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第一章习题答案设总量函数为试计算累积函数和第个时段的利息
1.At=t2+2t+3at nIno解把t=0代入得A0=3于是:at=At/AO=t2+2t+3/3In=An-An-1=n2+2n+3-n-12+2n-1+3=2n+1对以下两种情况计算从时刻到时刻的利息解
2.t ntn lIrOrn;2Ir=2r0rn.⑴I=An—A⑴=If+・•H-I=nn+l/2-tt+1/2t+1I=An-At=£人=2,+1-2t+,⑵k=t+l已知累积函数的形式为若时刻投入的元累积到时刻为元,试计算时刻投入的
3.aD=at-+b o31725100100元在时刻的终值10解:由题意得a0=1,a3=A3/A0=
1.72=a=
0.08,b=1/.A5=100A10=A0-a10=A5-a10/a5=100X3=
300.
4.分别对以下两种总量函数计算i5和ilO:lA⑴=100+5t;⑵人⑴=10°1+I’.解li5=A5-A4/A4=5120^
4.17%i10=A10-A9/A9=
51453.45%⑵i5=A5-A4/A41001+
0.15-1001+
0.14==10%1001+
0.14+」尸—+i=A10-A9/A9=10°010Si]=1010%10v71001+
0.
19.A4=1000,i“=O.Oln
5.设l/n.试计算A7o解:Af7=A4l+i5l+i6l+i7=1000X
1.05X
1.06X
1.07=
1190.91试计算元经过两年半的累积达到元的对应年单利率?另外,元以
6.500615500单利率累积多少时间可以达到元?
7.8%630解设年单利率为I5001+
2.5i=615解得i=
9.2%设500元需要累积t年5001+t X
7.8%=630解得t=3年4个月已知单利率为,问经过多少时间它对应的实利率可以达到
7.4%
2.5%解设经过t年后,年利率达到
2.5%1+4%xt=1+
2.5%t t心
36.367已知求
8.1+i5=X,l+i2=Y.1+ill.解:1+ill=1+i5+2*3=XY3已知元投资两年将产生利息元复利方式,问元以同样的实利率投资年的终值.
9.60026420003解设实利率为i600[1+i2-1]=264解得i=20%/.A3=20001+i3=3456元已知第年底的一个货币单位与第年底的一个货币单位的现值之和为一个货币单位计算解设实
10.n21+i2n.利率为i小[]_]V5-1_3+6+21+iy11+i2n秋包―2的’2—2乙乙乙v7v7解得l+i-n=所以l+i2n=解1+024-1一〃〃28|4]PV=-1+027[1+04-1]小§3]+54]/解:.给出下面年金的现值在第、、、、和年底支付一个货币单位3271115192327元的永久年金和每年付款元的永久年金可以用每次元的年期末年金代替,半年换算名利率
33.75020750R30求的表达式4%,R750750+7=30]i1邑0溷解得R=
1114.77解设年实利率为i,则1+2%2=1+i有题意得.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为计算年利率34125/91,1125解由题意知91解得i=20%.已知元永久期初年金的现值为它等价于每两年付款元的永久期初年金,计算35120,R R20=-=—21/解得R=
1.95解由题意得21一”厂设递延时间为3由题意得解设贴现率为d,则.已知每半年付款元的递延期初年金价格为元试用贴现率表示递延时间365001000010000=2x500Klnl—d8】解得In20+lnl—1—d/
37.计算:3点=2喘=45*,计算j3x而4小=2x-a=45x-^n]i1]z解111解得:308t=1+,求“川的表达式.已知39J4义解“小°dt=lnl+n已知一年内的连续年金函数为常数计算时刻金的
40.1,t,使得只要在该时刻一次性支付一个货币单位,则两种年现值相等l-e-s-St.1t=1泮解第一种年金的现值为3第二种年金的现值为,则§所以.已知计算从现在开始每个季度初存入元的年期初年金的现值415=
0.0810020解设季度实利率为八因四则.+所以*啊二恤a+
074030.
53.现有金额为元的基金以的速度连续累积同时每年以元的固定速连续地从基金中取钱,该基金4240,0004%2400可以维持多少时间?解设年实利率为i,则『=一一1设基金可维持t年,由两现值相等得4°°°°一24°0%,・解得t=
2843.已知某永久期末年金的金额为1,3,5,・・・另外,第6次和第7次付款的现值相等,计算该永久年金的现值解由题意1+M HPV=v++2〃-lu〃+3V2+=v[l+PV+2V+V2+]V=vl+PV+2——1-v解得:PV=
66.给出现值表达式为可所代表的年金序列用这种表达式给出如下年递减年金的现值首次元,444l+3“25100然后每次减少元325々行+3£西解年金序列A+nB,A+n—lB,・・・八+286+8所求为2512512^1—
45.某期末年金半年一次为800,750,700,・・・,350已知半年结算名利率为16%若记—10|8%,试用A表示这个年金的现值2x10-7130°,8%+500%8%=3004+=6250-325A;2解考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减,故有:
47.已知永久年金的方式为第
5、6年底各100元;第
7、8年底各200元,第
9、10年底各300元,依此类4V100i-vd推证明其现值为解:把年金分解成:从第5年开始的100元永久年金,从第7年开始的100元永久年金...从而1=100v4--v4F=100---------v2i-vd十年期年金每年的月日元;月日元;月日元;月日元
48.11100412007130010140016006Z-Z46Z-4证明其现值为10111元证首先把一年四次的付款折到年初冽=4,1,R=100疗=1600从而每年初当年的年金现值:⑹“斓元再贴现到开始时I/”斓元从现在开始的永久年金首次一元,然后每半年一次,每次增加年利率计算现值
49.3%,8%,…y J=1+8%上一1=
3.923%解半年的实利率JV f
1.03L032--------1---------7+1+j1+J2=-惇=
112.59某人为其子女提供如下的大学费用每年的前个月每月初元,共计年证明当前的准备金为:
50.950046000〃/跑证首先把9个月的支付贴现到年初m=12,n=9/12,R=500m=6000从而每年初当年的年金现值:6000〃黑6000念球9/121贝占现至I」当前4|9/12|
51.现有如下的永久年金第一个k年每年底还;第二个k年每年底还2R;第三个k年每年底还3R;依此类推给出现值表达式解:把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金n=0,1,2,•••:每个年金的值为“益在分散在每个k年的区段里再按标准永久年金求现值“R V
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值,20X表示首次付款从第三年底开始的永久年金:1,2,的现值计算贴现率3,••♦解由题意x=l-Lii+ii ii・2°X=+—T d==
0.0476211U+“解得i=
0.05即1+1四年一次的永久年金首次元,每次增加元,计算现值与原答案有出入
53.15v4=
0.75,PV=1+6V4+11V9+=£5〃-4U4〃-4=+=64解期初年金/=,2期末年金户V=u+6V5+llv10+t.=y.PV=
59.5587永久连续年金的年金函数为年利率如果计算该年金现值与原答案有出入
54.:1+kt,i,0ki,解由于ki,故下列广义积分收敛PV=^I+kye-6tdt=^^-^ydt=1+ilnl+z-lnl+k
59.计算m+n年的标准期末年金的终值已知前m年年利率7%,后n年年利率11%,17%=34,%“%=
128.1+
0.11〃=
0.11-+11110/解由川的表达式有川11%AV=5-xl+O.lir+5-10/=S-ho/X
0.1IS-;[o/+1+S~h/10/川7%n\\1%7川11%=
640.72甲持有股票股,乙持有股票股,两种股票都是每股元股票每年底每股分得红利元,共计
60.A100B10010A
0.40年,在第次分红后,甲以每股元的价格将所有的股票出售,假设甲以年利率将红利收入和股票出售的收101026%入进行投资股票在前年没有红利收入,从第年底开始每年每股分得红利元,如果乙也是以年利率B10U
0.806%进行投资,并且在年后出售其股票为了使甲乙在乙的股票出售时刻的累积收入相同,分别对两种情况n n=15,20计算乙的股票出售价格QAs-+2=
0.8s—+X1+
0.06尸〃0/7°解设为买价,有价值方程也从而有:X6%〃-1016%X=
0.4s-_+2-
0.85—1+
0.06严°0/0/I0|6%n-^6/o解得X=
5.22n=
152.48n=20某奖学金从年元旦开始以十万元启动,每年的月日和月日用半年结算名利率结算利息另
61.199063012318%外,从年元旦开始每年初可以固定地收到捐款元从年的月开始?每年的月日要提供总额199150001991771为一万二千元的奖金计算在年元旦的元捐款后基金的余额20005000s-120001+4%^^=
109926.021AV=1000001+4%2°+5000^^,4%解由题意与14%已知贷款经过偶数次、每次元还清,利率如果
62.L NK i将还贷款次数减少一半,记每次的还款为试比较与的大小K1,K12KKia-=Ka-=叫=K[1+一!一2]2Kni\t,〃巾1匚/|*\m解由题意十U已知贷款经过次、每次元还清,利率如果将每次的还款额增加一倍,比较新的还款次数与的大小
63.L NK iN/21N2K-=K-n/J+VaM\i aN\i V2解由题意,即MN/2第三章习题答案已知某投资的内部回报率为,且在该投资中元,元,元和元计算「1r CO=3000C1=1000R2=2000R3=4000解令v=U+r,由Pr=O有CO+CW-R2V2-R3V3=0代入数据,解得v%
0.8453A r=
18.30%十年期投资项目的初期投入元,随后每年年初需要一笔维持费用第一年元,以后各年以的速度2100,00030006%增长计划收入为第一年末元,以后逐年递减,计算30,0004%R6解由i=6%,j=4%R6=300001-j5-30001+i5=30000X
0.965-3000X
1.065=
20446.60元已知以下投资方式当前投入元,第二年底投入元;回报为第一年底元,第三年底元计37000100040005500算和P
0.09P
0.10o解净现值P⑴为Pi=-7000+40001+i-l-10001+i-2+55001+i-3P
0.09=
75.05元P
0.10=-
57.85元计算满足以下条件的两种收益率的差当前的元加上两年后的元,可以在第一年底收回元解:设
4100108.15208收益率为i,其满足:-100+208v-
108.15v2=0解得i=
2.03%或
6.03%两种收益率的差为
4.00%每年初存款,第年底余额为元,存款利率,每年的利息收入以的利率进行再投资给出每年存款51010004%4%金额的表达式解以第10年底为比较日,有以下的方程10R+4%RIs10p3%[=1000解得R=100010+4%Is10p3%现在元贷款计划在年内分年度还清,每年还款元如果贷款方可以将每年的还款以年利率进行6100002010005%投资计算贷款方的实际年收益率解设年收益率为i,有1000a20P5%1v20=10000解得i
6.16%某投资者购买了如下的五年期金融产品每年底得到元;每年的收入可以按年利率投资且当年收回71100024%利息如果该投资者将每年的利息收入以年利率再投资,实际年收益率为计算购买价格解:设购买价格3%4%,为P有P1+i5=1000X5+1000i Is4p3%」P x
1.045=5000+40Is4p3%[p=
4448.42元某投资者连续五年每年期末向基金存款元,年利率同时,利息收入可以以年利率投资给出第十年810005%o4%底的累积余额表达式解对现金流进行拆分,第10年底的余额为P=1000X5+5%X1000Is10p4%「-5%X1000Is5p4%[=5000+50-sl^lp-114%-50-s6p-64%=5000+50X
62.159-50X
15.824=
7316.73元甲将元投资年,年利率,利息每年支付,利息的再投资利率为,第年底的累积利息为920001017%11%
105685.48元;乙在年内,每年底投资元,年利率,而且利息以的年利率再投资计算乙在年底的累积利2015014%11%20息收入解:PA=2000X17%X s9pll%[PB=150X14%X Is19pll%]由PA=
5685.48解得1+11%10=
2.83942带入PB计算得PB=
8438.71元另解:PB=150X14%X Is19pll%「直接计算得PB=
8438.71元某人以元购得一块土地,每年需交资产税元十年后以元卖出,同时交纳的销售税计1010000015002600008%算年收益率解:由净现值公式有P⑴=-100000-1500al0pi-+260000X1-8%X1+i-10=0解得i弋
8.075%元投资,可以在今后六年内每年得税后收入元计算的净现值;收益率115000018000115%2弋解:由净现值公式有P⑴=-50000+18000a6P15%「⑴P15%=
18120.69元2P⑴=0解得:i
27.698%12某人拥有元按月以支付利息的债券,其在得到每月的利息后,立即以存入银行,计算其账户在10000i12=6%i12=12%第12次、24次和36次存款后的余额并对以上三种情况计算其每年平均的i12o解第n次存款后的余额为Pn=10000+10000X i1212X s12np「每年的平均i12满足10000X1+i1212n=Pn把n=12,24,36代入得至U P12=
10634.16,i12=
6.16%P24=
11348.67,i24=
6.34%P36=
12153.84,i36=
6.52%某基金的年初金额为元,年底余额为元投资收入为元,投资成本为元用资本加权13500000680000600005000法计算年实际收益率解由题意,A=500000,B=680000所以,I=60000-5000=55000i=2I/A+B-I=
9.78%某基金的年利率年初余额元,如果在第三个月底存入元,第个月底取款元°假定利率按单利144%,10002009300计算,计算年底的余额解P=1000X1+0+200X1+34i-300X1+I4i=1000X
1.04+200X
1.03-300X
1.01=94315⑴假定l-tit=l-ti,给出1-tiO的表达式;2假定l-tiO=ti,给出l-tit的表达式解:在考虑福利的前提下有1+ti0l+1-tit=1+i1由l-tit=1-ti Wi10=1+i-1-1-til+1-ti=til+1-ti2由itO=ti得1-tit=1+i-1-1-til+ti=l-til+ti在初始时刻和第年底分别向基金投入元,已知基金在第年底的余额为元,第年底的余额为16110001120022200元分别用资本加权法和时间加权法计算年收益率解资本加权法10001+i2+10001+i=2200解得i=
6.52%弋时间加权法1+i2=12001000X22001200+1000解得i
9.54%基金在元旦的余额为月底的余额为年底的余额为17A,6B,C1若一年中没有任何资本的注入,证明投资额加权法和资本加权法计算的年收益率都是C-A A;如果在月底计算余额后立即投入资本试分别给出投资额加权法和时间加权法计算收益率的表达式26D,如果中的投资是在余额计算之前投入的,重新计算中的两种收益率322说明和中投资额加权法的结果相同的原因4Q3试说明中时间加权法的结果大于的结果523解⑴资本加权法A1+i=C i=C-A A时间加权法1+i=B A-C Bi=C-A A2资本加权法A1+i+Dl+i2=C C=C-A-D A+12D时间加权法l+i=B A-C B+D i=BC A B+D-13资本加权法A1+i+Dl+i2=C C=C—A—D A+12D时间加权法l+i=B-D A-C Bi=B-D C AB-14资本加权法主要以资本量为衡量标准,所以在6月底余额计算前投入还是后投入,对收益率没有影响52中时间加权法的结果较大的原因是D从计算余额后投入时,认为这部分资本在下半年产生了利息,而在计算余额前投入,相比较而言,若这部分资本D是在上半年投入的,则没有产生利息,所以收益率偏大已知当且时,有18t=1,2,3,4,5y=1,2,---101+iy t=
1.08+
0.005tl+
0.01y如果在时投资元,持续年计算等价的均衡利率y=510003弋解设等价的均衡利率为i,利用投资年方法的计算公式有1+i51l+i52l+i53=1+i3代入数据得到i
9.469%基金在年元旦的单位价值为元,在年月日的单位价值为元,在年元旦的单位价值19X
19911.
01991710.81992为元,如果某投资者在年元旦和月日分别投入元分别用资本加权法和时间加权法计算该投资者在
1.019917110年的收益1991解资本加权法,A=10,C=10,B=10+10X
10.8=
22.5得至lj I=
2.5i=
2.510+12X10=
16.67%时间加权法i=
0.81X
10.8-1=0某汽车交易市场中可以用两种方式购买二手车马上付款元;或者,现付元,然后每年底付款元,20500024001500两年付清若某购车者的最小可接受的年收益率为问其选择哪个方式购买?10%,解以最小可接受的年收益率算得购车者以第二种方式购车的现值为2400+15001+i-l+15001+i-2=
5003.31元5000所以应该选择第一种方式付款如果投资者的可接受利率为说明第题的项目是否可以接受2112%,3解用Excel规划求解内部收益率得r%
9.56%12%所以可以接受这个项目如果例子的项目回报率为计算相应的项目融资利率
223.1915%,f解利用r,f之间的关系式l+r=1000016001—11+f把r=15%代入解得f=
22.55%23已知某项目前五年的现金流如表3・13所示若r=15%,f=10%,计算B5表3・13t012345Ct10002000-40003000-40005000解B0=C0=1000Bl=B0l+r+Cl=3150B2=B11+r+C2=-
377.5B3=B21+f+C3=
2584.75B4=B31+r+C4=-
1027.54B5=B41+f+C5=
3869.71现有某一种投资,若利息收入要扣除的收入税估计在今后年内可以达到年利率注税前,计算在2425%208%年底,利息累积额下降的比例20解:税后的等价利率为8%X3/4=6%,从而利息累积额下降比例为
1.0820-
1.
06201.0820-1=
39.7%25某人需要800元借款,有以下两种方式偿还1只借800元,然后期末一次偿还900元;2先借1000元,期末偿还元如果最小可接受的利率为分析其选择112010%,解对于第一种方式,期末的现值为8001+10%-900=-20元对于第二种方式,期末现值为10001+10%-1100=-20元所以两种方式是等价的此题有待讨论保险公司将寿险保费的收入建立基金,年底计息受益人可以在今后年的每年底从基金中取款,若保单的最低2610年利率为时,每年的取款金额为元然而,保险公司的基金投资利率为前四年后六年因而,实3%10004%,5%o际取款金额为「=其中表示基金在时刻去掉,Wt=Ft,all-tp3%Ft tt=0的余额计算1,2,...,10W10oFt+1=Ft-
1.03++
1.0310-tl+
1.03++
1.0310-t,t=
1...9解由递推公式Wt=Ft..al l—tp3%,Fn+1=Fn-Wn整理得F10=Fl X
1.0391+
1.03+■・•+
1.039=1000X-al0p3%「X
1.039,,al0p3%「二1000X
1.039=
1304.77W10=F10**alp3%[=
1304.77元与原答案有出入27某基金在1月1日的余额为273000元,在12月31日的余额为372000元该基金一年的利息收入为18000元,收益率计算平均的存取款日期6%解由题意有A=273,000B=372,0001=18,000C=B—A—I=81000i=I A+Cl—0=6%・・・t=23所以平均的存取款日期是9月1日某基金的投入为连续方式,起始余额为时刻的投入为利息力函数为计算年末的终值281,t I+t,1+t-lo n解:期初的现值为an=a0+f n0l+xexp{-f n0l+t-ldt}dx=1+f n0l+x-11+xdx=1+nn年末的终值为AV=an-exp{f n0l+t-ldt}=1+n-1+n=1+n229某基金在1991年和1992年间的运作情况如表3・14所示用时间加权法计算这两年的收益率表3・14日期基金价值/元1/1/911/7/911/1/921/7/921/1/9310000001310000126500015400001420000投入/元取出/元250000250000150000150000解:根据题意,所求收益率为131-25100X
126.5+15131X154-
25126.5X142+1515412-1=
9.10247%应注明投资和支取是在计算余额前投入的!某互助基金的初始单位价值为在随后的年底的价值为元,元,元,元和3010000,51171012694146611414816836元,有三个投资者A、B和C,投资情况如表3・15所示用时间加权法计算该基金在年中的年平均收益率;15用资本加权法计算每个投资者在年中的年平均回报率25表3・15时间第年底第年底第年底第年底第年底12345A10002000300040005000B30003000300030003000C50004000300020001000解1有资本加权法有l+i5=1171010000X1269411710X1466112694X1414814661X1683614148,i=
10.99%2对于投资者A,BO=0Bl=C1=1000B2=B1X1269411710+C2=
3084.03B3=B2X1466112694+C3=
6561.92B4=B3X1414814661+C4=
10332.31B5=B4X1683614148+C5=
17295.36Cll+r4+C2l+r3+C3l+r2+C4l+r+C5=
17295.36解得r y
10.60%对于投资者B,B0=0Bl=C1=3000B2=B1X1269411710+C2=
6252.09B3=B2X1466112694+C3=
10220.89B4=B3X1414814661+C4=
12863.25B5=B4X1683614148+C5=
18307.16Cll+r4+C2l+r3+C3l+r2+C4l+r+C5=
18307.16弋解得r
9.98%对于投资者C,BO=0Bl=Cl=5000B2=BI X1269411710+C2=
9420.15B3=B2X1466112694+C3=
13879.86B4=B3X1414814661+C4=
15394.19B5=B4X1683614148+C5=
19318.96Cll+r4+C2l+r3+C3l+r2+C4l+r+C5=
19318.96解得r-
9.68%已知元经过年的投资将增为元,计算分别在第、和年底投资元的现值之和
11.50030400020406010,000100001000010000解:由500X1+i30=4000=1+i30=8于是PV=1十十”十0_2_4-1000X83+83+
82.
328125.以同样的实利率,元经过年增为元,元经过年增为元,元经过年增为元若已知元经过121a22b33c156n年增为元试用和表示10a,b cn22解:1+ia=211+ib=221+ic=531+in=244=n-lnl+i=ln5-ln33=In5=c X lnl+i1X2=ln3=a+b-In1+i故n=c一a+b已知资本在一年内产生的利息量为产生的贴现量为计算
13.A336,300A解A・i=336A・d=300i—d=i・d=A=2800分别在单利率和单贴现率的条件下,计算
14.10%10%d5a⑸-a410%解ld5=a0=1+5X10%=
6.67%]a⑸-a⑷2a-lt=1-
0.1t=at==l-
0.1Z=d5==
16.67%试用⑶表示用表示
15.i d4,d12i6o解:由/⑶兴1+—3=1-—-434/⑶二n—=4・口_1+—4]由;6»121+—6=1-^—-12o12/⑵^z6=
6.[l---2-1]
16.在以下两种情况下计算100元在两年底的终值季结算名利率6%;每四年结算一次的名贴现率为6%解:⑴终值为100Xl+i4/44*2=U
2.65元⑵终值为100X[1-4d1/41/4]-2=
114.71%
17.已知:im=0・1844144和dm=0・1802608°计算m.解利用l/dm-l/im=l/m=m=8基金以单利率累积,基金以单贴现率累积计算两个基金的利息力相等的时刻
18.A10%B5%解:aAt=1+
0.1t=5At二黑⑴二.1a t1+0AtAa~\t=l-
0.05/=3=9:B«=0-05a Bt1一°皈由3A t=6B⑴得t=519一年期投资的累积函数为二次多项式,前半年的半年名利率为全年的实利率为计算.5%,7%,
60.5解依题意,累积函数为at=at2+bt+1a
0.5=
0.25a+
0.5b+1=
1.025a
0.5=U.Uooal=a+b+1=
1.07=a=
0.04b=
0.03于是
60.5二a°・520已知帐户的累积函数为帐户的累积函数为计算帐户的利息力超过帐户的利息力的.A:1+t2,B:1+2t+t2o A B时刻2t_22t2解依题意,6A⑴二l+f2,1+t由“为=1+t2l+t=ti21已知季结算名贴现率为分别对以下两种情况计算个月底的元在当前的现值全部采用复贴现;在最.8%,255000后的不足年份内采用单贴现l.d=l一暨全部采用复利2PV=50001-d25=
4225.25解d4=8%,设复利下月实贴现率为小单利下实利率为do8%1-3d0=1-PV=50001-d24l-d=
4225.460前两年用复利:
22.为了在第年底收益元、年底收益元,当前选择这样的投资前两年每年初投入元、第4200010500020003年初再投入一部分已知季结算名利率计算第年初投入的金额原来的答案有误6%,3i4=6%,贝I」i=1+—4-1=
6.14%解4设第3年初投入X,以第3年初为比较日,列价值方程20001+i2+20001+i+X=2000v2+SOOOv板徂丫“
一、解得X=
504.67兀23在一定的利率下,下面两种付款方式等价第年底支付元,第年底支付元;第年底一次性.152001050025支付元另外,以同样的利率现在投资元再加上第年底投资元,这些投资在第年底的终值为
400.94100512010P试计算P解对两种付款方式,以第5年为比较日,列价值方程200+500丫5=
400.94解得丫5=0,40188所以P=1001+i10+1201+i5=
917.76224经过多少时间元以利率累积的终值是利率累积终值的两倍?.10006%4%解11+6%;2*1001+4%解得=6年25已知年利率为且第年底和年底投入元的现值之和为元,计算.8%,n2n100100nn2n解列价值方程为1°3+10°V0=10解得n=
6.2526基金以月换算名利率累积;基金以利息力累积,初始时刻两基金本金相同,计算两基金.A12%B累积额相同的下一个时刻]t2@8=exp1叉ds=exp—⑴:⑴1+—i12,2texp%12解得t=
1.4解6t,得基金B的积累函数为12欲使AW BW则
27.计算元在第年底的终值为元的半年换算名利率1000153000i⑵=1+ij-1x2=
7.46%解10001+i15=3000则228已知现金流当前投入元、第年底投入元和第年底投入元,在第年底的终值为元.300120021002700计算实利率用刀痂〃、/古玉孑口由3001+i2+2001+i+100—700缶刃俎.111OA0/解列价值万程为解得1=
11.96%
29.已知货币的价值以利息力6t=kt积累,在十年内增长了一倍,计算k原来的答案有误5=入at=exp ksds=exp1t2解t Ki则积累函数为2由a10=2得e=2解得k=0039已知一个货币单位的本金以实利率累积到第三年底的终值再加上第年底的一个货币单位的资本以实贴现率
30.i3i贴现的的现值之和为计算
2.0096,i解1+i3+1—i3=
2.0096解得i=
0.04现有实利率为的投资项目证明一个货币单位的本金在第二个计息期的利息收入与第一个计息期的利息收入之
31.差为试给出这个结论的实际背景解释解一个货币单位在第一个计息期内的利息收入j,第二个计息期内的利息收入j+j2,故差为j2,即第一期利息产生的利息.某杂志社提供下面两种预定杂志的方式32现在付款元,个月后付款元现在一次性付款元A
15613.65B28如果两种方式无差异,计算隐含的年实利率将原题中的元改成元,这样结果更加符合实际
1613.65解:设半年实利率为i,则有”1+]+
13.65=281+i解得:故i=005i=1+i2-l=01025•甲在年元旦借给乙元,要求乙按下面方式偿还:分别于年和年元旦偿还元,于年元3319971000199819991002000旦偿还元在年元旦正常还款后甲因急需资金,将剩余的偿还以元的价格转让给丙°如果甲乙合10001998960约的年利率为,甲丙合约的年利率为,比较和的大小解价值方程正常10°°=10°1++10°1+J-2+100°1+j转让960二1001+k-+11+k-2解得i.98%,k二
7.4%从3k.如果常数利息力增加一倍,计算等价的年利率和年贴现率增加的倍数34e-e_§■S w—e s解和s等价的年利率i=e一1,年利率变化片-1和6等价的年贴现率l—e=d,年贴现率-26e-e=c-变化l-e证明
35.5—d i—b1r rlim———=hm——=—52d-0i-o5—d11+/1-^/1r rrhm———=lim;=lim=hm——=—证524°524°2522df°0limH二linT=lim匚*二=l2322d-o324032b-o
3036.某厂家对零售商提供两种折扣付现款可低于零售价格30%;6个月后付款,可低于零售价格25%如果两种方式等价,计算对应的年利率解设货款为s,半年实利率为i,则有0・7S1+1=
0.75S解得1+.=
1.0714i=1+f2-l=
14.80%故
37.令OvtvL用以下三种方法计算时刻1的1元在时刻的价值1在t,l内单利计算;2复利计算;3单利方式先计算它在时刻的价值然后累积到时刻在相同的利率水平下试对以上三个结果比较大小0t丫_1+日解1单利方式Xll+1-ti=12复利方式X2l+il-t=13单利方式,1+i由Tay®展开易证1+以+Di1+讲1+在故X|X%基金以年利率累积;基金以年利率累积第年底两个基金的终值之和为元,第年底基金
38.A6%B8%10200010为基金的一半计算第年底两个基金的资本之和原来的答案有误A B5解设基金A,B的本金为A,B:A1+
0.06,0+Bl+O.O810=1000A1+O.O610=O.O5B1+O.O810A1+
0.065=
498.17解得;B1+
0.085=907,44从而5年底的累积值和=
1405.61已知第一年的实利率与第二年的实贴现率数值相同,第一年初的元在第二年底的终值为元计算
39.il d210001200ilo解设第二年的实利率i2,由题意il=d2=1+12从而:10001+i1l+i=1000--1+i=12001_221+12解得i2=
0.1,进而ii二
1140.甲以名利率i⑵=1°购得1000份100元面额的26周国债1计算价格P;2近似推导名利率i2的波dP行动对价格的影响当名利率波动一个百分点时,近似计算价格的波动范围待查P3P;IO,产/2x1°dp\=缶刀1P=1000x100x1+:尸=
95238.0952+i⑵1+T di22用牛N%⑵D|=
4.5351x104Pdl i%%即波动范围:
95238.095±
453.51fm=1+2m对证明是m的递增函数⑵gm=m[l+1]是m的递减函数
41.jo,1m-1••If!m=—1+2」nl+4,j0,m0,/!m0解m mmey-1——lnl+j j02令y=lnl+j/m,则原式化为丫由Taylor展开可见上式关于y增,由复合函数性质得证第二章习题答案某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用万元如果它们前十年每年底存款元,后十年每年底存款
1.510001000+X元,年利率计算7%X oS=1000520|7O/O+Xs]017%50000-1000s20|7%=
651.7251017%解:价值元的新车购买者计划分期付款方式每月底还元,期限年月结算名利率计算首次付
2.10,000250418%款金额解设首次付款为X,则有25°〃48|
1.5%解得x=
1489.36设有年期期末年金,其中年金金额为实利率试计算该年金的现值
3.n n,i=L—=〃+叱-〃*21〃+1〃解:凡]=a1-dy1d=1+Q
14.解:可可,7则有
5.58238,%]=
7.88687,«乂]=
10.82760已知%]
5.川18J o计算i7a.Q-i—a,1+ci,.1v1-vlO510].证明6l+01Q-l111l+z10-l1-v10解闾7]11]解得i=
6.0%证明:已知半年结算名利率计算下面年期末年金的现值开始年每半年元,然后减为每次元
7.6%,104200100尸V=100加]+100“冽
2189.7163%3%=某人现年岁,现在开始每年初在退休金帐号上存入元,共计年然后,从岁开始每年初领取一定的退休
8.4010002565金,共计年设前年的年利率为后年的年利率计算每年的退休金15258%,157%解设每年退休金为X,选择65岁年初为比较日~°°s25]8%一X〃15]7%解得x=
8101.65已知贴现率为计算
9.10%,8]解d=10%,则9-v8——=
5.
6953.求证⑴〃]+并给出两等式的实际解释10+
2..T—l-v\,〃••.4HCl i=〃i+1—v所以川川证明⑴1+zY-l l+zf-l l+炉一1+1所以〃用f T+1+炉
2.从年月日开始,每季度年金元,直至年月日,季结算名利率计算)该年金在年1219806710019911276%,11979月日的现值;)该年金在年月日的终值972199267解.PV=100a49]
1.5%-100a2]
1.5%=
3256.88AV=100s49]
1.5%-100s2]
1.5%]=
6959.
37.现有价值相等的两种期末年金和年金在第一年和第年中每年元,在第年中13ABA11021-30111-20V10每年元;年金在第一年和第年中每年付款金额为,在第年中没有已知计算Y o2B11021—30Y11―203-V10-2V3\=Y a…丫=解因两种年金价值相等,则有火°十⑼汨W l+v,0-2v
30.⑼出所以30k
14.已知年金满足2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36;另外,递延n年的2元n期期末年金的现值为计算6o io+3仙.=362a vtl=6V解由题意知,〃卜解得i=
8.33%.已知川aY]+SZ]15求和X,Y Z1-v7_1+ix-v3解由题意得1—u1+-V解得X=4,Y=7,Z=
4.化简~(1+俨+*)16解45]1+v15+v30=a45].计算下面年金在年初的现值首次在下一年的月日,然后每半年一次1741元,半年结算名利率20009%PV=
41300.6571+产解:年金在4月1日的价值为P=l+
4.5%/
4.5%X2000=
46444.44,则IniPP=-vllnl+z解设递延时间为3有1解得.某递延永久年金的买价为实利率写出递延时间的表达式18P,i,.从现在开始每年初存入元,一直进行年从第三十年底开始每年领取一定的金额直至永远计算19100020X,XY1000%],=—浮解•设年实利率为i,由两年金的现值相等,有1解得x=10001+D30-I+/
1020.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D前n年,A、和三人平分每年的年金,年后所有年金由一人继承如果四人的遗产份额的现值相同计算+)”解B C n D0设遗产为1,则永久年金每年的年金为i,那么A,B,C得到的遗产的现值为3〃,而D得到遗产的现值为vn由题意得l-vn------=vn3所以i=
4.永久期末年金有、、、和四人分摊,接受第一个年,接受第二个年,接受第三个年,接21ABC DA nB nCnD受所有剩余的已知与的份额之比为求与的份额之比CA
0.49,B D2=d=
0.49当=好=
0.61pva解由题意知川A元年利率的贷款从第五年底开始每年还贷元,直至还清,如果最后一次的还款大于元
22.
10004.5%100100计算最后一次还款的数量和时间解
10010004.5%,100〃,川3V41000100a,.+Xv2l=1000so/0/〃+乎,解得口=列价值方程46]
4.54解得x=
146.07年的期末年金每次元,另有年的期末年金每次元;两者现值相等如果以同样的年利率计算货币的价
23.364185值在年内将增加一倍,计算n n解两年金现值相等,则4x〃3w=5x18,可知武=
0.25由题意,1+,〃=2解得户
9.某借款人可以选择以下两种还贷方式每月底还元,年还清;个月后一次还元已知月结算名利241005k6000率为计算12%,k解由题意可得方程100a60pI%「=60001+i-k解得k=29二
1.
75.已知2]l,求25i解由题意得1一/=
1.75/解得i=
9.38%.某人得到一万元人寿保险赔付如果购买年期末年金可以每年得到元,年的期末年金为每年元26101538201072计算年利率解.某人在银行中存入一万元年定期存款,年利率如果前年半内提前支取,银行将扣留提款的作为惩27104%,55%罚己知在第、、和年底分别取出元,且第十年底的余额为一万元,计算4567K Ko解由题意可得价值方程10000=+lOOOOv10105KG.O//+K%14/10000-lOOOOv10则长==
979.94105u2]4%U+〃2]4%f/04]*1+/
0.贷款从第六个月开始分十年逐年还清第一次的还款额为后面还款的一半,前四年半的年利率为后面的利28P i,率为计算首次付款金额的表达式j X解选取第一次还款日为比较日,有价值方程P1+iy=X+2X〃4L・+2X%,1+0-4a-Ji—+犷一所以x=一1+2用j+2%]/1+
1.已知半年名利率为计算下面年金在首次付款年后的终值每两年付款元,共计次297%,820008解计算下面十年年金的现值前年每季度初支付元,然后增为元已知年利率为缺命令
30.540060012%解PV=4x400+4x600/=
11466.
14.已知半年结算的名贴现率为计算每半年付款元的十年期初年金的现值表达式319%,600。