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第八节锥曲线的综合应用
一、基本知识概要知识精讲1圆锥曲线的综合问题包括解析法的应用,数形结合的思想,与圆锥曲线有关的定值、最值等问题,主要沿着两条主线,即圆锥曲线科内综合与代数间的科间综合,灵活运用解析儿何的常用方法,解决圆锥曲线的综合问题;通过问题的解决,进一步掌握函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想.重点难点正确熟练地运用解析几何的方法解决圆锥曲线的综合问题,从中进一步体会分类讨2论、等价转化等数学思想的运用.思维方式数形结合的思想,等价转化,分类讨论,函数与方程思想等.3特别注意要能准确地进行数与形的语言转换和运算、推理转换,并在运算过程中注意思维的4严密性,以保证结果的完整
二、例题例是抛物线(〉)上的两点,且(为坐标原点)求证:L A,B V=2px p0OA_LOB0()两点的横坐标之积,纵坐标之积分别是定植;1A,B()直线经过一个定点2AB22证明・
(1)设4为,%),8(%2,丁2),贝物1=2处,y2=2p%2,,/0A OB.x x+y y-_L0x2x2〃2()一为(一々),当天左2y2=2p x,2w*2,ABy+8两式相乘得必为=一〃玉々42,=4p2所以直线的方程(化简得(夕),A3y-y=3—x-xj y=x-2+打y+%y()过定点(小),当天=々时,显然也过点2P.O所以直线过定点()例、(20AB2p,022005年春季北京,)如图,为坐标原点,直线/在轴和轴上的截距分别是18O xy和人(〃,)且交抛物线)于(%],必),(々,为)两点0/0,F0M N()写出直线/的截距式方程1()证明—+—乃b2y()当=〃时、求的大小(图见教材页例)32NMON P1351解()直线/的截距式方程为二+上=()111a b、由及消去可得21y2=2px x+2pQy—2paZ=02点的坐标,力为()的两个根故必+为=20a,必,乃〃
⑦M,N M2=-2b-2pa所以L===L—2pa by2y2()、设直线、的斜率分别为匕/则匕=工也=■3OM ON2,x xx2当〃〃时,由()知,为〃=一〃=22y=-242,由,〃相乘凝必当尸〃百%=4p2,4py;=2g4=2%2,=42%x2=’=*J.~~~4P2因此=型=二^-=—.所以即A/221OM_LON,/MON=90°4pXjX2说明本题主要考查直线、抛物线等基本知识,考查运用解析几何的方法分析问题和解决问题的能力22例、(年黄冈高三调研考题)已知椭圆的方程为二十二=(〉)双曲线32005C180,cr b~22的两条渐近线为」过椭圆的右焦点作直线/,使又/与,交1-2=1/12,c F2ra b于点,设/与椭圆的两个交点由上而下依次为、(图见教材页例)P CA BoP1352()当人与乙夹角为双曲线的焦距为时,求椭圆的方程160°,4C
(2)当FX=%47时,求2的最大值A A解
(1)・.•双曲线的渐近线为y=±±x,两渐近线的夹角为60°,又21,a ach/POx=,即一=.又/+/230tan30=——=a==4,a3由已知/:”沁琮与尸白解得p3/.a1万=.故椭圆的方程为一十=31c9=
1.3a
2.abnC+AA由党=乂得将点坐标代入椭圆方程得A Af,—J,A1+A1+2/+㈤2Q22C2+/ZZ22+04=1+22〃22,.2+22=e+r\4Z・・・尤—「二—2+——+33-2V
2.2」L2—2・•/的最大值为\历一1说明本题考查了椭圆、双曲线的基础知识,及向量、定比分点公式、重要不等式的应用解决本题的难点是通过恒等变形,利用重要不等式解决问题的思想本题是培养学生分析问题和解决问题能力的一道好题2例
4、A,F分别是椭圆1厂+一1厂=1的一个上顶点与上焦点,位于x轴的正半轴1612上的动点与的连线交射线于求T t,0F0A Q,点的坐标及直线的方程;1A,F TQ三角形的面积与的函数关系式及该函数的最小值2OTQ St写出该函数的单调递增区间,并证明.3解:⑴由题意得A1,3,F1,1直线得方程为TQ x+tlyt=O射线的方程代入的方程,得玄=」一20A y=3xx0,73r-271*由q〉0,得”天贝1儿=^~7,「・=——-j一JI—乙z z132344=丁丁=—^・.・才・・.32互=,当]时取等号二二「2—42+333t产t34444所以的最小值为]St-41在上是增函数3St-,+oo1_3224?一]..1«2_4/I—14设£乙占那么SG—s%=…=弓・J5----------------------------亿--^242222・・・,2AN],..・一§2§J一]〉],…,♦・S«2SQ]所以该函数在上是增函数g,+o
三、课堂小结、解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征,熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何1特征转化为数量关系,再结合代数等知识来解、对于求曲线方程中参数范围问题,应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等2式,通过解不等式求得参数的范围;或建立关于参数的目标函数,转化为函数的值域来解四.作业:教材闯关训练.P136。