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二项式定理(精讲)
8.2一.二项式定理L二项式定理:(a+b)〃=(:〃+C][旧+…+C标厂恸+…+C的〃(〃£N*)
①项数为〃+1
②各项的次数都等于二项式的赛指数〃,即与力的指数的和为n
③字母按降球排列,从第一项开始,次数由〃逐项减直到零;字母人按升球排列,1Q从第一项起,次数由零逐项增直到几
1.通项公式Tk\=C^an~kbk=g()它表示第%项2r+1+@h()是常数项;r=0=4+i@h()是非负整数「+是整式项;r oi()是负整数是分式项;®/7r@h(r)是整数=7;+i是有理项.
3.二项式系数二项展开式中各项的系数为盘,C二.二项式系数的性质一.形如(a+b)(〃WN*)的展开式中与特定项相关的量(常数项、参数值、特定项等)的步骤
①写出二项展开式的通项公式常把字母和系数分离开来(注意符号不要出错);n i=c^M,+
②根据题目中的相关条件列出相应方程(组)或不等式(组),解出r;
③把《代入通项公式中,即可求出公+有时还需要先求〃,再求上才能求出〃或者其他量.1,+1二.求形如WN*)的展开式中与特定项相关的量的步骤
①根据二项式定理把伍+严与(°+分别展开,并写出其通项公式;b
②根据特定项的次数,分析特定项可由(+〃与(〃的展开式中的哪些项相乘得到;3c+0
③把相乘后的项合并即可得到所求特定项或相关量.三.求二项式系数最大项.如果n是偶数,那么中间一项(第]+项)的二项式系数最大;11如果〃是奇数,那么中间两项(第等项与第等项)的二项式系数相等且最大.2,+1四.求展开式系数最大项求(〃+云)〃(a,b R)的展开式中系数最大的项,一般是采用待定系数法,设展开式各项系数分别为4,山,…,《且第左项系数最大,应用伊解出北五.求三项展开式中特定项(系数)的方法方法一通过变形把三项式化为二项式,再用二项式定理求解方法二两次利用二项展开式的通项求解方法三利用排列组合的基本原理去求,把三项式看作几个因式之积,得到特定项有多少种方法从这几个因式中取因式中的量六.二项式定理应用用二项式定理处理整除问题,通常把辕的底数写成除数(或与除数密切关联的数)与某数的和或差的形式,再
1.利用二项式定理展开,只考虑后面
一、二项(或者是某些项)就可以了.利用二项式定理近似运算时,首先将幕的底数写成两项和或差的形式,然后确定展开式中的保留项,使其满
2.足近似计算的精确度.考点一二项式定理的展开式【例1】(2023广西柳州)化简16—321+24——8/+/=()A.%4B.(2-x)4C.(2+x)4D.(l-2x)4【一隅三反】B=C;.36+C^34+C^32+1,则A—B的值为A.128B.129C.47D.0L(2022・高二课时练习)设A=37+C;・35+C;・33+G.3,
2.(2023・重庆九龙坡)2c+6戏+18£;+…+2x3iC;=A.--B.—(4〃—1)C.〃D.—(3〃—12X3T33v73V考点二二项式指定项的系数(八8【例21】(2023•全国•高三专题练习)在二项式的展开式中,含x的项的二项式系数为(A.28B.56C.70D.
112、/16【例22】(2022,甘肃兰州,统考一模)2%-—的展开式的常数项是()I2x)A.40B.40C.20D.20()i【例23】(2023•海南海口・海南华侨中学校考模拟预测)1+-T(2-06展开式中产的系数为()\2x JA.270B.240C.210D.180【例24】(2023・四川绵阳・统考二模)(3+2x)〃展开式中,只有第4项的二项式系数最大,则〃的值为()【一隅三反】(2Y
1.(2023・北京•高三专题练习)在二项式的展开式中,含/项的二项式系数为()Ix)A.5B.-5C.10D.-
102.(2023・河南驻马店•统考二模)(x-1)--2的展开式中的常数项是()lx)A.-112B.-48C.48D.
1123.(2023•全国•高三对口高考)在的展开式中,只有第5项的二项式系数最大,则展开式中常数项12X)是()3535A.-7B.7C.——D.18考点三三项式指定项系数(1V【例3】(2023•全国•高三专题练习)x24-4-2的展开式中常数项是\x)252A.252B.220C.220D.【一隅三反】
1.(2023•河北沧州•校考模拟预测)的展开式中/产的系数为()A.-10B.10C.-30D.
302.(2023・辽宁・大连二十四中校联考模拟预测)(、+2/-32)6的展开式中肛223的系数为(用数字作答).(1V
3.(2023秋・福建三明•高三统考期末)X--4-2展开式中常数项是___________.(答案用数字作答)\x)(
734.(2023秋・广东广州,高三执信中学校考开学考试)已知二项式l-x+区的展开式中含乙的项的系数为I y)y则”.-40,考点四二项式系数性质【例4】(2023春•云南•高三云南师大附中校考阶段练习)(1+2力6的展开式中二项式系数最大的项是()A.160B.240C.160x3D.240/【一隅三反】
1.(2023•广东佛山•校考模拟预测)(多选)「十巴丫的展开式中只有第六项的二项式系数最大,且常数项是Ixj则下列说法正确的是()-252,A.77=10各项的二项式系数之和为B.1024a——\C.各项的系数之和为D.1024(•西藏日喀则•统考一模)已知()〃的展开式中第四项和第八项的二项式系数相等,则展开式中
2.2023l-2x x的系数为____________
3.(2023・福建厦门・统考模拟预测)已知(4-2丫的展开式中第二项的二项式系数比该项的系数大18,则Ixj展开式中的常数项为.考法五系数最大项和系数和【例51】(2023•上海浦东新•华师大二附中校考模拟预测)(x+2)8的二项展开式中系数最大的项为—.【例52](2023•辽宁朝阳・朝阳市第一高级中学校考模拟预测)(多选)已知函数/(x)=(1-2x)6=()+卬工+4/2+…+R工6(q.£R,,=0,l,2,34・・,6)的定义域为R,贝U()Q+,,,+延=—A.%+q+1B.4++%=1364C.4+2%+343+~+6=12D./
(5)被8整除余数为1【一隅三反】L(2023・全国•模拟预测)x--的展开式中系数最大的项为()I y)56x3356x570/—厂或-A.70B.56C.z—D.——y yy
393.(2023春•山东青岛)(多选)已知(1+2%)9=4+]工+2工2+…+a/9,贝I」()C.%+〃3+%+9=%+〃2+%+6+8=D.《=0,1,2,,8,9)的最大值为每
4.(2023•福建宁德•校考模拟预测)(多选)若(2x-1°=旬+q(%-1)+出(工一1『+…+/0(%一1);则XER,()()=A.1凡B.6++…+I=31°C.3=180D.q+22+3%+,•,+10〃[0=10x39考法六二项式定理的应用【例61)(2023春,课时练习)设n为奇数,那么11〃+C;・1尸+C;・1产+.・・+玛―・11_1除以超的余数是()A.-3B.2C.10D.11【例62】(2023北京)今天是星期二,经过7天后还是星期二,那么经过2221天后是()星期三星期四星期五星期六A.B.C.D.【例63】(2023•全国•高三专题练习)(
1.05)
6.【一隅三反】
1.(2022•全国•高三专题练习)
1.02屋(小数点后保留三位小数).
2.(2023•辽宁丹东・统考一模)228除以7所得余数为.
3.(2022秋・福建泉州•高三福建省南安国光中学校考阶段练习)C:
0.998+C;
0.9982+C;
0.9983+C;
0.9984+《
0.9985才(精确到
0.01)。