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充分条件与必要条件
1.4理解充分条件、必要条件的概念.L.了解充分条件与判定定理,必要条件与性质定理的关系.
2.能通过充分性、必要性解决简单的问题.3,理解充要条件的意义.
4.会判断一些简单的充要条件问题能对充要条件进行证明.53重点充分与必要条件的概念及判断难点已知充分、必要条件求参数阅读课本内容,自主完成下列内容知识点一充分条件与必要条件命题用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句.
1.1画解读开语句、疑问句、祈使句都不是命题.命题的真假判断为真的语句是真命题:判断为假的语句是假命题.
1.2牛刀小试判断下列是否为命题,判定命题的真假()若x,y是无理数,则x+y是无理数.1⑵若歹是有理数,则』都是有理数.x+X()
333.()能被整除吗?432【答案】()假()假()真()不是命题1234命题的形式可写成“若则“如果那么
1.3p,q”p,q”.其中称为命题的条件,称为命题的结论.p q充分条件与必要条件“若则是真命题“若,则是假命题命题真假p,P推出关系由p可以推出q,记为:________由p不能推出g,记为:_________p是q的_____________p不是q的____________条件关系q是p的_____________q不是p的___________解读对的理解指当夕成立时,一定成立,即由通过推理可以得png qP到心
①“若则父,为真命题;p,
②是的充分条件;P q
③是〃的必要条件q
3.(2023・高一课时练习)王昌龄是盛唐著名的边塞诗人,被誉为“七绝圣手其《从军行》传诵至今,“青海长云暗雪山,孤城遥望玉门关.黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”,由此推断,其中最后一句“攻破楼兰”是“返回家乡”的()充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】B【解析】根据诗意,作者想表达的思想感情是“返回家乡”就一定要“攻破楼兰”,但是并没有表明“攻破楼兰”后就会“返回家乡”,所以“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要不充分条件.故选B.已知若是夕的必要而不充分条件,则可以是()
4.p-x3,4A.-1x3B.-1x2C.x3D.-2x0【答案】C【解析】【分析】根据集合的包含关系判断可得出合适的选项.若是夕的必要而不充分条件,只需找一个集合,使[)是其真子集,q-1,3因为[)是(-叫)的一个真子集,-1,33故选C.设是非空集合,命题甲为P0Q=PUQ;命题乙为PE Q,那么甲是乙的()
5.充分不必要条件必要不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】A【解析】【分析】由尸二二反之不成立,即可得结论.GQ0UQ=0解9PC^Q=PU Q=P=Q=PQ Q,反之P*时,PGQAPU0,・・・甲是乙的充分不必要条件,故选A.若命题夕〉qx=y,则,是^的
6.x+x—y=o,充分不必要条件必要不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可;解由得+〉=或、一歹=即工=一^或=、,所以由工二歹能够得到x+yx—y=O xo0,1由得不到、二九即推不出,夕推得出所以夕是的必要不充x+yx-y=O,x+yx-y=O P,P,分条件;故选B设=已知两个非空集合,P,满足「/=火,则下列说法正确的是
7.11,UA.〃XEP〃是的充分条件〃〃是〃的必要条件
8.xePC.〃XEP〃是〃的充要条件〃既不是〃〃的充分条件也不是〃的必要条件D.X£P XE【答案】A【解析】【分析】根据题意,可以判断尸是的子集,从而得出是的充分条件.xeP XE解因为非空集合满足/=火,U=R,P,2所以是的子集,即尸,G所以XEP是XE的充分条件,故选A.已知〃设夕ax3a;q若夕是的充分不必要条件,则实数的取值范围是
8.0,lx6,q a〃{a\la2]A.{a[l2}B.{a\Gal}D.{a[0aV2}C.【答案】C【解析】【分析】根据充分不必要条件的定义求得参数取值范围即可.-a一1,因为夕是夕的充分不必要条件,所以卜QV6,解得0Q1,所以实数的取值范围是{Q[OQ1}.Q
0.故选C
二、多选题下列选项中是的必要不充分条件的有()
9.
9.p qqalA.p al,pAoB=A,qA B=BB.U两个三角形全等,q两个三角形面积相等C.pD.px2+y2=1,qx=l,y=0【答案】AD【分析】根据充分必要条件的定义分别判断即可.【详解】解而当时,不一定有,是的必要不充分条件,正确,A Val=al,1,p q/.A:p.AQB,.AQB,,是的充要条件,,错误,B VqBU8=B,p qBc•・•两个三角形全等=两个三角形面积相等,但两个三角形面积相等不一定推出两个三角形全等,・・・是的充分不必要条件,・・・错误,p qCD当x=L y=0时,则乂2+必=1,反之,当-2+y2=i时,L=1,y=0不一定成立、.二p是q的必要不充分条件,・正确,故选1D AD.已知是实数集,集合力={刈、则下列说法正确的是()
10.H2},B={X\X2}9是的充分不必要条件力是的必要不充分条件A.Z8B.XE5C.、£加4是XEBRB的充分不必要条件D.XWC/是XEBRB的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到B,且结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.A由题意,集合/=B=[x\x2],{x[lx2},可得B,且A44,所以xe/是XE8的充分不必要条件,且是工£伞8的必要不充分条件成立.故选AD.已知是一的充分条件而不是必要条件,是一的充分条件,是一的必要条件,是的
11.P9S qS必要条件.下列命题中正确的是()$是的充要条件A.4是夕的充分条件而不是必要条件B.P〃是的必要条件而不是充分条件C.「是f的必要条件而不是充分条件D.P【答案】ABD【解析】【分析】根据充分不必要条件、充分条件、必要条件的定义进行求解即可.将四个条件写成pnr,且厂不能推出P;qn〃・,尸ns;s=q,所以qnrns,所以s=g,故A正确;不能推出夕,故B正确;尸nsn明又夕n j故厂是9的充要条件,故C错误;由可得由sngn尸不能推出可得「不能推出「故正确.P,p S,D故选ABD已知关于的方程一+(〃)〃则下列结论中正确的是()
12.x2-31+2=0,方程—+(〃-)加有一个正根一个负根的充要条件是加£同加A.3x+=00}方程—()有两个正实数根的充要条件是m mB.+m-3x+m=0e{m|01}方程/(掰-)〃无实数根的充要条件是〃〉C.+3X+2=O2w{2|21}D.当m=3时,方程/+(加-3)X+〃2=O的两个实数根之和为0【答案】AB【解析】由根与系数的关系可得每个选项的等价条件,即可得加的取值范围,进而判断正误.解对当时,函数歹+(加一)加的值为由二次函数的图象知,方程有一A,x=03x+m,正一负根的充要条件是加£{加故正确;1m0},A对若方程一+(加)有两个正实数根不,巧,B,-3x+=0)-4m A=-320即〈玉+々-加解得加工故正确;=30,01,Bxx=m、0,x2对方程—+(〃)〃无实数根,C,2-3x+z=0即△二(加一)加解得加32—40,19,方程(〃)〃无实数根的充要条件是加«对加故错误;i+2-3x+=09},C对当〃=时,方程为-无实数根,故错误.D,3+3=0,D故答案为AB.
三、填空题(•甘肃兰州•高一校考开学考试)设甲、乙、丙、丁是四个命题,甲是乙的充分不
13.2023必要条件,丙是乙的充要条件,丁是丙的必要不充分条件,那么丁是甲的条件.【答案】必要不充分【解析】因为甲是乙的充分不必要条件,所以甲=乙,乙推不出甲;因为丙是乙的充要条件,即乙Q丙;因为丁是丙的必要不充分条件,所以丙n丁,丁推不出丙.故甲二丁,丁推不出甲,即丁是甲的必要不充分条件.故答案为必要不充分写出-的一个必要不充分条件.
14.1x2【答案】(答案不唯一)x3【分析】由充分条件、必要条件的定义即可得出答案.【详解】所以〃是不等式〃〃成立的一个必要不v{x|-lx2}c{x|x3},63-lx2充分条件.故答案为x
3.已知£凡,且〃是〃公〃的充分不必要条件,则的取值范围是,【答案】[
15.2x2,+8【解析】【分析】先确定〉的充要条件,再由充分不必要条件的定义求解,f2xx22x等价于x0或x2,而且a〃是〉〃的充分不必要条件,则〃
2.2x故答案为[2,+oo.
16.已知集合4={x[x-1,或x〉2},B={x\2axa-^-3},若〃xE/〃是〃x£3〃的必要条件,则实数的取值范围是.a【答案】f—4U1,+8【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的概念可得集合/与B的包含关系,画出数轴即可得不等式组从而求出的范围.•・・晨64〃是工£8〃的必要条件,・・・814,当5=0时,2Q〉Q+3,贝Ua3;当时,根据题意作出如图所示的数轴,[〉2aa+32a f7+3由图可知|々[或{c c,解得或〈[+[2a2-4l a£3,3-1综上可得,实数a的取值范围为-8,-4U1,+s.
四、解答题
17.设集合/={X|X〉Q}和8={x|x2或%-1},若/%£/是的充分条件,求的取值范围.【答案】[2,+00【分析】由是的充分条件,可得出八即可求出的取值范围.18,【详解】因为是第的充分条件,X£5所以4=8,又力={X|X〉Q},所以Q
22.故的取值范围为[2,+
8.
18.已知集合/={x|3—Q+,8={x|x40或x24}.当时,求1=1⑵若〉且〃,〃是的充分不必要条件,求实数的取值范围.0,X£【答案】;lZc5={4}20,1【分析】首先得到集合再根据交集的定义计算可得;1A,首先求出集合的补集,依题意可得是二的真子集,即可得到不等式组,解得即可;23A B【详解】⑴解当时,=1^={x|2x4},B={x|x0^x4},.••4c8={4}.解・或.6B=[x\Qx4]
2.♦4={x|xW0x24},R9•••一£〃是一£〃的充分不必要条件,48・•・A是8的真子集,••・/,•・./w0,3-
0.・・〈3+4,・・・01,故实数的取值范围为0,
1.a0以上三种形式均为“夕n q”这一逻辑关系的表达.判定定理、性质定理与充分条件、必要条件的关系数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件.1数学中的每一条—性质定理—都给出了相应数学结论成立的一个必要条件.2知识点二充要条件如果“若则和它的逆命题“若小则均是真命题,即既有曰,又有归心,就记作〃此时,
1.p,p”既是的充分条件,也是的必要条件,我们说是的充分必要条件,简称为充要条件.p9q p q如果是的充要条件,那么夕也是的充要条件.概括地说,如果那么与互为充要条件.
2.pqp Pq日解读充要条件的判断通常有四种结论充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件.判断方法通常按以下步骤进行
①确定哪是条件,哪是结论;
②尝试用条件推结论,
③再尝试用结论推条件,
④最后判断条件是结论的什么条件.牛刀小试.思考辨析正确的画y,错误的画“义”1是q的充分条件与是的必要条件表述的是同一个逻辑关系,只是说法不同.19p夕是夕的必要条件的含义是如果夕不成立,则一定不成立.2q夕是的充分条件只反映了夕与夕能否推出没有任何关系.3q=0,p若/则是“x£B”的充分条件.4£8,“三角形是等边三角形”是“三角形是等腰三角形”的
2.充分不必要条件A.必要不充分条件
8.充分必要条件C.既不充分也不必要条件D.【答案】
1.1V273V4V
2.A考点一充分条件与必要条件的判断角度1定义法例1“〃且是“力〉的00”充分而不必要条件必要而不充分条件A.B.充分必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】A【解析】充分性〉且〉则充分性成立;必耍性若ab0,则〉且〉或060,60,0b0,且必要性不成立.故“且”是“abQ”的充分而不必要条件.0b0,Q060故选:A.【对点演练1]是偶数”是%和b都是偶数”的Z+b充分条件必要条件充要条件既不是充分条件也不是必要条件A.B.C D.【答案】B【对点演练】设全集,在下列条件中,是=力的充要条件的有26
①AuB=A;
②Cu4CB=0
③C/jC/;@AUCB=Uu个个个个A.1B.2C.3D.4【答案】D角度集合法2例2•河南驻马店•高一校考阶段练习〉是的条件2023“x l”充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要A.B.C.D.【答案】B【解析】若则〉为假命题,xl,x2所以“是“〉”的不充分条件;x1”x2若则〉为真命题,x2,x l所以是〉”的必要条件;x1”“x2所以“是“”的必要不充分条件;x1»x2故选B【对点演练】设集合集合那么〃〃〃〃是〃〃的14={x[0Kx3},5={x|lW3},2充分条件必要条件充要条件既不充分又不必要条件A.B.C.D.【答案】D【详解】•••集合集合4={x|0K3},8={x[lVx3},由“加£/〃推不出“加£B〃,反之由〃推不出“加£A〃,£8故〃〃£/〃是〃加£〃的既不充分又不必要条件.3故选D.【对点演练2】2022・湖南・永州市第二中学高一阶段练习、一1”是“方程办2+2工+1=0至少有一个实数根,,的A.必要不充分条件B.充分不必耍条件充分必要条件D.既不充分也不必要条件C.【答案】B【解析】当时,方程即为解得;4=02x+l=0,x=—g当awO时,A=22-4Q20,得;所以“方程ax2+2x+至少有一个实数根”等价于“1=0V1””能推出方程办至少有一个实数根,,,反之不成立;-12+2X+1=0所以是“方程办至少有一个实数根,,的充分不必要条件.1”2+21+1=0故选:B.【对点演练(多选)(•重庆巴蜀中学高二期末)已知是实数集,集合{印312022H4=2},则下列说法正确的是()6={x|xV2},是的充分不必要条件是的必要不充分条件A.XG4XE8B.XW4XG8C.是的充分不必要条件D.xEj是XE6RB的必要不充分条件【答案】AD【解析】【分析】根据题意得到B,且二结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.A8【详解】由题意,集合力={x[lx2},B={X\X2}9可得B,且、力,A所以是的充分不必要条件,且也是的必要不充分条件成立.8XE故选AD.角度3递推法例(•上海浦东新•高一上海市进才中学校考阶段练习)已知夕是一的充分不必要条件,夕32023是〃的充分条件,是〃的必要条件,是的必要条件,现有下列命题
①是的充要条件;s qs sq
②夕是的充分不必要条件;
③,•是的必要不充分条件;
④〃是$的充分不必要条件;正确49的命题序号是()
①④①②②③③④A.B.C.D.【答案】B【解析】因为「是一的充分不必要条件,所以人—P,4因为^是〃的充分条件,所以9因为是尸的必要条件,所以s rns,因为是$的必要条件,所以509,因为二一,尸所以又snq,9=s,9ns,所以是的充要条件;命题
①正确,s4因为尸snq,所以P ns,P=若q nP,则snq,qn p,故与一矛盾,rns,rnp,4P所以P,94所以是的充分不必要条件,命题
②正确;P因为〃s=q,所以〃=夕,〃是夕的充分条件,命题
③错误;ns,因为q nr,所以厂,又/snq,sn ns,所以〃是的充要条件,命题
④错误;s故选B.【对点演练】若“是的充分不必要条件,是的充要条件,是的必要不充分条件,1N NP P则/是的条件.【答案】充分不必要【对点演练】已知是一的必要不充分条件,$是一的充分且必要条件,那么是成立的29s0必要不充分条件充要条件A.B.充分不必要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】C【解析】【分析】根据充分,必要条件的关系,即可判断选项.【详解】由条件可知声尸,尸,所以q》s,0%^so s=9,所以$是的充分不必要条件.4故选C[方举结〉判断充分条件、必要条件及充要条件的四种方法定义法直接判断“若则以及“若以则的真假.1P,q”P”集合法利用集合的包含关系判断.2等价法利用与的等价关系,对于条件和结论是否定形式的命题,一般运用等价法.3q=p传递法充分条件和必要条件具有传递性,即由〃,可得pi=p〃;充要条件4pi=p2=3=也有传递性.考点二充分、必要条件的选择例多选高一限时训练“一,工的一个充分不必要条件可以是420232”2x x2A.—1D.【答案】BC【解析】设〃选项对应的集合为N,因为选项是的一个充分不必要条件,所以是〃的真子集.故选2N BC2【对点演练(•湖南•高一课时练习)使〃〃成立的一个必要不充分条件是()1120230xV4或・A.x0B.xVO x4C0x3D,x0【答案】A【对点演练】(黑龙江大庆外国语学校高一考试)〃成立的一个必要不充分22023“X-10条件的是()A.xl B.x2C.x3D.x0【答案】D考点三根据充分条件求参数取值范围例5
(1)是否存在实数〃2,使得〃4X+〃21〃是〃》-3或x5〃的充分条件?()是否存在实数〃使得〃〃是〃》-或〉〃的必要条件?22,4x+ml2x4
(3)(2023・云南大理•高一统考期末)若“不等式x-成立”的充要条件为“x2”,求实数加的值.【详解】()欲使〃〉是或的充分条件,14x+l x-3x5则只要「或〉即只需…所以〃葭I x—3x5},5,—
19.故存在实数〃使得〃阳〃是〃或〉〃的充分条件;4,-19,4x+1x-3x5()欲使加〉是%或的必要条件,则只要或24x+1-2x41一加Im,使得〃、+〃〉〃是〃入一或%〃的必要条件.x4}cx|42124()解不等式得3X-71X2+1,因为“不等式-力成立”的充要条件为所以解得〃X12=m+1,2=1,所以,加=
1.【对点演练已知={止能}.是否存在实数〃1]2Vx10},S={x[lxl+2,使得尸是XES的充要条件?若存在,求实数机的取值范围.【答案】不存在实数〃使得尸是的充要条件2,XES【解析】解因为是的充要条件,则夕=XES5,由卜〃加},P={%2cxe10},S={x1—2cx1+f1—m=—2知要使则s,无解,P=S,1+w=10故不存在实数团,使得XEP是xsS的充要条件.【对点演练】(多选题)(山东烟台二中高一阶段练习)若不等式成立的充22022分条件是,则实数〃的取值可以是()X1A.B.C.D.-2-101【答案】CD【详解】X—1QOX1+Q,则1Q20,故选CD.【对点演练3】(2022•黑龙江・哈师大附中高一期末)已知非空集合P={x|14},2={x|-2x5}.⑴若求%);=3,P C0()若是”的充分不必要条件,求实数目的取值范围.2“XE【解析】()由已知尸=|条尸=或124x44},{x|x2x4},所以)口=|—或;@02Wx24xW5}a-\-21319
(2)“XEP”是“XE”的充分不必要条件,则(6tz-145,解得一56一16-141319所以回的范围是56【对点演练4】(2023・湖北十堰•高一校考阶段练习)已知集合/={x|x-3或x5},P=|x6ZX
81.()求实数的取值范围,使它成为的充要条件;1McP={x[5xV8}()求实数的一个值,使它成为的一个充分不必要条件;2/cP={x|5x8}()求实数的取值范围,使它成为〃的一个必要不充分条件.3cP={x[5x8}【解析】()的充要条件是—所以实数的取值范围是1/cP={x[5x8}3445,{Q-3W a45}.
(2)由
(1)知,〃cP={x|5x«8}的充要条件是—3«Q5,则当£时,是MrP={x\5xS}的一个充分但不必要条件;[-3,5]比如是所求的一个充分但不必要条件.(答案不唯一)=0⑶求实数的取值范围,使它成为MrP={x\5xS]的一个必要但不充分条件就是另求一个集a合,故缶}是它的一个真子集.1-35如果{〃|}时,未必有{}Q5MnP=x|5x89但是McP={x[5xW8}时,必有Q45,故{Q|Q«5}是所求的一个必要但不充分条件.(答案不唯一)【心.,士匚/应用充分不必要条件、必要不充分条件及充要条件求参数值(范围)的一般步骤()根据已知将充分不必要条件、必要不充分条件或充要条件转化为集合间的关系.1()根据集合间的关系构建关于参数的方程(组)或不等式(组)求解.2考点四充要条件的证明例已知〃nGR,证明:加〃层+成立的充要条件是加〃
2.2,44=2122=]【解析】
①(必要性)m2n2=l/.相〃2=2+],9m4n4=(m2+n2)(m2n2)=m2-^-n2=n2+1+/2=2z72+1,.^m4/4=2n2+l成立;
②(充分性)•••加4/=2〃2+1,/.m4=H4+2/2+1=(772+1)2,・••加2=〃2+1,即〃2〃2=],••・加2〃2=1成立综上,加,成立的充要条件是〃〃4=2/+1222=]I根据充要条件的定义,证明充要条件时要从充分性和必要性两个方面分别证明.一般地,证明成立的充要条件为^”;P()充分性把当作已知条件,结合命题的前提条件,推出夕;1q()必要性把夕当作已知条件,结合命题的前提条件,推出夕.2解题的关键是分清哪个是条件,哪个是结论,然后确定推出方向,至于先证明充分性还是先证明必要性则无硬性要求.在证明过程中,若能保证每一步推理都有等价性()也可以直接证明充要性.
2.0,【对点演练求证是一元二次方程的一个根的充要条件是11X=12+bx+c=0()Q+b+C=04wO.【解析】证明()充分性由=得〃14+6+0xl2+bxl+C=
0.即满足方程办x=l2+6x+c=
0.是方程的一个根x=l ax+/zx+c=O
(2)必要性,・,x=l是方程办2+bx+c=O的一个根,将代入方程得〃+x=l a/+bx+c=o b+c=O.故是一元二次方程办的一个根的充要条件x=l2+bx+c=0是Q+6+C=0(Q W0)【对点演练2】设Q,b,c eR,求关于x的方程a/+6x+c=o有一个根为_i的一个充要条件.【解析】解:因为关于的方程尔+云+°=有一个根为x0—1,所以代入得+=下证明充要性.60,充分性・・・-6+=0,:.c=b-a,代入方程得即(%+(办一+)♦+bx+c=0a/+bx+b—a=0,6=
0.关于的方程ax2+bx+c=0有一个根为*e.l-1;必要性=方程QF+6x+°=0有一个根为-1,满足方程苏+6x+°=o,『+(-)a—b+c=
0.a xb x1+c=0,H|J故关于的方程尔有一个根是的充要条件为
一、单选题x+bx+c=0-1q-b+c=
0.
1.设XER,则“x+2=0”是=4”的()充分而不必要条件必要而不充分条件A.B.充要条件既不充分也不必要条件C.D.【答案】A【解析】【分析】由充分条件和必要条件的定义分析判断即可【详解】当时,则,成立,x+2=0x=-2,=4而当工时;或2=4X=-2X=2,所以+是=〃的充分而不必要条件,故选2=0”V A
2.集合A,8的关系如图所示,则XE力是XEB的()充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要A.B.C.D.条件【答案】A【解析】【分析】根据韦恩图判断集合间的包含关系,进而判断题设条件的充分、必要关系.由韦恩图知是A B的真子集,是的充分不必要条件....X£48故选A。