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指数运算(精讲)
4.1一.次方根,次根式n n的〃次方根的定义一般地,如果〃那么叫做的几次方根,其中心且〃X=Q,x1,£N*.的次方根的表示
2.a n〃的奇偶性的〃次方根的表示符号的取值范围n为奇数n aRn〃为偶数[0,+oo土an.根式式子叫做根式,这里〃叫做根指数,叫做被开方数.3二.根式的性质负数没有偶次方根.
1.的任何次方根都是记作索
2.00,=
0.()〃(〃且心)
3.%=Q£N*,
1.〃代为大于的奇数).41/=1肪=同=一°’(〃为大于的偶数).
5.1-a,a0三.分数指数幕m
1.规定正数的正分数指数幕的意义是〃=、而(0,m,〃£N*,且〃1);,
一、X_1_zn
2.规定正数的负分数指数累的意义是a-----=〃=〃(a0,m,〃£N*,且心1);〃标符的正分数指数嘉等于的负分数指数嘉没有意义.
3.030四.有理数指数塞的运算性质.整数指数幕的运算性质,可以推广到有理数指数事,即1
①屋屋=优会(〃0,r,s£Q);
②⑺s=Ms(a0,尸,s£Q);
③(aby=a〃ba0,b0,rEQ).@-=ar~\aQ,r,s£Q).as.无理数指数累2一般地,无理数指数累汽是无理数)是一个确定的实数.有理数指数幕的运算性质同样适用于无理数指0,数幕.一.为病与(%)〃的区别是实数〃的〃次方根,是一个恒有意义的式子,不受〃的奇偶限制,但这个式子的值受〃先乘方,再开方(都是〃次),结果不一定等于当〃为奇数时,勺»=〃;当〃为偶数时,%=同=位Q.1—Q,4Z
0.()〃是实数的〃次方根的〃次累,其中实数的取值由〃先开方,再乘方(都是〃次),结果恒等
2.%于二.根式与分数指数哥互化Q.()有括号先算括号里的,无括号先进行指数运算.1⑵负指数幕化为正指数幕的倒数.⑶底数是小数,先要化成分数;底数是带分数,要先化成假分数,然后要尽可能用幕的形式表示,便于运用指数塞的运算性质.⑴将根式化成分数指数幕的形式.()运用分数指数幕的运算性质求解.
2.利用整体代换法求分数指数幕3()整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法,分析观察条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键.1()利用整体代换法解决分数指数累的计算问题,常常运用完全平方公式及其变形公式.2考点一根式的意义求范围【例1】(2023•云南曲靖)(多选)若〃£N,QER,则下列四个式子中有意义的是()A.--7严B.3(一7-C.标D.聒【答案】AC【解析】因为〃£N,所以4〃为偶数,(-7)4〃20,所以7)」有意义,A正确;取〃=1,则(_7)30,所以3(-7产无意义,B错误;因为行的根指数为奇数,所以标有意义,正确;C若〃则所以而无意义错误.0,30,,D故选AC【一隅三反】
1.(2023・北京)是实数,则下列式子中可能没有意义的是()行指A.B.C.D.y[a【答案】D【解析】当时,的偶次方根无意义,故选D(•全国•高三专题练习)已知上+(歹一求%+冲=
2.20233|++Jx+z—4=0,【答案】4]x+3|=0x=-3【解析】因为k+3|+(y-l『+Jx+z-4=0,所以(y-1)、0,解得,所以-y=i3+lx7=4,z=7Jx+z-4=0故答案为
4.
3.(2023•全国•高一假期作业)若代数式HZ+VT[有意义,则V9X2-6X+1+3X2曲—3户6=.【答案】8【解析】因为代数式万工有意义,所以且、故;7^1+3x-1203-0,所以J9x-6x+l+3乂21,(工一3)26=|3x-l+3x-3=3x-l+3(3-x)=
8.故答案为
8.考点二根式的性质化简或求值【例21】(2023•全国,高一假期作业)(多选)下列各式正确的是()后()、/^万了=一而二了二A.=B.1—33=—3C.-4D.a【答案】BD/—[a,a
0.【解析】当为偶数时,;故人,选项中的式子不正确;C[-a,a0,当〃为奇数时,疗=应则汨7=-3,-而了=-(-Q)=,故B,D选项中的式子正确.故选BD.【例22】(2022秋•甘肃庆阳•高一校考期末)(多选)若芸1,化简,25—30x+—J(x—2『一3的结果可能()A.2x—6B.4x—
6.C.—2x D.2x+4【答案】AC4x+2【解析】由白化简可得1t0,2-x x-2所以x+2x—20,所以〉或x2xv-2,XA/25-30X+9X2-^X-22-3=^5-3X2-^X-22-3,所以_小_目_卜_J25-30X+9X222—3=|5_32|_3,当〉时,x2,25-30X+952—“x—22—3=3x-5-x+2-3=2x-6,当xV-2时,V25-30x+9x2-^x-22-3=5-3x+x-2-3=-2x,故选AC.【一隅三反】
1.2022秋・吉林白山・高一校考阶段练习多选已知盯工0,且而于=-2中,则以下结论错误的是孙A.0B.xy0C.x0,y0D.x0,y0【答案】BCD【解析】由孙|=孙,孙知孙所以、异号,所以对,错;故选dy2=12—2W00,X yA BCDBCD.
2.2023・全国•高一假期作业化简的结果是.【答案】2G【解析】—可=卜_囚故答案为+,75+13m+]S_[S+]=k.2G.•全国•高一假期作业化简
3.2023J11+60+Jl1_60=-【答案】6【解析】》+亚=行产+五+—拒.故答案为:Jl1+6J11—6J3+J3—62=3+3=
66.考点三根式与指数嘉的互化【例】•全国•高一课堂例题[多选题]下列关系式中,根式与分数指数幕的互化正确的是312023____3[而彳]D.Lx x0【答案】BD1[y x【解析】当yo时,护0,/o,故A错误.【例32】(2023・高一课时练习)已知/+*_,求下列各式的值:Cl Cl——J故正确.x B⑴;1Q2+Q_2_2)故错误.*0,Ca2+a2-3故正确.x0,D【答案】⑴723故选BD【解析】将—+〃一;两边平方,得即+小=174+/+2=9,7;d ICl-D2将Q+-=7两边平方,得/+,2+2=49,即/+〃-2=47;a2+a-2-247-2所以-------=32+Q2-318-3=3tz+6z-1-l=3x7-l=18,、一【例33】(2023云南)计算下列各式:3^-9X-4^-12^-4F2^^0,C C-o.oi0,5zr2-97Sx\+l7Oz/m\+521-2O-7,2-337【答案】⑴2X()210014-1-1116【解析】
(1)m^=i+-x(-)2-(-L)2=i l—4910061015+二S-164475937
(2)原式=(仝>+(_L)-2+(叱)3—3+竺=一+100+——3+=100489102748316【一隅三反】L(2023・全国•高一课堂例题)化简(式中各字母均为正数):⑴什「1_J__N/3⑵4x上.3x”卜/.、3;⑶•乐•八•【答案】
(1)》26/及,、石2⑵-12y亍⑶/【解析】()原式二工缶卡/服几二一户生16
(2)原式=_12/12>乎・
(3)方法一(从里向外化)方法二(从外向里化)(春,河北石家庄•高一校考阶段练习)计算下列各式的值.
2.20233()
10.064^-16^+1_(兀+6)+1一71⑶37tx+兀+||-342-6⑸8§-
0.5-3+X丫7⑹计算:
0.064一3[-216T-°-751-
0.0l|t++8J⑺心(
0.1)一2(/发3);【答案】装生;业.1_2231841005467【解析】
(1)原式=[(
0.4)丁二(24尸,80251丫
(2)原式=92313-l/y原式=33x—+2,+1=1+16+1=
18.\35937=一+43解:+o,r2+|2—348I27100H3H=10016483-65解8§-
0.5-3十XC6y,81J6原式=
0.43p-l+-2f+24广+
0.
122.143133_3原式=4*世:=也=7
一、I
253.(2023秋•高一课时练习)已知i二行,求下列各式的值.⑴〃a+/;⑵展+-Q2;⑶+〃2【答案】13⑵73275【解析】将%+/=后两边平方,可得解得1Q+/+2=5,Q+Q“=
3.将两边平方,可得/解得2Q+Q-=3+1+2=9,/+/=
7.3X
0.5。