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则K,——L——r r w w即当资本利用率或工资提高时,禾u润率随之下降,当产品价格上涨时,最大利润率随之上升2PK L rK wL利润最大化时,最优解为K KP,r,w,L L P,r,wPQ K,LrK wL为最优值函数K,L,KL r rww P
11.考虑参数为a的极大化问题函数f X;a X23ax4a2a0:1利用包络定理求函数f x;a的最大值关于参数a的导数;a2分析参数对目标函数的最大值的影响解1假设最优解为X x a,f x a,a2一阶条件为0,即2x a3a0x
12.考虑参数最优化问题max f x,a a3x423x3eax213(a为参数)所以,参数a与木匾函数的最大值同向变动1求目标函数的极大值关于参数a的导数;⑵分析参数a对目标函数的极大值的影响假设这个问题的最优解xa0o解1假设最优解XX a利用包络定理d fa2xa0,由1中结果,一a^一》°,所以参数a对目标函数极值的影响是同增同减的a,b,d0,求长期总成本函数q OCL给定依赖于投入参数’的短期总成本函数c q,y aybq当,这里解长期总成本函数Cq minCq,y aybq也a,b,d0s2ydq dqdq代入可得cqa\bq.4a要使上式为极小值,必须满足一阶必要条件:
14.航空公司在甲乙两地之间有固定的航班他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航班的乘客的需求看作两个单独的市场假设商务乘客的需求函数为Q16p,旅游乘客的需求函数为Q10P,对于所有乘客的成本函数为C Q10Q\该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润?解总利润函数4P278P376由一阶必要条件可得,P39二阶充分条件可得,”80,即该点为极大值
15.给定一个价格接受的厂商的生产函数Q K,L假设0,即资本的边际产量随着劳OQKL动力的增加而增加给定产品价格P,资本的租金率r和工资3,贝尼的利润函数为nK,L PQ K,LnK sL假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立,试分别讨论外生变量r、s和P之一的变化对各个内生变量的最优值K和L的影响解由题可知,厂商最优值为K KP,r,w,L LP,r,w最优函数为PQ K,LrK wL贝口Q K K QL L1X贝---p rp盯Kr KrrLrr根据利润最大化一阶必要条件可得pR r0,p2w0K L利用包络定理,内生变量对外省变量的影响如下K,QK,L1州0,I2A20,则海赛矩阵为负定矩X y942时,,111州0,12A0,则海赛矩阵为负定矩x,y时,2阵,因此函数在该点有严格极大值为8;
3.试说明对于任意的0,生产函数fxAK L是凹函数阵,因此函数在该点有严格极大值为证明f AK1L fKKL1K L因为01,01,所以|HK_L0;且1A0,02A°,Hessian是负所以函数的Hessian矩阵为
4.考虑生产函数y LKPo如果01,01,1,试说明该生产函数对于L和K的任意取值都是严格凹函数如果1,该函数是什么形状定的,因此生产函数是严格凹函数证明1同上,可求得函数的Hessian矩阵为Hessia n是负定的,该函数对于K、L任意取值都是严格凹函数
5.某完全竞争厂商由单一可变投入L劳动,每期工资率为W若该厂商每期的固定成本为F,产品的价格为P,要求1写出厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数;2何为利润最大化的一阶条件?解释此条件的经济意义;3什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小?解1生产函数为Q fL收益函数为R PQ PfL成本函数为C LWo F利润函数为R CPf L LW F02禾U润最大化的一阶条件为Wo0,即w°o该条件的经L LLP济含义为在利润最大化时,单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值3要满足利润最大化而不是最小,则要满足利润最大化的二阶充分条件因为P,所以小2,也就是说,在边际产出递减规律的经济条件下才能实现L利润最大化.
6.某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q:C-Q-7Q2111Q50,Q100P3请回答下列问题:1确定总收益函数R与总利润函数2确定利润最大化的产出水平及最大利润解1R PQ Q100Q2利润最大化的一阶必要条件为2Q12,利润最大化的二阶充分条件为:解得,Q1,Q IK当Q1时,0,函数取得极小值为-55・33;2Q当Q11时,飞0,函数取得极大值为
111.33;2Q所以,在产出水平为11时,利润最大为
111.
337.设有二次利润函数Q hQ123jQ k,试确定系数所满足的约束,使下列命题成立1证明若什么也不生产,由于固定成本的关系,利润将为负;2证明利润函数为严格凹函数;3求在正的产出水平Q下的最大化利润解1由题可知,当Q0时,ko由于固定成本存在的关系,利润为负,因此140,60,200又1122112212所以,在利润最大化是价格水平为R7,P
21.5,
29.假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商,产品的价格分别为R和P,单位时间内i产品的产出水平为厂商成本函数为C2Q;QQ2Q,求1利润最大化的产出水平;2若总成本函数为C2Q;2Q;,两产品的生产是否存在技术相关性,新最优水Qi与Q的平是多少?3对参变量R和P2进行比较静态分析解1RQi PQ2Q i42Q/22QIQ2--R4QQ0P4Q--Q,022Q.1Q,221Jm13P4P2可得Qi-Q2,332RQ12Q2Q22P2Q2l2T P4Qi0,T R4Q2O,QQi11可得,Qi Pi,Q2P2而0,即在最优产量下,Q-Q2不存在技术相关性QQ443由1问中的最优产量Q晋J,Qz33Qi4Qi1Q213Q42P3P23Pi3P3213即,产品1价格上升1单位,产量上升,价格下降3314产品1价格上升1单位,产量下降,价格下降-;
3310.一个公司有严格凹的生产函数QK±o给定P产品价格,r资本的利用率,工资要求:1对利润达到最大化的投入要素K与L进行比较静态分析,并作简要的分析说明;2假定生产函数是规模报酬递减的Coob-Douglas函数,做同样的比较静态分析解⑴PQK,L rK wL利润最大化时,最优解为KKP,r,w,LLP,r,wPQ K,LrKwL为最优值函数r变化对最大利润的影响为:P-r—P-w JLKL r利润最大化时有P—r0,P—w0。