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数列放缩法技巧证明数列型不等式,因其思维跨度大、构造性强,需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性,能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力,因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材这类问题的求解策略往往是通过多角度观察所给数列通项的结构,深入剖析其特征,抓住其规律进行恰当地放缩;其放缩技巧主要有以下几种:
一、裂项放缩例
1.求证£=—.k=\k31解析⑴因为了14「----------=-----------=21W-122n-\2n+\yn——i+S332n—l2n+l J41443~/+2—Vn272-12-12+2技巧积累⑴/=行E=22,12〃2〃-----------------------------------------=------------------------=-----------------------心24—-2〃—I2〃—12〃—12〃—12〃—22〃—12〃T—12〃一]—12〃例
2.⑴求证1+4+4+…+——!~~7------------------n2232522〃—1尸622〃-11112求证—I---1-------1-----F---------4〃41636224〃11111\解析1因为一匚一-----------------—2/i-I22〃—12〃+12⑵—12n+\
11111、1/…
1、2—b------------_=—1H----------7-------1--T一1+14〃422n24n2416366n11练习1求证--------------------1+—+-+-・・+〃+12〃+1494解析:一方面:因为一n练习1,所以4n2-l12〃-12/i+1J1111+2-----------F,••H------1+352H-1r£」+「+」1_n・・另1方面1H-1---F,••n+1n+\+2x33x4〃〃+16n1+LL…+±49n2当〃23时,JL〉------———,当拉=1时,〃+1〃+12〃+1当〃=2时,---------------1H----1---1----1,所以综上有〃+12〃+149n26n
二、函数放缩忆c4T1n2ln3ln4In3〃例
3.求证——+——+——+•••3〃+解析:先构造函数有In%6—1=股x1,从而座+小x2343〃3〃233〃因为,+!+・・・+123—+-+-+-+-+—+-+-+-・・++・・・+3〃123J456789;2〃H------------2〃+13一[3〃
三、分式放缩b b+m^八b b+m.
八、1n姐妹不等式—8a0,加0和一---------------------------a b0,m0a a+m a a+m记忆口诀”小者小,大者大”解释:看6,若6小,则不等号是小于号,反之.例
5.姐妹不等式1+11+!1+!・・・1+J2〃+1和352〃一1(1一!)(i一!)(i-!)・,•a+二」)</1也可以表示成为246InJ2〃+1口2・4・6…・2〃—―1-3-
5.•…2n-l2-4-6……In J2〃+1—•—•———尸2〃+1即1+11H—1H—,•,1H」2H+
1.1352〃一1352〃一1
四、均值不等式放缩例
6.设S”=d+万^++小九(九+1).求证5+1)<5”<(.+1)~.八解析此数列的通项为a=7W+1),k=1,2,…,九•.•4<阿而<勺吆^=4+Lk注
①应注意把握放缩的a+b,若放成“度”上述不等式右边\lab5+1〃+3;5+12,就放过“度”了!放缩用的是均值不等式师行Z+1则得s“gA+i=k=l练习
1.设E项婺列{〃〃}的前〃项和为S〃,且满足对a+W+M++4=S;(neN).
(1)求q,a,%2的值;
(2)根据
(1),猜想数列{%}的通项公式%=/(〃),并证明你的结论;
(3)求证当〃wN”时,-L+-L+-L++-y<
1.册233-n2+-n,数列折〃}的通项公式a=5〃+
2.221求数列{〃〃}的
2.已知数列{〃〃}的前〃和S〃二通项公式;1〃22设c〃=—二,求证^ci~;也已
2513.已知数列{%}中,S〃为其前n项和,且Q产生,当〃£乂时,恒有S〃=p〃Q”p为常数.I求常数p的值;II当外=2时,求数列{为}的通项公式;47HI设a=--------------,数列{4}的前n项和为求证T-.n4+2用4。