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第二十八课秩和检验Wilcoxonn n1可能取的最小值；同样可能W取的最小值为那末，的最大取值等于混合样W222y x本的总秩和减去同样，的最大取值等于、两样本的秩和检验W的最小Wilcoxon值，即Wynn^ynn212两样本的秩和检验是由和三人共同设计的一种检验，有时Wilcoxon Mann,Whitney Wilcoxon也称为秩和检验，用来决定两个独立样本是否来自相同的或者相等的总体如果这两Wilcoxon个独立样本来自正态分布和具有相同方差时，我们可以采用检验比较均值但当这两个条件都t不能确定时:我们常替换检验法为秩和检验t Wilcoxon秩和检验是基于样本数据秩和先将两样本看成是单一样本混合样本然后由小Wilcoxon到大罗列观察值统一编秩如果原假设两个独立样本来自相同的总体为真，那末秩将大约均匀分布在两个样本中，即小的、中等的、大的秩值应该大约被均匀分在两个样本中如果备选假设两个独立样本来自不相同的总体为真，那末其中一个样本将会有更多的小秩值，这样就会得到一个较小的秩和；另一个样本将会有更多的大秩值，因此就会得到一个较大的秩和设两个独立样本为第一个的样本容量为第二个样本容量为在容量为x n,y n,12n n i n的混合样本第一个和第二个中，x样本的秩和为W y样本的秩和为W,2y且有2nn1n n1nn
128.11所以，式
28.2和式
28.3中的w和W均为取值在与21o2我们定12义:|组秩和］组I95B I
278828.2秩和c I鸡为了计算统计量，我们首先必须将来自三个大学的名雇员统一按考核成KW n
120228.3绩编排秩值，见表中的第、、列所示本例中，
29.1357n7,n6,n7,n20,R95,n n1231以x样本为例，若它们在混合样本中享有最小的n个秩,于是iw1R27,R88,k3,H:三个总体的考核成绩分布是相同的我们用式计算
29.3230统计量为KW12952272882KW WT^6^—
32018.9163用式计算校正系数从表中我们可以发现，相等成绩值和相等的个数分别为ffl分
29.4C,
29.1个，分个，分个，分个所以3703802902短蟋⑶C133332®调整后的为KW,KW KW/C
8.9163/
0.
99258.9839C查表可知道，自由度为的卡方分布，在显著水平下，分布的上尾临界值为由于k
120.
055.99,因此拒绝原假设所以，秩和最低的组至少与秩和最高的组是不同的
8.
985.99,B A
五、介四频数过程频数过程可以生成单向和向的频率表和交叉表对于双向表二维表，该过程计算检验Freq n统计量和关联度对于向表，该过程进行分层分析，计算每一层和交叉层的统计量这些频数也n能够输出到数据集里SAS㈣过程说明
1.过程普通由下列语句控制proc freqproc freqdata=数据集选项,；by变量列表；tables交叉表的表达式〈/选项,；weight变量；output out=输出数据集〉〈输出统计量列表,；该过程加语句是必需的其余语句是供选择的此外，该过程只能使用一个语句proc qoutput语句的选项
2.proc fireq规定变量水平的罗列次序表示按频数卜降的次序，ordei^fireq/data/internal/fbrrn^-1—te dfreq表示按输入数据集中浮现的次序，表示按非格式化值的次序缺省值，按格式data internalformatted化值的次序户，三个字符，——规定用来构造列联表的轮廓线和分隔线的字符缺省值formacharl,2,7为」一+，，第一个字符用来表示垂直线，第二个字符用来表示水平线，第三个字符fdrmachar127=用来表示水平与垂直的交叉线要求每页只输出一张表否则，按每页行数允许的空间输出几张表page——freq禁止过程产生所有输出noprint freq语句
3.by一个语句能够用来得到由变量定义的分组观察，并分别进行分析过程要求输入的数据by by集已按变量排序by语句
4.tables可以包括多个语句如果没有语句，对数据集中的每一个变量都生成一个单向频数tables tables表如果语句没有选项，则计算语句中规定变量每一个水平的频数、累计频数、占总频tables tables数的百分比及累计百分比语句中的交叉表的表达式，请参见第二章第二节过程中的语句的用法Tables proctabulat etable语句中的主要选项如下Tables要求计算所有选项的检验和度量，包括、和al—1―chisq measurescmh要求对每层是否齐性或者独立性进行卡方检验，包括卡方、似然比卡方和chisq——pearson卡方并计算依赖于卡方统计量的关联度，包括系数、列联系数和对Mantel-Haenszel phiCramer V于联列表还自动计算的精确检验2x2Fisher要求卡方统计量，用于维以上表时,检验行变cmh Cochran-Mantel-Haenszel2量和列变量是否有线性相关要求对大于表计算的精确检验的精确检验是假设行与列的边缘exact2x2Fisher Fisher频数固定，并且在零假设为真时，各种可能的表的超几何概率之和要求计算若干个有关相关的统计量及它们的渐近标准误差measures——邛——设定置信区间缺省值为alpha1001-p%alpha=
0.05定义行/列得分的类型以便用于统计量和相关中scores=rank/table/ridit/mod^i―di tcmh pearson在非参数检验中，普通常用用于指定非参数分析的秩得分scoresrank,一要求输出每一个单元对总卡方统计量的贡献cellchi-要求在单元中输出累计列百分数cumcol在独立性或者齐性假设下，要求输出单元频数的期望值expected——要求输出单元频数和期望值的偏差deviatiotr—一要求所有频数表输出缺失值的频数missprin~~t要求把缺失值当做非缺失值看待，在计算百分数及其他统计量时包括它们missing——二输出数据集——建立一个包括变量值和频数的输出数据集out要求输出在制表要求中变量水平的所有可能组合的信息sparse——以表格形式打印二维表一分别不输出累计频率数、行百分率、列百分nocum/norow/nocol/nofreq/nopri nt—率、单元频数、频数表语句
5.w eight通常每一个观察对频数计数的贡献都是然而当使用语句时，每一个观察对频数计数1weight的贡献为这个观察对应的权数变量的值语句
6.output该语句用于创建一个包含由过程计算的统计量的数据集由语句创建的数proc fireq SASoutput据集可以包括在语句中要求的任意统计量当有多个语句时,语句创建的数据集tables tablesoutput的内容相应于最后要求的那个表
六、实例分析例的程序如下
29.1SASdata study.colleges;do group=l to3;input n;do i=l ton;input x@@;output;end;end;cards;7257060859590806602030154035750706080907075*proc nparl way data=study.colleges wilcoxon;class group;var x;run;程序说明建立输入数据集数据的输入和彻底随机化方差分析的数据输入完全相同，colleges,先输入本组数据的总数，然后输入组中每一个数据分组变量为共有三组取值为、和group,123输入变量为存放每组中的数据过程步调用叩过程，后面用选择项当样本数大于x,arlway wilcoxon,两个时，自动进行多样本的秩和检验语句后给出分组变量名语句后Kruskal-Walli sclass group,var给出要分析的变量主要结果如表所示x
29.2表用过程进行多样本比较的秩和检验输出结果
29.2nparlwayKruskal-WallisNPAR1WAY PROCEDUREWilcoxon Scores Rank Sums for Variable XClassified by Variable GROUPSum of Expected Std Dev MeanGROUP N Scores Under HO Under HO Score
1795.
073.
500000012.
571898513.
57142862627.
063.
000000012.
07868944.
500003788.
073.
500000012.
571898512.5714286Average ScoresWere Usedfor Ties结果说明组、组和组的秩和分别为、和原假设组、组123Sum of Score
195.
027.088012和组的总体分布相同为真时，期望秩值分别为、3Expected95+27+88x7/7+6+7=
73.595+27+88乂和各组的标准差分别为、x6/7+6+7=63095+27+88x7/7+6+7=73,50,Std Dev
12.
5718985、每组平均得分分别为、和
12078689412.5718985Mean Score95/7=
13.571428627/6=
4.50按公式调整后多样本的秩和检验统计量为用自由度为88/7=
12.
571428629.5Kruskal-Walli s
8.9839,的卡方分布近似，得到大于近似卡方检验统计量的概率为拒绝原DF=3—1=
28.9839p=
0.
01120.0S假设结论为各组的总体分布的差异是有统计学意义的根据平均秩和的结果，组的最高，组12的最低，因此，至少组和组的差异是显著的12例的程序我们还可以采用过程，在语句中的选项用和查看
29.1SAS freqtables scores=rank cmh,第二项统计量既为检验，程序如下Kruskal-Walli s程序CHAP
4042.SASproc freqdata=study.colIeges fbrmachar=11-tables group*x/scores=rank cmh;run;程序说明㈣过程选项|+用-来构造表格的轮廓线和分隔线的字符，由于不同操ibnmchaUI—,作系统中，符号编码可能有所不同，因此，缺省值可能不符合你的要求，需要你重新定义一下Tables语句，把组变量中个不同大学，与成绩变量中个分组成绩最小值为最大值group*x group3x1415,为间隔为共组，构成为了一个单层行列二维交叉频率表，选项指定为非参95,5,14314scoresrank数秩得分的情况，选项计算卡方统计量主耍结果如表所示cmh Cochran-Mantel-Haensze
129.3表用过程对每层秩得分进行秩和检验的输出结果
29.3freq Kruskal-WallisTABLE OFGROUP BYXGROUP XFrequencylPercent|Row Pct|Col Pct|15|20|25|30|35|40|50|Totalaa a^■一一_一一____一一_________0|0|1|0|0|0|0|711|
0.00|
0.00|
5.00|
0.00|
0.00|
0.00|
0.00|
35.00|
0.00|
0.00|
14.29|
0.00|
0.
0010.
0010.001|
0.00|
0.00|
100.
0010.00|
0.00|
0.00|
0.00|*4-4-4-4-4-4-4-•V MBOB1111011|1|1|0|62||
5.00|
5.00|
0.00|
5.00|
5.
0015.
0010.
00130.00|
16.67|
16.67|
0.
00116.
67116.
67116.
6710.001I
100.00|
100.00|
0.00|
100.00|
100.00|
100.00|
0.00|—————————]______一一]一_______]一_______I一_______I________I________I________I3|0|0|0|0|0|0|117I o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi
0.
0015.00|
35.0011o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi
0.
00114.29|11o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi o.ooi
0.
001100.0011•■一___Total
1111111205.
005.
005.
005.
005.
005.
005.
00100.00Continued|60|70|75|80|85|90|95|Total一—一—一一———+-—一—一一—一十-—一一————十-—一—一———+一—一—一—一—+一-―_―_―一一一一一一+1I1I1I0|1|1|1|1|7I
5.00|
5.00|
0.
0015.00|
5.
0015.
0015.
00135.00|
14.
29114.
2910.
00114.
29114.
29114.
29114.291|
33.33|
33.33|
0.00|
50.00|
100.00|
50.00|
100.00|2|1|0|0|0|0|0|0|6|
5.
0010.
0010.
0010.
0010.
0010.
0010.
00130.00|
16.
6710.
0010.
0010.
0010.
0010.
0010.001I
33.33|
0.00|
0.00|
0.00|
0.00|
0.00|
0.00|3|1|2|1|1|0|1|0|7|
5.00|
10.
0015.00|
5.00|
0.
0015.
0010.
00135.00结果说明输出一张单层的行列的频数表，行列交叉单元中的第一个值为单元频数3X14即两个变量和的组合值浮现的频数，第二个值为单元百分数，即浮现Frequency,group xPercent的频数在总频数中的百分比，第三个值为行百分数即浮现的频数在所在行总频数中的百分Row Pct,比，第四个值为列百分数，即浮现的频数在所在上海财经大学经济信息管理系Col PctIS/SHUFE列总频数中的百分比统计量假定各层是独立的，并且每层的周边总和是固定的原假设为任一层中的行变量与cmh列变量不相关本例中惟独一层当原假设为真时，统计量渐近卡方分布第一项统计量cmh cmh为相关统计量，由和提出，首先要求行变量或者列变量是有序的原假设为每一层Mantel Haenszel的行变量与列变量不线性相关，自由度始终为卡方值为因此不能拒绝和不线1,p=
0.
7510.05,group x性相关第二项统计量为统计量，首先要求列变量是有序的原假设为每一层的cmh ANOVAx3个行的平均得分是相等的，本例惟独一层，且得分指定选项，即用秩得分方法，因此x scoresrank就是秩和检验统计量，自由度为行数减即渐近自由度为的卡方分布，Kruskal-Walli s1,3—1=2,2KW拒绝个行的平均得分是相等的第三项统计量为普通相关统计量，不=
8.984,p=.
0110.05,3x cmh要求行变量或者列变量是有序的原假设为每一层的行变量与列变量不相关，自由度为3—1x14—修正的卡方统计量为不能拒绝不相关1=26,pearson
23.222,p=
0.
6200.05nn1力9⑺工的变量当原假设为真时，所有的x和y相当于从22212ii同一总体中抽得的独立随机样本，和构成可分辨的罗列情况，可看成一排个球随机地x yni i指定个为球，另个为球，共有种可能，而且它们是等可能的基于这样的分析，n xn yC%12n在原假设为真的条件下不难求出和的概率分布，显然它们的分布还是相同的，这个分W W12布称为样本大小为和的分布n nMann-Whitney-Wilcoxon12一个具有实际价值的方法是，对于每一个样本中的观察数大于等于的大样本来说，我们8可以采用标准正态分布来近似检验由于］的中心与为nz W根据式中心点
28.2,W为:n n n n1n n n1121I II
228.4的方差从数学上可推导出:W2xn n n n
12121228.512如果样本中存在结值,将影响到公式
28.5中的方按结值调整方差的公式为:差,n n n21212n1n n
328.612j j1212n nfi n1其中，为第个结值的个数结值的存在将使原方差变小，这是一个显然正确的事实j j标准化后为Wnn n
10.51i2W
0.59乙〜NQ1Zx1nn/
328.7n n nn12nn6J1n121212121\其中，份子加或者减是为了对离散变量进行连续性修正，对于大于减
0.
50.5W005X修正，对于小于加修正W
00.5X例某航空公司的注意到飞离亚特兰大的飞机抛却预订坐位的旅客人数在增加，
28.1CEO他特殊有兴趣想知道，是否从亚特兰大起飞的飞机比从芝加哥起飞的飞机有更多的抛却预订坐位的旅客获得一个从亚特兰大起飞的次航班和从芝加哥起飞的次航班上抛却预订座位的旅98客人数样本，见表中的第列和第列
28.124表抛却预订坐位的旅客人数及统一秩值
28.1亚特兰大组芝加哥组x y航班次数抛却人数统一编秩抛却人数统一编秩
1115.
513721591483103.
5103.
541812815115.516106201392C A1G7p24101/11O乙乙is9乙1JL1417Q________25______秩和W
90.5W
56.5Xy如果假定抛却预订坐位旅客人数的总体是正态分布且有相等的方差，我们可以采用两样本比较的检验但航空公司的认为这两个假设条件不能满足，因此采用非参数的秩和检t CEOWilcoxon验将组与组看成是单一样本进行编秩，见表中的第列和第列最小值是秩值为X y
28.1358,1,最大值是秩值为有两个结值和两个平均分享秩值和为两个平均分享秩值25,17,1011,
10343.5,11和为如果两组抛却预订坐位的旅客人数是相
565.5同的，那末我们期望的两组秩和和大约是相同的；如果两组抛却预订坐位的旅客人数W Wxy是不相同的，那末我们期望的两组秩和和也是非常不相同的W Wxy注意到:两组抛却预订坐位旅客人数的分布n9,n8,W=965,W=565,H12x y0是相同的标准正态分布值的计算结果为Z9981”QAV
96.
50.52,乙\445157198981988282,\|121298V81如果设定显著水平我们知道标准正态分布在显著水平时，上临界值为下临界值
0.05,
0.
051.645,为一由于所以不能拒绝原假设
1.645,L445VL645,在使用秩和检验时，也可以采用第二个样本的秩和来计算标准正态分布Wilcoxon WZy值，但要注意公式中和的对换值的计算结果为nnz12i8981DJO.U.J
21.4451598981988282121298981由于一因此得到的是相同的结果，不能拒绝原假设L445—
1.645,此外，要特殊注意的是由于在连续型分布中随机地抽出个样本，几乎极少可能存在有些值相n等的情况，但在社会经济中有不少离散变量，很可能存在数值相同的情况，即样本中存在着“结”我们处理“结”的方法采用分享平均秩，但当大量“结”存在时，将可能直接影响的方差，因此W需要把势中的方差修正为式但在手工计算和结值不多的情
28.
528.6X况下，常使用未修正方差来简化计算，因为与修正方差的计算结果比较只存在一些小差异,大多数情况下不影响最终的判断结果、单因子非参数方差分析的过程nparlway单因子非参数方差分析的过程是分析变量的秩，并计算几个基于经验分布的函数nparlway和通过一个单因子分类变量的响应变量确定的秩得分的统计量秩的得分计算分成四种EDF得分、中位数得分、得分和得分然后，再由秩得分计算简单的线Wilcoxon SavageVanderWaerden性秩统计量，由这个秩统计量可以检验一个变量的分布在不同组中是否具有相同的位置参数，或者在检验下，检验这个变量分布在不同组中是否分布相同秩得分的统计量也可以先用EDF procrank过程计算秩得分，然后用过程分析这些秩得分而得至上proc anova四种不同的秩得分计算
1.用以下公式定义的统计量s daR
28.8i i il称为线性秩统计量其中，是第个观察的秩，是秩得分，是一个指示向量由R iaR Ci ii和组成，它表示了第个观察所属的类，是观察的总数过程的四种不同的01i nnparlway秩得分计算为aRi得分1Wilcoxon在得分中WilcoxonaR=R
28.9ii它对分布的位置挪移是局部最优的在计算两样本情况下的秩和统计量时，过程对Logisti Wilcoxon零假设下的渐进标准正态分布的统计量进行一个连续的和一校正z+
0.
50.5得分2Median得分又称为中位数得分当观察的秩大于中位点时，中位数得分为否则为Median1,3即:aR1当R n1/2・・
1128.10aR0当R n1/2•・11对于双指数分布，中位数得分是局部最优得分3Van der Waerden得分简称为的得分它是对正态分布的次序统计量的期望值的近似，即VanderWaerden VWaRF-iR/h
128.11其中，函数是标准正态的积累分布函数的反函数，这个得分对正态分布是最优的F1x得分4Savage得分是指数分布的次序统计量的期望值减去使得得分以为中心，即Savage1aR=4/6i
1128.12I il得分在指数分布中比较尺度的不同性或者在极值分布中的位置挪移上是最优的Savage过程说明
2.nparlway过程普通由下列语句控制proc nparlwayproc nparlway data=数据集选项〉；class分类变量；var变量列表；by变量列表；run;为了使用过程，必须调用和语句其余语句是供选择的proc nparlwayproc class语句的选项1proc nparlway对原始数据执行标准方差分析anova——计算基于经验分布函数的统计量，如edf EDFKolmogorov-Smirnov统计量Cramer-Von MesesKuiper把变量的缺失值看做一个有效的分类水平missing class执行一个中位数得分分析对于两样本产生一个中位数检验，对于更多median样本产生一个检验Brown-Mood执行一个得分分析该检验合用于数据服从指数分布的组间比较savage——Savage执行一个得分分析这是一个通过应用反正态分布积累函vw Van derWaerden数得到近似的正态得分对于两个水平情况，这是一个标准检验VanderWaerden上海财经大学经济信息管理系IS/SHUFEPage5of15对数据或者得分进行秩分布对于两个水平，它与秩和检wilcoxon WilcoxonWilcoxon验一样；对于任何数量的水平，这是一个检验对于两样本情况，该过程使用一个Kruskal-Walli s连续的校正语句2class语句是必需的，它指定一个且只能一个分类变量该变量用来标识数据中的各个类class Class语句变量可以是字符型或者数值型语句3var语句命名要分析的响应变量或者自变量如果省略语句，过程分析数据集中除语句var varclass指定的数据变量外的所有数值型变量语句4by一个语句能够用来得到由变量定义的几个观察组，并用叩过程分别进行分析by byproc arlway当一个语句浮现时，过程希翼输入的数据集已按变量排序by by
三、实例分析例的程序如下
28.1SAS datastudy.noshows;do group=1to2;input n;do i=l ton;input x@@;output;end;end;cards;9111510181120242225813141081691721procnparlway data=study.noshows wilcoxon;class group;var x;run;程序说明建立输入数据集数据的输入和成组检验相同，先输入本组数据的总数，noshows,t然后输入组中每一个数据分组变量为共有两组取值为和输入变量为存放每组中的数group,12x,据过程步调用过程，后面用选择项要求进行秩和检验要注意，如果nparlway wilcoxonwilcoxon两组样本是配对样本，应该使用配对检验或者符号检验，因为使用秩和方法，t wilcoxonwilcoxon将损失配对信息语句后给出分组变量名语句后给出要分析的变量主要结果如表class group,var X所示
28.2表用过程进行秩和检验的输出结果
28.2nparlway WilcoxonNPAR1W AYPROCEDUREWilcoxonScoresRankSumsforVariableXClassifiedbyVariableGROUPSumofExpectedStd DevMeanGROUPNScoresUnderHOUnderHOScore
1996.
500000081.
010.
379561410.
72222222856.
500000072.
010.
37956147.0625000Average ScoresWere Usedfor TiesWilcoxon2-Sample TestNormal Approximationwith ContinuityCorrection of.5S=
56.5000Z=-
1.44515Prob|Z|=
0.1484第二十九课结果说明组和组的秩和12Sum分别为和ofScore§
96.
5056.50原假设组和组的总体分布相同为真时，12期望秩值分别为Expected
96.50+
56.50x9/和9+8=810标准
96.50+
56.50x8/9+8=720,差按公式计算为StdDev
28.6每组平均得分分别为
10.3795614Mean Scoreo和
96.50/9=
10.
722222256.50/两样本秩和统计量8=
7.0625000o Wilcoxon较小的秩和正态近似检验统计S=
56.500,量连续性修正因子为加在份Z=-
1.
445150.5,子上，正态分布的双尾值之和为p
0.1484,不能拒绝原假设同时，还给出了近似检验和卡方检验的结果t近似检验的近似卡方检验统计量t p=
0.1677,为自由度为结果都是相同22300,1,p=
0.1354o的，不能拒绝原假设彻底随机设计秩和检验Kruskal-Wallis
四、彻底随机设计的秩和检验Kruskal-Wallis方差分析过程关注三个或者更多总体的均值是否相等的问题，数据是被假设成具有正态分布和相等的方差，此时检验才干奏效但有时采集的数据往往不能彻底满足这些条件在两两样本比F较时，我们不妨尝试将数据转换成秩统计量，因为秩统计量的分布与总体分布无关，可以摆脱总体分布的束缚在比较两个以上的总体时，广泛使用非参数的秩和检验，它是对两个以Kruskal-Wallis上的秩样本进行比较，本质上它是两样本时的秩和检验方法在多于两个样本时的推广Wilcoxon秩和检验，首先要求从总体中抽取的样本必须是独立的，然后将所有样本的值Kruskal-Walli s混合在一起看成是单一样本，再把这个单一的混合样本中的值从小到大排序，序列值替换成秩值，最小的值赋予秩值有结值时平分秩值将数据样本转换成秩样本后，再对这个秩样本进行方差分1,布，但此时我们构造的统计量不是组间平均平方和除以组内平均平方和，而是组间平方和除以KW全体样本秩方差这个统计量是我们判定各组之间是否存在差异的有力依据KW设有组样本，是第组样本中的观察数，是所有样本中的观察总数，是第组k ni nR i样本中的秩和，R是第i组样本中的第j个观察值的秩值需要检验的原假设为各组之间不ij存在差异，或者说各组的样本来自的总体具有相同的中心或者均值或者中位数在原假设为真时,----------——比较接近所以组间平方各组样本的秩平均应该与全体样本的秩平均n212nn1和为k组间平方和
29.1il恰好是刻划这种接近程度的一个统计量，除以全体样本秩方差，可以消除量纲的影响样本方差的自由度为所以，全体样本的秩方差为n1全体样本的秩方差、
229.2ilJ11;111n12n2i1二1nn12ni2n14i I1nn1£n1nn12一n164nn1__12-因此，秩和统计量为Kruskal-Walli sKW组间平方和KW全体样本的秩方差112亦酿JF『nn
29.3iI i12kR23n1nn1n111i—如果样本中存在结值，需要调整公式中的统计量，校正系数为433KW C〃，3C1j j
29.4ns n其中，第个结值的个数调整后的统计量为j KWJJ CKWKW/C
29.5c如果每组样本中的观察数目至少有个，那末样本统计量非常接近自由度为的卡5KW,k1方分布因此，我们将用卡方分布来决定统计量的检验KW0例某创造商雇用了来自三个本地大成的雇员作为管理人员最近，公司的人事部门已经采
29.1集信息并考核了年度工作成绩从三个大学来的雇员中随机地抽取了三个独立样本，见表中的
29.1第、、列所示创造商想知道来自这三个不同的大学的雇员在管理岗位上的表现是否有所不同246表来自三个不同大学的雇员得分及统一秩值
29.1雇员妗统一编秩统编秩妗统一编秩A gBC
12536095072701220270123609304609485171518015.
5595204069018.
569018.
5355701278015.57514。
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