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专训“三线合一”解题的六种技巧2名师点金等腰三角形中的“顶角平分线、底边上的高、底边上的中线”只要知道其中“一线”,就可以说明是其他“两线”.运用等腰三角形“三线合一”的性质证明角相等、线段相等或垂直关系,可减少证全等的次数,简化解题过程.ffiSi利用“三线合一”求角
1.如图,房屋顶角NBAC=100,过屋顶A的立柱AD±ZB,ZC,ZBAD,c(第1题)ZCAD的度数.HS1利用“三线合一”求线段
2.如图,在AABC中,AB=AC,AD=DB,DE_LAB于点E,若BC=10,ABDC的周长D为24,求AE的长.AEtc(第2题).iiSBi利用“三线合一”证线段角相等
3.已知AABC中,NBAC=90,AB=AC,D为BC的中点.1如图
①,E,F分别是AB,AC上的点,且BE=AF,理由.试判断4DEF的形状,并说明2如图
②4DEF是否仍有1中的形状,并说明理由..SS1利用“三线合一”证垂直
4.如图,在4ABC中,AC=2AB,AD平分NBAC,E是AD上一点,且EA=EC.求证EB1AB.3题)881利用“三线合一”证线段的倍数关系构造三线法
5.如图,已知等腰直角三角形ABC中,AB=AC,ZBAC=90°,BF平分NABC,CDJ_BD交BF的延长线于点D.试说明BF=2CD.[段空窗利用“三线合一”证线段的和差关系(构造三线法)
6.如图,在AABC中,AD_LBC于点D,且NABC=2NC.试说明:CD=AB+BD.答案
1.解因为AB=AC,NBAC=100,AD1BC,所以NB=NC=400,NBAD=ZCAD=50°.
2.解因为ABDC的周长=BD+BC+CD=24,BC=10,所以BD+CD=
14.VAD=BD,AAC=AD+CD=BD+CD=
14.又・・・AB=AC=
14.AD=DB,DE±AB,AAE=EB=1AC=
7.
3.解l4DEF为等腰直角三角形.理由连接AD,易证4BDE也AADF,ADE=DF,ZBDE=ZADF,又・・・NBAC=90,AB=AC,D为BC的中点,AD±BC.••・ZADB=90°.,ZEDF=ZEDA+NADF=ZEDA+NBDE=ZADB=90°.「•△DEF为等腰直角三角形.2是,理由略.
4.证明如图,过点E作EFJ_AC于F.〈AE=EC,AAF=|AC.XVAB=|AC,,AF=AB.TAD平分NBAC,AZFAE=ZVAE=AE,.\ZABE=ZAFE=90°,B|J EB±AB.
5.解如图,延长BA,CD交于点E.•••△AEFdAEBSAS.TBF平分NABC,CD±BD,BD=BD,AABDC^ABDE./.BC=BE.XVBD±CE,ACE=2CD.VZBAC=90°,ZBDC=90°,NAFB=NDFC,.\ZABF=ZDCE又・.・AB=AC,ZBAF=ZCAE=90°,.•.△ABF^AACEASA.・・・BF=CE.故BF=2CD.
6.解如图,以点A为圆心,AB长为半径画弧交CD于点E,连接AE,AB,所以NAEB=NABC.又因为ADLBC,所以AD是BE边上的中线,即DE=BD.又因为NABC=2NC,所以NAEB=2NC.而NAEB=18r-NAEC=NCAE+NC,所以NCAE=NC.所以CE=AE CD=AB,故CE+DE=AB+BD.。