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（道正编）上海市重点中学重要考题精选及精解（）4L（本题满分13分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分5分.某服装公司生产的衬衫，每件定价80元，在某城年销售8万件.现该公司在该市设立代理商来销售衬衫.代理商要收取代销费,代销费为销售金额的一％（即每销售100元收取一元）.QQ为此，该衬衫每件价格要提高到----------元才能保证公司利润，由于提价每年将少销售
0.62—1-r%万件.
（1）试将代理商收取的年代理费/表示为〃的函数；
（2）如果代理商每年收取的代理费不小于16万元，求〃的取值范围.80［解］
（1）根据题意，代理商每年可销售8-0・62一万件衬衫，每件衬衫的价格为1一r％QQ（8-
0.62r）元，因此年销售额为1-r%万元on808-
0.62rr/=------------8-
0.62少16
2、（14分）某出版公司为一本畅销书定价如下C（〃）=11〃（25W〃W48e N,.这里〃表示定购书的数量，C（〃）是定购〃本书所付的钱数（单位:元）
（1）有多少个〃,会出现买多于〃本书比恰好买〃本书所花钱少？
（2）若一本书的成本价是5元,现有两人来买书,每人至少买1本,两人共买60本，问出版公司至少能赚多少钱最多能赚多少钱？解
（1）C（n）在各段上都是单调增函数，因此在每一段上不存在买多于N本书比恰好买n本书所花钱少的问题，一定是在各段分界点附近因单价的差别造成买多于n本书比恰好C25=11x25=275,C23=12x23=276,AC25C23C24=12x24=288,・•・C25C24C49=49x10=490,=C48=11x48=528,C49C48C4711x47=517,=•・・C49C47C4611x46=506,=:・C49C4645C11x45=495,C49c45，这样的n有23,24,45,46,47,48买n本书所花钱少的现象.
（2）设甲买n本书，则乙买60—n本，且n30,neN”（不妨设甲买的书少于或等于乙买的书）
①当时，4960-n59出版公司赚得钱数/m=12〃+1060—m—5x60=2〃+300
②当124〃424时，3660~n48,出版公司赚得钱数/〃=12〃+1160—〃—5x60=〃+360
③当25〃30时，3060-/35,出版公司赚得钱数/〃=11义60—5x60=3602/7+300,1/11/.fn=n+360,12zi244分360,25n30V.・••当时，302fn322当12K几24时，372W/〃〈384当25〃V30时，fn360故出版公司至少能赚302元，最多能赚384元4分
3.在新的劳动合同法出台后，某公司实行了年薪制工资结构改革该公司从2008项目金额［元/（人•年）］性质与计算方法年起，每人的工资由三个项目构成，并按下表规定实施:2007年基础工资考虑到物价因素，决定从2008年基础工资为20000元起每年递增10%（与工龄无关）房屋补贴800按职工到公司年限计算，每年递增800元医疗费3200固定不变如果该公司今年有5位职工，计划从明年起每年新招5名职工
（1）若今年（2008年）算第一年，将第n年该公司付给职工工资总额y（万元）表示成年限n的函数；⑵若公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和总不会超过基础工资总额的p%,求p的最小值.
4.ly=10nl+l0%严+
1.8n,neN*/曰
0.2n+
1.8/
0.2n+
1.89210n-n-p%,i#p%，令a=nan a2200n+1ZH
0.69得ln2,.\p%ai=a2=—・・p-----an Na11n-110x
1.ln10x
1.ln
4.（本题满分12分）已知某海滨浴场的海浪高度y（单位米）与时间t（0WtW24）（单位时）的函数关系记作y=f（t）,下表是某日各时的浪高数据t（时）03691215182124y（米）经长期观测，函数y=f（t）可近似地看成是函数V=A cos3+8⑴根据以上数据，求出函数丁=4^^+的最小正周期T及函数表达式（其中人＞0,30;
（2）根据规定，当海浪高度不低于米时，才对冲浪爱好者开放，请根据以上结论，判断一天内从上午7时至晚上19时之间，该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放（本题满分12分）,万、-1y=-COS—0+12o1T=12,兀、1m,3,1-cos一/+1_cos一，—2264,62,2kji—7T—t2k7l H71363kez即⑵一4W，W12Z:+4kez,10分由7WtW19,得8Wt16,知该浴场有8小时可向冲浪爱好者开放……12分
5.（本题满分12分，第
（1）题2分，第
（2）题4分，第
（3）题6分）高三某班有甲、乙两个学习小组，每组都有10名同学，其中甲组有4名女同学；乙组有6名女同学现采用分层抽样从甲、乙两组中共抽取4名同学进行学习情况调查
（1）求从甲、乙两组各抽取的人数；
（2）求从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率；
（3）求抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率
5.（本题共3小题，第1小题2分，第2小题4分，第3小题6分，满分12分）解
（1）中=4r=2甲、乙两组分别抽取则y一=—I y=211010I即甲、乙两组各抽2人2分”二82金）15C2C21C
（3）甲抽2男，乙抽2女:P8分1c2C29JO JOC[C1C1-C16410分甲、乙两组各抽i男i女8=
4.上*=」上；Cl Cl225C2C2甲抽2女，乙抽2男:P_
4.4225「320216443112分R+R,+R=一+------+一
92252257536.（本题满分14分）如图，一个计算装置有两个数据输入口I、n与一个运算结果输出口山，当I、n分别输入正整数机,〃时，输出结果记为了（加，/，且计算装置运算原理如下:
①若I、II分别输入1,则/（1,1）=1；
②若I输入固定的正整数，H输入的正整数增大i,则输出结果比原来增大3；
③若n输入1,I输入正整数增大1,则输出结果为原来3倍试求
（1）的表达式
（2）/（私〃）的表达式£N）;输出口I
（3）若I,II都输入正整数%则输出结果/（凡〃）能否为2006若能，p———求出相应的〃；若不能,则请说明理由
6.解1/〃2,1=3/m_1,1=32/加_2,1=・・・=31/1,1=3〃1,2,fm,n=fm,n-l+3=/zn,〃—2+3x2=・・・=/mj+3n-1=3z+3n-1,3fn,n=3〃T+3〃—1，:/7,7=3,+18=747v2006，/8,8=37+21=22082006，・•・/〃/输出结果不可能为
20067、（本题满分12分）行驶中的汽车，在刹车时由于惯性的作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离称为刹车距离在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离s（米）与汽车车速v（千米/YivV2小时）满足下列关系式5=——+——（〃为常数，neN）,我们做过两次刹车试验，有100400关数据如图所示，其中6邑8,
14.17o
（1）求〃的值；,40〃160085n\06------+--------100400=1595=〃=6，
7、解:1—n—70/2490014-------1------17〔2141004003v v292s=------1-----
12.6n v2+24v-5M00^v+84Xv-600^0v60,50400
（2）要使刹车距离不超过，则行驶的最大速度应为多少・•・行驶的最大速度应为60千米/小时
8.（本题满分14分）运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50XV100（单丫2位千米/小时）.假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油（2+急）升，司机的工资是每小时14元.（I）求这次行车总费用y关于x的表达式；（H）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值.（精确小数点后两位）
28.解（I）设行车所用时间为122（力，尸旦x2x（2+£）+*l卫，[50,100].x x360x所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y=130x18+2x13%xGr501001x3609/或234013\（或y=----------1---X,X G[
50.100]x18/TT\130x182x130r-r内小（II）V=-------------------------------+-----------X26710«
82.16，仅当x360130x18=22苍即％=18V10X
56.88时，上述不等式中等号成立x360答当x约为时，这次行车的总费用最低，最低费用的值约为
82.16元.
9.（本题满分14分）如图，一个水轮的半径为4m,水轮圆心0距离水面2nb已知水轮每分钟转动5圈,如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点P）开始计算时间
（1）将点P距离水面的高度z（m）表示为时间t（s）的函数;
（2）点p第一次到达最高点大约需要多少时间？JT
9、解
（1）如图建立直角坐标系，设角（——0）是以x为始边，op为终边的角，S XTT7T7Top每分钟内所转过的角为——）=~t,得z=4sin（/+0）+2,当t=0时，z=0,得6066sin^=——,即，=工，故所求的函数关系式为z=4sin（乙，一工）+22666
（2）令z=4sin（乙，-工）+2=6,得sin（工方-2）=1,取一t---------二一，得t=4,故点6666662P第一次到达最高点大约需要4So
10、（本题满分14分）某自来水厂的蓄水池存有400吨水，水厂每小时可向蓄水池中注水60吨，同时蓄水池又向居民小区不间断供水，f小时内供水总量为120倔吨，（0Z24）
（1）从供水开始到第几小时时，蓄水池中的存水量最少？最少水量是多少吨？
（2）若蓄水池中水量少于80吨时，就会出现供水紧张现象，请问在一天的24小时内,有几小时出现供水紧张现象
10、解
（1）设，小时后蓄水池中的水量为y吨，则y=400+60%—120疝；令疝=x；则/=61,即=400+10工2一120%=10（%一6）2+40；.••当x=6,即，=6时，^=min40,即从供水开始到第6小时时，蓄水池水量最少，只有40吨
（2）依题意400+10Y—i20xv80,Wx2-12,v+320,解得，4x8,即4而8,-—；由必一§二8,所以每天约有8小时供水紧张
333311.（本题满分12分）某中学，由于不断深化教育改革，办学质量逐年提高2006年至2009年高考考入一流大学人数如下年份2006200720082009高考上线人数116172220260以年份为横坐标，当年高考上线人数为纵坐标建立直角坐标系，由所给数据描点作图如图所示，从图中可清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近，因此，用一次函数y=QX+Z来模拟高考上线人数与年份的函数关系，并以此来预测2010年高考一本上线人数.如下表年份2006200720082009年份代码X1234实际上线人数116172220260模拟上线人数y=+b y=2a+b%=3a+b y=4a+b24为使模拟更逼近原始数据，用下列方法来确定模拟函数设s=6-乂F+M-弘F+M-乂》+%-乂L乂、只、乂、乂表示各年实际上线人数，口、为、%、心表示模拟上线人数，当s最小时，模拟函数最为理想试根据所给数据，预测2010年高考上线人数
11、解:S=a+b-1162+2a+b-1722+3a+b—220y+4a+b-2602=4b2+210a-768»+a-1162+2a-172y+3a-2202+4a-2602当2768T即5a+乃=384
①时,S有最小值，其中最小值为8二网M二a—1162+2a—1722+3a-2202+4Q-2602-=30tz2-2x2160^+1162+1722+2202+2602-256/2+3840«-3842=5a2-480a+11584当且仅当=48时，M有最小值，=48代入
①得人=72，乃=5x48+72=
31212.本题满分14分某企业准备在2006年对员工增加奖金200元，其中有120元是基本奖金预计在今后的若干年内，该企业每年新增加的奖金平均比上一年增长8%另外，每年新增加的奖金中,基本奖金均比上一年增加30元那么，到哪一年底，1乎企业历年所增加的奖金中基本奖金累计以2006年为累计的第一年将首次不少于750元？2当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%
12、1设基本奖金形成数列同｝,由题意可知n｝是等差数列，或@1=120=30,或@产120+30n—l,S=ain-i--nn-ld,则Sn=120n+l5nn—1=15n2+105n=15n2+7n,令15n2+105nn22750,BP n2+7n-500,而n是正整数，，n25到2010年底该企业历年所增加的工资中基本工资累计将首次不少于75元6分⑵设新增加的奖金形成数列｛bn｝,由题意可知｛bn｝是等比数列，或bI=200,q,或bn=bn-q,则b=200-
1.08n-,由题意可知a
0.85b,有120+30n—l200・
1.08尸，由计算器解得满足n nn上述不等式的最小正整数n=5,到2010年底，当年增加的基本奖金占该年增加奖金的比例首次大于85%o13本题满分14分某港口水的深度y米是时间，0«/24,单位时的函数，记作y=下面是某日水深的数据T0寸03691215182124y米经长期观察，y=ft的曲线可以近似地看成函数y=Asinm+人的图象1试根据以上数据，求出函数=/⑺的近似表达式；2一般情况下，船舶航行时，船底离海底的距离为5米或5米以上时认为是安全的船舶停靠时，船底只需下碰海底即可，某船吃水深度船底离水面的距离为
6.5米，如果该船希望在同一天内安全进出港，请问，它至多能在港内停留多长时间忽略进出港所需的时间
13、解1y=50〃一98—+=—2/+40”98伍c N*2令y0,即〃2—20〃+490010—同v〃10+同,•••从2002年开始，该汽车开始获利3y=—2〃—IO+102,即〃=10时，=1°2,・•・此时共获利102+20=122万7L o
14、本题满分14分本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某工厂去年某产品的年产量为100万只，每只产品的销售价为10元，固定成本为8元.今年，工厂第一次投入100万元科技成本，并计划以后每年比上一年多投入100万元科技成本，预计产量年递增10万只，第〃次投入后，每只产品的固定成本为g〃=7^y/n+lA0,4为常数，〃£Z且〃NO,若产品销售价保持不变，第〃次投入后的年利润为了〃万元.1求女的值，并求出了⑶的表达式；2问从今年算起第几年利润最高最高利润为多少万元？
14、1由g〃=一/，当〃=0时，由题意，可得A=8,V M+1Q所以/n=100+10/110—-==-mn.V/i+iQ2由/〃=100+10〃l—-^^=-100/=1000-80牛二=1000-807^+1+-^=1000-80x279=
520./-----9当且仅当=^=,即〃=8时取等号，所以第8年工厂的利润最高，最高为520+1万元
15、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分某段城铁线路上依次有A、B、C三站，AB=5km,BC=3km,在列车运行时刻表上，规定列车8时整从A站发车，8时07分到达B站并停车1分钟，8时12分到达C站，在实际运行中，假设列车从A站正点发车，在B站停留1分钟，并在行驶时以同一速度以m//z匀速行驶，列车从A站到达某站的时间与时刻表上相应时间之差的绝对值称为列车在该站的运行误差
（1）分别写出列车在B、C两站的运行误差；（用含u的表达式表示，并以分钟为单位）
（2）若要求列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟，求v的取值范围
15、⑹+8）
（1）列车在B,C两站的运行误差（单位分钟）分别是I—-7|^|--ll|o v v
（2）由于列车在B,C两站的运行误差之和不超过2分钟，…300f,480…「，、所以|-----7|+|-------11区2（*）v v
①当@时，（*）式变形为—7+幽—11«2,解得39WuW迎；
②当迎幽时，（*）式变形为7—711300480一.“曰300480——+--------112,解得——v——711
③当网时，（*）式变形为7—迎+11—幽＜2,解得出195v--------；111147vv7195综上所述，，的取值范围是39,-。
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