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对数运算精讲
4.3一.对数的概念.对数的概念1一般地，如果出=秋心且存那么数叫做以为底的对数，记作其中叫做对数的底数，叫0,1,X Nx=kg”N,N做真数..常用对数与自然对数2名称定义符号常用对数以为底的对数叫做常用对数记为10logioN1g N自然对数以为底的对数叫做自然对数，是无理数，记为e ee=
2.71828…logeN InN二.对数与指数的关系与性质对数与指数的关系
1.⑴若0,且存1,则出=N=log〃N=x.2对数恒等式QTog』=N；log“Q工=XQ0,且存1,N
0.对数的性质
2.且存llogal=0a0,
1.2log〃a=1a0,且彳
1.Q零和负数没有对数.3三.对数运算性质如果且中那么L0,1,MQ,N3；⑴lOgaMTV=log Af+logaNa210g«—=log”/-10g JV；N3kgJl/〃=771ogQM〃e R・拓展logamA/=kgQM〃£R，〃2川.m对数换底公式log，=地地AO,且存1,b0,c0,且原
1.10g ZZc特别地疝且存且屏1log log9=lQ0,1,b0,
1.2kga/rkg/C・logcQ=1Q0,b0,c0,且Q,b,分
1.一.对数与指数的关系示意图.二.指数式与对数式互化.指数式化为对数式将指数式的事作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式.
1.对数式化为指数式将对数式的真数作为幕，对数作为指数，底数不变，写出指数式.2三.利用对数运算性质化简与求值.基本原则1c.log.XTog/=log”（x7）3D.log V=-log xJ1010【答案】D【解析】H^j21og x=log x2^（log x）2,所以A不对;a aalog X因为一二=1呜，1吗（工一y），所以B不对；log/x因为log°xTogf=logaTlog/x—y），所以c不对;y因为正确.logioV^=log=-log x,D1010故选D.考点五对数的实际应用【例】（2023•全国•高一专题练习）17世纪，法国数学家马林・梅森在欧几里得、费马等人研究的基础上，对52〃-1（P为素数）型的数作了大量的研算，他在著作《物理数学随感》中断言在夕（257的素数中，当°=2,3,5,7,13,17,19,31,67,127,257时,2〃—1P=67和p=2572〃一1型素数研究中所做的开创性工作，就把2，型的素数称为〃梅森素数〃，记为皎=-.几个年来，人类仅发现个梅森素数，由于这种素数珍奇而-12151迷人，因此被人们答为〃数海明珠〃,已知第个梅森素数一第个梅森素数例则吆曾之7/19=2191,831=23-1,约等于（参考数据）（）lg5p
0.71+M19【答案】D【解析】由已知可得Ig1^^=lg|^=lg2i2=121g2=12x（l-lg5）a
3.
6.故选D【一隅三反】
1.（2023•全国•高一专题练习）要测定古物的年代，可以用放射性碳法在动植物的体内都含有微量的放射性动植物死亡后，停止了新陈代谢，不再产生，且原来的会自动衰变.经过年，它的残余量只14c.Me14c5730有原始量的一半.现用放射性碳法测得某古物中含量占原来的《，推算该古物约是加年前的遗物（参考数据14c（怆））则〃的值为（）2-=
3.3219,2A.12302B.13304C.23004D.24034【答案】B【解析】设原始量为每年衰变率为1,・・xa・・.Q=二产30,•屋=15730=125加111L・・=log i—=lo§25=llgg25盍（垢72）=573035-1«
2.3219,•g2・•・加士5730x
2.
3219213304.故选B.
2.（2023・全国,高一专题练习）二维码与生活息息相关，我们使用的二维码主要是21x21大小的，即441个点，根据和的二进制编码，一共有种不同的码，假设我们万年用掉个二维码，那么大1244113x1015A.IO，万年B.108万年C.109万年D.1200万年约可以用（）（怆）2^
0.301,1g3«
0.47724412441【解析】・「1万年用掉3xl0i5个二维码，，大约能用万年，设=3xl0153xl015【答案】A441则IgX=1g3xl015即工—年,故选A
3.（2023秋・江苏南通）已知声强级（单位分贝）£二10吆丁，其中常数/（/〉0）是能够引起听觉的最/（）弱的声强，/是实际声强.当声强级降低分贝时一，实际声强是原来的（）1倍A.一倍C.IO10【答案】D【解析】4-2=1，则101g k-101gj=1,所以口故选D.7,0I1
①正用或逆用公式，对真数进行处理，
②选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真数化简的原则进行..两种常用的方法
①“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;2
②“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.考点一对数的概念【例】（2022秋・上海徐汇）若bgz（x+l）=l,则％的取值范围是，1【答案】（―1，0）“0,+8）【解析】对于等式log、+i（x+l）=l,有x+lwl，解得X—1且XW0，因此,心的取值范围是（-1,0）（0,口）.故答案为:（TO）U（°，+8）・【一隅三反】
1.（2022秋•上海浦东新•高一校考期中）若代数式Iog3（--+3X+4）有意义，则实数x的取值范围是.【答案】（7,4）【解析】根据真数大于0得-+3X+40,解得故答案为（一1,4）.旦V2【答案】,所以范围是一工二乂^V2V2x【解析】式子182（1-2一）要有意义，则1—2—0,解得———X——V2V2故答案为:（秋•上海虹口）使得表达式-？/）有意义的％范围是.
2.2022log考点二指数式与对数式的互化【例】（2023秋•高一课时练习）将下列指数式与对数式进行互化.2⑴5一万=；
（2）bg应4=4
（3）1g
0.001=-
3.
（4）3-2=1；⑸=16；
（6）Iogl27=3；
（7）log^64=-
6.A/S7\
4./
3、⑺五1二
64.二一；2血＞=4310-3=o.OO14log J=一2；5lo16=-2!_\3gi；6一二-1111327；由可得及2log4=4,y=
4.【解析】
（1）由52=正可得logs；石=—5由可得lg
0.001=—3,IO-=
0.
001.
3.114由3=A，可得log3A=一2;=16,可得l°gJ6=-2；54由吗27=-36=27；399由可得五log464=-6,=
64.7【一隅三反】（2023・江苏）将下列指数式与对数式互化.llog16=4；343=64;
2、【答案】175log264=6；一8=—Jo
3.log64=34log*-335124=162V36=X4263=64⑹3=]7皿8121/=2⑼12=100；10Ina=6；1173=343;=-38log^-=-2276芭=〃啮91g100=21011343=312=—36【解析】（）因为所以1log216=4,24=16;
（2）因为log百工=6,所以（G）=x；3因为43=64,所以bg464=3；
（4）因为3一34，所以bg$=-
3.可得5log64=6,26=
64.2可得一6log—=-4,34=-
1.338181可得7-=8,bgJ=-302可得吗6-2=/19=-
2.9IglOO=2812eb=a11036log343=3考点三对数运算7性质11【例】（2023・江苏・）求下列各式中x的值.31llog log x=0；2log Igx=1；3log log log x=
0.253s45【答案】⑴5；⑵1000；⑶
625.【解析】1V loglog%=0,A log x=2°=1,/.=51=5;255x2V log lgx=l,A lgx=3,=3,A=103=1000;3x由可得，所以3Iog3log4log5x=0Iog4log5x=l,logx=4,x=54=
625.5【例】,江苏求下列各式的值.322023⑴Iog247x25；⑵1g阿；⑶lgl4—21g+lg7—lgl8；⑷lg5+*g8+lg5・lg20+lg2「2【答案】119；2-；30；
43.J【解析】1log47X25=log47+log25=7log4+5log2=7x2+5x1=19；222221——i11221g WO=lgl005=-IglOO=-x2=-；2lg亚2+；lg
2.lg5+/lgV52一怆2+⑶lg
5.lg400+lg2及『；、_L
2.斯—百25；+910g5log14log32+log3I⑸3bg32+Ig5-log,2X lg2X log332【答案】l2l—:lg22324日53【解析】解法一11A-15111原式=_0g25_lg72_-lg22lg72x52=-l2-lg7-21g2+lg7+-lg5=-lg2+lg5=+g73Igl4-21g-+lg7-lgl84l52+|lg8+lg
5.1g20+lg22g【例】（2023广东潮州）计算下列各式的值:33232222解法二原式半—、/■玄至答「吗=lg lg4+lg73=lg=14=J.⑵原式=；函+，g
2.lg5+Jlg6-1『=幽2『+3g
2.lg5-g T-\=；lg2lg50—2+l=l-/lg
22.原式二3Ig
5.2+21g2+j^lg22门\2i4原式=-+l+91og52-05原式=52+lg5+lg2=l+lgl0=
3.【一隅三反】（•广东深圳）计算下列各式的值（或的值）
1.20231⑴log*=32io1g2i=35=⑶Iog2[log3bg4x]4lgV5+2,og23+log-^+^+lnl1622【答案】lx=22x=18⑶x=64⑷-;【解析】⑴由1吗8=3,得/=8,所以、=2；2由10吟7=35两边取以10为底对数,得lg2x-l=lg35,即2x-1=35,解得x=18；得噢嗅3[illog[loglogx]=0,34%=1,234所以log/=3,即x=64；4lg/5++log—h In1=lg\/5+3—4+lgV2+0=IgVTo_1=.广东湛江计算下列各式的值.
2.202312log3-log号+log7-71og22；o2222⑵Rg36+lg25+lg4—kg2log
16.227⑶lg52+《g8+lg5・lg20+lg2，；及+而1g lg3-lglgL
8.2_
11150.25-2+—3--lgl6-21g5+E°.⑹2“号+与]2+1g20-1g2-log2xlog3+V2-l,g,32I9JIg84-lgl25-lg2-lg5IgVlOxlgO.l；8log22+log32+31og2xf log V18-1log29log27x log6+log6+e2,n3；666668916log8-log3-log^4104L
92、脸/i28VID-+—127；2912lg52+-lg8+lg51g20+lg22,【答案】112；33⑷;⑸627—48191110—211—t123N N21O【解析】原式可化为鸣1132-Iog2^+log27-7*022原式可化为kg3G+lg25+lg4—kg2kg216=J+lg25x4—kg24=；+2—2=；2°31g52+-lg8+lg
5.1g20+lg22=21g5+21g2+lg
5.Qlg2+lg5电2二『=2lg5+lg2+lg5+lg22+l=
3.后+二炮.二二41glg3—lgJT551g2+lg3—elgl°lg2+21g3_lgl01g2+lg9_lgl0lgl.
81.8f⑸
0.25+——Igl6—21g5+；127igil—IgTl―21gL8-21gl.8-21gl.8-21gl.8—2=2-2+--2lg2+lg54-l72Y=24+--2+1=161H2_33，，262噫2+1g20-1g2-log2xlog3+V2-l,g,32\9；=1+1-1+1=2一八i8x1252Ig8+lgl25-lg2-lg5丁丁.也°lgigVTd xigo.i7____2£5-i_=41-x-lIglO2xlglO-128log22+log32+31og2x|log VH-1log2=
1.666669log27xlog6+log]66+e21n3=log3x-log6x4log2+e1,19892362二座/+210go3x9=21og“3xlog32+9=ll.一1吗3一，10Iog48-°gi3-logv24=-log2-—log3-41ogV2=-+--4=-
2.23；i22r8v
（12）原式为lg52+不g8+lg51g20+（lg2『+—11U7j【例41】（2023秋•辽宁葫芦岛•高一校考期末）已知2〃=15,1%3=6则2内=（25A.25B.5C.D.【答案】B考点四对数与指数的综合应用【解析】由题意可得2=15nq=log215,/=log3=log3=1log3,823215所以a—3Z=log15-3x-log3=log15-log3=log=log5,222222IT JJ所以脸=25=
5.故选B.【例】（2023秋•高一课时练习）已知均为正实数，若logJ+log/Y，/*，则:=（）2b42:或农A.22B.或;C.V2D.2【答案】D【解析】令，=则，,iog»,+1=t2所以解得，=:或，2——5/+2=0,=2,所以〃=；或嗅=1082,所以Q；=6或/=人因为/=公，所以（/）〃或所以=或，266=2所以£=2或f=,b b2故选D212【例43】（2023秋•高一课前预习）已知a,b,均为正数，且3=«=6，，求证一+丁=一；a bc【答案】证明见解析【解析】设3〃=4=6,=左，贝I女〉
1./.a=log k,b=log k,c=log k,346二.—l—=1=2log43+log%4=log.9+log*4=log.362log,6,A Aa b log k logk34而_=-=21og^6,C10gk6212得证.A-+7=-,a bc【一隅三反】
1.2023春•天津已知
3、=2=6，则的值（）%y1一C.1D.2B.4【答案】c【解析】因为3=2y=6，所以X=log36j=log26,所以_L=log63,-=log2,故选:6=log=1,6%y（秋•广东）已知贝”犯史
2.20234=38=6,ab【答案】2【解析】由题意可得=10g46,^=log6,则L=k）g64,y ab3+力,,212故——=_+丁=log4+2log3=log4+log9=log36=
2.ab66666ab故答案为
2.
3.（2023・全国•高一课堂例题）已知
7.
2、=3,08=3,则工-的值为x【答案】【解因为72”=3,
0.8,=3,所以x=bg
7.23,^=log3,08析】72所以=log
7.2-log
0.8=log—=log9=2=1--------------3333v.oX ylog310go.g372故答案为2（秋•高一课前预习）下列计算恒成立的是
4.20232A.log.x=21og.x、i logxzB.logx-j；=-log/n。
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