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某数学活动小组在作三角形的拓展图形,研究其性质时,经历了如下过程1操作发现在等腰△ABC中,AB=AC,分别以A
8、4为斜边,向△A8C的外侧作等腰直角三角形,如图1所示,其中凡LA8于点F,EG_LAC于点G,M是8的中点,连结例和ME,则下列结论正确的是填序号即可.
①Ab=AG=,A8
②MQ=ME
③整个图形是轴对称图形
④2--2数学思考在任意△43C中,分别以八
8、AC为斜边,向△A3C的外侧作等腰直角三角形,如图2所示,M是8C.的中点,连结MD和ME,则与ME有怎样的数量关系?请给出证明过程;
(3)类比探究在任意△ABC中,仍分别以A氏AC为斜边,向aABC的内侧作等腰在角三角形,如图3所示,M是3C的中点.,连结和ME,试判断△MDE的形状..答____________一思路点拨
1.本题图形中的线条错综复杂,怎样寻找数量关系和位置关系?最好的建议是按照题意把图形规范、准确地重新画一遍.
2.三个中点M、F、G的作用重大,既能产生中位线,又是直角三角形斜边上的.中线.
3.两组中位线构成了平行四边形,由此相等的角都标注出来,还能组合出那些相等的角?满分解答i填写序号
①②③④..2如图4,作E_L工8,.EG_LAC,垂足分别为F、G.因为OF、EG分别是等腰直角三角形A3和等腰直角三角形ACE斜边上的高,所以尸、G分别是A
8、AC的中点.又已知何是8的中点,所以M凡例G是AABC的中位线.所以MP=2AC,MG=-AI3,MF//AC,MGHAB.22所以/3”M=N5AC,NMGC=/BAC.所以/M=/MGC.所以N/»M=NMG£.因为DP、EG分别是直角三角形A8和直角三角形ACE斜边上的中线,所以£G=,AC,DF=LAB.22所以Mb=EG,DF.=NG.所以△QFMg/XMGE.所以例=M£33AMDE是等腰直角三角形.AAD考点伸展第
(2)题和第
(3)题证明△ObMgAMGE的思路是相同的,不同的是证明NOFM=/MGE的过程有一些不同.如图4,如图5,ZBFM=ZBAC=ZMGC.如图4,ZDFM=90°+NBFM,NMGE=900+NMGC,,所以NOFM=NMGE.图4图5如图5,ZDFM=90°-ZBFM,ZA7GE=90°-NMGC,所以NOKW=NMGE.r。