中考八大题型点拨导练复习（三）方案设计问题

点拨复习

（三）一一方案设计问题【专题点拨】方案设计型问题是通过设置一个实际问题情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，进行设计和操作，寻求恰当的解决方案，有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优它包括测量方案设计、作图方案设计和经济类方案设计等（2017黑龙江佳木斯）为了推动“龙江经济带”建设,我省某蔬菜企【典例赏析】业决定通过加大种植面积、增加种植种类，促进经济发展.2017年春，预计种植西红柿、马铃薯、青椒共100公顷（三种蔬菜的种植面积均为整数），青椒的种植面积是西红柿种植面积的2倍，经预算，种植西红柿的利润可达1万元/公顷，青椒L5万元/公顷，马铃薯2万元/公顷，设种植西红柿x公顷，总利润为y万元.

（1）求总利润y（万元）与种植西红柿的面积x（公顷）之间的关系式.

（2）若预计总利润不低于180万元，西红柿的种植面积不低于8公顷，有多少种种植方案？

（3）在

（2）的前提下，该企业决定投资不超过获得最大利润的春在冬季同时建,a造A、B两种类型的温室大棚，开辟新的经济增长点，经测算，投资A种类型的大棚5万元/个，B种类型的大棚8万元/个，请直接写出有哪几种建造方案？【考点】FH一次函数的应用；CE一元一次不等式组的应用.【分析】

（1）根据总利润二三种蔬菜的利润之和，计算即可；

（2）由题意，列出不等式组即可解决问题；

（3）由题意，列出二元一次不等式，求出整数解即可；【解答】解

（1）由题意y=x+X2x+2=-2x+

200.

（2）由题意-2x+200N180,解得xW10,Vx^8,Z.8x

10.•••x为整数,/.x=8,9,

10..•.有3种种植方案，方案一种植西红柿8公顷、马铃薯76公顷、青椒16公顷.方案二种植西红柿9公顷、马铃薯73公顷、青椒18公顷.方案三种植西红柿10公顷、马铃薯70公顷、青椒20公顷.

（3）Vy=-2x+200,-20,x=8时，利润最大，最大利润为184万元.设投资A种类型的大棚a个，B种类型的大棚b个，由题意5a+8bW=X184,

8.\5a+8bW23,a=1,b=l或2,a=2,b=l,a=3,b=l,•可以投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚1个，・・或投资A种类型的大棚1个，B种类型的大棚2个，或投资A种类型的大棚2个，B种类型的大棚1个，或投资A种类型的大棚3个，B种类型的大棚1个.【例题2］（2017内蒙古赤峰）为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元.

（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；

（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据

（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵.【考点】B7分式方程的应用；C9一元一次不等式的应用.【分析】

（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可.2500_3500依题意得:X2【解答】解

（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元,解得x=

5.经检验x=5是原方程的解，且符合题意.答梨树苗的单价是5元；

（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，依题意得（5+2）+5aW6000,解得a

850.答梨树苗至少购买850棵.【例题3】（2017毕节）某同学准备购买笔和本子送给农村希望小学的同学，在市场上了解到某种本子的单价比某种笔的单价少4元，且用30元买这种本子的数量与用50元买这种笔的数量相同.

（1）求这种笔和本子的单价；

（2）该同学打算用自己的100元压岁钱购买这种笔和本子，计划100元刚好用完，并且笔和本子都买，请列出所有购买方案.【考点】B7分式方程的应用；95二元一次方程的应用.【分析】

（1）首先设这种笔单价为x元，则本子单价为（x-4）元，根据题意可得等量关系30元买这种本子的数量=50元买这种笔的数量，由等量关系可得方程芈=因，再解方程可得答案；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，根据题意可得这种笔的单价义这种笔的支数m+本子的单价义本子的本数n=1000,再求出整数解即可.【解答】解

（1）设这种笔单价为x元，则本子单价为（x-4）元，由题意得:30_50xT x解得x=10,经检验x=10是原分式方程的解,则x-4=

6.答这种笔单价为10元，则本子单价为6元；

（2）设恰好用完100元，可购买这种笔m支和购买本子n本，由题意得10m+6n=100,整理得m=10--ri,•m、n都是正整数,・・.,.

①n=5时，m=7,

②n=10时，m=4,

③n=15,m=l；••有三种方案・

①购买这种笔7支，购买本子5本；

②购买这种笔4支，购买本子10本；

③购买这种笔1支，购买本子15本.【能力检测】

1.（2017黑龙江鹤岗）某企业决定投资不超过20万元建造A、B两种类型的温室大棚.经测算，投资A种类型的大棚6万元/个、B种类型的大棚7万元/个，那么建造方案有（）A.2种B.3种C.4种D.5种【考点】95二元一次方程的应用.【分析】直接根据题意假设出未知数，进而得出不等式进而分析得出答案.【解答】解设建造A种类型的温室大棚x个，建造B种类型的温室大棚y个，根据题意可得6x+7yW20,当x=l,y=2符合题意；当x=2,y=l符合题意；当x=3,y=0符合题意；故建造方案有3种.故选B.

2.为解决中小学大班额问题，东营市各县区今年将改扩建部分中小学，某县计划对A、B两类学校进行改扩建，根据预算，改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元.

（1）改扩建1所A类学校和1所B类学校所需资金分别是多少万元？2该县计划改扩建A、B两类学校共10所，改扩建资金由国家财政和地方财政共同承担.若国家财政拨付资金不超过H800万元；地方财政投入资金不少于4000万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改扩建资金分别为每所300万元和500万元.请问共有哪几种改扩建方案？【分析】1可根据“改扩建2所A类学校和3所B类学校共需资金7800万元,改扩建3所A类学校和1所B类学校共需资金5400万元”，列出方程组求出答案；2要根据“国家财政拨付资金不超过11800万元；地方财政投入资金不少于4000万元”来列出不等式组，判断出不同的改造方案.【解答】解1设改扩建一所A类和一所B类学校所需资金分别为x万元和y[2x+3尸7800由题意得l3x+y=5400fx=1200解得1yl80万元答:改扩建一所A类学校和一所B类学校所需资金分别为1200万元和1800万元.2设今年改扩建A类学校a所，则改扩建B类学校10-a所,+日万*汨f1200-300a+1800-50010-aX118CH由施思倚B00ai50010-400’a解得支，I a45/.3a5,，x=3,4,

5.即共有3种方案方案一改扩建A类学校3所，B类学校7所；方案二改扩建A类学校4所，B类学校6所；方案三改扩建A类学校5所，B类学校5所.【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用，二元一次方程组的应用.解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的数量关系.

3.2017黑龙江鹤岗由于雾霾天气频发，市场上防护口罩出现热销.某药店准备购进一批口罩，已知1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元.1求一个A型口罩和一个B型口罩的售价各是多少元？2药店准备购进这两种型号的口罩共50个，其中A型口罩数量不少于35个,且不多于B型口罩的3倍，有哪几种购买方案，哪种方案最省钱？【考点】CE一元一次不等式组的应用；9A二元一次方程组的应用.【分析】1设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，根据:“1个A型口罩和3个B型口罩共需26元；3个A型口罩和2个B型口罩共需29元”列方程组求解即可；2设A型口罩x个，根据“A型口罩数量不少于35个，且不多于B型口罩的3倍”确定x的取值范围，然后得到有关总费用和A型口罩之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可.【解答】解1设一个A型口罩的售价是a元，一个B型口罩的售价是b元，依题意有a+3b=26l3a+2b=29，答一个A型口罩的售价是5元，一个B型口罩的售价是7元.2设A型口罩x个，依题意有fx35,1x^350-x解得35WxW

37.5,•••x为整数，x=35,36,

37.方案如下B型B型方案口罩口I罩一3515二3614三3713设购买口罩需要y元，则y=5x+750-x=-2x+350,k=-20,二•y随x增大而减小，x=37时,y的值最小.・・・答有3种购买方案，其中方案三最省钱.

4.2017•温州小黄准备给长8m,宽6nl的长方形客厅铺设瓷砖，现将其划分成一个长方形ABCD区域I阴影部分和一个环形区域H空白部分，其中区域I用甲、乙、丙三种瓷砖铺设，且满足PQ〃AD,如图所示.1若区域I的三种瓷砖均价为300元/nA面积为S m2,区域H的瓷砖均价为200元Ai,且两区域的瓷砖总价为不超过12000元，求S的最大值；2若区域I满足ABBC=23,区域H四周宽度相等

①求AB,BC的长；

②若甲、丙两瓷砖单价之和为300元/in,乙、丙瓷砖单价之比为53,且区域I的三种瓷砖总价为4800元，求丙瓷砖单价的取值范围.【考点】C9一元一次不等式的应用；HE二次函数的应用；LB矩形的性质.【分析】1根据题意可得300S+48-S200^12000,解不等式即可；2

①设区域H四周宽度为a,则由题意6-2a8-2a=23,解得a=l,由此即可解决问题；

②设乙、丙瓷传单价分别为5x元/in和3x元/in,则甲的单价为300-3x元/m2,由PQ〃AD,可得甲的面积=矩形ABCD的面积的一半=12,设乙的面积为s,则丙的面积为12-s,由题意12300-3x+5x s+3x12-s=4800,解600600・・得s二-,由0s12,可得0--------------12,解不等式即可；【解答】解:1由题意300S+48-S200^12000,解得SW

24.AS的最大值为

24.2

①设区域II四周宽度为a,则由题意6-2a8-2a=23,解得a=l,•\AB=6_2a=4,CB=8-2a=

6.

②设乙、丙瓷豉单价分别为5x元/in和3x元/W,则甲的单价为300-3x元/m2,•.•PQ〃AD,，甲的面积二矩形ABCD的面积的一半二12,设乙的面积为s,则丙的面积为（12-S）,由题意12（300-3x）+5x s+3x（12-s）=4800,・・600解得s二——，XV0s12,600A0——12,.\0x50,，丙瓷砖单价3x的范围为0V3x150元/m.【点评】本题考查不等式的应用、矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程或不等式解决实际问题，属于中考常考题型.

5.（2017宁夏）某商店分两次购进A、B两种商品进行销售，两次购进同一种商品的进价相同，具体情况如下表所示购进数量（件）购进所需费用（元）第一次第二次

（1）求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？

（2）商场决定A种商品以每件30元出售，B种商品以每件100元出售.为满足市场需求，需购进A、B两种商品共1000件，且A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，请你求出获利最大的进货方案，并确定最大利润.【分析】

（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，根据两次进货情况表，可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论；

（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000-m）件,根据总利润:单件利润又购进数量，即可得出w与m之间的函数关系式，由A种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再根据一次函数的性质即可解决最值问题.【解答】解

（1）设A种商品每件的进价为x元，B种商品每件的进价为y元，30x+407^380根据题意得:0W+33200,［卜解得:20ly=80答A种商品每件的进价为20元，B种商品每件的进价为80元.

（2）设购进B种商品m件，获得的利润为w元，则购进A种商品（1000-川）件,根据题意得w=（30-20）（1000-m）+（100-80）m=10m+

10000.VA种商品的数量不少于B种商品数量的4倍，1000-m24ni,解得:mW

200.;在w=10m+10000中,k=100,Aw的值随m的增大而增大，•••当m=200时，w取最大值,最大值为10X200+10000=12000,，当购进A种商品800件、B种商品200件时，销售利润最大，最大利润为12000兀.【点评】本题考查了一次函数的应用、二元一次方程组的应用以及解一元一次不等式，解题的关键是

（1）找准等量关系，列出二元一次方程组；

（2）根据数量关系，找出W与III之间的函数关系式..。