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文本内容:
2在平面直角坐标系中,任意有序实数对x,,都对应一点P;3V%eN,f
0.解⑴因为一1WZ,且-13=—11,所以u3xez,rvl”是真命题.2由有序实数对与平面直角坐标系中的点的对应关系知,它是真命题.3因为0£N,02=0,所以命题f0”是假命题.反思感悟判断一个命题为真命题应给出证明,判断一个命题为假命题只需举出反例,具体而言1要判定一个存在量词命题为真,只要在给定的集合内找到一个元素,使命题为真即可;否则命题为假.2要判定一个全称量词命题为真,必须对给定集合中的每一个元素,命题都为真;但要判定一个全称量词命题为假,只要在给定的集合中找到一个元素,使命题为假.跟踪训练2试判断下列命题的真假;lVxeR,f+l2⑵直角坐标系内任何一条直线都与x轴有交点;⑶存在一对整数长y,使得2x+4y=
6.解⑴取1=0,则%2+1=12,所以f+12”是假命题.⑵与x轴平行的直线与x轴无交点,所以该命题为假命题.3取x=3,y=0,则2x+4y=6,故为真命题.
三、由含量词命题的真假求参数的范围例3已知集合A={x|—2Wx5},5={R〃2+1W XW2〃L1},且3W0,若命题p是真命题,求〃2的取值范围.解由于命题p XxRB,是真命题,m+1W2加一1,所以32A,BW0,所以根+1,-2,、2加一1W5,解得2WzW
3.延伸探究
1.把本例中命题〃改为,求相的取值范围.解p为真,则AA3W0,因为BW0,所以相
2.—2W机+1W5,―2W2根—1W5,所以>7或>7解得2Wm<
4.
2.把本例中的命题〃改为“Vx£A,x£B,是否存在实数〃2,使命题p是真命题?若存在,求出实数〃2的取值范围;若不存在,说明理由.解由于命题p是真命题,m+1W2m~1,所以ACB,B¥0,所以〈根+1W—2,2m—125,解得0,所以不存在实数相,使命题p是真命题.反思感悟依据含量词命题的真假求参数取值范围问题的求解方法1首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意.⑵其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式组求参数的取值范围.跟踪训练3若命题x2—4X+Q=0”为真命题,求实数的取值范围.解•.•命题u%2—4X+2=0,为真命题,,方程X2—4%+〃=0存在实数根,则/=—42—4Q20,解得QW
4.1课堂小结-
2.知识清单1全称量词命题、存在量词命题的概念.2含量词的命题的真假判断.3依据含量词的命题的真假求参数的取值范围.
3.常见误区有些命题省略了量词;全称量词命题强调“整体、全部”,存在量词命题强调“个别、部分”.N随堂演练
1.下列命题中是存在量词命题的是A.任何一个实数乘以0都等于0B.任意一个负数都比零小C.每一个正方形都是矩形D.存在没有最大值的二次函数答案D解析D选项是存在量词命题.
2.下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是()A.每个二次函数的图象都开口向上B.存在一条直线与已知直线不平行C.对任意实数b,若〃一/0,则WbD.存在一个实数X,使等式,一2x+l=0成立答案c解析B,D是存在量词命题,故应排除;对于A,二次函数、=五++以战0)的图象开口向下,也应排除,故应选C
3.命题“有些负数满足不等式l+x0”用“三”写成存在量词命题为.答案3x0,l+x0解析存在量词命题“存在集合M中的元素%,使p(x)成立”可用符号简记为()P x”.
4.若一次函数y=+2(x£R)的图象恒过第三象限,则实数Z的取值范围为.答案{川Q0}解析一次函数丁=履+2的图象过点(0,2),若恒过第三象限,则Q
0.课时对点练印基础巩固
1.下列命题是“\/x£R,f3”的另一种表述方式的是()A.有一个x£R,使得f3B.对有些x£R,使得/3C.任选一个x£R,使得止3D.至少有一个x£R,使得/〉3答案C解析“V”表示“任意的”.
2.(多选)下列命题是全称量词命题的是()A.任意一个自然数都是正整数B.有的菱形是正方形C.梯形有两边平行D.3xeR,『+1=0答案AC解析选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题.
3.(多选)下列命题中是存在量词命题的是()A.有些自然数是偶数B.正方形是菱形C.能被6整除的数也能被3整除D.存在x£R,使得|x|WO答案AD解析选项A是存在量词命题;选项B可以叙述为“所有的正方形都是菱形”,是全称量词命题;选项C可以叙述为“一切能被6整除的数也都能被3整除”,是全称量词命题;而选项D是存在量词命题.A.同=0B.3%eR,2x-10=lC.VxeR,^0D.VxeR,『+
104.下列命题中是假命题的是()答案C解析当x=0时,9=0,故选项C为假命题.
5.下列命题中既是全称量词命题又是真命题的是()A.Vx£R,2x+l0B.若2x为偶数,则x£NC.菱形的四条边都相等D.兀是无理数答案C解析A项,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;B项,是假命题,也不是全称量词命题,故B不正确;C项,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;D项,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确.
6.已知命题pVxeR,l+Zx—GO.若〃为真命题,则实数的取值范围是()A.a—1B.a—1C.—1答案B解析依题意不等式x2+2%—0对R恒成立,所以必有/=4+4〃0,解得〃—
1.
7.下列命题,是全称量词命题的是,是存在量词命题的是.填序号
①正方形的四条边相等;
②有两个角是45的三角形是等腰直角三角形;
③正数的平方根不等于0;
④至少有一个正整数是偶数.答案
①②③④解析
①②③是全称量词命题,
④是存在量词命题.
8.若x—QWO”是真命题,则实数的取值范围是.答案一8,1解析由题意得命题[1,2],X—为真命题,即%—Q minW0,/.1—/.
1.
9.判断下列命题的真假.⑴每一条线段的长度都能用正有理数来表示;2存在一个实数x,使得等式f+x+8=0成立.解1假命题,如边长为1的正方形,其对角线的长度为也,也就不能用正有理数表示.⑵假命题,方程x2+x+8=0的判别式/=—310,故方程无实数解.
10.判断下列命题哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假性.⑴对所有的正实数工3为正且正六⑵存在实数X,使得X2—3X—4=0;3存在实数对x,y,使得3x—4y—50;4角平分线上的点到这个角的两边的距离相等.解1为全称量词命题,且为假命题,如取,=1,则3〈,不成立.2为存在量词命题,且为真命题,因为判别式4QC=
250.3为存在量词命题,且为真命题,如取实数对2,0,则3%—4y—50成立.4为全称量词命题,且为真命题.口综合运用
11.多选下列命题中正确的是A.xWOB.至少有一个整数,它既不是合数也不是质数C.三次£{x|x是无理数},x+5是无理数D.存在x£R,使得炉+121答案ABC解析A中,xWO,正确;B中,至少有一个整数,它既不是合数也不是质数,正确,例如数1满足条件;C中,是无理数},x+5是无理数,正确,例如工=兀;D中,%2—2x+1=%—12^0,错误.
12.已知命题p3xeR,x2+4x+tz=0,若命题p是假命题,则实数的取值范围是A.04B.a4C.a0D.〃三4答案B解析:p是假命题,,方程―+以+^二没有实数根,即/=16-4〃0,即〃
4.
13.能够说明“存在两个不相等的正数a,b,使得〃一”是真命题的一组有序数对〃,为.答案6,9答案不唯一解析存在两个不相等的正数圆b,如=看b=^此时一6=就是真命题.
14.已知命题p〃一3x+l=0”是真命题,则实数4的取值集合是.答案{〃|aW3,a^R}解析因为〃-3x+l=0”是真命题,所以关于x的方程a—3x+l=0有实数解,所以Q—3W0,即所求实数的取值集合是{〃|aW3,a^R}.拓广探究n
15.已知A={x|KW2},命题a\/x^A,x2-a^0v是真命题的一个充分不必要条件是A.B.C.D.答案C解析当该命题是真命题时,只需QN*max,XWA={R1WxW2}.又y=f在上的最大值是4,所以因为分25=巳
4.所以命题“Vx^A,A2—是真命题的一个充分不必要条件是〃
25.
16.若Vx£R,函数丁=%2+加%—1—的图象和次轴恒有公共点,求实数的取值范围.解因为函数y=e+7TU—的图象和X轴恒有公共点,所以zf=m2+4l+a20恒成立,即/n2+4d+4^0恒成立.设巾=f+4o+4,则可转化为此二次函数的图象恒在x轴上方或图象顶点在x轴上的充要条件是4—44〃+4W0,可得a2—
1.综上所述,实数,的取值范围是{a|a—1}.。