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(道正编)上海市重点中学重要考题精选及精解
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1、(14分)北京2008年第29届奥运会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,在同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60和30°,第一排和最后一排的距离为10米(如图所示),旗杆底部与第一排在一个水平面上若国歌长度约为50秒,问升旗手应以多大的速度(米/秒)匀速升旗解由条件得AABD中ZDAB=45°,NA6=105\ZADB=30°AB=由正弦定理得=石10A/6,520则在中,CD=30KtABCD3所以速度=一米/秒u53答升旗手应以一米/秒的速度匀速升旗
52.(本题12分)设足球场宽65米,球门宽7米,当足球运动员沿边路带球突破,距底线多远处射门,对球门所张的角最大?(保留两位小数)解如图设==MC=x029/c、36EI则tan=—,tan(a+,)=—x x
10、小tan(6z+J3)-tan B.rztan a=tan[(a+,)-#]=---M C(1+tan cif+tan p3629=x尢=7x=77一3629一12+36x29-36x29-127291HX HX XX当且仅当%=2,BPx=6A/
29432.31时,tana最大,x因为a是锐角,所以此时a最大,即对球门的张角最大o-3—i
2.・・・14分3由/1=百得sin x------------------36k6;5乃x-.71615分
55、12分设a=cos©2-1sin a,匕=0$四$1114,40,0=尸万是平面上的两个向量,且Q+1与4-刃互为垂直.--4412若〃・=—4@116=—,求1211二的值.^5解⑴由题设,得3—力・3+力小〃|2-\b\2=A-r2sm2a-sin2a/.2-I2sin2«-sin2a-0即44-2sin2a=00v a肛/.sin2a w0,又%0/.2-2=0故2的值为
2.4分-—►-*—*—*-*2a+b^a一直时,a=cos,sin a\b=cos/,sin0a・B=cosacos/7+sinasin0=cosa-7747r3cosa-/=一,,.,0二/:%,贝ij---------------a-P0tan«一,=——54,
0、小tan«-f3+tan B7八r/tan a=tan[a-£+£]=----------------------------------=——4分1-tana-,tan,
2456.本题14分已知复数也满足卬一4=3-2wi i为虚数单位,z=—+1w-21,求w一个以z为根的实系数一元二次方程.4+3i・・・wl+2i=4+3i,...w==2—i,l+2i・・・z=2+|-i|=3+i.2-i若实系数一元二次方程有虚根z=3+i,则必有共枕虚根z=3-i.,/z+z=6,z-z=10,・・・所求的一个一元二次方程可以是Y—6x+10=
07.设虚数z满足|2z+15|二6|三+10|.1计算|z|的值;2是否存在实数a,使三+@ER若存在,求出a的值;若a z不存在,说明理由.
7.1|Z|=5V32a二±
560.
068.本题满分10分a】e1-cos A-=0定义行列式运算七为二的4-a2a3若-2sin A1求tanA的值;2求函数/x=cos2x+tanAsinx的值域xGR本题满分10分二0,得sinA2cosA=0,V COSAT^O,/.tanA=2o.......4分1-cos A-2sin A130解1由/x=cos2x+2sinx=-2sinx-]-+5VxeR,Asinxe[i,1],13sin x———当2时,fx有最大值2;当sinx=l,fx有最小值33所以,值域为[3,2]……6分o
9.本题满分12分在^ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足阮0$4+碇0$3=268$,△ABC的面积为461求角C的大小;2若a=2,求边长c解1•.•〃cosA+a8sB=2ccosC,
①由正弦定理人=2HsinB,a=2AsinA,c=2HsinC,
②2分将
②式代入
①式,得2/sin BcosA+2/sin Acos B=47sin CeosC,化简,sin4+S=sin C=2sin CcosC5分o-1C71cos C=—C=—VsinC^O,2,J3o—absinC=4y/3r2;△ABC的面积为4,3,.・.2,Aab=16oX V8=2,b=8o……10分1由余弦定理得c2=a2+b22abcosC=22+822-2-8-2=52,/.c=
271310.(本o.......12分题满分12分)AA5C中角A,民所对边分别为若〃二2”2,1+蛆二工,求AABC的面积tgB bSosin(A+B)解由1+侬=生及正弦定理,得cosAcpsB2smC即cosA=,,(其余略)=tgB bsinB sinB2cosBn.(本题满分12分)设复数Z[=x+£R,y w0),复数z2=cosa+isina(a£R),且z;+2Z]e A,Z]在复平面zj+22]e R,一y2+2xyi+2x-2yi eR x=y n[2^-2y=0解:Rez,=ImZ]w0[x=y w0上所对应点在直线y=x上,求区一z21的取值范围nx=y=l=Z]=l+i,Z1_z=Jl_cosa2+1—sina2J3—2V2sin7+-2Z]-Z£[V2—1,V2+1jo
12、本题满分12分已知关于t的方程t2-zt+4+3i=0z eC有实数解,1设z=5+出〃£R,求〃的值2求忖的取值范围t-\ort=4卜2—
5.+4=0解1设实数解为,,由产—5+浦/+4+3,=3—at+3=0a二—V zJ+4+3L+3t tta=3ora=—,2J产+§+83^2,
13.本题满分12分已知函数/x=6sins・cos ox-cos5690的最小正周期丁=工.2I求实数的值;II若x是AABC的最小内角,求函数/x的值域.解I因为/x=,^sin2s-,l+cos2%=sin2w位—L2262所以T=—=~,.co=
2.2a2TT7T IID因为x是AA5c的最小内角,所以XE0,—],又fx=sin4x————,所以362于x G[—1,—].
14.本题满分12分设复数z=cos9+isin,0e[0,7i],G=-l+i,求|z-m的取值范围略解|Z-如£[五-1,方]
15.本题满分12分已知AABC中,sin A•sin B+cos B-sin C=0,sin3+cos2c=0,求角A、B、C的大小解sin A•sin B+cos B-sin C=0得sin A・sin B+sin A・cos B=sin C=sin A+B/.sinA sin^=cosA sinBV sinB0tgA=1又0A“则4=工,即=网一B4437r由sin3+cos2C=0得sin5+cos27-B=0即sin3・sin23=0亦即sin B-1-2cosB=0;・cosB=工得B=X,从而二包2312则所求的角4=工,B=-C=—.f
431216、本题满分12分设z为虚数,且满足—1Z+L2,求zz。