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充分条件与必要条件【考点梳理】考点一充分条件与必要条件“若p,则夕”为真命题“若P,则为假命题推出关系P三p是q的充分条件q是p的必要p不是q的充分条件q不是p条件关系条件的必要条件判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出定理关系了相应数学结论成立的必要条件考点二充要条件一般地,如果且,且包,那么称夕是0的充分必要条件,简称充要条件,记作曲.【题型归纳】题型一充分条件和必要条件的判断A.充分不必要条件B.必要不充分条件
1.(2022秋•北京西城高一北京铁路二中校考期中)设x>0,y£R,则匕>卜|”是“x>邸的()♦C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】分y
20、歹<先判断是否满足充分性,再判断是否满足必要性,即可得答案.【详解】解当y20时丁由/I可得x>y;当y<时,由x>w可得了>一歹>歹;故充分性满足;当yNO时,由x>歹可得X〉|y|;当y<0时,由x〉0,不可得如1>—2,但1<|—2|=2,故必要性不满足;所以>M是的充分不必要条件.故选A.
2.(2022秋•辽宁•高一辽阳市第一高级中学校联考期末)对任意实数,b,c,下列命题中真命题是()A.是ac=bc”的充要条件3B.+不是无理数”是“是无理数”的充要条件C.是户,的充分条件D.“a〈5”是“3”的充分条件【答案】B【分析】通过反例可知ACD错误;根据充要条件和必要条件的定义可知B正确.故选A.亍的
22.(2023春•江西宜春•高一江西省宜丰中学校考期末)已知,6eR且bwO,贝是“了C.充要条件A.充分不必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】【分由不等式的性质,结合必要不充分性的定义即可判断.111111析】由熊〉庐,得时〉MR当,6均为负数时,显然;而,即*5,必要性成立・0,得不成立,充分性不成立・故选:B
23.(2023•江苏•高一假期作业)如果对于任意实数%,田表示不超过x的最大整数,例如[兀]=3,[
0.6]=0,[―
1.6]=-2,那么“[幻=»『是,一》|〈1的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分又不必耍条件【答案】A【分析】根据高斯函数的定义以及充分必要条件的定义推导即可.【详解】如果[x]=3=〃,〃eZ,则有x=〃+4,y=〃+,4,〃2,工_引=\d-d\l,所以[刃=3是,一引1的充分条件;}2反之,如果,一引1,比如、=
3.9/=
4.1,则有打一4=
0.21,根据定义,㈤=3,3=4,1卜但,即不是必要条件,故卜]=3是卜-升1的充分不必要条件;故选A.
24.(2023•高一单元测试)若a/eR,贝广的充分不必要条件是()A.ab\^a+b2B.1且(一1)(人一1)0C.4+62且(一1)(6一1)〉0D.4+63且(一1)(6一1)〉0【答案】D【分析】对于选项A和B,可通过对力取特殊值进行验证判断,从而判断出正误;对于选项C,利用选项C中的条件,得出1涉〉1,从而得出选项C是充要条件,从而判断出不符合结果,进而得出结论.【详解】对于A,当==力=4时,有且Q+b2,但a1,故A错误;对于B,当二一21=一3时,有1且一0,但得不出al,b1,故错误;B对于C,由一16-1〉0,得至ljal且61或a1且61,又+6〉2,故且61,此时是充要条件,故C错误;综上,可知符合条件的为选项D.故选D.
25.2022秋•山东东营・高一利津县高级中学校考阶段练习下列各题中,命题p是命题的什么条件?填“充分不必要条件”,”必要不充分条件”,“充要条件”,“既不充分也不必要条件”只写答案即可⑴夕+6〉44〉2且622pab q:a3b33P9=0q:x2+y2=0某四边形是菱形或某四边形对角线相互垂直4P115P xy0q——x y6P xeAHBB【答案】1必要不充分条件2充要条件3必要不充分条件4充分不必要条件5充分不必要条件6充分不必要条件【分析】举反例或推导,根据充分与必要条件的判定判断即可.【详解】1〉2且62,则必有+64;但当=0/=5时满足+64,但不满足2且62,故“,+6〉4”是“:〃2且b2”的必要不充分条件2根据歹单调递增可得,是〃3〃的充要条件3呼=0贝lJx=0或歹=,X+/=0贝ij x=0且》=0,故“P孙=0”是“‘/+j=,,的必要不充分条件4菱形对角线互相垂直,但对角线互相垂直的四边形不一定为菱形,故P某四边形是菱形”是T某四边形对角线相互垂直”的充分不必要条件5由倒数性质可得,x0则但,,不能推出工y,也可能为负数,故P xV”是x yy xy的充分不必要条件6因为NP|3=4U3,故XG则xc AU4,但xcAU4不一定有XG/DB,故“,工648”是“X£ZU夕,的充分不必要条件
26.2023春•高一单元测试已知全集=11,集合4={x|加一1xm+l},B={x\x4},1当=4时,求和/c48;2若“x e A”是“x e3”成立的充分不必要条件,求实数m的取值范围.【答案】l{x|x5},{x|4x5}2m3【分析】1根据集合并集、交集、补集运算求解即可;2根据充分不必要条件转化为集合的包含关系求解即可【详解】1当加=4时,集合4={x|x|3x5},因为8={x|x4},所以B={x|xN4}.所以4UB={x|x5},Ar^B={x\4x5}2因为“x e4”是“x e8”成立的充分不必要条件,所以A是5的真子集,而A不为空集,所以加+1«4,因此〃2«
3.【高分突破】
一、单选题
27.2023春・湖南•高一校联考期中已知,6为非零实数,则“之1”是明小卜的aA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】利用特殊值法结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.,
4、
21.2卜【详解】由221n-212n:21=〃2/=|6闫|,即可?||成立,故充分性成立;a\a ya~取b=-2,a=\则网邮成立,但不成立,故必要性不成立.9因此,*1”是“网同”的充分不必要条件.a故选A
28.(2022秋•江苏常州・高一江苏省前黄高级中学校考阶段练习)函数y=[x]在数学上称为高斯函数,也叫取整函数,其中印表示不大于x的最大整数,如[L5]=1,[-
2.3]=-3,
[3]=
3.那么不等式4[幻2一12[幻+540成立的充分不必要条件是()A.[p1]B.[1,2]C.口,3)D.[L3]【答案】B【分析】先解不等式,再结合充分条件和必要条件的定义求解即可.【详解】因为4H2-12R+5W0,则(2[可一1)(2[刃一5)«0,则;[可工又因为国表示不大于X的最大整数,所以不等式4[x]2—12H+5V0的解集为13,因为所求的时不等式4口一12[幻+500成立的充分不必要条件,所以只要求出不等式4[幻2一12R+5W0解集的一个非空真子集即可,选项中只有工2章[1,3).故选B.
29.(2022秋•四川绵阳•高一绵阳中学校考阶段练习)下歹广若夕,则/形式的命题中,夕是4的必要条件的有()个
①若是偶数,则X+V是偶数
②若2,则方程f-2X+Q=0有实根
③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形
④若必=0,则=0A.0B.1C.2D.3【答案】D【分析】根据必要条件的概念找出符合要求的选项即可.【详解】对于
①,x+y是偶数,不能保证x,y均是偶数,也有可能都是奇数,故
①不符合题意;对于
②,若方程Y—2x+Q=0,则需满足A=4-4三0,即可推出2,故
②符合题意;对于
③,若四边形是菱形,则四边形对角线互相垂直,故
③符合题意;对于
④,若〃=0,则6=0,故
④符合题意.故选D.2023x为有理数
30.2023秋・新疆•高一校联考期末若定义在R上的函数/可满足/口二八二工工田粕则“工为无理数”是[0,x为无理数,“//⑺=2023”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合已知条件分析判断即可.【详解】当x为无理数时,/%=0为有理数,则//%=
2023.当x为有理数时,/x=2023为有理数,则//、=
2023.所以当//》=2023时、xeR,故“x为无理数”是“//⑺=2023,,的充分不必要条件.故选A
二、多选题
31.2023春・湖南岳阳・高一湖南省岳阳县第一中学校考开学考试已知夕是成立的必要条件,乡是一成立的充要条件,〃是S成立的充分条件,S是9成立的不充分条件,则下列说法不正确的是A.2是〃成立的充要条件B.$是尸成立的必要不充分条件C.〃是S成立的充分不必要条件D.q是S成立的必要不充分条件【答案】ACD【分析】根据充分条件、必要条件、充要条件的概念逐个选项分析可得答案.【详解】依题意得9qor,Y=S,sL q,由q=,,qor得rnp,但P不一定能推出尸,故A不正确;由^今一,si q得s%r,又一ns,所以§是尸成立的必要不充分条件,故B正确;因为不一定能推出S,§不一定能推出P,所以C不正确;因为qor,厂=s,所以夕ns,又q,所以是s成立的充分不必要条件,故D不正确.故选ACD
32.2022秋・河北石家庄•高一校考期中下列结论正确的是A.是“X1”的充分不必要条件B.气+5是无理数”是“是无理数”的充要条件C.、,人都是偶数”是6是偶数”的充分不必要条件D.“1且61”是“a+b〉2且口〉1”的充分必要条件【答案】BC【分析】A选项,举出反例得到充分性不成立;B选项,推导出充分性和必要性均成立;C选项,先证明出充分性成立,再举出反例得到必要性不成立,C正确;D选项,举出反例得到必要性不成立,D错误.【详解】A选项,当、=-2时,满足但不满足xl,故充分性不成立,A错误;B选项,=(+5)-5,若+5是无理数”则是无理数”,充分性成立,若是无理数,则〃+5是无理数,必要性成立,故“+5是无理数”是“是无理数”的充要条件,B正确;C选项,a,b都是偶数,设=2加力=2〃,则+6=2(加+〃)为偶数,充分性成立,当=3/=1时+6=4为偶数,但Q,b都是奇数,必要性不成立,故Z,6都是偶数”是+6是偶数”的充分不必要条件,C正确;D选项,当=4,6=,时,满足+/2且,但不满足1且61,故必要性不成立,D错误.3故选BC
33.(2022秋•陕西西安•高一校考期中)下列命题中是真命题的是()A.x2且y3是x+y5的充要条件B.x\是x0的充分不必耍条件C.A=〃-4=0是a—+以+c=0
(0)有实数解的充要条件D.三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形【答案】BD【分析】A选项,可举出反例;BD可推导出正确;C选项,根据一元二次方程有解,满足△=4QC20,故C错误.【详解】A选项,当x=Ly=6时,满足x+y5,但不满足工〉2且丁〉3,故x2且歹〉3不是x+y5的充要条件,A错误;B选项,因为x〉1nx〉0,但x〉0区工〉1,故xl是x0的充分不必要条件,B正确;C选项,4+版+^^^^照实数解,则要满足△=〃-4或20,故C错误;D选项,三角形的三边满足勾股定理,则这个三角形是直角三角形,反之,若一个三角形是直角三角形,则三边满足勾股定理,故三角形的三边满足勾股定理的充要条件是此三角形为直角三角形,D正确.故选BD
34.(2022秋・湖北荆门・高一荆门市龙泉中学校考阶段练习)已知集合/=3+123},5=|工-2或%27},则/c8=0的必要不充分条件可能是()A.a7B.a6C.a5D.a4【答案】AB【分析】分4为空集和不为空集两种情况求得Nc3=0的充要条件,然后根据选项逐一判断可得.〃+12-3【详解】若4c8=0,则+122-3或,+1之一2,解得或4《5,2一3«7所以,4c8=0的充要条件为5,所以4cB=0的必要不充分条件可能为7,6故选ABB4B-2+12〃-37K
35.2022秋・江苏苏州•高一校联考期中在整数集Z中,被6除所得余数为%的所有整数组成一个“类,记为仇],即用={x|x=6〃+左,〃EZ},k=0,1,2,3,4,5,则A.—5
[5]GB.Z=
[0]u[l]u
[2]u
[3]u
[4]u
[5]C.“整数Q,6属于同一“类”的充要条件是“北四”D.“整数Q,6满足力£
[2]”是+北[3卜的必要不充分条件.【答案】BC【分析】对A,由定义得
[5]={6〃+5|〃EZ},再判断元素与几何关系即可;对B,由定义及被6除所得余数为0至5的整数可判断;对C,分别根据定义证明充分性及必要性即可;对D,由定义证充分性,必要性可举反例即可判断【详解】对A,因为
[5]={6〃+5|〃£Z},由6〃+5=-5可得〃=—3=—3eZ,所以—5*5],A错;63对B,32M3]U
[4]U
[5]={6%I ne Z}U{6%+11%£Z}U{6%+21%£Z}U{6%+31%£Z}U{6%+41«e Z}U{64+51Z}=Z,BH Gx56对;对C,充分性:若整数Q属于同一“类”,则整数42被6除所得余数相同,从而Q-6被6除所得余数为0,即-北四;必要性若”点网,则4-6被6除所得余数为0,则整数a,6被6除所得余数相同,所以“整数〃、b属于同一偻F勺充要条件是“北网、C对;对D,若整数a,人满足则q=6〃|+l,6=6々+2,4EZ,%EZ,所以Q+6=6(〃[+々)+3,+;72e Z,故Q+6E
[3];若Q+6E
[3],则可能有aw
[2]]E
[1],故整数Q,b满足«1]淮42],,是“4+北[3卜的充分不必要条件,D错故选BC
三、填空题
36.(2023秋•高一课时练习)下列说法不正确的是.(只填序号)
①f wi是xwl的必要条件;
②x5是x4的充分不必要条件;
③孙=0是x=0且歹=0的充分条件;
④V4是x2的充分不必要条件.【答案】
①③【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解.【详解】
①中,命题若,W1是XW1的必要条件的逆否命题为若X=1是l2=1的必要条件,由f=l,可得x=l或x=-1,所以X=1是f=1的充分条件,所以
①不正确;
②中,若x5,则x4成立,即充分性成立;反之若£4,则x5不一定成立,即必要性不成立,所以x5是x4的充分不必耍条件,所以
②正确;
③中,由9=0,可得x=0或y=0,所以孙=是x=0且歹=0的必要条件,所以
③不正确;
④中,由一4,可得-2x2,所以一4是x2的充分不必要条件,所以
④正确.故选
①③
37.(2023秋•高一课时练习)若力=卜|212+1},8={中-3或x1},且4是5的充分不必要条件,则实数a的取值范围为【答案】(一知―2]U[L+8)【分析】依题意有45,根据集合的包含关系,列不等式求实数〃的取值范围.【详解】因为/是8的充分不必要条件,所以/B,又4={x|2a-1x2Q+1},3={x x-3或x1},因此2〃+1-3或2-121,解得〃一2或所以实数a的取值范围是(-*-2]U[l,y).故答案为(-8,-2]U[l,+8)
38.(2022秋•云南曲靖•高一校考阶段练习)荀子曰“故不积酷步,无以至千里;不积小流,无以成江海这句话阐述了做事情不一点一点积累,就永远无法达成目标的哲理.由此可得,“积蹉步是“至千里”的条件,(填条件关系,例如充分不必要条件、充要条件等等.)【答案】必要不充分条件.【分析】正确理解题意,直接利用充分条件,必要条件的定义法得到答案.【详解】故不积度步,无以至千里,等价于“积度步”不一定”至千里但“至千里”必须“积蹉步”,所以“积蹉步”是“至千里”的必要不充分条件.故答案为必要不充分条件
39.(2023春.上海青浦.高一统考开学考试)已知集合力={小3},集合8={小Q},若命题“x eA”是命题“x e B”的充分不必要条件,则实数的取值范围是.【答案】【分析】根据充分不必要条件转化为集合的真包含关系,即可得解.【详解】因为命题“x eA”是命题“x e8”的充分不必要条件,所以集合A真包含于集合8,又集合Z={x|x3},集合8={X|X〉Q},所以
3.故答案为3
四、解答题
40.(2023秋,高一单元测试)已知非空集合P={x|a+l«xW2a+l},Q={x\-2x5}.⑴若a=3,求@p)n;
(2)若“x£夕是“x£Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】⑴但P)n0=3_2Wx4}()2{a\0a2}【分析】
(1)由交集、补集的运算求解即可;
(2)转化为集合间关系后列式求解.【详解】
(1)当〃=3时,P={x|4x7},Q={X\-2X5}9则%P={刈工4或%7},\pnQ=3—20x4};2尸是非空集合,“xwP”是的充分不必要条件,则P是的真子集,2Q+12+1所以a+12—2且+1=-2与2+1=5不同时成立,解得072,22+15故a的取值范围是{[02}.
41.2022秋・广东东莞•高一校考期中已知集合4=卜|—集合5={即-加xW3加+1}1当m=1时,求NcB;2若xe/是xe8的必要条件,求实数加的取值范围.【答案】13=卜|0%臼11⑵一二I6」【分析】1根据交集直接运算求解;2由题意分析可得B=A,分3=0和8W0两种情况,结合包含关系运算求解.【详解】1当加=1时,B=|x|0x4|,所以4c3=x[0xg}.2因为xe/是xe3的必要条件,则8右力,
①当5=0时,1一加23加+1,解得加工0;1-m-131
②当3w0时,3/7i+l-,解得0根一;261-m3m+
1、r综上所述m的取值范围为.I6」
42.2023秋・江西萍乡•高一统考期末已知集合力=卜——1«为+6},B={x\0x4},全集U=R.1当Q=I时,求/n电3;2若“x e十是”eA”的充分不必要条件,求实数a的取值范围.【答案】l4c为8={X|4X48}2T』【分析】1化简集合A,根据补集运算、交集运算求解;2由题意转化为B A,列出不等式组求解即可.【详解】对于A,当=0时,ac=bc,此时可以/b,必要性不成立,A错误;33对于B,当+彳为无理数时,根据;为有理数,可知为无理数,充分性成立;2233当为无理数时,根据为有理数可得〃+彳为无理数,必要性成立;223不是无理数”是“是无理数”的充要条件,B正确;对于C,当=-2,力=-1时,/〉〃,但是/,故不是的充分条件,C错误;对于D,当a=4时、5,但是Q〉3,所以“Q5”不是3”的充分条件,D错误.故选B.
3.(2023•全国•高一假期作业)已知〃是尸的充分不必要条件,q是尸的充分条件,s是厂的必要条件,q是s的必要条件,现有下列命题
①s是夕的充要条件;
②P是q的充分不必要条件;
③一是9的必要不充分条件;
④厂是s的充分不必要条件.正确的命题序号是()A.
①④B.
①②C・
②③D.
③④【答案】B【分析】根据条件及充分条件和必耍条件的的确定之间的关系,然后逐一判断命题
①②③④即可.【详解】因为夕是〃的的充分不必要条件,所以pnr,〃推不出夕,因为^是〃的的充分条件,所以夕=一,因为s是的必要条件,所以〃=s,因为是s的必要条件,所以s=因为q=r,所以9=s,又s=q,,所以§是q的充耍条件,命题
①正确,因为pnr,r=s,snq,所以p=0推不出,故是9的充分不必要条件,
②正确;因为s=q,所以〃是q的充分条件,命题
③错误;因为s=q,q=r,所以snr,又尸=s,所以〃是s的充要条件,命题
④错误;故选B.题型二根据充分不必要条件求参数问题
4.(2022秋•山东潍坊•高一校考阶段练习)若“-la-加〈厂成立的充分不必要条件是[,(9,则实数〃2的取值范围是()f,411f,141A.〈根——m—B.《根——m—I32j I23]【详解】
(1)当〃=1时,集合Z={x|0WxW8},电3={1,0或x〉4},故4c(为3)={x[4xW8}2由题知B A,即且[a2-\Q当8w力时,一,解得一IKaKl,[2a+64当A,叶J、1=°解得]当8=力时,1,斛得=一1,[2+6=4由8/得,QW—1;综上所述实数的取值范围为-
15.
43.2022秋•甘肃庆阳•高一校考期末已知集合4={x|3x10},B=^x x2-9x+14o},C={x|3x2m,⑴求ZcB,AuB,4,n8;2若XEC是%£4门8的充分而不必要条件,求实数机的取值范围.【答案】⑴;;{X|3X7}{X|2X10}{X|2X3}
7、⑵\J【分析】1先解出集合5,再由集合间的运算性质求解即可;2由题意可得4口8,分C=0和C/0两种情况讨论即可.【详解】1VB={X|X2-9X+140={X|X-2X-70}={X|2X7},・・.Ac8={x|3x7},/uB={x2x10},又条/={x|x3或x210},・,.他/八8={x2x3}.2・・・xwC是xw4n8的充分而不必要条件,.・・/n®,3当=0时,有2加43,即加《—;2[2/77337当Cw0时,有即〃2m
7227、综上所述,实数加的取值范围为-8,彳.I
2744.2022秋咛夏石嘴山・高一平罗中学期中已知全集为R,集合4斗卜2a+12V0},5={x|3x-78-2x}.⑴求/cB;⑵若C={x|a-4Wxf a+4},且“x£力口8”是“x C”的充分不必要条件,求实数的取值范围.E【答案】⑴[3,6]22^7【分析】1先分别求出集合48,然后再求交集即可;2可分析出ZcB是的真子集,列出不等式求解即可.【详解】1解/一8%+1240解得24x46所以力=[2,6],由3x—728—2x解得x33,所以B=[3,y,所以4c8=[3,6]2解因为“xe/nB”是“XEC”的充分不必要条件,所以4口8口且/cBwC,443所以/、乙等号不同时成立得2447,+426所以实数的取值范围是
27.【答案】B((\1A\i A【分析】先化简不等式为〃2-14V加+1,再由题意知4〃2-1,加+1),且(〃2-1,加+1),根据子集关系)2132J列式解得参数范围即可.【详解】不等式等价于m-lxm+l9由题意得是“-1VX-〃2V1”成立的充分不必要条件,A11A、门1\/、所以,且(加-1,加+1),())32\32I1m—1—314所以:,且等号不能同时成立,解得-;〃2«彳.八123771+1—2故选B.
5.(2022秋•贵州安顺•高一校考阶段练习)已知力={止13},5={x|-lxm+l),若xeB成立的一个充分不必要条件是xe4,则实数〃的取值范围是.【答案】{加帆2}【分析】由xeB成立的一个充分不必要条件是xe/,可得再列不等式3加+1求解即可.【详解】解由题意,得xeZnxEB,但xeB KXEZ,AV B,;・3772+1,即〃22,故答案为心
2.【点睛】本题考查了充要条件与集合间的包含关系、集合相等的充要条件,利用集合的包含关系求解参数的范围,重点考查了集合思想属中档题.
6.(2023春•上海黄浦・高一上海市大同中学校考期末)已知一是卜-|2的充分非必要条件,则实数的取x-2值范围是.【答案】(1,4【分析】分别解得一二之1和卜-|2的解集4B,再根据“一二21»是“卜-42»的充分非必要条件,由A真包x-2x-2含于B求解.【详解】由白21,解得2xW3,记/={、|2xW3},XZ由,一同2,解得4-2XQ+2,记5={、,一2cxQ+2},・「一^Nl”是“卜-Q|2的充分非必要条件,x-2・・・A真包含于8,即解得1〃V
4.[Q+2〉3故答案为(1,4]题型三根据必要条件不充分条件求参数问题
7.(2022,高一单元测试)若夕l2+1_6=0是/办-1=0
(0)的必要而不充分条件,则实数的值为()11…11-1A.--B.一7或不C.--D.7或一二223323【答案】D【分析】根据题意确定夕可以推得尸,但夕不能推出G由此可得到关于的等式,求得答案.【详角军】夕x2+x-6=0,即x=2或x=—3,q:,/.x=—,a由题意知p—+工_6=0是]ax-1=0
(0)的必要而不充分条件,则,=2,或L—3,解得Q=1,或q=a a23故选D.
8.(2022秋•江苏南京•高一校考阶段练习)已知〃:4x-m0,q:l3-x4,若〃是的一个必耍不充分条件,则实数加的取值范围为【答案】6+8)【分析】由必要不充分的推出关系列式求解,【详解】由题意得,q:-lx2,而q=P,故—2,得力8,44故答案为(8+oo)
99.(2023秋•高一课时练习)已知p-2或x10,qx1+q或x〉1-(Q0).若p是q的必要条件,则实数a的取值范围为.【答案】(-8,-9]【分析】由p是夕的必要条件,有qnp,列不等式组求实数的取值范围.1+6Z-2【详解】•・是g的必要条件,・・.9=乙则有1一心10,解得(一
9.aQV则实数a的取值范围为(-吗-9]故答案为(-泡-9]题型四充要条件问题A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
10.(2022秋嘿龙江哈尔滨•高一校考期中)已知贝『力=0”是“函数/(工)=/+云+为偶函数,,的()C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据条件的充分性和必要性判断即可.【详解】充分性当6=0时,/x=x2+c,函数/是偶函数,充分性成立;必要性若函数/1是偶函数,则/x=/—1=/+以+=12一,得6=0,必要性成立故=0”是“函数/x=/+bx+°为偶函数,,的充要条件故选C
11.2022秋咛夏银川•高一校联考期末已知4={4%2,…,%},5={凹,乂,…,T},则“修〃秋力£5使得%二匕”是“4白8”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】c【分析】依据子集的定义进行判断即可解决二者间的逻辑关系.【详解】若依田产台使得士=%,则有/gB成立;若4=B,则有\/石£4叫使得七=匕成立.则“Vx.e4耽eB使得%=y.,,是“Z=8”的充要条件故选C
12.2021秋・浙江•高一校联考期中设£火,则“2”是“与之0”成立的a+4A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件【答案】A—2Q【分析】首先解分式不等式即可得到20一=0,即可判断;Q+4【详解】解因为4^0,且/+4〉0,所以q—20,即〃2,即〃2=4^0,所以Q2”是矿+4-+4“+4成立的充要条件.故选A题型五根据充要条件求参数问题
13.2022秋•全国•高一专题练习已知p:{x|x+220且x—lOWO},^:{x|4-mx4+m,m0,若夕是q的充要条件,则实数〃的值是A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】由两个集合相等可求得参数加.【详解】由已知,p:{x|-2x10},f4——2,由夕是9充要条件得{x|—2Vx410}={x|4x4+加,掰0},因此匕解得加=6,[4+777=10,1A故选C【点睛】本题考查充分必要条件与集合包含之间的关系.掌握这个关系是解题基础.命题P对应集合命题夕对应集合是N,则P是q的充分条件=2是9的必要条件P是9的充要条件=A/=N,2是的充分不必要条件N,2是的必要不充分条件=〃N.
14.2022秋•重庆沙坪坝•高一重庆市第七中学校校考阶段练习若是1-2x+加5的充要条件,则实数m的取值是.【答案】3【分析】先化简1-2%+加5得,由充要条件可知两不等式两端相等,从而可求得加的取值.【详角单】由1一2%+加5得1一加一215—加,故加一5x—1,因为“-1X1”是“1-2x+mV5”的充要条件,l-5=-lm所以;,解得〃2=3,所以实数加的取值是
3.故答案为
3.
15.2021・全国•高一专题练习已知命题p:--1,命题q x+ax-
10.若〃是的充要条件,则的值x-1是.【答案】17X7r【解析】解不等式上;1,根据不等式上;1与不等式卜+乂X-1的解集相同可求得实数的值.X—1X-1【详解】解不等式三1,即2x-l二£±10,解得-x-l x-1x-\由于夕是9的充耍条件,则不等式x+〃x-10的解集为-1,1,・・・—1是关于X的方程x+〃x—1=0的一根,则4—1-1—1=0,解得a=l.故答案为
1.【点睛】本题考查利用充要条件求参数,考查分式不等式的解法以及利用一元二次不等式的解求参数,考查运算求解能力,属于基础题.题型六充分条件与必要条件的综合
16.2022秋•安徽安庆•高一安庆市第七中学校考期中设集合U=R,^={x|0x3},B={x\m-\x2m}.⑴〃=3,求;2若“xe8”是“xe/”的充分不必要条件,求m的取值范围.【答案】1[0,23⑵加一1或1«加W—【分析】1根据集合的补集定义以及集合的交集运算,即可求得答案.2根据题意可得84讨论集合8是否为空集,列出相应不等式,即可求得答案.【详解】1由题意知当加=3时,S=1x|2x6},故心方={][%2或x6},而4={小三3},故/c@B=[0,2;2由是“xe/”的充分不必要条件,可得34故当8=0时,,符合题意;0m-10m一12m3当8工0时一,需满足2旌3,且一’一中等号不能同时取得,m-12m X.3解得1W,23综合以上,加的取值范围为加-1或
117.2023秋广东广州•高一统考期末已知全集=酊集合力={x|-3Wx7},集合6=卜13-2〃W xW2”5},其中Q£R.1当Q=4时,求aZu3;2若“x eA”是“x e8”的充分条件,求a的取值范围.【答案】l—8—5U7,+8⑵[6,+oo【分析】1确定8={X|-5«XW3},AJB={X\-5X7}9再计算补集得到答案.3-24-3
(2)根据充分条件得到4
①8,得到2-527,解得答案.2Q—523—
2、【详解】
(1)4=4,故8={x|-5Wx《3},A^B={x\-5x7},4(/u3)=(-8,—5)U(7,+⑹3—2Q W—3
(2)“xeZ”是xeB”的充分条件,故/g8,故2〃-5272—5N3—
2、解得Q6,故Q的取值范围是[6,+00)2_5Y
18.(2023秋•安徽芜湖・高一安徽师范大学附属中学校考期末)已知集合4=、三斤1,B={x\-kx2k-^
(1)若/8=力,求实数左的取值范围;
(2)已知命题PXG4命题小XEB,若P是q的必要不充分条件,求实数左的取值范围.【答案】
(1)左2()2^1【分析】
(1)利用分式不等式的解法,解得集合A,根据集合之间的关系,可列不等式,可得答案;
(2)根据必要不充分条件,可得集合之间的关系,利用分类讨论,可列不等式,可得答案.【详解】
(1)由三一1,移项可得一一-10,通分并合并同类项可得V0,等价于(x-6)(x+l)0,解x+1X+1X+1—k W—15由4113=4,则力《8,即〈65解得%I得一1x6,则力={x|-lX6};
(2)夕是夕的必要不充分条件等价于5©4
①当8=0时,-kN2k+\,解得左《一;,满足.71k—3-k-1(不同时取等号)
②当时,原问题等价于2k+146综上,实数4的取值范围是左WL【双基达标】
一、单选题
19.(2023秋•高一单元测试)“方程V—2x+加=0至多有一个实数解”的一个充分不必要条件是()A.m1B,加£1C.m0D.m2【答案】D【分析】先求出“方程工2一2]+〃2=0至多有一个实数解”的充要条件,即可判断.【详解】“方程/-2x+加=0至多有一个实数解”的充要条件为△=(―2)2—4m0BP m7,又〃222是m2/的充分不必要条件,故选D.
20.(2023秋•高一课时练习)“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的()A.充分条件B.必要条件C.既是充分条件又是必要条件D.既不是充分条件也不是必要条件【答案】B【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】因为正方形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以“四边形的四条边相等”是“四边形是正方形”的必要条件.故选B
21.(2023春・湖北黄冈・高一校联考期中)若集合力={1,/},3={2,9},则“加=3”是ZcB={9},Wj()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由/cB={9},可得〃/=9,解得〃,,即可判断出结论.【详解】由4c8={9},可得掰2=9,解得吁±3,因为{3}{-3,3},所以加=3是“4c3={9『的充分不必要条件.。