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《无穷级数内容回顾》ppt课件•无穷级数的基本概念目•级数的运算性质•常见的无穷级数录•级数的应用•级数的收敛判别法•无穷级数的历史与发展CATALOGUE01CATALOGUE无穷级数的基本概念定义与性质定义无穷级数是无穷多个数按照一定的顺序排列的数列性质无穷级数具有可加性、可乘性和可交换性等性质收敛与发散收敛无穷级数在某点或某个区间内收敛,意味着该级数的和存在发散无穷级数在某点或某个区间内发散,意味着该级数的和不存在几何级数定义几何级数是每一项都与前一项成固定比值的无穷级数性质几何级数的和等于首项除以公比的负值02CATALOGUE级数的运算性质线性性质线性性质应用对于任意常数$a$和$b$,以及两个级数利用线性性质,我们可以对级数进行加减$sum a_n$和$sum b_n$,它们的和与运算,从而得到新的级数差分别为$sum a+b_n$和$sum a-VSb_n$乘积与商的级数乘积与商的级数对于两个级数$sum a_n$和$sumb_n$,它们的乘积和商分别为$suma_n cdotb_n$和$sumfrac{a_n}{b_n}$应用利用乘积与商的级数,我们可以对级数进行乘除运算,从而得到新的级数幂级数幂级数应用形如$a_0+a_1x-x_0+a_2x-x_0^2+幂级数在函数展开、近似计算等领域有广泛ldots$的级数被称为幂级数应用通过将函数展开为幂级数,我们可以更方便地研究函数的性质03CATALOGUE常见的无穷级数正项级数正项级数收敛性是指各项均为正数的无穷级数正项级数收敛时,其和存在且常见的正项级数有等差数列、有限等比数列等判别法实例用于判断正项级数的收敛性,1+1/2+1/3+1/4+...是一个正主要有比较判别法、比值判别项级数,其和为
2.
71828...,是法和根值判别法一个无限不循环小数交错级数交错级数是指各项符号交替变化的无穷级数常见的交错级数有-1^n/n、-1^n*logn等判别法交错级数的收敛性可以通过莱布尼茨判别法进行判断收敛性交错级数收敛时,其和存在且有限实例1-1/2+1/3-1/4+...是一个交错级数,其和为ln2几何级数与调和级数调和级数是指每一项都是前两项之和的无穷级数常见的调几何级数和级数有1+1/2+1/3+1/4+...等是指每一项都是前一项的常数倍的无穷级数常见的几何级数有1/
2、1/
4、1/
8、...等实例几何级数1/
2、1/
4、1/
8、...的和为2,调和级数1+1/2+1/3+1/4+...的和为ln204CATALOGUE级数的应用在数学分析中的应用函数项级数用于研究函数的性质和行为,例如泰勒级数展开式可以用来近似复杂的函数幂级数在求解微分方程和积分方程时,幂级数是一种常用的方法傅里叶级数用于分析周期函数的性质,例如在信号处理和振动分析中的应用在物理中的应用波动方程01在研究波动现象时,如声波、光波和水波等,无穷级数可以用来描述波动方程的解热传导方程02在研究热传导现象时,无穷级数可以用来表示温度场在不同时间和空间位置的分布情况电磁场理论03在研究电磁波的传播和散射时,无穷级数被用来描述电磁场的矢量波函数在工程中的应用结构振动分析在分析大型结构的振动时,无穷级数可以用来描述结构的动态响应控制系统设计在控制系统的分析和设计中,无穷级数可以用来描述系统的传递函数和频率响应信号处理在信号处理中,傅里叶级数被广泛应用于频谱分析和滤波器的设计05CATALOGUE级数的收敛判别法柯西收敛准则柯西收敛准则如果对于任意给定的正数$epsilon$,存在正整数$N$,使得当$nN$时,对于所有的$m$,都有$|a_{n+m}-a_n|epsilon$,则称级数收敛柯西收敛准则的直观解释如果一个级数的通项在某个位置之后,随着项数的增加,越来越接近于某个确定的数值,那么这个级数就是收敛的比较判别法要点一要点二比较判别法举例如果一个级数与其部分和的差的绝对值小于另一个已知收考虑级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n^2}$,它可以与敛或发散的级数,那么原级数的收敛性由已知级数决定已知收敛的级数$sum_{n=1}^{infty}frac{1}{n}$进行比较,通过比较可以得到原级数的收敛性根值判别法与积分判别法根值判别法举例积分判别法举例如果一个级数的通项的考虑级数如果一个函数在区间[1,考虑函数$fx=x^{-绝对值的倒数和为收敛$sum_{n=1}^{infty}+infty上的积分值为正p}$,当$0p1$时,的,那么原级数就是收frac{1}{n cdotn!}$,且单调递减,那么它的它的积分值为敛的它的通项的绝对值的倒原函数在区间[0,+infty$int_{1}^{+infty}x^{-数和为$frac{1}{n}$,上存在且单调递增,反p}dx=frac{1}{1-p}这是一个收敛的级数,之亦然x^{1-p}$,这是一个单因此原级数也是收敛的调递减的正值函数,因此原函数在区间[0,+infty上存在且单调递增06CATALOGUE无穷级数的历史与发展无穷级数的起源古代数学中的无穷思想早期无穷级数的实例无穷级数的思想可以追溯到古代数学,如古例如,古代印度数学家使用无穷级数来表示希腊数学家阿基米德在求面积和体积时使用π的值,以及无穷级数在音乐和天文领域的了无穷思想应用无穷级数的发展历程17世纪数学家的贡献18世纪和19世纪的进展无穷级数在17世纪得到了广泛的发展,如法国数学家在18世纪和19世纪,无穷级数在数学、物理和工程等费马、荷兰数学家惠更斯等都对无穷级数做出了重要领域得到了广泛的应用,如欧拉、拉格朗日等数学家贡献对无穷级数的研究和应用做出了重要贡献无穷级数在现代数学中的应用实分析中的应用其他数学领域的应用在现代实分析中,无穷级数是非常重要的工具,可以用无穷级数在复分析、调和分析、概率论等领域也有广泛来研究函数的性质、收敛性和可积性等的应用,如傅里叶分析、狄利克雷级数等THANKS感谢观看。