矩阵分析复习知识点

定义设是一个非空集合，为数域.上述的两种运算满足以下八条运算规律，那V F么就称为数域上的线性空间.F判别线性空间的方法一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间.是次数不超过的多项式，构成了向量空间，其基是R[X]n n[1,X,X2,……,X!是次数不超过的多项式，构成了向量空间，其基是P[X]n[1,X,X2,……Xn l]o.是次数不超过的多项式，其中不等于不构成了向量空间,Q[X]n nan0,的解空间，称为矩阵的核（零）空间，记（）Ax=0A NA设为实数（或复数）矩阵，为维列向量，则维列向量集合A m*n xn m）|丫=人（（）｝构成实（或复）数域（或）上的线性空间,称为VNyGYC4*£R0£1^^R CA的列空间或的值域，记（）A RAo线性相关与无关略的加法和数量乘法，构成实数域上的一个线性所有二阶实矩阵组成的集合，对于矩阵空间.对于中的矩阵Ew—,£*21=k\kt kJ有+左储ki Eii+ki E123£*2i+E22=因此+左+左==即品㈤，，及线性无关.ki Eii+ki En3Eix4Eii2£212基变换公式（4,尸…，凡）=（%，%，…，％）P，称为由基2,P…，a〃矩阵到基饵・••久的过渡矩阵・4,，\=p—坐标变换公式“2例略126P11设阴，g是线性空间的两个子空间，令匕口匕={|£匕且口£匕}v可以验证匕构成的线性子空间.称为为也与©的交空间.xn vxn%令匕+V=［a=a+a\a£匕且见£匕}2i2i可以验证匕+匕构成的线性子空间.称匕+匕为与的和空间例v M0%=2,1311,1,—3,11/7]=4,5,3,—1%=—尸，1,5,-3J1V,=span{a,%},%=span用=板,四}♦x试求；⑴也的基与维数；⑵匕的基与维数+g vn1•［解］⑴由定理知+匕，回，名,%，川是极大无关组.故它是3X=span{%,%62}14+0的基，维数=3设匕，即二£乂且二£匕，于是=左必+左=网尸+夕2a EVrl a2a212152555丫3^3于是为xn匕的向量表示其维数=ia=k4$把%,见，四，四的坐标代入上式，解之得匕七=—，=一一左=0,4线性映射设VI,V2是数域F上的两个线性空间，映射TV1-V2,如果对于任何两个向量al,a26Vl和任何数KEF,都有T al+a2=Tal+Ta2；T Kal=KTal便称为映射a，2=即软%,几@血AA J6,，…,4,A，，，0”矩阵称为线性映射在基与下的矩阵表2£2示Ja根据坐标唯一性，得称为线性映射力在给定基%,%，…，与舟,夕，向42量坐标变换公式其表示矩阵是唯一的.4例略

1.

4.7P23求线性映射R[x]f R[x]例n+i nD/x=^/xax在基占〃与基占工〃-下的矩阵1,i,14于D1=0,DX=1,DXn=nXnl是所求矩阵为王x2eV,如果丁⑷=%%,・・,%则源a与像T a的坐标变换公式yl,y2,……,yn T=Axl,x2,，xnT例01设R3中线性变换方各基20，变为基-1-103-21求生基%下的矩阵表示⑵求向量J=1237及76在基,,%,%下的坐标3求向量J及7在基以下的坐标73，必=3，必4=；，22解■4=3，%%尸3%4，O],02,031%2，3-|A1—1—1因此衣%,%下矩阵表示是A=—1121］「尢k\2设J=四,%,%，即%3-1-1011110237（J）在%%%下的坐标为%-1-4-320—1310101⑶纸基讲,名,砥下的坐标为A-1-4-4-15-9-96232310T（J在基以,名下的坐标为A-1-32=-32-4-13-9-13=10,=-4,%3=-9所以4在基囚2/3下的坐标为（1厂4,一9）

7.k\定理】设是线性空间的线性变换,多,%，〃和；；，…，反T V a,a是的两组基,由到；的过渡矩阵为尸，线性变换在基多,%，…，〃U4a T下的矩阵表示为在基；，下的矩阵表示为凡则4a,a.…aB=P^AP定义设产…，若存在三尸”〃，满足1A♦B=尸-1—贝U称A与A相彳以，记作E〜A.第二章定义］设％（）（，；・・・，〃）是数域户上的♦22=L2,…6/=L2,多项式，则称以外（工）为元素的矩阵〃ii

（4）12（“）.•”1〃

（4））团…%）为多项式矩阵或；［矩阵A

（4）=222（••••••••••••〃■㈤区〃金〃％24…定理一个〃阶；矩阵（）可逆的充要条件是（）是一个非零1I42det42常数.定义设%.是数域凡上的1Qi=1,2,…=1,2,…,多项式，则称以物㈤为元素的机矩阵X”定义与；矩阵等价的形如6I AQ一团-4da2的对角形矩阵称为的标准形.AQ Smith团㈤,㈤称为矩阵的不变因子.44444例题略老师没指定P60-64」例求矩阵2316~F-1-2A=-103—1—14的标准形.Jordan%+12-61F1解；IE・A=12-3=4—1112-4a-i2MB MM故A的初等因子是丸-1,2-

12.于是的标准形为A Jordan10o-J=

011.001例求矩阵2-170-25A=01090-13的标准形,并求变换矩阵JordanP.2-170251Fl1解02-

10.于是因此,21A~-902+132-12-222存在非奇异矩阵尸,使得尸-1AP=J.100即AX,X,X=X,X,X021123123002故AX.=X„AX=2X AX=X+2X由£求得丁;・AX1=0,X1=04,0229323同理，求得匕=玛=、5,0,3-;2,0,1-052所以尸=%,玛,%=

100.031定义设是酉欧氏空间，向量的长度定义为6VaeV|a||=Ja,a即1ah定义1若向量a和月的内积a,⑶=0,则称a与夕正交，记作a J_定义在几维内积空间中，由〃个正交向量组成的基称为正交基曲个标271准正交向量组成的基称为标准正交基.正交化Schmidt设%,是维酉欧氏空间中个线性无关的向量,求由这个向量a2,…,r r印即｛皿,%｝中的一个标准正交基.62,一

1、正交化02=A，A令A=«i生成的，维线性子空间,=a a8Q血6_-T-r«,A⑸血A-nA-J、标准化2_Pr一两.F-A_A fvv2定义若〃阶复矩阵满足14AH A=AAH=E则称是酉矩阵，记作URA Ae若阶实矩阵满足AATA=AAT=E则称是正交矩阵，记作E〃.A AG酉矩阵性质正交矩阵性质若则A,be U7若则、Unxn1A I=A£

1、A1=A1e EnXH、2|det A|=

1、2det A=±

1、U11X113AT e、AB.BA Enxn3G、AB.BA UllXH4G定义设是〃维酉空间Q是的线性变换，若2V V都有VaaeV（b（a）,b

（0）=（a,P）则称是的酉变换.C7V设V是〃维欧氏空间,Va,£V,若线性变换b满足（b（a）,b

（0）=（a,0G则称是的正交变换.V定理设b是酉空间（欧氏空间）的线性变换，3V则下列命题等价、b是酉变换征交变换）

1、（）2Q a||=||a||,VawV、将丫的标准正交基变到标准正交基

3、酉变换（正交变换）在标准正交基下的矩阵表示是酉矩阵（正交矩阵）.4定义设，若则称为幕等矩阵.141=4A、£-是哥等矩阵;1P”,£-P,E-P P”、2PE-P=E-PP=O;、NP=RE・P;

3、Px=%的充要条件是RP;4xG、C“=RP NP.5㊉设A、^^〃*〃（或尺…），若定理存在（或£及，使得UHAU=U-lAU=B）^UTAU=U-IAU=B定理若是幕等矩阵，则1P引理任何一个〃阶复矩阵酉相似于一个上（下）Schur A三角矩阵.设^:色,力居仁力儿为广-区为和勺特征值，则定理（不等式）362Schur.一________1i=l i,j其中，等号成立的充吸件是A酉相似于对角矩阵定义设AwC叫若A”A=44,则称4为正规矩阵

3.

6.2若AeR,贝=4,,于是474=447,则称4为实正规矩阵〃IJA定理设A Cx〃,则A是正规矩阵的充要条件是存在U w使得GUHAU=diag®,4,…,4其中4,演…，乙是A的特征值定理设4是正规阵，则⑴是阵的充要条件是A的特征值是实数4H是反阵的充要条件是的特征值的实部为24H-4Oo是酉矩阵的充要条件是的特征值按模等于34A lo定理设都是正规矩阵，则可以同时酉对角化的充要条件是A,B A,B AB=BAO可以同时酉对角化的含义是存在一个阶酉矩阵使得A,B nU,04u\UHAU=,UHBU=040UYl第四章满秩分解、分解略P152UR P156第五章范数设是数域上的线性空间，用表示按照某个法则确定的与向量对应的实V F||X||x数，且满足1非负性当|冈|当且仅当时,；xWO,0;x=0||x||=02齐次性:|||冈|火为任意数；kx||=|k|3三角不等式对于中任意向量都有〈||则称实数V x,y||x+y||x||+||y||是向量的范数I|x||x向量范数闻=㈤+国+…+闻=》却i=i=恪M=2+-22/卜/+/|+同对2=max x.X〃7〃oo矩阵范数:川.二£同，\in（列模和）6/=1j=\J〃7〃i=\j=\ML=max au（行模和）11ij ym1jn。