求矩阵的Jordan标准形的两种方法

求矩阵的标准形的两种方法Jordan方法

1.利用矩阵的初等因子原理由于矩阵的每一个初等因子与一个Jordan块相对应，反之亦然.求出全部的初等因子即可得出其Jordan标准形.方法

2.利用特征值和特征向量可求的可逆矩阵T使得「力丁为Jordan标准形.原理在复数域上，每一个矩阵都与一个Jordan标准形相似，即存在可逆矩阵T使得丁一AT为Jordan标准形.-

26、，-103,分别用两种方法求A的Jordan标准形.例.设A=-14T解:方法

1._6f01—A9+1-+34—

2、r-r231—4AE-A=1y UiA-41」0o

0、告02-11-4A-i1—

40、01-A一丁+3A—2,0—A2+24—12-I2得A的初等因子为2—1,4—12,于是A的Jordan标准形为门、1J=1=

010.1I t°L方法

2.1首先求A的特征值.\AE-A\=2-13,所以特征值为2求出相应的特征向量.求解齐次线性方程组£-AX=0的全部解:’22一6]f11-

3、—3-0E-A=110000J1相应的特征向量为%=—1,1,0,%=3,0,

1.%，%为特征值空间Vi的基.⑶求出一组基，使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.-3o2-1由于A不能对角化，所以必存在一组基片,四,分3使得A在此基下的矩阵为Jordan标准形.再考虑到A有两个线性无关的特征向量，所以A有一个二阶的Jordan块,即AB\=B\，A02=+又，A03=优.可见力,63£匕，需要求出向量分满足（人-£）尸2=尸3・所以求解线性方程组A—EX=%+幺％=尸3k-26-左1+3k]—3-3取攵攵一攵）k—13k1=2=-3012k3k,—1-602该方程组的增广矩阵为由于我们想要求一个向量分3=%0+%2%匕使得线性方程组（*）有解，所㊂以可取任何使得该方程组有解的ki,k

2.我们取了ki=k2=k.事实上，还可以直接取ki二k2=k=l.即4=囚+%=（2,U）,这样就得到了（*）的解见=

（1）・再取==«=（-于是我们有:区=区，瓦=瓦+又，M=A

4100、

12、的„邛\,四,仇）a101b=3，=i〔b’

100、T-XAT=010。