对数运算（精讲）（原卷版）

对数运算精讲

4.3一.对数的概念.对数的概念1一般地，如果出=秋心且存那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫0,1,X Nx=kg”N,N做真数..常用对数与自然对数2名称定义符号常用对数以为底的对数叫做常用对数记为1g N10logioN自然对数以为底的对数叫做自然对数，是无理数，记为Ne ee=

2.71828…logeN In二.对数与指数的关系与性质对数与指数的关系

1.⑴若且存则出〃0,1,=N=log N=x.对数恒等式QTog』=N；工=且存2log“Q XQ0,1,N

0.对数的性质

2.且存llogal=0a0,

1.〃a0,且彳2log a=1Q

1.零和负数没有对数.3三.对数运算性质如果且中MQ,N3那么L0,1,⑴logaN；lOgaMTV=log Af+a；N210g«—=log”/-10g JV3kgJl/〃=771ogQM〃e R・拓展〃，〃川.mlogamA/=kgQM£R2对数换底公式，地地且存且原log=AO,1,b0,c0,

1.10g ZZc特别地疝且存b0,且屏1log log9=lQ0,1,

1.・b0,c0,且b,分2kga/rkg/C logcQ=1Q0,Q,

1.一.对数与指数的关系示意图.二.指数式与对数式互化.指数式化为对数式将指数式的事作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.

1.对数式化为指数式将对数式的真数作为幕，对数作为指数，底数不变，写出指数式.2三.利用对数运算性质化简与求值.基本原则1

①正用或逆用公式，对真数进行处理，

②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行..两种常用的方法2

①“收”，将同底的两对数的和差收成积商的对数；

②“拆”，将积商的对数拆成同底的两对数的和差.考点一对数的概念【例1】2022秋・上海徐汇若logex+l=l,则％的取值范围是.【一隅三反】秋•上海浦东新•高一校考期中若代数式有意义，则实数的取值范围

1.2022bg3--+3X+4x是.

2.2022秋•上海虹口使得表达式log21-2x2有意义的x范围是.考点二指数式与对数式的互化【例】秋•高一课时练习将下列指数式与对数式进行互化.22023152⑵log及4=43lg

0.001=-

3.43-2=-；5一=16；6logl27=；7log^64=-

6.V593【一隅三反】•江苏将下列指数式与对数式互化.2023⑴kg216=4；2bg百x=6；⑶43=64;43-3=.11A-315log64=6；6log-=-4；7-=8；86-2=—.23o112,3C9102=100;10\na=b；1173=343;12log」=-

2.636考点三对数运算性质【例31】2023•江苏・求下列各式中x的值.⑴吗；log211=0;2log igx=13log log log x=

0.3345【例】•江苏求下列各式的值.322023⑴1°§2⑷x25；2lg V100；⑶lgl4—21g1+lg7—lgl8；⑷lg5+g8+lg5・lg20+lg2『.【例】广东潮州计算下列各式的值:332023；怆|一炮正+旭日；1362lgV2\|lg

2.1g5+Jlg^⑶及『；lg

5.lg400+lg

2、_L

2.；斯—25+910g5log4log32+log3百I1⑸3bg32+Ig5-log,2X lg2X log323【一隅三反】（•广东深圳）计算下列各式的值（或的值）

1.20231⑴10gx8=3如*1=35⑶=bg2[log3bg4X]4lgV54-2^34-log^+^+lnl2广东湛江计算下列各式的值.

2.202312log3-log y+log7-7log22；22227⑵log G+1g25+1g4-log log

16.32273lg524--lg84-lg

5.1g20+lg2；逝+而1g lg3TgigL8,2_

11150.25-2—3--lgl6-21g54-E°.+I162+1g20—1g2-log2xlog3+V2-l，s，・32vjIg8+lgl25-lg2-lg5IgVlOxlgO.l；8log22+log32+310g$2x loglog266669log27x log6+log6+8916e2In3；10log48-,oSi3-loSV249+$+（舁八2912lg52+-lg8+lg51g20+lg2\考点四对数与指数的综合应用则2一3b25C.—9A.25B.5D.【例】（秋•辽宁葫芦岛•高一校考期末）已知41202320=15,log83=b【例】（秋•高一课时练习）已知力均为正实数，若则/=（b422023log,*+log/=/=//\2C.V221【例】（秋•高一课前预习）已知〃，均为正数，且，求证—+丁ab4320236,c3=4=6【一隅三反】一,

1.（2023春・天津）已知

3、=2=6,则的值（）工歹

2.（2023秋•广东）已知4“=3人=6,则也史=________.ab

3.（2023・全国•高一课堂例题）已知

7.

2、=3,0®=3,则工-工的值为___________x y（秋•高一课前预习）下列计算恒成立的是

4.20232logB.一歹）二log.Olog/A.log,%=21og“x—C.loglog/=logq x—y3・D logV=-log x1010考点五对数的实际应用【例5】（2023•全国•高一专题练习）17世纪，法国数学家马林・梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上,对〃（为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言在《的素数中,2-12P257当P=2,时，〃一和〃型素数研究中所做的开3,5,7,13,17,19,31,67,127,25721P=67p=2572—1创性工作，就把〃型的素数称为〃梅森素数〃，记为诊=〃,几个年来，人类仅发现个梅森素数，由2-12-151于这种素数珍奇而迷人，因此被人们答为〃数海明珠〃.已知第个梅森素数朋第个梅森素数〃719=23—1,8「则吆曾二约等于（参考数据怆）（）31=231,5B

0.71+A/19【一隅三反】

1.（2023・全国•高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法在动植物的体内都含有微量的放射性动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变.经过年，它的残余量只有原始14c5730量的一半.现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的;，推算该古物约是加年前的遗物（参考数据（炮14c））则加的值为（）2-=

3.3219,A.12302B.13304C.23004D.

240342.（2023・全国•高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的，即441个点，根据和的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们万年用掉个二维码，那么大约可以01244113x10”用（）（）lg2ao.301,lg3«

0.477万年万年口万年（）万年A.IO’B.108c.109D.

12003.（2023秋・江苏南通）已知声强级（单位分贝）L=101g；,其中常数/（/＞0）是能够引起听觉的最弱的声强，/是实际声强.当声强级降低分贝时，实际声强是原来的（）1高倍历倍倍一历倍A.B.]0C.10D.]0。