-30=3……10因此,是6或5的倍数的个数是16+20—3=33个,既不是5的倍数又不是6的倍数的数的个数是100—33=67个练习四1,在1到200的全部自然数中,既不是5的倍数又不是8的倍数的数有多少个2,在1到130的全部自然数中,既不是6的倍数又不是5的倍数的数有多少个?3,五1班做广播操,全班排成4行,每行的人数相等小华排的位置是从前面数第5个,从后面数第8个这个班共有多少个学生?例5:光明小学举办学生书法展览学校的橱窗里展出了每个年级学生的书法作品,其中有24幅不是五年级的,有22幅不是六年级的,
五、六年级参展的书法作品共有10幅,其他年级参展的书法作品共有多少幅?分析与解答由题意知,24幅作品是
一、
二、
三、
四、六年级参展作品的总数,22幅是
一、
二、
三、
四、五年级参展作品的总数24+22=46幅,这是一个
五、六年级和两个
一、
二、
三、四年级参展的作品数,从其中去掉
五、六两个年级共参展的10幅作品,即得到两个
一、
二、
三、四年级参展作品的总数,再除以2,即可求出其他年级参展作品的总数24+22-10+2=18幅练习五1,科技节那天,学校的科技室里展出了每个年级学生的科技作品,其中有110件不是一年级的,有100件不是二年级的,
一、二年级参展的作品共有32件其他年级参展的作品共有多少件?2,六
(1)儿童节那天,学校的画廊里展出了每个年级学生的图画作品,其中有25幅画不是三年级的,有19幅画不是四年级的,
三、四两个年级参展的画共有8幅其他年级参展的画共有多少幅?3,实验小学举办学生书法展,学校的橱窗里展出每个年级学生的书法作品,其中有28幅不是五年级的,有24幅不是六年级的,
五、六年级参展的书法作品共有20幅
一、二年级参展的作品总数比
三、四年级参展作品的总数少4幅
一、二年级参展的书法作品共有多少幅?。