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充分条件、必要条件、充要条件
2.2【考点梳理】考点一充分条件与必要条件“若P,则q”为真命题“若P,则/为假命题推出关系〃三ap是q的充分条件q是p的必要〃不是夕的充分条件0不是〃条件关系条件的必要条件判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件性质定理给出定理关系了相应数学结论成立的必要条件考点二充要条件一般地,如果包,且包,那么称p是夕的充分必要条件,简称充要条件,记作D0cl.【题型归纳】题型一充分条件和必要条件的判断L(2023秋・浙江台州•高一统考期末)“岗2,,的一个充分不必要条件是()A.-2x2B.-4x2C.x-2D.x2【答案】D【分析】先解不等式1川〉2得x-2或x〉2,找“次1〉2”的一个充分不必要条件,即找集合2或x〉2}的真子集,从而选出正确选项.【详解】由1划〉2解得xv—2或x2,找“|x|2”的一个充分不必要条件,即找集合{x|x-2或x2}的真子集,{x\x2}{x\x-2或x〉2},・・.|x|2”的一个充分不必要条件是{x\x2}.故选D.
2.(2023・江苏•高一假期作业)可以作为关于x的一元二次方程必++m=0有实数解的一个必要条件的是()A.772—B.m—C.m D.m2424【答案】A【分析】先求出关于X的一元二次方程Y+X+机=0有实数解的充要条件,结合选项得出其必要条件.【详解】因为关于x的一元二次方程f+%+根=o有实数解,所以△=〃-4ac=1-4x1x//0,解得“!,而机可以推出根442所以机可以作为关于x的一元二次方程/+兀+加二有实数解的一个必要条件,故选A.【分析】先求出“方程V—2x+m=0至多有一个实数解”的充耍条件,即可判断.【详解】“方程f—2元+机=0至多有一个实数解的充要条件为=(―2)2—4/740即,篦27,又加22是机27的充分不必要条件,故选D.
23.(2023春•湖北恩施•高一校考期末)设=f-以+l(xcR),则关于x的不等式〃力0有解的一个必要不充分条件是()A.—2a0B.QV—2或2C.a3D.a2【答案】D【分析】根据二次函数的判别式求解“关于x的不等式/(x)有解”的充要条件,再分析必要不充分条件即可.【详解】由关于X的不等式“外=%2-公+10有解,得八式—4—交,解得―2或々
2.422则22或-2,故只有D选项符合必要不充分条件.故选D.
24.(2023・全国•高一专题练习)已知实数m2则“坐0”是“同|中的()ci-bA.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】c【分析】根据不等式的性质结合充分条件和必要条件的定义进行判断.【详解】竺20=(+3(4-6)00/一/00//=0〉网为充要条件.a-b故选C.
25.(2022秋・上海徐汇・高一上海市徐汇中学校考期中)已知命题
①函数),=--2火++1的图象总在1轴上方;命题
②关于1的方程/+(2〃-4b+2=有两个不相等的实数根.
(1)若命题
①为真,求的取值范围;⑵若命题
①、
②中至多有一个命题为真,求的取值范围.【答案】
(1)〃30⑵Q0或QZ1【分析】
(1)分=
0、讨论可得答案;
(2)求出命题
①、
②都为真命题时的取值范围,再求其补集可得答案.【详解】
(1)命题
①函数丁=加-2以+Q+1的图象总在X轴上方为真命题,则当Q=0时y=l,符合题意;(40当0,由VA/2(,11/八求得0,A[△=4〃-4I(Q+1)0故的取值范围为a0;
(2)若方程d+(2Q-4b+片=有两个不相等的实数根,则△=(2一4)2-4/0,解得avl,若命题
①、
②都是真命题,则故当命题
①、
②中至多有一个命题为真时,a的取值范围为0或Q
1.
26.(2022秋•重庆•高一校联考期中)已知p:HxwR,-%2+nvc-2=
0.q:Vx£(O,0),2-m
0.JC⑴若〃为真命题,求相的取值范围.
(2)若p,至少有一个是真命题,求〃2的取值范围.【答案】
(1)机一28或加22血,
(2)m-2/2或m22【分析】
(1)根据方程—f+如—2=0有实数根,即可根据判别式求解;
(2)分别求出命题p,q为真命题,解出机的取值范围,然后得两者均为假命题的机的取值范围,即可解出至少一个为真命题的范围.【详解】
(1)命题p为真,则方程-V+znx—2=0有实数根即可,故八二/川―820,解得机-20或加,故P为真命题,求相的取值范围为小W-2后或加22起
(2)是真命题,则无2相对DX£(°,0)恒成立,故232=加之2,故命题p,q均为假命题时,满足卜2f解得_28相2,m2因此p,q至少有一个是真命题时,m-2\/2或机企2【高分突破】
一、单选题
27.(2023・全国•高一专题练习)已知〃=00,如果〃是q的充分不必要条件,则实数人的取值范围是()x+1A.[2,+oo B.l,4-oo[)()C.l,+oo D.-00,-1【答案】A【分析】根据充分必要条件的定义结合集合的包含关系求解.2—x【详解】q—-0,即1或x22,又〃工22,〃是4的充分不必要条件,x+1所以女22,即左的取值范围是[2,y).故选:A.
28.(2023・全国•高一专题练习)关于龙的方程分2+云+°=0(々工0),以下命题正确的个数为()b—0
(1)方程有二正根的充要条件是“;
(2)方程有二异号实根的充要条件是£;
(3)方程两根均大于1的c an—0A0h充耍条件是——
2.a£iA.0个B・1个C・2个D.3个【答案】B【分析】对于
(1),举反例f_2x+2=0,即可判断;对于
(2)方程有二异号实根可推出%・%=£0,玉・々=£°ci a73可推出方程有二异号实根,即可判断;对于
(3),举反例Y-不工+5=0,即可判断.h c【详解】对于
(1),令2尤+2=0满足——=20,上=20,但△=4—8=TvO,方程无实数解,
(1)错;a a对于
(2),必要性方程加+Zzx+c=0,有一正根和一负根,・・・•々=上
0.a充分性由£可得比v0,所以4ac0及%匹=£°,a a.二方程ax+Zx+c=O有一正根和一负根,
(2)对;A0对于
(3),令[1+=0,两根为玉=;,马=3,满足-22,但不符合方程两根均大于1,
(3)错.乙,,a£i故选BA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
29.(2023春・江西宜春・高一校考期末)若力£R,贝广是7/+1”的()【答案】A【分析】用充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】当Q=l,b=时,/=〃3+i;当苏03+]时,/83,即人.故“心小是“A+r,的必要不充分条件.故选A
30.(2023・全国•高一专题练习)是方程以+3=0有实根/且%c{%|-lWxW2}的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】由一次函数与一次不等式的关系结合充分条件与必要条件的概念即可得出答案.【详解】方程6+3=0有实根/且%£卜|-lx2}o函数y=ar+3的图象在—1V时与x轴有交点,则a0[a03〈一+340或〈一+320,解得〃之3或——.22a+302^+30结合集合法易得€卜|)是方程+3=0有实根/且吃6卜卜UW2}的充分不必要条件.故选A
31.(2023春,安徽亳州•高一校考期中)若诉R,则“伍-2〈0是“高,的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据不等式的性质,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.【详解】由不等式(-切/0,可得Q—力0,可得ab,即充分性成立;反之由匕,可得〃0,又因为力之0,所以(a-〃)/«(),所以必要性不成立,所以0是人的充分不必要条件.故选A.
32.(2023・全国•高一专题练习)对于命题p m\,命题q方程zm:-2x+3=0石两个同号且不等实根,则p是9的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】先化简命题p,q,分别求得机的范围,进而得到二者间的逻辑关系.【详解】方程〃式2一2%+3=0有两个同号且不等实根,则解之得0根:,则命题q0m,m-22-4x3m0由M1,可得Tvmvl命题,则p—1/1,则p是q的必要不充分条件.故选B
二、多选题
33.(2023秋・全国•高一随堂练习)若非空集合人B,满足4B=C,且3不是A的子集,则下列结论不正确的是()A.“XEC”是eA”的充分条件但不是必要条件B.“工£”是e/T的必要条件但不是充分条件C.xcC”是xeA”的充要条件D.xeC”既不是xeA”的充分条件,也不是“xeA”的必要条件【答案】ACD【分析】由并集的概念,但xcC/xwA,再由充分、必要条件概念可判断选项.【详解】•••非空集合A,B,满足A B=C,且B不是A的子集,...由工金人二工金!Bn xeC,即“XEC”是“xeA”的必要条件.由3=xeA,或xeB.不是A的子集,・••不一定有xeA,BPxeC^xeA,所以wC”不是“xe/T的充分条件.即仅有B正确.故选ACD.
34.(2023秋•高一课时练习)(多选)下列“若p,则/形式的命题中,p是q的充分条件的是()A.若一=—,则B.若%=1,则d=lc.若X=儿则石=6D.若x,则/)/【答案】AB【分析】根据充分条件、必要条件的判定方法,逐项判定,即可求解.【详解】对于A中,若一=一,则x=y成立,所以A不符合题意;%y对于B中,若x=l,则*=i成立,所以x=l是f=i的充分条件,所以B符合题意;对于c中,若%=,,当工=丁,则五=4不成立,反之若五=4,则无=,成立,所以*=y是6=4的必要不充分条件,所以c不符合题意;对于D中,例如x=-2,y=l满足尤〈儿此时fy2,反之也不成立,9所以,是/)/的既不充分也不必要条件,所以D不符合题意.故选AB.
35.(2023春•四川达州•高一四川省万源中学校考期中)“关于x的不等式依2_2办+10对X/XER恒成立的必要不充分条件有()A.0alB.0al C.—ial D.-1a2【答案】CD【分析】讨论二次项系数,求出满足条件的〃的范围,根据题中条件考查选项即可.【详解】若关于1的不等式苏-2+10对VXER恒成立,当=0时,不等式为1〉0,满足题意;aw时,则必有〃〉0且A=(—2〃)2—4axlv0解得0々1,故的范围为故“关于1的不等式ox-
2.+10对Vx£R恒成立”的必要不充分条件的集合必真包含集合{a\0al}9考查选项知C,D满足条件.故选CD.
236.(2023・全国•高一专题练习)已知命题〃关于工的不等式--^0,命题心axa+i,若〃是9的必要非充x-1分条件,则实数〃的取值可以为()A.a0B.a\C.a2D.a3【答案】BCD【分析】先解不等式,设4=卜上〉1},B=[x\axa+\],由题意可得求解即可.【详解】由二72可得%-10,解得%1,设A=旧工1},x-1i3={x axa+\],若p是q的必要非充分条件,所以8真包含于A,所以或夕22或QN3均满足.故选BCD.
37.(2023・全国•高一专题练习)下列命题中,真命题的是()A.若X,y£R且X+y4,则X,y至少有一个大于2B.VXGR,X-1X2bC.〃+=0的充要条件是巳=-1D.至少有一个实数心使得丁+2=0a【答案】ABD【分析】假设X,y中没有一个大于2得x+y4,与x+y4矛盾可判断A;△()可判断B;取〃=力=时可判断C;取工=后,/=_2可判断D.【详解】对于A,假设x,V中没有一个大于2,即x2,y2,则x+yW4,与x+y〉4矛盾,故A正确;对于B,由工_1X2即%2_]+]0,则A=l-4v,故Y一x+i在R上恒成立,故B正确;h对于C,当=0力=时,a+b=0,推不出2=-1,必要性不成立,故C错误;a对于D,当工=亚2/=-2,此时d+2=0,所以至少有一个实数x,使得d+2=0,故D正确.故选ABD.
38.(2023・全国•高一专题练习)下列命题正确的是()A.“骨3”是“/2,,的充要条件B.“公=1,,是“产一1,,的必要不充分条件C.若集合P={x|x=2匕攵EZ},Q={x|x=4匕ZEZ},则PqQD.对任意xwR,印表示不大于x的最大整数,例如[L1]=1ELl]=-2,那么“|工-「|1”是“田=]”的必要不充分条件【答案】BD【分析】A选项,可举出反例;B选项,解方程f=1,得至合=±1,故B正确;C选项,根据集合间的关系得到夕;D选项,举出反例得到充分性不成立,推理出必要性成立,得到答案.【详解】当x=—Ly=时,满足但不满足工到田,故A错误;/=1,解得1=±1,因为x=-lnx=±l,但工=±1幺工=-1,故=广是“产-「的必要不充分条件,B正确;Q=[x\x=4k,k^7]={x\x=2x(2k\k^Z\,其中24为偶数,故Q1P,C错误;令x=0,y=-
0.5,满足1%一川1,但㈤=0,卬=一1,㈤口[刃,充分性不成立,由㈤=[叫得:-1X-J1,故|%-川1,必要性成立,故“以-小1”是“国=[川”的必要不充分条件,D正确.故选BD
三、填空题
39.2023秋・湖北孝感・高一孝感高中校考阶段练习已知则8=4,是“稠口的条件从“充分不必要”、必要不充分”、充要,“不充分不必要”中选择一个作答.【答案】充要【分析】根据集合之间的关系及充分、必要性定义判断条件间的关系.【详解】由A05=A,则故稠Q°A,充分性成立;由稠q,则故A/B=A必要性成立;9所以“Af3=A”是“物之uA”的充要条件.故答案为充要
40.2023秋・辽宁葫芦岛•高一校考期末已知”|x-1|1,若是的充分条件,则实数加的取值范围为•【答案】m2【分析】首先解出绝对值不等式,再根据充分条件得到集合的包含关系,即可得解.【详解】由BP-lx-ll,解得0x2,记A=0,2,B=F,m,因为是尸的充分条件,所以所以〃出2,即实数加的取值范围为m
22.故答案为m
241.2023秋高一课时练习下列喏p,则必形式的命题中,0是〃的必要条件的命题有♦1若+5是无理数,则是无理数.2若两个三角形全等,则这两个三角形面积相等.3若x-ax-b=0,则x=4若和〃都是偶数,则仍是偶数.【答案】124【分析】根据必要条件的定义即可逐一求解.【详解】1若+5是无理数,则〃+5是无限不循环小数,所以是无限不循环小数,所以是无理数,所以〃=夕,所以q是P的必要条件.2全等三角形面积相等,所以〃=q,所以4是〃的必要条件.3若%_々工叫=0,则x=^x=b;所以所以«是P的不必要条件.4两个偶数的乘积仍是偶数.所以〃=4,所以4是〃的必要条件.故答案为
(1)
(2)
(4).
42.(2023秋•高一课时练习)已知px—2或x10,q xvl+a或xl—
(0).若〃是的必要条件,则实数a的取值范围为.【答案】(―,一9]【分析】由〃是9的必要条件,有qnp,列不等式组求实数Q的取值范围.1+a-2【详解】TP是4的必要条件,.M=乙则有1-210,解得“V—
9.a0则实数a的取值范围为(-j-9]故答案为(-8,-9]
四、解答题
43.(2022秋・广东江门•高一江门市第二中学校考期中)已知命题〃*ER,.+以+]=0,命题4已知机0,Vx£(—l,+8),x-a-\-----
0.、7X4-1⑴若〃为真命题,求的取值范围;⑵若P为真命题”是q为真命题”的必要不充分条件,求加的取值范围.【答案】
(1)0或之4()20zn—.【分析】
(1)由题意可得方程分2+以+1=0有解,然后分=0和QW0两种情况讨论即可;
(2)先由命题4为真,求得而-1,设命题为真时的取值集合为A,命题4为真时的取值集合为再由题意可得3是A的真子集,从而可求出〃2的取值范围.【详解】
(1)当=0,显然不存在1使方程1=0成立;当QWO时,一元二次方程的判别式ANO,所以片一4々20,解得〃0或々
24.
(2)若命题q为真,则X-Q+旦20OX+1+*-2Q+1,X+l X+1因为x+l+—,所以a+lW2,^,即-1,当且仅当x=时,等号成立.x+i设命题P为真时的取值集合为A,命题彳为真时的取值集合为B,因为命题P为真是命题夕为真的必要不充分条件,所以B是A的真子集,所以2标一10,故〈加〈J.4f[x+20])一(
44.(2022秋・湖北武汉•高一校联考期中)已知命题s/八},命题/{xl—相+根}.Lr-100i J1若加=1,则〃是q的什么条件?⑵若〃是q的必要不充分条件,求实数〃z的取值范围.【答案】ip是q的必要不充分条件2me0,3]【分析】1分别求出,国中x范围,然后观察包含关系.2根据题意得〃〃,列不等式组解决.♦fx+20【详角军】1s=-2x10,:.p:[x-2x[x-100i若加=
1.・.q{x0x2},{WK2}.{x-2x10}所以,是q的必要不充分条件.2由1,知p:{x|—24x4l},m0,因为〃是q的必要不充分条件,所以i-加之-2,l+m10,解得0相3,即根£0,3].
45.2022秋•四川成都•高一成都外国语学校校考期中已知集合人=卜|-3x4},B={x\2m-lxm^l}.1当根=1时入求出AcgB;2若是a£歹的必要不充分条件,求实数机的取值范围.【答案】1AC^B={R-3K尤1或2Vx4}2m-1【分析】1当机=1时,得3={刘12},由补集和交集运算即可求解AcC*;2由题可知8UA,分集合8=0和两种情况分类讨论,即可求解〃2的取值范围.【详解】1当机=1时,3={却x2},所以33={小1或x2},k所以AC93={A|-3Kxvl或2x4};2因为匕£4,是匕£中的必要不充分条件,于是得A,
①当5=0时,m+12m-l,,m2;m+12m-1
②当3w0时,由5UA得v2m—12—3,/.-lm2,772+14综上所述,m-\.
3.(2023・高一课时练习)已知〃是〃的充分不必要条件,q是一的充分条件,s是一的必要条件,4是$的必要条件,下列命题中
①,•是q的充要条件;
②〃是夕的充分不必要条件;
③厂是9的必要不充分条件;
④一是s的充分不必要条件.正确命题的序号是()A.
①④B.
①②C.
②③D.
②④【答案】B【分析】由充分必要条件的定义和传递性,可得结论.【详解】由〃是〃的充分不必要条件,夕是〃的充分条件,s是〃的必要条件,q是s的必要条件,可得pnj〃推不出乙qnr,s nq,所以〃=心故〃是9的充要条件,
①正确;p=q,q推不出〃,故,是q的充分不必要条件,
②正确;yq,故〃是q的充要条件,
③错误;ros,故〃是$的充要条件,
④错误.故选B题型二根据充分不必要条件求参数问题
4.(2023秋•高一单元测试)已知条件p qxm若〃是9的充分不必要条件,则实数机的取值范9围是()A.{m|m—1}B.{m|m—1}C.{m|-l77O}D.{m|m-1}【答案】D【分析】根据p是q的充分不必要条件,由{x|-lxvl}窿{x|xm}求解.【详解】解因为p是4的充分不必要条件,所以卜|一1VXV1}用,则m—1,故选D.
5.(2023・全国•高一专题练习)不等式“d+2x—勿行在xeR上恒成立”的一个充分不必要条件是()A.m-\B./724C.2m3D.-1m2【答案】A【分析】先计算已知条件的等价范围,再利用充分条件和必要条件的定义逐一判断即可.【详解】因为“不等式犬+2x-m之在R上恒成立“,所以等价于二次方程的x2+21-m=0判别式八=4+4〃240,
46.(2022秋.江苏盐城・高一江苏省上冈高级中学校联考期中)已知命题p方程V—2x+〃=0有两个相异实根,命题9不等式9+6〉恒成立.⑴命题〃是真命题,求实数的取值范围;⑵若命题p与命题q中有且仅有一个是真命题,求实数的取值范围.【答案】
(1)(一8,1)⑵[1,6)【分析】
(1)由判别式大于即可求解;
(2)分p真q假和〃假q真两种情况,列不等式组即可求解.【详解】
(1)•••命题〃是真命题,••・%2一2%+〃=0有两个相异实根,•••△=4—4〃0,解得a
1.•••实数Q的取值范围为(-8,1)
(2)•命题〃与命题夕中有且仅有一个是真命题,•••有〃真q假和〃假q真两种情况.当4是真命题时,不等式犬+6〃恒成立,即有(—+6焉,得6,由
(1)可知,当〃是真命题时,实数〃的取值范围为[a1当p真4假时,有.[a6(al当〃假q真时,有{得l〈av
6.\a6所以实数a的取值范围为1WQV
6.综上实数〃的取值范围为EP m—
1.所以A选项,根-1是机-1充分不必要条件,A正确;B选项中,根4不可推导出24-1,B不正确;C选项中,2相3不可推导出加4-1,故C不正确;D选项中,-1vmv2不可推导出加4-1,故D不正确.故选A.
6.(2022秋.浙江金华・高一校考阶段练习)已知xeR,条件P0xl,条件若〃是[的充分不必x要条件,则实数的取值范围是()A.Ooz1B.a\C.a\D.6/0【答案】A【分析】先求出条件q的x的范围,再根据充分不必要建立不等式求解即可.【详解】条件g由不等式!力
(0),解得尤,,x a若P是4的充分不必要条件,则(0,1)(o,J,所以—21解得0〃
1.a故选A.题型三根据必要条件不充分条件求参数问题
7.(2022秋・湖南邵阳.高一湖南省邵东市第一中学校考阶段练习)若x2—3是-的必要不充分条件,则实数〃2的取值范围是()A.{4一3软历3}B.(ml列,-3或2・・3}C.{/叫,-1或帆.1}D.{/一啜弧1)【答案】D【分析】由题意列不等式求解【详解】因为x2n-3是-1%4的必要不充分条件,所以2疗-3,,-1,解得-掇弧
1.故选D
8.(2021秋・江苏南通高一校考期中)已知条件p|x-1归2,条件夕%,且满足《是,的必要不充分条件,则()A.a3B.-1C.a—1D.—1QV【答案】D【分析】解不等式,根据充分必要性列出不等式,进而得解.【详解】即—72|X-1|2,1X3,又q是〃的必要不充分条件,所以Q V—1,故选D.},
9.(2021秋.河南•高一校联考阶段练习)已知集合4=卜——6X+8V B={x\(x-a)(x-a-1)0]若xeA9是xe3的必要条件,则的取值范围是()A.(2,3)B.[2,3C.(-oo,-2)o(3,+oo)D.(一8,一2)U[3,+功【答案】B【分析】利用若xeA是的必要条件,则必有B是A的真子集,进而可求解.【详解】由A=―6冗+8v0}={x|2x4},Q+l4,B=6ZX6Z+11,若xeA是xeB的必要条件,则必有3是A的子集;ftz+l4故选B.题型四充要条件问题A.充分不必要条件B.必要不充分条件
10.(2023・高一单元测试)若x,”R,则“%=尸是三+产(2*,,的(C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】利用充分性和必要性的定义即可得出结果.【详解】当x=y时,x2+y2=2x2=2x-x=2xy所以犬+产42孙成立,9又当f+y22孙时,即+,2_2孙=(%一,)20,得至1」%=丁,所以/+y22孙可以得到X=y,所以=y”是%2+/2孙”的充要条件,故选C.A.充分不必要条件B.必要不充分条件
11.(2022秋,上海徐汇・高一上海市南洋模范中学校考期末)设〃cZ一方是偶数”是叫是偶数”的()C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据充要条件的判断即可选出答案.【详解】/是偶数等价于〃是偶数,故为充要条件,故选:C.
12.(2023・全国•高一专题练习)已知下列所给的各组乙4中,〃是q的充要条件的为()A.p:a0q:a09B.P两个三角形全等,q两个三角形的两边及其夹角分别对应相等C.p\a=h,c/a2=b2D.P两直角三角形的斜边相等,q两直角三角形全等【答案】B【分析】直接利用充分条件和必要条件判断A、B、C、D的结论.【详解】对于A选项,时0,解得〉0或所以〃0=同0,但同070,故,为夕的充分不必要条件,故A错误;B选项根据全等三角形的性质及判定可知,P0q,故〃是4的充要条件,故B正确;C选项,由/=〃可得或〃=_〃,则〃为4的充分不必要条件,故C错误;D选项,两直角三角形全等,则两直角三角形的斜边相等,但两直角三角形的斜边相等,但两直角三角形不一定全等,例如RtZkABC中?390,AB=1,BC=S,斜边AC=28,Rt△所中NE=90,DE=EF=2,则斜边歹=2及,故〃为4的必要不充分条件.故选B.题型五根据充要条件求参数问题
13.(2023・全国•高一专题练习)方程/+入+2=0与/+2%+%=有一个公共实数根的充要条件是().A.k=3B.k=C.%=1D.k=-3【答案】D【分析】先利用判别式求得上的取值范围,然后结合充要条件的知识求得上的值.【详解】方程f+辰+2=0有实根,故△=42_820,解得女2夜或女加,方程%之+2x+左=0有实根,故八=4一4k20,解得ZKL综上所述,攵-2夜,只有D选项符合.若方程M+日+2=0与12+21+%=0有一个公共实数根,设公共实根为天,;£二;两式相减得
(2)为+(2-4)=0,(々-2)与=2,由于左一20,所以为=1,所以1+左+2=0,%=—
3.当左=一3时,两个方程分另U为1一3%+2=
0、f+2x—3=0,方程犬―3x+2=0的两个根为1,2;方程f+2x-3=0的两个根为1,-3;即方程f+日+2=0与必+2%+%=0有一个公共实数根.综上所述,方程d+辰+2=0与V+2x+攵=0有一个公共实数根的充要条件是左二-
3.故选D
14.(
2022.高一单元测试)方程以2+21+1=0至少有一个负实根的充要条件是()A.0611B.91C.a\D.0〃Kl或QVO【答案】C【分析】按〃=0和4W0讨论方程改2+2x+l=0有负实根的等价条件即可作答.【详解】当=0时,方程为2x+l=0有一个负实根工=-!,反之,%=-g时,则=0,于是得=0;22当时,A=4-46Z,若〃0,则△(),方程有两个不等实根玉,工2,=-0,即不与演一正一负,a反之,方程有一正一负的两根时,则这两根之积」小于0,a0,于是得〃0,a2%+%=——0若〉0,由ANO,即0々1知,方程有两个实根斗,々,必有°,此时玉与4都是负数,xx=—0a▼}2(A=4-4202一反之,方程/+2工+1=0两根%,工2都为负,则代+工2=——,解得于是得axx=—
0、-a{2综上,当al时,方程依2+2x+l=0至少有一个负实根,反之,方程依2+2工+1=0至少有一个负实根,必有々
1.所以方程以2+21+1=0至少有一个负实根的充要条件是aL故选C
15.(2023・全国•高一专题练习)“一元二次方程/+以+1=有两个不相等的正实根,,的充要条件是()A•aS_2B.a v-2C.a2D.av-2或2【答案】B【分析】先求出一元二次方程/+办+1=0有两个不相等的正实根时〃的取值范围,再根据充要条件的定义即可求解.【详解】解一元二次方程/+6+1=0有两个不相等的正实根,设两根分别为斗W,A=Q2-4故《玉+工2=0,xx=10}2解得a-2,故“一元二次方程f++1=0有两个不相等的正实根”的充要条件是a v-
2.故选B.题型六充分条件与必要条件的综合
16.(2023秋・山东荷泽・高一校考期末)已知全集=11,集合A二5={XQ-1VXVQ+1,Q£R}.⑴当〃=2时,求(枷)c(a);⑵若xe A是xe3的必要不充分条件,求实数的取值范围.【答案】⑴(板)c(於)=卜醛1或x5}
(2){a\3a4]【分析】
(1)当,=2时,求出集合A、B,利用补集和交集的定义可求得集合(瘵4)c(〃B);x2x5,当a=2时,B={x|l%3},
(2)分析可知,BA,利用集合的包含关系可得出关于实数的不等式组,由此可解得实数〃的取值范围.因为全集=R,则dA={x|x2或x5},电B=或%23},【详解】
(1)因为0因此,(您4)c(胆)={小41或x5}.
(2)易知集合3=小一1X〈+1,£氏}为非空集合,a—122因为xeA是的必要不充分条件,则B A,所以,+”5解得3a
4.因此,实数的取值范围是{|3々4}.
17.(2022秋广东东莞•高一校考期中)已知集合4=卜卜集合5={祖—根%W3m+1}
(1)当加=1时,求Ac3;
(2)若xe A是xeB的必要条件,求实数机的取值范围.【答案】()1ACB={%|0XK|}(11⑵一8,工\6」【分析】
(1)根据交集直接运算求解;
(2)由题意分析可得B=A,分3=0和3H0两种情况,结合包含关系运算求解.【详解】
(1)当机=1时,3=卜|0%«4},所以4门8={%|0%1}・
(2)因为xe A是xeB的必要条件,则
①当B=0时,1一根23根+1,解得m0;l-m-131
②当3/0时,^3m+l-,解得0一;261-m3m+
1、(r综上所述阳的取值范围为一8,7・I6」
18.(2023・全国•高一专题练习)设=R,已知集合4={幻—2«x5},B={x\m+lx2m-i}.
(1)当4£3时,求实数〃z的范围;
(2)设p xcA;q”B,若〃是夕的必要不充分条件,求实数加的范围.【答案】
(1)[根3()2m3【分析】
(1)由题意知,4是集合B的元素,代入可得答案;
(2)由题可得5是A的真子集,分类讨论B为空集和B不为空集合两种情况,即可求得相的取值范围.【详解】
(1)由题可得根+142m-1,则一〈“3;2
(2)由题可得5是A的真子集,当B=0,则m+12m—1=m2;f2m-l5当Bw0,m2,贝U个(等号不同时成立),解得24机3综上m
3.【双基达标】、单选题
19.(2023・全国•高一专题练习)已知力ER,则是//”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】D【分析】通过反例可说明充分性和必要性均不成立,由此可得结论.【详解】当Q=,人=一2时,满足此时/〃;当二一2,〃=0时,满足此时b;.aba2b2a2b2ab・•・“心b”是的既不充分也不必要条件.故选D.
20.(2023秋・江西新余•高一新余市第一中学校考开学考试)是“a2且力2”的()A,充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据题意,结合充分条件、必要条件的判定方法,即可求解.【详解】当,=11=4,此时满足Q+匕4,但2且方2不成立,所以充分性不成立;反之若a2且匕〉2,可得〃+人4成立,所以必要性成立,所以“〃+匕〉4”是且力2”必要不充分条件.故选B.
21.(2023秋・江苏淮安・高一统考期末)已知%wR,若集合M={1,R,N={1,2,3},则“x=2”是“M q N”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据题意,分别验证充分性以及必要性即可得到结果.【详解】若x=2,则所以MqN,故充分性满足;若MqN,则x=2或3,显然必要性不满足;所以%=2”是qN”的充分不必要条件.故选A
22.(2023秋•高一单元测试)“方程f—2x+m=0至多有一个实数解的一个充分不必要条件是()A.m1B.m£1C.m0D.m2【答案】D。